GSEB Class 12 Maths Solutions Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Exercise 5.3

\(\frac{d y}{d x}\) શોધો : (પ્રશ્ન 1 થી 8 માં સ્વીકારી લો કે y એ x ના વિષેય તરીકે યોગ્ય પ્રદેશમાં વ્યાખ્યાયિત છે.)

Question 1. 2x + 3y = sinx
Answer: આપણી પાસે સમીકરણ છે \(2x + 3y = \sin x\).
x ને સાપેક્ષ બંને બાજુ વિકલન કરીએ છીએ ત્યારે આપણને મળે છે:
\(2 + 3\frac{d y}{d x} = \cos x\)
\(3\frac{d y}{d x} = \cos x - 2\)
\(\implies \frac{d y}{d x}=\frac{\cos x-2}{3}\)
In simple words: પહેલા આપેલ સમીકરણને x ને સાપેક્ષે વિકલિત કરો. પછી \(\frac{d y}{d x}\) ને એક બાજુ રાખીને બાકીના પદોને બીજી બાજુ લઇ જાઓ.

Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, x અને y બંનેના વિકલન માટે સાંકળનો નિયમ (Chain Rule) યાદ રાખવો જરૂરી છે, ખાસ કરીને જ્યારે y, x નો વિધેય હોય.

Question 2. 2x + 3y = sin y
Answer: આપેલું સમીકરણ છે \(2x + 3y = \sin y\).
x ને સાપેક્ષ બંને બાજુ વિકલન કરતાં, આપણે મેળવીએ છીએ:
\(2 + 3\frac{d y}{d x} = \cos y \frac{d y}{d x}\)
હવે, \(\frac{d y}{d x}\) વાળા પદોને એક સાથે લઈએ:
\(2 = \cos y \frac{d y}{d x} - 3\frac{d y}{d x}\)
\(2 = (\cos y - 3)\frac{d y}{d x}\)
\(\implies \frac{d y}{d x}=\frac{2}{\cos y-3}\)
In simple words: સમીકરણના દરેક પદનું x ને સાપેક્ષે વિકલન કરો. પછી \(\frac{d y}{d x}\) વાળા પદોને એક બાજુ ભેગા કરીને \(\frac{d y}{d x}\) ને સૂત્રનો કર્તા બનાવો.

Exam Tip: જ્યારે y, x નું વિધેય હોય ત્યારે \(\frac{d}{dx}(y)\) એ \(\frac{dy}{dx}\) અને \(\frac{d}{dx}(\sin y)\) એ \(\cos y \frac{dy}{dx}\) બને છે, આ મુદ્દો ભૂલશો નહીં.

Question 3. ax + by² = cos y
Answer: આપેલું સમીકરણ છે \(ax + by^2 = \cos y\).
x ને સાપેક્ષ બંને બાજુ વિકલન કરીએ છીએ ત્યારે આપણને મળે છે:
\(a + 2by\frac{d y}{d x} = -\sin y \frac{d y}{d x}\)
\(\frac{d y}{d x}\) વાળા પદોને એક બાજુ લઈએ:
\(2by\frac{d y}{d x} + \sin y \frac{d y}{d x} = -a\)
\(\frac{d y}{d x}(2by + \sin y) = -a\)
\(\implies \frac{d y}{d x}=\frac{-a}{2 b y+\sin y}\)
In simple words: દરેક પદનું x ને આધારે વિકલન કરો, પછી \(\frac{d y}{d x}\) ને અલગ કરીને તેનો જવાબ મેળવો. y² નું વિકલન કરતી વખતે સાંકળ નિયમ લાગુ કરો.

Exam Tip: અચળાંક (constant) ના ગુણાકારમાં ચલ (variable) હોય ત્યારે અચળાંક એવો જ રહે છે અને ચલનું વિકલન થાય છે, જેમ કે \( \frac{d}{dx}(ax) = a \).

