GSEB Class 12 Maths Solutions Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Exercise 5.2

પ્રશ્ન 1 થી 8 માં આપેલ વિધેયોના xને સાપેક્ષ વિકલિત શોષો :

Question 1. \( \sin(x^2 + 5) \)
Answer: ધારો કે \( y = \sin(x^2 + 5) \).
આપણે \( u = x^2 + 5 \) ધારીએ છીએ.
આથી, \( y = \sin u \) થશે.
હવે, \( u \) પ્રત્યે \( y \) નું વિકલન કરતાં:
\( \frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(\sin u) \)
\( = \cos u \)
અને \( x \) પ્રત્યે \( u \) નું વિકલન કરતાં:
\( \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 + 5) \)
\( = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(5) \)
\( = 2x + 0 \)
\( = 2x \)
હવે, સાંકળના નિયમ (Chain Rule) મુજબ, આપણને મળે છે:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \)
\( = \cos u \cdot 2x \)
\( u = x^2 + 5 \) ની કિંમત પાછી મૂકતા:
\( = \cos(x^2 + 5) \cdot 2x \)
\( = 2x \cos(x^2 + 5) \)
In simple words: પહેલાં, ફંક્શનને નાના ભાગોમાં તોડીએ. પછી, દરેક ભાગને અલગથી વિકલિત કરીએ. છેલ્લે, આ બધા વિકલિતોનો ગુણાકાર કરીએ.

Exam Tip: જ્યારે સાંકળનો નિયમ (Chain Rule) વાપરતા હો, ત્યારે \( u \) અને \( v \) જેવા મધ્યવર્તી ચલોનો સાચો ઉપયોગ કરો અને છેવટે મૂળ ચલના સંદર્ભમાં જવાબ રજૂ કરો.

Question 2. \( \cos(\sin x) \)
Answer: ધારો કે \( y = \cos(\sin x) \).
આપણે \( u = \sin x \) ધારીએ છીએ.
આથી, \( y = \cos u \) થશે.
હવે, \( u \) પ્રત્યે \( y \) નું વિકલન કરતાં:
\( \frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(\cos u) \)
\( = -\sin u \)
અને \( x \) પ્રત્યે \( u \) નું વિકલન કરતાં:
\( \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin x) \)
\( = \cos x \)
હવે, સાંકળના નિયમ (Chain Rule) મુજબ, આપણને મળે છે:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \)
\( = -\sin u \cdot \cos x \)
\( u = \sin x \) ની કિંમત પાછી મૂકતા:
\( = -\sin(\sin x) \cdot \cos x \)
In simple words: આ દાખલામાં, બહારનું ફંક્શન `cos` છે અને અંદરનું ફંક્શન `sin x` છે. પહેલાં બહારના ફંક્શનનું વિકલિત કરો અને પછી અંદરના ફંક્શનના વિકલિતથી ગુણાકાર કરો.

Exam Tip: ત્રિકોણમિતિના વિધેયોના વિકલિતના સૂત્રો યાદ રાખો અને સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતી વખતે સાચા ચલને અલગ કરો.

Question 3. \( \sin(ax + b) \)
Answer: ધારો કે \( y = \sin(ax + b) \).
આપણે \( u = ax + b \) ધારીએ છીએ.
આથી, \( y = \sin u \) થશે.
હવે, \( u \) પ્રત્યે \( y \) નું વિકલન કરતાં:
\( \frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(\sin u) \)
\( = \cos u \)
અને \( x \) પ્રત્યે \( u \) નું વિકલન કરતાં:
\( \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(ax + b) \)
\( = \frac{d}{dx}(ax) + \frac{d}{dx}(b) \)
\( = a \frac{d}{dx}(x) + 0 \)
\( = a \cdot 1 + 0 \)
\( = a \)
હવે, સાંકળના નિયમ (Chain Rule) મુજબ, આપણને મળે છે:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \)
\( = \cos u \cdot a \)
\( u = ax + b \) ની કિંમત પાછી મૂકતા:
\( = a \cos(ax + b) \)
In simple words: અહીં `ax + b` એ `sin` ફંક્શનની અંદરનો ભાગ છે. પહેલાં `sin` નું વિકલિત `cos` કરો અને પછી `ax + b` નું વિકલિત `a` થી ગુણાકાર કરો.

