GSEB Class 12 Maths Solutions Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Exercise 5.1

Question 1. સાબિત કરો કે વિધેય \( f(x) = 5x – 3 \) એ \( x = 0 \), \( x = –3 \) અને \( x = 5 \) આગળ સતત છે.
Answer: વિધેય \( f(x) = 5x – 3 \) આપેલું છે.
**\( x = 0 \) માટે:**
\( f(0) = 5(0) - 3 = -3 \)
\( \lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} (5x - 3) = 5(0) - 3 = -3 \)
\( \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} (5x - 3) = 5(0) - 3 = -3 \)
આમ, \( \lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = f(0) = -3 \).
તેથી, વિધેય \( f(x) \) એ \( x = 0 \) આગળ સતત છે.
**\( x = –3 \) માટે:**
\( f(-3) = 5(-3) - 3 = -15 - 3 = -18 \)
\( \lim_{x \to -3^{-}} f(x) = \lim_{x \to -3^{-}} (5x - 3) = 5(-3) - 3 = -18 \)
\( \lim_{x \to -3^{+}} f(x) = \lim_{x \to -3^{+}} (5x - 3) = 5(-3) - 3 = -18 \)
આમ, \( \lim_{x \to -3^{-}} f(x) = \lim_{x \to -3^{+}} f(x) = f(-3) = -18 \).
તેથી, વિધેય \( f(x) \) એ \( x = –3 \) આગળ સતત છે.
**\( x = 5 \) માટે:**
\( f(5) = 5(5) - 3 = 25 - 3 = 22 \)
\( \lim_{x \to 5^{-}} f(x) = \lim_{x \to 5^{-}} (5x - 3) = 5(5) - 3 = 22 \)
\( \lim_{x \to 5^{+}} f(x) = \lim_{x \to 5^{+}} (5x - 3) = 5(5) - 3 = 22 \)
આમ, \( \lim_{x \to 5^{-}} f(x) = \lim_{x \to 5^{+}} f(x) = f(5) = 22 \).
તેથી, વિધેય \( f(x) \) એ \( x = 5 \) આગળ સતત છે.
In simple words: કોઈ કાર્ય સતત છે કે નહીં તે તપાસવા માટે, આપણે એક ચોક્કસ બિંદુ પર કાર્યનું મૂલ્ય અને તે બિંદુની આસપાસના ડાબી અને જમણી બાજુની મર્યાદાઓ શોધીએ છીએ. જો આ બધા મૂલ્યો સમાન હોય, તો કાર્ય તે બિંદુ પર સતત ગણાય છે.

Exam Tip: Continuity problems require checking if the function's value at a point matches its left-hand and right-hand limits at that same point. Show all three parts clearly for each point of interest.

Question 2. વિધેય \( f(x) = 2x² – 1 \) નું \( x = 3 \) આગળ સાતત્ય ચકાસો.
Answer: વિધેય \( f(x) = 2x^2 – 1 \) આપેલું છે.
**\( x = 3 \) આગળ:**
\( f(3) = 2(3)^2 – 1 = 2(9) - 1 = 18 - 1 = 17 \)
જમણી બાજુની લિમિટ (\( x \to 3^{+} \)):
ધારો કે \( x = 3 + h \), જ્યાં \( h \to 0 \) જ્યારે \( x \to 3^{+} \).
\( \lim_{x \to 3^{+}} f(x) = \lim_{h \to 0} 2(3 + h)^2 – 1 \)
\( = \lim_{h \to 0} 2(9 + 6h + h^2) – 1 \)
\( = \lim_{h \to 0} (18 + 12h + 2h^2 – 1) \)
\( = \lim_{h \to 0} (17 + 12h + 2h^2) \)
\( = 17 + 12(0) + 2(0)^2 = 17 \)
ડાબી બાજુની લિમિટ (\( x \to 3^{-} \)):
ધારો કે \( x = 3 - h \), જ્યાં \( h \to 0 \) જ્યારે \( x \to 3^{-} \).
\( \lim_{x \to 3^{-}} f(x) = \lim_{h \to 0} 2(3 - h)^2 – 1 \)
\( = \lim_{h \to 0} 2(9 - 6h + h^2) – 1 \)
\( = \lim_{h \to 0} (18 - 12h + 2h^2 – 1) \)
\( = \lim_{h \to 0} (17 - 12h + 2h^2) \)
\( = 17 - 12(0) + 2(0)^2 = 17 \)
આમ, \( \lim_{x \to 3^{+}} f(x) = \lim_{x \to 3^{-}} f(x) = f(3) = 17 \).
તેથી, વિધેય \( f(x) \) એ \( x = 3 \) આગળ સતત છે.
In simple words: કોઈ ચોક્કસ બિંદુ પર વિધેયની સાતત્યતા ચકાસવા માટે, આપણે તે બિંદુએ વિધેયનું મૂલ્ય શોધીએ છીએ. પછી, આપણે તે બિંદુ તરફ ડાબી અને જમણી બંને બાજુથી આવતી સીમાઓનું મૂલ્ય ગણીએ છીએ. જો આ ત્રણેય મૂલ્યો સમાન હોય, તો વિધેય તે બિંદુ પર સતત છે.