Question 4. xy + y² = tan x + y
Answer: આપણી પાસે સમીકરણ છે \(xy + y^2 = \tan x + y\).
x ને સાપેક્ષ બંને બાજુ વિકલન કરીએ છીએ ત્યારે આપણને મળે છે:
\(x\frac{d y}{d x} + y(1) + 2y\frac{d y}{d x} = \sec^2 x + \frac{d y}{d x}\)
\(\frac{d y}{d x}\) વાળા પદોને ડાબી બાજુ અને બાકીના પદોને જમણી બાજુ લઈએ:
\(x\frac{d y}{d x} + 2y\frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} = \sec^2 x - y\)
\(\frac{d y}{d x}[x + 2y - 1] = \sec^2 x - y\)
\(\implies \frac{d y}{d x}=\frac{\sec ^{2} x-y}{x+2 y-1}\)
In simple words: પહેલા દરેક પદનું x ને અનુલક્ષીને વિકલન કરો. પછી \(\frac{d y}{d x}\) વાળા બધા પદોને એક બાજુ અને બાકીના બધા પદોને બીજી બાજુ લાવો. અંતે \(\frac{d y}{d x}\) ને અલગ કરો.

Exam Tip: \(xy\) જેવા ગુણાકારવાળા પદનું વિકલન કરવા માટે ગુણાકારનો નિયમ (Product Rule) \((uv)' = u'v + uv'\) લાગુ પાડવો મહત્વપૂર્ણ છે.

Question 5. x² + xy + y² = 100
Answer: આપણી પાસે સમીકરણ છે \(x^2 + xy + y^2 = 100\).
x ને સાપેક્ષ બંને બાજુ વિકલન કરીએ છીએ ત્યારે આપણને મળે છે:
\(2x + \left(x\frac{d y}{d x} + y(1)\right) + 2y\frac{d y}{d x} = 0\)
\(2x + x\frac{d y}{d x} + y + 2y\frac{d y}{d x} = 0\)
\(\frac{d y}{d x}\) વાળા પદોને એક બાજુ લઈએ:
\(x\frac{d y}{d x} + 2y\frac{d y}{d x} = -2x - y\)
\(\frac{d y}{d x}(x + 2y) = -(2x + y)\)
\(\implies \frac{d y}{d x}=\frac{-(2 x+y)}{x+2 y}\)
In simple words: પહેલા આપેલા સમીકરણના દરેક ભાગનું x ને આધારે વિકલન કરો. પછી \(\frac{d y}{d x}\) વાળા પદોને એક બાજુ રાખીને બાકીના પદોને બીજી બાજુ લઇ જાઓ. છેલ્લે \(\frac{d y}{d x}\) ને એકલા પાડો.

Exam Tip: અચળ સંખ્યાનું વિકલન હંમેશા શૂન્ય હોય છે, જેમ કે \( \frac{d}{dx}(100) = 0 \).

Question 6. x³ + x²y + xy² + y³ = 81
Answer: આપેલું સમીકરણ છે \(x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 = 81\).
x ને સાપેક્ષ બંને બાજુ વિકલન કરીએ છીએ ત્યારે આપણને મળે છે:
\(3x^2 + \left(x^2\frac{d y}{d x} + (2x)y\right) + \left(x \cdot 2y\frac{d y}{d x} + (1)y^2\right) + 3y^2\frac{d y}{d x} = 0\)
\(3x^2 + x^2\frac{d y}{d x} + 2xy + 2xy\frac{d y}{d x} + y^2 + 3y^2\frac{d y}{d x} = 0\)
\(\frac{d y}{d x}\) વાળા પદોને એક બાજુ લઈએ:
\(x^2\frac{d y}{d x} + 2xy\frac{d y}{d x} + 3y^2\frac{d y}{d x} = -3x^2-2xy-y^2\)
\(\frac{d y}{d x}(x^2 + 2xy + 3y^2) = -(3x^2 + 2xy + y^2)\)
\(\implies \frac{d y}{d x}=\frac{-\left(3 x^{2}+2 x y+y^{2}\right)}{x^{2}+2 x y+3 y^{2}}\)
In simple words: સમીકરણના દરેક પદનું x ને આધારે વિકલન કરો, ગુણાકાર અને સાંકળ નિયમોનો ઉપયોગ કરો. પછી \(\frac{d y}{d x}\) વાળા પદોને એક બાજુ અને બાકીના પદોને બીજી બાજુ ગોઠવો. છેલ્લે \(\frac{d y}{d x}\) ને સૂત્રનો કર્તા બનાવો.