Exam Tip: જ્યારે બહુપદી ફંક્શનની અંદર હોય, ત્યારે તેના વિકલનનો ગુણાકાર કરવાનું ભૂલશો નહીં.

Question 4. \( \sec(\tan\sqrt{x}) \)
Answer: ધારો કે \( y = \sec(\tan\sqrt{x}) \).
આમાં આપણે ત્રણ ફંક્શનની સાંકળ બનાવીએ છીએ.
ધારો કે \( u = \sqrt{x} \).
પછી \( v = \tan u = \tan\sqrt{x} \).
અને \( y = \sec v \).
હવે, દરેક ભાગનું વિકલન અલગથી કરીએ:
\( v \) પ્રત્યે \( y \) નું વિકલન કરતાં:
\( \frac{dy}{dv} = \frac{d}{dv}(\sec v) \)
\( = \sec v \tan v \)
\( u \) પ્રત્યે \( v \) નું વિકલન કરતાં:
\( \frac{dv}{du} = \frac{d}{du}(\tan u) \)
\( = \sec^2 u \)
અને \( x \) પ્રત્યે \( u \) નું વિકલન કરતાં:
\( \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{d}{dx}(x^{\frac{1}{2}}) \)
\( = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \)
\( = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
હવે, સાંકળના નિયમ (Chain Rule) મુજબ, આપણને મળે છે:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dv} \cdot \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dx} \)
\( = (\sec v \tan v) \cdot (\sec^2 u) \cdot \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right) \)
\( v = \tan\sqrt{x} \) અને \( u = \sqrt{x} \) ની કિંમત પાછી મૂકતા:
\( = \sec(\tan\sqrt{x}) \tan(\tan\sqrt{x}) \cdot \sec^2(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
In simple words: જ્યારે એક ફંક્શનની અંદર બીજું અને તેની અંદર ત્રીજું ફંક્શન હોય, ત્યારે દરેક સ્તરનું વિકલિત કરો. પહેલાં સૌથી બહારના, પછી મધ્યના અને છેલ્લે સૌથી અંદરના ફંક્શનનું વિકલિત કરીને બધાનો ગુણાકાર કરો.

Exam Tip: જટિલ વિધેયોમાં સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતી વખતે, દરેક સ્તરને ઓળખો અને યોગ્ય ક્રમમાં વિકલિત કરો.

Question 5. \( \frac{\sin(ax+b)}{\cos(cx+d)} \)
Answer: ધારો કે \( y = \frac{\sin(ax+b)}{\cos(cx+d)} \).
અહીં આપણે ભાગાકારના નિયમ (Quotient Rule) નો ઉપયોગ કરીશું.
ધારો કે \( u = \sin(ax+b) \) અને \( v = \cos(cx+d) \).
પહેલાં \( \frac{du}{dx} \) શોધીએ:
\( \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin(ax+b)) \)
\( = \cos(ax+b) \cdot \frac{d}{dx}(ax+b) \)
\( = \cos(ax+b) \cdot (a \cdot 1 + 0) \)
\( = a \cos(ax+b) \).....(i)
હવે \( \frac{dv}{dx} \) શોધીએ:
\( \frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(\cos(cx+d)) \)
\( = -\sin(cx+d) \cdot \frac{d}{dx}(cx+d) \)
\( = -\sin(cx+d) \cdot (c \cdot 1 + 0) \)
\( = -c \sin(cx+d) \).....(ii)
ભાગાકારના નિયમ મુજબ, \( \frac{dy}{dx} = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2} \).
(i) અને (ii) ના પરિણામો અને \( u \) તથા \( v \) ની કિંમતો મૂકતા:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\cos(cx+d) \cdot a \cos(ax+b) - \sin(ax+b) \cdot (-c \sin(cx+d))}{(\cos(cx+d))^2} \)
\( = \frac{a \cos(ax+b)\cos(cx+d) + c \sin(ax+b)\sin(cx+d)}{\cos^2(cx+d)} \)
આને અલગ અલગ પદોમાં વિભાજીત કરતાં:
\( = \frac{a \cos(ax+b)\cos(cx+d)}{\cos^2(cx+d)} + \frac{c \sin(ax+b)\sin(cx+d)}{\cos^2(cx+d)} \)
\( = a \cos(ax+b) \sec(cx+d) + c \sin(ax+b) \tan(cx+d) \sec(cx+d) \)
In simple words: જ્યારે એક ફંક્શન બીજા ફંક્શનના ભાગાકારમાં હોય, ત્યારે આપણે ભાગાકારનો નિયમ વાપરીએ છીએ. આ નિયમમાં, છેદમાં રહેલા ફંક્શનનો વર્ગ કરીએ છીએ. ઉપર, છેદનું ફંક્શન ગુણ્યા અંશનું વિકલિત, ઓછા અંશનું ફંક્શન ગુણ્યા છેદનું વિકલિત કરીએ છીએ.