Exam Tip: When checking continuity at a point, always evaluate the function at that point, then calculate both the left-hand limit and the right-hand limit, showing all substitution steps clearly.

Question 3. નીચે આપેલ વિધેયોનાં સાતત્ય ચકાસો:
(a) \( f(x) = x – 5 \)
(b) \( f(x) = \frac{1}{x-5}, x \ne 5 \)
(c) \( f(x) = \frac{1}{x-5}, x \ne -5 \)
(d) \( f(x) = |x – 5| \)
Answer:
(a) \( f(x) = x – 5 \)
ધારો કે \( a \) એ કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા (\( a \in R \)) છે.
\( f(a) = a - 5 \)
જમણી બાજુની લિમિટ (\( x \to a^{+} \)):
ધારો કે \( x = a + h \), જ્યાં \( h \to 0 \) જ્યારે \( x \to a^{+} \).
\( \lim_{x \to a^{+}} f(x) = \lim_{h \to 0} (a + h - 5) = a - 5 \)
ડાબી બાજુની લિમિટ (\( x \to a^{-} \)):
ધારો કે \( x = a - h \), જ્યાં \( h \to 0 \) જ્યારે \( x \to a^{-} \).
\( \lim_{x \to a^{-}} f(x) = \lim_{h \to 0} (a - h - 5) = a - 5 \)
આમ, \( \lim_{x \to a^{+}} f(x) = \lim_{x \to a^{-}} f(x) = f(a) \).
તેથી, વિધેય \( f(x) = x - 5 \) એ દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા (\( x \in R \)) માટે સતત છે.
નોંધ: \( f(x) = x - 5 \) એ બહુપદી વિધેય હોવાથી તે \( \forall x \in R \) માટે સતત છે.
In simple words: એક બહુપદીય વિધેય હંમેશા સતત હોય છે, એટલે કે તેના ગ્રાફમાં કોઈ બ્રેક્સ કે જમ્પ્સ હોતા નથી. તેથી, \( f(x) = x - 5 \) જે એક સરળ રેખા બનાવે છે, તે બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે સતત છે.
(b) \( f(x) = \frac{1}{x-5}, x \ne 5 \)
ધારો કે \( a \) એ કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા છે, જ્યાં \( a \ne 5 \).
\( f(a) = \frac{1}{a-5} \)
જમણી બાજુની લિમિટ (\( x \to a^{+} \)):
ધારો કે \( x = a + h \), જ્યાં \( h \to 0 \) જ્યારે \( x \to a^{+} \).
\( \lim_{x \to a^{+}} f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{(a + h) - 5} = \frac{1}{a-5} \)
ડાબી બાજુની લિમિટ (\( x \to a^{-} \)):
ધારો કે \( x = a - h \), જ્યાં \( h \to 0 \) જ્યારે \( x \to a^{-} \).
\( \lim_{x \to a^{-}} f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{(a - h) - 5} = \frac{1}{a-5} \)
આમ, \( \lim_{x \to a^{+}} f(x) = \lim_{x \to a^{-}} f(x) = f(a) \).
તેથી, વિધેય \( f(x) \) એ \( x = 5 \) સિવાયના દરેક બિંદુએ સતત છે.
\( x = 5 \) માટે:
\( \lim_{x \to 5^{+}} f(x) = \lim_{x \to 5^{+}} \frac{1}{x-5} = +\infty \)
\( \lim_{x \to 5^{-}} f(x) = \lim_{x \to 5^{-}} \frac{1}{x-5} = -\infty \)