Exam Tip: જ્યારે આવા લાંબા સમીકરણોનું વિકલન કરતા હોઈએ ત્યારે દરેક પદનું કાળજીપૂર્વક વિકલન કરવું અને ગુણાકારના નિયમ (Product Rule) અને સાંકળના નિયમ (Chain Rule) નો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે.

Question 7. sin²y + cosxy = k
Answer: આપેલું સમીકરણ છે \(\sin^2y + \cos xy = k\).
x ને સાપેક્ષ બંને બાજુ વિકલન કરીએ છીએ ત્યારે આપણને મળે છે:
\(2\sin y \cos y \frac{d y}{d x} + (-\sin xy)\left(x\frac{d y}{d x}+y(1)\right) = 0\)
\(\sin 2y \frac{d y}{d x} - x\sin xy\frac{d y}{d x} - y\sin xy = 0\)
\(\frac{d y}{d x}\) વાળા પદોને એક બાજુ લઈએ:
\(\frac{d y}{d x}[\sin 2y - x\sin xy] = y\sin xy\)
\(\implies \frac{d y}{d x}=\frac{y \cdot \sin x y}{\sin 2 y-x \cdot \sin x y}\)
In simple words: દરેક પદનું x ને આધારે વિકલન કરો, ખાસ કરીને \(\sin^2y\) અને \(\cos xy\) માટે સાંકળ અને ગુણાકાર નિયમો વાપરો. પછી \(\frac{d y}{d x}\) ના પદોને એકસાથે લાવીને તેને સૂત્રનો કર્તા બનાવો.

Exam Tip: ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના વિકલન સૂત્રો યાદ રાખવા અને સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતા શીખવું આવા પ્રશ્નોમાં મહત્ત્વપૂર્ણ છે.

Question 8. sin²x + cos²y = 1
Answer: આપણું સમીકરણ છે \(\sin^2x + \cos^2y = 1\).
x ને સાપેક્ષ બંને બાજુ વિકલન કરીએ છીએ ત્યારે આપણને મળે છે:
\(2\sin x \cos x - 2\cos y \sin y \frac{d y}{d x} = 0\)
ત્રિકોણમિતિના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, \(\sin 2x = 2\sin x \cos x\) અને \(\sin 2y = 2\sin y \cos y\) છે:
\(\sin 2x - \sin 2y \frac{d y}{d x} = 0\)
\(\sin 2y \frac{d y}{d x} = \sin 2x\)
\(\implies \frac{d y}{d x}=\frac{\sin 2 x}{\sin 2 y}\)
In simple words: પહેલા દરેક પદનું x ને આધારે વિકલન કરો. પછી ત્રિકોણમિતિના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને તેને સરળ બનાવો. અંતે \(\frac{d y}{d x}\) ને સૂત્રનો કર્તા બનાવો.

Exam Tip: ત્રિકોણમિતિના મૂળભૂત સૂત્રો, જેમ કે \(\sin 2x = 2\sin x \cos x\), યાદ રાખવાથી ગણતરી સરળ બને છે અને સમય બચાવે છે.