Exam Tip: ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતી વખતે, સૂત્રમાં સંકેતો (પ્લસ/માઈનસ) અને ક્રમ વિશે સાવચેત રહો.

Question 6. \( \cos(x^3) \cdot \sin^2(x^5) \)
Answer: ધારો કે \( y = \cos(x^3) \cdot \sin^2(x^5) \).
અહીં આપણે ગુણાકારના નિયમ (Product Rule) નો ઉપયોગ કરીશું.
ગુણાકારના નિયમ મુજબ, \( \frac{dy}{dx} = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \).
અહીં \( f(x) = \cos(x^3) \) અને \( g(x) = \sin^2(x^5) \).
પ્રથમ, \( f'(x) \) શોધીએ:
\( f'(x) = \frac{d}{dx}(\cos(x^3)) = -\sin(x^3) \cdot \frac{d}{dx}(x^3) = -\sin(x^3) \cdot 3x^2 \)
બીજું, \( g'(x) \) શોધીએ:
\( g'(x) = \frac{d}{dx}(\sin^2(x^5)) = 2\sin(x^5) \cdot \frac{d}{dx}(\sin(x^5)) \)
\( = 2\sin(x^5) \cdot \cos(x^5) \cdot \frac{d}{dx}(x^5) \)
\( = 2\sin(x^5) \cdot \cos(x^5) \cdot 5x^4 \)
\( = 10x^4 \sin(x^5) \cos(x^5) \)
હવે ગુણાકારના નિયમમાં કિંમતો મૂકીએ:
\( \frac{dy}{dx} = (-\sin(x^3) \cdot 3x^2) \cdot \sin^2(x^5) + \cos(x^3) \cdot (10x^4 \sin(x^5) \cos(x^5)) \)
\( = -3x^2 \sin^2(x^5) \sin(x^3) + 10x^4 \sin(x^5) \cos(x^5) \cos(x^3) \)
આ પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
\( = 10x^4 \cos(x^3) \sin(x^5) \cos(x^5) - 3x^2 \sin^2(x^5) \sin(x^3) \)
In simple words: જ્યારે બે ફંક્શનનો ગુણાકાર હોય, ત્યારે પહેલા ફંક્શનનું વિકલિત કરીને બીજા ફંક્શનથી ગુણો. પછી બીજા ફંક્શનનું વિકલિત કરીને પહેલા ફંક્શનથી ગુણો અને બંનેનો સરવાળો કરો.

Exam Tip: ગુણાકારના નિયમ અને સાંકળના નિયમનો એકસાથે ઉપયોગ કરતી વખતે, દરેક પદનું વિકલન કાળજીપૂર્વક કરો.