\( +\infty \) અને \( -\infty \) એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ નથી.
તેથી, \( x = 5 \) આગળ જમણી બાજુનું અને ડાબી બાજુનું લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.
આમ, વિધેય \( f \) એ \( x = 5 \) આગળ અસતત છે.
In simple words: જ્યારે વિધેયમાં છેદ શૂન્ય બને છે, ત્યારે તે બિંદુએ વિધેયની કિંમત વ્યાખ્યાયિત થતી નથી. \( x = 5 \) પર, છેદ શૂન્ય બને છે, તેથી વિધેય તે બિંદુએ અસતત છે. અન્યથા, તે સતત છે.
(c) \( f(x) = \frac{1}{x-5}, x \ne -5 \)
*(Note: The question given for (c) is \( f(x) = \frac{1}{x-5}, x \ne -5 \), but the solution provided is for \( f(x) = \frac{x^2-25}{x-5} \). Following the solution as provided in the source PDF.)*
\( f(x) = \frac{x^2-25}{x-5} \)
આપણે આ વિધેયને આમ લખી શકીએ:
\( f(x) = \frac{(x-5)(x+5)}{x-5} \)
જ્યાં \( x \ne 5 \).
તેથી, \( f(x) = x + 5 \) જો \( x \ne 5 \).
હવે, \( x = -5 \) આગળ સાતત્ય ચકાસીએ.
\( f(-5) = -5 + 5 = 0 \)
\( \lim_{x \to -5} f(x) = \lim_{x \to -5} (x + 5) = -5 + 5 = 0 \)
આમ, \( \lim_{x \to -5} f(x) = f(-5) \).
તેથી, વિધેય \( f(x) \) એ \( x = -5 \) આગળ સતત છે.
કારણ કે \( f(x) = x+5 \) એ બહુપદીય વિધેય છે, તે \( x=5 \) સિવાયની તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે સતત છે.
જોકે, પ્રશ્નમાં \( x \ne -5 \) આપેલ છે, તો પણ તે \( x=5 \) પર વ્યાખ્યાયિત નથી.
In simple words: આપેલ વિધેયને સરળ બનાવતા તે \( f(x) = x+5 \) બને છે, પરંતુ \( x=5 \) પર તે વ્યાખ્યાયિત નથી. તેથી, \( x=5 \) સિવાય, આ વિધેય સતત છે કારણ કે તે એક સીધી રેખા છે.
(d) \( f(x) = |x – 5| \)
ધારો કે \( a \) એ કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા (\( a \in R \)) છે.
\( f(a) = |a - 5| \)
જમણી બાજુની લિમિટ (\( x \to a^{+} \)):
ધારો કે \( x = a + h \), જ્યાં \( h \to 0 \) જ્યારે \( x \to a^{+} \).
\( \lim_{x \to a^{+}} f(x) = \lim_{h \to 0} |(a + h) - 5| = |a - 5| \)
ડાબી બાજુની લિમિટ (\( x \to a^{-} \)):
ધારો કે \( x = a - h \), જ્યાં \( h \to 0 \) જ્યારે \( x \to a^{-} \).
\( \lim_{x \to a^{-}} f(x) = \lim_{h \to 0} |(a - h) - 5| = |a - 5| \)
આમ, \( \lim_{x \to a^{+}} f(x) = \lim_{x \to a^{-}} f(x) = f(a) \).
તેથી, વિધેય \( f(x) = |x - 5| \) એ સતત વિધેય છે.
નોંધ: \( x - 5 \) એ બહુપદીય વિધેય હોવાથી સતત છે.
તેથી, \( |x - 5| \) પણ સતત વિધેય થાય.
In simple words: નિરપેક્ષ મૂલ્ય વિધેય હંમેશા સતત હોય છે કારણ કે તે ગ્રાફમાં ક્યારેય તૂટતું નથી અથવા કૂદતું નથી. \( |x - 5| \) એ \( x - 5 \) નું નિરપેક્ષ મૂલ્ય છે, જે પોતે એક સતત રેખા છે, તેથી \( |x - 5| \) પણ સતત રહેશે.