Question 9. y = sin\(^{-1}\)\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)
Answer: આપણી પાસે છે \(y = \sin^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)\).
ધારો કે \(x = \tan \theta\), તો \( \theta = \tan^{-1}x \).
તેથી, \(y = \sin^{-1}\left(\frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}\right)\)
\(\implies y = \sin^{-1}(\sin 2\theta)\)
આપેલ શરતો મુજબ, x ની કિંમત ત્રણ જુદા જુદા અંતરાલોમાં લેવાની છે:

કિસ્સો 1: \(-1 < x < 1\)
આ અંતરાલમાં, \(-1 < \tan\theta < 1\)
\(\implies -\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{4}\)
\(\implies -\frac{\pi}{2} < 2\theta < \frac{\pi}{2}\)
આ અંતરાલ માટે, \(\sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta\)
તેથી, \(y = 2\theta = 2\tan^{-1}x\)
\(\implies \frac{d y}{d x}=\frac{2}{1+x^2}\)

કિસ્સો 2: \(1 < x < \infty\)
આ અંતરાલમાં, \(1 < \tan\theta < \infty\)
\(\implies \frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2}\)
\(\implies \frac{\pi}{2} < 2\theta < \pi\)
આ કિસ્સામાં, \(\sin^{-1}(\sin 2\theta) = \sin^{-1}(\sin(\pi - 2\theta))\)
\(\implies y = \pi - 2\theta = \pi - 2\tan^{-1}x\)
\(\implies \frac{d y}{d x}=\frac{-2}{1+x^2}\)
(નોંધ: અહીં, \(x = 1\) માટે \(\frac{d y}{d x}\) અસ્તિત્વમાં નથી કારણ કે જમણી અને ડાબી બાજુના ડેરિવેટિવ્સ અલગ-અલગ છે.)

કિસ્સો 3: \(-\infty < x < -1\)
આ અંતરાલમાં, \(-\infty < \tan\theta < -1\)
\(\implies -\frac{\pi}{2} < \theta < -\frac{\pi}{4}\)
\(\implies -\pi < 2\theta < -\frac{\pi}{2}\)
આ કિસ્સામાં, \(\sin^{-1}(\sin 2\theta) = \sin^{-1}(\sin(2\theta + \pi))\)
\(\implies y = 2\theta + \pi = 2\tan^{-1}x + \pi\)
\(\implies \frac{d y}{d x}=\frac{2}{1+x^2}\)

આમ, વિવિધ અંતરાલો માટે \(\frac{d y}{d x}\) નીચે મુજબ છે:
જો \(-1 < x < 1\) હોય, તો \(\frac{d y}{d x}=\frac{2}{1+x^2}\)
જો \(|x|>1\) હોય, તો \(\frac{d y}{d x}=\frac{-2}{1+x^2}\)
In simple words: આપેલા વિધેયમાં \(x = \tan\theta\) મૂકો અને તેને સરળ બનાવો. પછી, \(x\) ના વિવિધ અંતરાલો માટે \(\theta\) અને \(2\theta\) ની કિંમત શોધીને \(\sin^{-1}(\sin A)\) ના નિયમોનો ઉપયોગ કરો. છેલ્લે, દરેક કિસ્સામાં \(\frac{d y}{d x}\) શોધો.

Exam Tip: પ્રતિલોમ ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના વિકલન કરતી વખતે, યોગ્ય પ્રતિસ્થાપન (substitution) પસંદ કરવું અને વિધેયના પ્રદેશ (domain) ને આધારે મુખ્ય કિંમત શાખા (principal value branch) નો કાળજીપૂર્વક ઉપયોગ કરવો મહત્વપૂર્ણ છે.