Question 7. \( 2\sqrt{\cot(x^2)} \)
Answer: ધારો કે \( y = 2\sqrt{\cot(x^2)} \).
આને \( y = 2(\cot(x^2))^{\frac{1}{2}} \) તરીકે પણ લખી શકાય.
હવે \( x \) પ્રત્યે \( y \) નું વિકલન કરતાં:
\( \frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{2} (\cot(x^2))^{\frac{1}{2}-1} \cdot \frac{d}{dx}(\cot(x^2)) \)
\( = (\cot(x^2))^{-\frac{1}{2}} \cdot (-\operatorname{cosec}^2(x^2)) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) \)
\( = \frac{1}{\sqrt{\cot(x^2)}} \cdot (-\operatorname{cosec}^2(x^2)) \cdot 2x \)
\( = \frac{-2x \operatorname{cosec}^2(x^2)}{\sqrt{\cot(x^2)}} \)
આને \( \sin \) અને \( \cos \) માં બદલતા:
\( = \frac{-2x \cdot \frac{1}{\sin^2(x^2)}}{\sqrt{\frac{\cos(x^2)}{\sin(x^2)}}} \)
\( = \frac{-2x}{\sin^2(x^2)} \cdot \frac{\sqrt{\sin(x^2)}}{\sqrt{\cos(x^2)}} \)
\( = \frac{-2x}{\sin^{\frac{3}{2}}(x^2) \sqrt{\cos(x^2)}} \)
આને વધુ સરળીકૃત કરતાં:
\( = \frac{-2x}{\sin(x^2)\sqrt{\sin(x^2)\cos(x^2)}} \)
કારણ કે \( \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta \), તેથી \( \sin\theta\cos\theta = \frac{\sin(2\theta)}{2} \).
\( = \frac{-2x}{\sin(x^2)\sqrt{\frac{\sin(2x^2)}{2}}} \)
\( = \frac{-2x \sqrt{2}}{\sin(x^2)\sqrt{\sin(2x^2)}} \)
In simple words: પહેલાં `sqrt` (વર્ગમૂળ) નું વિકલિત કરો. પછી `cot` નું અને છેલ્લે `x^2` નું વિકલિત કરીને બધાનો ગુણાકાર કરો.

Exam Tip: જટિલ ફંક્શનના વિકલન માટે સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતી વખતે, દરેક ઘટક ફંક્શનનું વિકલન યોગ્ય રીતે કરવાનું ધ્યાન રાખો.

Question 8. \( \cos(\sqrt{x}) \)
Answer: ધારો કે \( y = \cos(\sqrt{x}) \).
અહીં આપણે સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું.
ધારો કે \( u = \sqrt{x} \).
આથી, \( y = \cos u \) થશે.
હવે, \( u \) પ્રત્યે \( y \) નું વિકલન કરતાં:
\( \frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(\cos u) \)
\( = -\sin u \)
અને \( x \) પ્રત્યે \( u \) નું વિકલન કરતાં:
\( \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{d}{dx}(x^{\frac{1}{2}}) \)
\( = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \)
\( = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
હવે, સાંકળના નિયમ (Chain Rule) મુજબ, આપણને મળે છે:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \)
\( = -\sin u \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
\( u = \sqrt{x} \) ની કિંમત પાછી મૂકતા:
\( = -\sin(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
\( = \frac{-\sin(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} \)
In simple words: પહેલાં બહારના `cos` ફંક્શનનું વિકલિત કરો, જે `sin` છે. પછી અંદરના `sqrt(x)` ફંક્શનનું વિકલિત કરો અને આ બંને વિકલિતનો ગુણાકાર કરો.

Exam Tip: મૂળ અને વર્ગમૂળ વિધેયોના વિકલન સૂત્રોને યાદ રાખો.

Question 9. સાબિત કરો કે \( f(x) = |x - 1| \), \( x \in \mathbb{R} \) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય \( x = 1 \) આગળ વિકલનીય નથી.
Answer: આપેલ વિધેય \( f(x) = |x - 1| \) છે.
\( x = 1 \) આગળ, \( f(1) = |1 - 1| = 0 \).
ડાબી બાજુનું વિકલિત (Left-hand derivative) \( x = 1 \) આગળ:
\( Lf'(1) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0^-} \frac{|(1+h) - 1| - 0}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h} \)
જેમ કે \( h \to 0^- \), \( h \) ઋણ છે, તેથી \( |h| = -h \).
\( = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0^-} (-1) \)
\( = -1 \)
જમણી બાજુનું વિકલિત (Right-hand derivative) \( x = 1 \) આગળ:
\( Rf'(1) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0^+} \frac{|(1+h) - 1| - 0}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h} \)
જેમ કે \( h \to 0^+ \), \( h \) ધન છે, તેથી \( |h| = h \).
\( = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0^+} (1) \)
\( = 1 \)
અહીં, \( Lf'(1) = -1 \) અને \( Rf'(1) = 1 \).
કારણ કે \( Lf'(1) \neq Rf'(1) \), તેથી વિધેય \( f(x) = |x - 1| \) એ \( x = 1 \) આગળ વિકલનીય નથી.
In simple words: કોઈ વિધેય કોઈ બિંદુએ વિકલનીય છે કે નહીં તે તપાસવા માટે, આપણે તેની ડાબી અને જમણી બાજુના વિકલિતો શોધીએ છીએ. જો આ બંને વિકલિતો સમાન ન હોય, તો વિધેય તે બિંદુએ વિકલનીય નથી.