Exam Tip: For piecewise functions, check continuity at the 'break points' where the function definition changes. For absolute value functions, remember that they are always continuous because the underlying polynomial is continuous.

Question 4. સાબિત કરો કે ધનપૂર્ણાંક \( n \) માટે વ્યાખ્યાયિત વિધેય \( f(x) = x^n \) સતત છે.
Answer: વિધેય \( f(x) = x^n \) છે, જ્યાં \( n \) એ ધન પૂર્ણાંક છે.
ધારો કે \( c \) એ કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
\( f(c) = c^n \)
જમણી બાજુની લિમિટ (\( x \to c^{+} \)):
ધારો કે \( x = c + h \), જ્યાં \( h \to 0 \) જ્યારે \( x \to c^{+} \).
\( \lim_{x \to c^{+}} f(x) = \lim_{h \to 0} (c + h)^n \)
\( = c^n \) (કારણ કે \( (c+h)^n \) એ \( h \) માં બહુપદી છે અને \( h=0 \) મૂકવાથી \( c^n \) મળે છે)
ડાબી બાજુની લિમિટ (\( x \to c^{-} \)):
ધારો કે \( x = c - h \), જ્યાં \( h \to 0 \) જ્યારે \( x \to c^{-} \).
\( \lim_{x \to c^{-}} f(x) = \lim_{h \to 0} (c - h)^n \)
\( = c^n \)
આમ, \( \lim_{x \to c^{+}} f(x) = \lim_{x \to c^{-}} f(x) = f(c) = c^n \).
તેથી, વિધેય \( f(x) = x^n \) એ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા \( c \) માટે સતત છે.
In simple words: જો કોઈ વિધેય \( x \) ની કોઈ શક્તિ હોય, જેમ કે \( x^2 \) કે \( x^3 \), તો તે હંમેશા સતત હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે તમે તેના ગ્રાફને કાગળ પરથી પેન્સિલ ઉઠાવ્યા વિના દોરી શકો છો.

Exam Tip: To prove the continuity of \( f(x) = x^n \), consider an arbitrary real number \( c \). Show that the function value \( f(c) \) equals both the left-hand limit and the right-hand limit as \( x \) approaches \( c \).

Question 5. ઇઝ ધ ફંક્શન \( f \) ડિફાઈન્ડ એઝ \( f(x) = \begin{cases} x, & x \le 1 \\ 5, & x > 1 \end{cases} \) કંટીન્યુઅસ એટ \( x = 0 \)? ઇઝ ઇટ કંટીન્યુઅસ એટ \( x = 1 \)? ઇઝ ઇટ કંટીન્યુઅસ એટ \( x = 2 \)?
Answer: વિધેય \( f(x) = \begin{cases} x, & x \le 1 \\ 5, & x > 1 \end{cases} \) આપેલું છે.
**\( x = 0 \) માટે:**
આપણે \( x \le 1 \) માટે \( f(x) = x \) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( f(0) = 0 \)
\( \lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} x = 0 \)
\( \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} x = 0 \)
આમ, \( \lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = f(0) = 0 \).
તેથી, વિધેય \( f(x) \) એ \( x = 0 \) આગળ સતત છે.
**\( x = 1 \) માટે:**
આપણે \( x \le 1 \) માટે \( f(x) = x \) અને \( x > 1 \) માટે \( f(x) = 5 \) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( f(1) = 1 \) (કારણ કે \( x \le 1 \) શાખામાં \( x=1 \) નો સમાવેશ થાય છે)
ડાબી બાજુની લિમિટ (\( x \to 1^{-} \)):
\( \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} x = 1 \)
જમણી બાજુની લિમિટ (\( x \to 1^{+} \)):
\( \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} 5 = 5 \)
અહીં, \( \lim_{x \to 1^{-}} f(x) \ne \lim_{x \to 1^{+}} f(x) \) (કારણ કે \( 1 \ne 5 \)).
તેથી, \( \lim_{x \to 1} f(x) \) અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.
આમ, વિધેય \( f(x) \) એ \( x = 1 \) આગળ સતત નથી (અસતત છે).
**\( x = 2 \) માટે:**
આપણે \( x > 1 \) માટે \( f(x) = 5 \) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( f(2) = 5 \)
\( \lim_{x \to 2^{-}} f(x) = \lim_{x \to 2^{-}} 5 = 5 \)
\( \lim_{x \to 2^{+}} f(x) = \lim_{x \to 2^{+}} 5 = 5 \)
આમ, \( \lim_{x \to 2^{-}} f(x) = \lim_{x \to 2^{+}} f(x) = f(2) = 5 \).
તેથી, વિધેય \( f(x) \) એ \( x = 2 \) આગળ સતત છે.
In simple words: આ વિધેયના ત્રણ ભાગ છે. \( x=0 \) પર તે સતત છે કારણ કે તે સીધી રેખા \( y=x \) પર આવેલું છે. \( x=1 \) પર તે તૂટી જાય છે કારણ કે ડાબી બાજુથી તેનું મૂલ્ય 1 છે અને જમણી બાજુથી 5 છે. \( x=2 \) પર તે સતત છે કારણ કે તે સ્થિર મૂલ્ય 5 પર આવેલું છે.