Question 10. y = tan\(^{-1}\)\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right), –\frac{1}{\sqrt{3}} < x < \frac{1}{\sqrt{3}}
Answer: આપણી પાસે છે \(y = \tan^{-1}\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)\).
ધારો કે \(x = \tan \theta\), તો \( \theta = \tan^{-1}x \).
તેથી, \(y = \tan^{-1}\left(\frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta}\right)\)
\(\implies y = \tan^{-1}(\tan 3\theta)\)
આપેલ શરત છે \(-\frac{1}{\sqrt{3}} < x < \frac{1}{\sqrt{3}}\).
આ અંતરાલમાં, \(-\frac{1}{\sqrt{3}} < \tan\theta < \frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\implies -\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{6}\)
\(\implies -\frac{\pi}{2} < 3\theta < \frac{\pi}{2}\)
આ અંતરાલ માટે, \(\tan^{-1}(\tan 3\theta) = 3\theta\)
તેથી, \(y = 3\theta = 3\tan^{-1}x\)
\(\implies \frac{d y}{d x}=\frac{3}{1+x^2}\)
In simple words: પહેલા \(x = \tan\theta\) મૂકીને સમીકરણને સરળ બનાવો. પછી \(x\) ના આપેલા અંતરાલ માટે \(3\theta\) ની કિંમત શોધો. જો \(3\theta\) નો અંતરાલ \((-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\) માં હોય, તો \(\tan^{-1}(\tan 3\theta)\) સીધો \(3\theta\) બને છે. છેલ્લે, \(y\) નું x ને સાપેક્ષે વિકલન કરો.

Exam Tip: \(\tan 3\theta = \frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta}\) જેવા ત્રિકોણમિતિના સૂત્રો યાદ રાખવાથી આવા પ્રશ્નો સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે.

Question 11. y = cos\(^{-1}\)\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right), 0 < x < 1
Answer: આપણી પાસે છે \(y = \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\).
ધારો કે \(x = \tan \theta\), તો \( \theta = \tan^{-1}x \).
તેથી, \(y = \cos^{-1}\left(\frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}\right)\)
\(\implies y = \cos^{-1}(\cos 2\theta)\)
આપેલ શરત છે \(0 < x < 1\).
આ અંતરાલમાં, \(0 < \tan\theta < 1\)
\(\implies 0 < \theta < \frac{\pi}{4}\)
\(\implies 0 < 2\theta < \frac{\pi}{2}\)
આ અંતરાલ માટે, \(\cos^{-1}(\cos 2\theta) = 2\theta\)
તેથી, \(y = 2\theta = 2\tan^{-1}x\)
\(\implies \frac{d y}{d x}=\frac{2}{1+x^2}\)
In simple words: \(x = \tan\theta\) પ્રતિસ્થાપન કરીને સમીકરણને સરળ બનાવો. પછી \(x\) ના આપેલા અંતરાલ માટે \(2\theta\) નો વિસ્તાર શોધો. જો \(2\theta\) નો વિસ્તાર \([0, \pi]\) માં હોય, તો \(\cos^{-1}(\cos 2\theta)\) સીધો \(2\theta\) બને છે. છેલ્લે, \(y\) નું x ને આધારે વિકલન કરો.

Exam Tip: \(\cos 2\theta = \frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}\) જેવા સૂત્રો અને પ્રતિલોમ ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના મુખ્ય મૂલ્ય શાખાને યાદ રાખવું ગણતરીમાં મદદરૂપ થાય છે.

Question 12. y = sin\(^{-1}\)\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right), 0 < x < 1
Answer: આપણી પાસે છે \(y = \sin^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\).
ધારો કે \(x = \tan \theta\), તો \( \theta = \tan^{-1}x \).
તેથી, \(y = \sin^{-1}\left(\frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}\right)\)
\(\implies y = \sin^{-1}(\cos 2\theta)\)
\(\implies y = \sin^{-1}\left(\sin\left(\frac{\pi}{2} - 2\theta\right)\right)\)
આપેલ શરત છે \(0 < x < 1\).
આ અંતરાલમાં, \(0 < \tan\theta < 1\)
\(\implies 0 < \theta < \frac{\pi}{4}\)
\(\implies 0 < 2\theta < \frac{\pi}{2}\)
\(\implies -\frac{\pi}{2} < -2\theta < 0\)
\(\implies 0 < \frac{\pi}{2} - 2\theta < \frac{\pi}{2}\)
આ અંતરાલ માટે, \(\sin^{-1}\left(\sin\left(\frac{\pi}{2} - 2\theta\right)\right) = \frac{\pi}{2} - 2\theta\)
તેથી, \(y = \frac{\pi}{2} - 2\theta = \frac{\pi}{2} - 2\tan^{-1}x\)
\(\implies \frac{d y}{d x}=\frac{-2}{1+x^2}\)
In simple words: પહેલા \(x = \tan\theta\) મૂકીને સમીકરણને સરળ બનાવો. પછી \(\cos 2\theta\) ને \(\sin(\frac{\pi}{2} - 2\theta)\) માં રૂપાંતરિત કરો. \(x\) ના આપેલા અંતરાલ માટે \(\frac{\pi}{2} - 2\theta\) નો વિસ્તાર શોધો. છેલ્લે, \(y\) નું x ને આધારે વિકલન કરો.