Exam Tip: માનાંક વિધેય (Modulus function) સામાન્ય રીતે તે બિંદુઓ પર વિકલનીય હોતા નથી જ્યાં તેનો આર્ગ્યુમેન્ટ શૂન્ય બને છે; આ મુદ્દાને ચકાસવા માટે ડાબી અને જમણી બાજુના વિકલિતોનો ઉપયોગ કરવો શ્રેષ્ઠ છે.

Question 10. સાબિત કરો કે મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય, \( f(x) = [x] \), \( 0 \le x < 3 \) માટે, \( x = 1 \) અને \( x = 2 \) આગળ વિકલનીય નથી.
Answer: આપેલ વિધેય \( f(x) = [x] \) છે, જ્યાં \( 0 \le x < 3 \).
આ વિધેયને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે:
\( f(x) = \begin{cases} 0, & 0 \le x < 1 \\ 1, & 1 \le x < 2 \\ 2, & 2 \le x < 3 \end{cases} \)

\( x = 1 \) આગળ વિકલનીયતા માટે:
\( f(1) = [1] = 1 \).
જમણી બાજુનું વિકલિત (Right-hand derivative):
\( Rf'(1) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} \)
જેમ કે \( h \to 0^+ \), \( 1+h \) એ 1 કરતાં થોડું મોટું છે, તેથી \( [1+h] = 1 \).
\( = \lim_{h \to 0^+} \frac{1 - 1}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{0}{h} = 0 \)
ડાબી બાજુનું વિકલિત (Left-hand derivative):
\( Lf'(1) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} \)
જેમ કે \( h \to 0^- \), \( 1+h \) એ 1 કરતાં થોડું ઓછું છે, તેથી \( [1+h] = 0 \).
\( = \lim_{h \to 0^-} \frac{0 - 1}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-1}{h} = +\infty \)
કારણ કે \( Rf'(1) \neq Lf'(1) \) (0 ≠ \( +\infty \)), તેથી વિધેય \( f(x) = [x] \) એ \( x = 1 \) આગળ વિકલનીય નથી.

\( x = 2 \) આગળ વિકલનીયતા માટે:
\( f(2) = [2] = 2 \).
જમણી બાજુનું વિકલિત (Right-hand derivative):
\( Rf'(2) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} \)
જેમ કે \( h \to 0^+ \), \( 2+h \) એ 2 કરતાં થોડું મોટું છે, તેથી \( [2+h] = 2 \).
\( = \lim_{h \to 0^+} \frac{2 - 2}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{0}{h} = 0 \)
ડાબી બાજુનું વિકલિત (Left-hand derivative):
\( Lf'(2) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} \)
જેમ કે \( h \to 0^- \), \( 2+h \) એ 2 કરતાં થોડું ઓછું છે, તેથી \( [2+h] = 1 \).
\( = \lim_{h \to 0^-} \frac{1 - 2}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-1}{h} = +\infty \)
કારણ કે \( Rf'(2) \neq Lf'(2) \) (0 ≠ \( +\infty \)), તેથી વિધેય \( f(x) = [x] \) એ \( x = 2 \) આગળ વિકલનીય નથી.
In simple words: મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય એટલે કે `[x]` પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ પર વિકલનીય હોતું નથી. કારણ કે આ બિંદુઓ પર વિધેયનો ગ્રાફ તૂટી જાય છે અથવા "જમ્પ" કરે છે, તેથી તે બિંદુઓ પર સ્પર્શક દોરી શકાતો નથી.

Exam Tip: મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય (Greatest Integer Function) કોઈપણ પૂર્ણાંક બિંદુઓ પર વિકલનીય હોતું નથી કારણ કે તે બિંદુઓ પર સતત હોતું નથી. વિકલનીયતા માટે સાતત્ય એ એક પૂર્વશરત છે.