Exam Tip: For piecewise functions, always check the continuity at the points where the definition changes. For points within an interval where the definition is a simple polynomial or constant, continuity is usually straightforward.

Question 6. જો \( f \) નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત હોય, તો જે બિંદુઓએ \( f \) અસતત હોય તેવાં બિંદુ શોધો : \( f(x) = \begin{cases} 3x+2, & x \le 2 \\ 2x-3, & x > 2 \end{cases} \)
Answer: વિધેય \( f(x) = \begin{cases} 3x+2, & x \le 2 \\ 2x-3, & x > 2 \end{cases} \) આપેલું છે.
**\( x < 2 \) માટે:**
\( f(x) = 3x+2 \) એ બહુપદી વિધેય છે, તેથી તે \( x < 2 \) માટે સતત છે.
**\( x > 2 \) માટે:**
\( f(x) = 2x-3 \) એ બહુપદી વિધેય છે, તેથી તે \( x > 2 \) માટે સતત છે.
**\( x = 2 \) આગળ સાતત્ય ચકાસીએ:**
\( f(2) = 3(2) + 2 = 6 + 2 = 8 \) (કારણ કે \( x \le 2 \) શાખામાં \( x=2 \) નો સમાવેશ થાય છે)
ડાબી બાજુની લિમિટ (\( x \to 2^{-} \)):
\( \lim_{x \to 2^{-}} f(x) = \lim_{x \to 2^{-}} (3x+2) = 3(2) + 2 = 8 \)
જમણી બાજુની લિમિટ (\( x \to 2^{+} \)):
ધારો કે \( x = 2 + h \), જ્યાં \( h \to 0 \) જ્યારે \( x \to 2^{+} \).
\( \lim_{x \to 2^{+}} f(x) = \lim_{h \to 0} (2(2+h) - 3) \)
\( = \lim_{h \to 0} (4 + 2h - 3) \)
\( = \lim_{h \to 0} (1 + 2h) \)
\( = 1 + 2(0) = 1 \)
અહીં, \( \lim_{x \to 2^{-}} f(x) \ne \lim_{x \to 2^{+}} f(x) \) (કારણ કે \( 8 \ne 1 \)).
તેથી, વિધેય \( f(x) \) એ \( x = 2 \) આગળ અસતત છે.
અસતતતાનું એકમાત્ર બિંદુ \( x = 2 \) છે.
In simple words: આપણે \( x=2 \) પર સાતત્યતા ચકાસીએ છીએ કારણ કે ત્યાં વિધેયનો નિયમ બદલાય છે. \( x=2 \) પર, વિધેયનું મૂલ્ય અને ડાબી બાજુની સીમા 8 છે, પરંતુ જમણી બાજુની સીમા 1 છે. કારણ કે આ મૂલ્યો સમાન નથી, વિધેય \( x=2 \) પર અસતત છે.

Exam Tip: For piecewise functions, focus your continuity test on the points where the function's definition changes. These are the most likely places for a discontinuity to occur.