Exam Tip: \(\cos A = \sin(\frac{\pi}{2} - A)\) જેવા ત્રિકોણમિતિના રૂપાંતરણ સૂત્રો અને \(\sin^{-1}(\sin x)\) ના મુખ્ય મૂલ્ય શાખાને સમજવાથી આવા પ્રશ્નો ઉકેલવામાં મદદ મળે છે.

Question 13. y = cos\(^{-1}\)\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right), - 1 < x < 1
Answer: આપણી પાસે છે \(y = \cos^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)\).
ધારો કે \(x = \tan \theta\), તો \( \theta = \tan^{-1}x \).
તેથી, \(y = \cos^{-1}\left(\frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}\right)\)
\(\implies y = \cos^{-1}(\sin 2\theta)\)
\(\implies y = \cos^{-1}\left(\cos\left(\frac{\pi}{2} - 2\theta\right)\right)\)
આપેલ શરત છે \(-1 < x < 1\).
આ અંતરાલમાં, \(-1 < \tan\theta < 1\)
\(\implies -\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{4}\)
\(\implies -\frac{\pi}{2} < 2\theta < \frac{\pi}{2}\)
\(\implies 0 < \frac{\pi}{2} - 2\theta < \pi\)
આ અંતરાલ માટે, \(\cos^{-1}\left(\cos\left(\frac{\pi}{2} - 2\theta\right)\right) = \frac{\pi}{2} - 2\theta\)
તેથી, \(y = \frac{\pi}{2} - 2\theta = \frac{\pi}{2} - 2\tan^{-1}x\)
\(\implies \frac{d y}{d x}=\frac{-2}{1+x^2}\)
In simple words: પહેલા \(x = \tan\theta\) પ્રતિસ્થાપન કરીને સમીકરણને સરળ બનાવો. પછી \(\sin 2\theta\) ને \(\cos(\frac{\pi}{2} - 2\theta)\) માં રૂપાંતરિત કરો. \(x\) ના આપેલા અંતરાલ માટે \(\frac{\pi}{2} - 2\theta\) નો વિસ્તાર શોધો. છેલ્લે, \(y\) નું x ને આધારે વિકલન કરો.

Exam Tip: પ્રતિલોમ ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના વિકલન માટે, યોગ્ય પ્રતિસ્થાપન, ત્રિકોણમિતિ ઓળખ, અને મુખ્ય મૂલ્ય શાખાના નિયમોનો ઉપયોગ કરવો અગત્યનો છે.