Question 7. ફાઇન્ડ ધ પોઈન્ટ્સ ઑફ ડિસ્કંટીન્યુઇટી ફોર ધ ફંક્શન \( f \) ડિફાઈન્ડ એઝ \( f(x) = \begin{cases} |x|+3, & x \le -3 \\ -2x, & -3 < x < 3 \\ 6x+2, & x \ge 3 \end{cases} \)
Answer: વિધેય \( f(x) = \begin{cases} |x|+3, & x \le -3 \\ -2x, & -3 < x < 3 \\ 6x+2, & x \ge 3 \end{cases} \) આપેલું છે.
વિધેય \( f(x) \) એ દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
**\( x < -3 \) માટે:**
\( f(x) = |x|+3 = -x+3 \) (કારણ કે \( x < -3 \) માટે \( |x| = -x \)).
આ એક બહુપદી વિધેય છે, તેથી તે \( x < -3 \) માટે સતત છે.
**\( -3 < x < 3 \) માટે:**
\( f(x) = -2x \) એ બહુપદી વિધેય છે, તેથી તે \( -3 < x < 3 \) માટે સતત છે.
**\( x > 3 \) માટે:**
\( f(x) = 6x+2 \) એ બહુપદી વિધેય છે, તેથી તે \( x > 3 \) માટે સતત છે.
હવે, આપણે વિધેયની સાતત્યતાને વિભાજન બિંદુઓ \( x = -3 \) અને \( x = 3 \) આગળ ચકાસીશું.
**\( x = -3 \) આગળ સાતત્ય ચકાસીએ:**
\( f(-3) = |-3|+3 = 3+3 = 6 \) (કારણ કે \( x \le -3 \) શાખામાં \( x=-3 \) નો સમાવેશ થાય છે)
ડાબી બાજુની લિમિટ (\( x \to -3^{-} \)):
\( \lim_{x \to -3^{-}} f(x) = \lim_{x \to -3^{-}} (|x|+3) = |-3|+3 = 3+3 = 6 \)
જમણી બાજુની લિમિટ (\( x \to -3^{+} \)):
\( \lim_{x \to -3^{+}} f(x) = \lim_{x \to -3^{+}} (-2x) = -2(-3) = 6 \)
આમ, \( \lim_{x \to -3^{-}} f(x) = \lim_{x \to -3^{+}} f(x) = f(-3) = 6 \).
તેથી, વિધેય \( f(x) \) એ \( x = -3 \) આગળ સતત છે.
**\( x = 3 \) આગળ સાતત્ય ચકાસીએ:**
\( f(3) = 6(3)+2 = 18+2 = 20 \) (કારણ કે \( x \ge 3 \) શાખામાં \( x=3 \) નો સમાવેશ થાય છે)
ડાબી બાજુની લિમિટ (\( x \to 3^{-} \)):
\( \lim_{x \to 3^{-}} f(x) = \lim_{x \to 3^{-}} (-2x) = -2(3) = -6 \)
જમણી બાજુની લિમિટ (\( x \to 3^{+} \)):
\( \lim_{x \to 3^{+}} f(x) = \lim_{x \to 3^{+}} (6x+2) = 6(3)+2 = 20 \)
અહીં, \( \lim_{x \to 3^{-}} f(x) \ne \lim_{x \to 3^{+}} f(x) \) (કારણ કે \( -6 \ne 20 \)).
તેથી, વિધેય \( f(x) \) એ \( x = 3 \) આગળ અસતત છે.
અસતતતાનું એકમાત્ર બિંદુ \( x = 3 \) છે.
In simple words: આ વિધેય જુદા જુદા નિયમો ધરાવે છે, તેથી આપણે તપાસીએ છીએ કે જ્યાં નિયમો બદલાય છે તે બિંદુઓ પર તે સતત છે કે નહીં. \( x = -3 \) પર તે સતત રહે છે કારણ કે તમામ મૂલ્યો સમાન છે. પરંતુ \( x = 3 \) પર, ડાબી બાજુની સીમા અને જમણી બાજુની સીમા અલગ છે, તેથી વિધેય ત્યાં તૂટી જાય છે અને અસતત બને છે.

Exam Tip: Always evaluate the function's value and both left-hand and right-hand limits at the points where the piecewise definition changes. If any of these three values do not match, the function is discontinuous at that point.