Question 14. y = sin\(^{-1}\)(2x\sqrt{1-x^2}), –\frac{1}{\sqrt{2}} < x < \frac{1}{\sqrt{2}}
Answer: આપણી પાસે છે \(y = \sin^{-1}(2x\sqrt{1-x^2})\).
ધારો કે \(x = \sin \theta\), તો \( \theta = \sin^{-1}x \).
તેથી, \(y = \sin^{-1}(2\sin\theta \sqrt{1-\sin^2\theta})\)
\(\implies y = \sin^{-1}(2\sin\theta \cos\theta)\)
\(\implies y = \sin^{-1}(\sin 2\theta)\)
આપેલ શરત છે \(-\frac{1}{\sqrt{2}} < x < \frac{1}{\sqrt{2}}\).
આ અંતરાલમાં, \(-\frac{1}{\sqrt{2}} < \sin\theta < \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\implies -\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{4}\)
\(\implies -\frac{\pi}{2} < 2\theta < \frac{\pi}{2}\)
આ અંતરાલ માટે, \(\sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta\)
તેથી, \(y = 2\theta = 2\sin^{-1}x\)
\(\implies \frac{d y}{d x}=\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)
In simple words: પહેલા \(x = \sin\theta\) મૂકીને સમીકરણને સરળ બનાવો. પછી \(x\) ના આપેલા અંતરાલ માટે \(2\theta\) નો વિસ્તાર શોધો. જો \(2\theta\) નો વિસ્તાર \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) માં હોય, તો \(\sin^{-1}(\sin 2\theta)\) સીધો \(2\theta\) બને છે. છેલ્લે, \(y\) નું x ને આધારે વિકલન કરો.

Exam Tip: \(2\sin\theta \cos\theta = \sin 2\theta\) જેવા ત્રિકોણમિતિના સૂત્રો અને \(\sin^{-1}(\sin x)\) ના મુખ્ય મૂલ્ય શાખાના નિયમો યાદ રાખવા આવા દાખલા ઉકેલવા માટે અગત્યના છે.

Question 15. y = sec\(^{-1}\)\left(\frac{1}{2 x^2-1}\right), 0 < x < \frac{1}{\sqrt{2}}
Answer: આપણી પાસે છે \(y = \sec^{-1}\left(\frac{1}{2 x^2-1}\right)\).
ધારો કે \(x = \cos \theta\), તો \( \theta = \cos^{-1}x \).
તેથી, \(y = \sec^{-1}\left(\frac{1}{2\cos^2\theta-1}\right)\)
\(\implies y = \sec^{-1}\left(\frac{1}{\cos 2\theta}\right)\)
\(\implies y = \sec^{-1}(\sec 2\theta)\)
આપેલ શરત છે \(0 < x < \frac{1}{\sqrt{2}}\).
આ અંતરાલમાં, \(0 < \cos\theta < \frac{1}{\sqrt{2}}\) (કારણ કે \(x = \cos\theta\))
\(\implies \frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2}\) (કારણ કે પ્રથમ ચરણમાં \(\cos\) વિધેય ઘટતું જાય છે.)
\(\implies \frac{\pi}{2} < 2\theta < \pi\)
આ અંતરાલ માટે, \(\sec^{-1}(\sec 2\theta)\) ના નિયમ મુજબ (જો \(\frac{\pi}{2} < 2\theta < \pi\), તો \(\sec^{-1}(\sec 2\theta) = 2\theta\))
તેથી, \(y = 2\theta = 2\cos^{-1}x\)
\(\implies \frac{d y}{d x}=\frac{-2}{\sqrt{1-x^2}}\)
In simple words: પહેલા \(x = \cos\theta\) મૂકીને સમીકરણને સરળ બનાવો. પછી \(x\) ના આપેલા અંતરાલ માટે \(2\theta\) નો વિસ્તાર શોધો. જો \(2\theta\) નો વિસ્તાર \([0, \pi]\) અને \(2\theta \neq \frac{\pi}{2}\) હોય, તો \(\sec^{-1}(\sec 2\theta)\) સીધો \(2\theta\) બને છે. છેલ્લે, \(y\) નું x ને આધારે વિકલન કરો.

Exam Tip: \(\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1\) જેવા ત્રિકોણમિતિના સૂત્રો અને \(\sec^{-1}(\sec x)\) ના મુખ્ય મૂલ્ય શાખાને યાદ રાખવું ગણતરીમાં મદદરૂપ થાય છે.