Question 8. ચેક ધ કંટીન્યુઇટી ઑફ ધ ફંક્શન \( f \) ડિફાઈન્ડ એઝ \( f(x) = \begin{cases} \frac{|x|}{x}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases} \)
Answer: વિધેય \( f(x) = \begin{cases} \frac{|x|}{x}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases} \) આપેલું છે.
**\( x = 0 \) આગળ સાતત્ય ચકાસીએ:**
\( f(0) = 0 \) (પ્રશ્નની વ્યાખ્યા મુજબ)
જમણી બાજુની લિમિટ (\( x \to 0^{+} \)):
\( \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{|x|}{x} \)
કારણ કે \( x \to 0^{+} \), \( x > 0 \) હોવાથી, \( |x| = x \).
\( = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} 1 = 1 \)
ડાબી બાજુની લિમિટ (\( x \to 0^{-} \)):
\( \lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{|x|}{x} \)
કારણ કે \( x \to 0^{-} \), \( x < 0 \) હોવાથી, \( |x| = -x \).
\( = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{-x}{x} = \lim_{x \to 0^{-}} (-1) = -1 \)
અહીં, \( \lim_{x \to 0^{+}} f(x) \ne \lim_{x \to 0^{-}} f(x) \) (કારણ કે \( 1 \ne -1 \)).
તેથી, \( \lim_{x \to 0} f(x) \) અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.
આમ, વિધેય \( f(x) \) એ \( x = 0 \) આગળ અસતત છે.
In simple words: \( x=0 \) સિવાયના અન્ય બિંદુઓ પર, \( f(x) \) કાં તો 1 અથવા -1 હોય છે. પરંતુ \( x=0 \) પર, વિધેયનું મૂલ્ય 0 છે. જમણી બાજુથી આવતી સીમા 1 છે અને ડાબી બાજુથી આવતી સીમા -1 છે. આ સીમાઓ સમાન ન હોવાથી, વિધેય \( x=0 \) પર તૂટી જાય છે અને તે અસતત છે.

Exam Tip: When dealing with \( \frac{|x|}{x} \), remember that it simplifies to 1 for \( x > 0 \) and -1 for \( x < 0 \). This distinct behavior around zero often leads to a jump discontinuity.

Question 9. ચેક ધ કંટીન્યુઇટી ઑફ ધ ફંક્શન \( f \) ડિફાઈન્ડ એઝ \( f(x) = \begin{cases} \frac{x}{|x|}, & x < 0 \\ -1, & x \ge 0 \end{cases} \)
Answer: વિધેય \( f(x) = \begin{cases} \frac{x}{|x|}, & x < 0 \\ -1, & x \ge 0 \end{cases} \) આપેલું છે.
**\( x < 0 \) માટે:**
જ્યારે \( x < 0 \), ત્યારે \( |x| = -x \).
તેથી, \( f(x) = \frac{x}{-x} = -1 \).
આમ, \( x < 0 \) માટે \( f(x) = -1 \) જે એક અચળ વિધેય છે, અને અચળ વિધેય સતત હોય છે.
**\( x = 0 \) આગળ સાતત્ય ચકાસીએ:**
\( f(0) = -1 \) (કારણ કે \( x \ge 0 \) શાખામાં \( x=0 \) નો સમાવેશ થાય છે)
જમણી બાજુની લિમિટ (\( x \to 0^{+} \)):
\( \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} (-1) = -1 \)
ડાબી બાજુની લિમિટ (\( x \to 0^{-} \)):
\( \lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{|x|} \)
કારણ કે \( x \to 0^{-} \), \( x < 0 \) હોવાથી, \( |x| = -x \).
\( = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{-x} = \lim_{x \to 0^{-}} (-1) = -1 \)
આમ, \( \lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = f(0) = -1 \).
તેથી, વિધેય \( f(x) \) એ \( x = 0 \) આગળ સતત છે.
**\( x > 0 \) માટે:**
\( f(x) = -1 \) જે એક અચળ વિધેય છે, તેથી તે \( x > 0 \) માટે સતત છે.
આમ, વિધેય \( f(x) \) એ \( R \) માં દરેક બિંદુએ સતત છે.
તેથી, અસતત બિંદુઓ મળતાં નથી.
In simple words: જ્યારે \( x \) ઋણ હોય છે, ત્યારે \( |x| \) એ \( -x \) બને છે, તેથી \( x/|x| \) એ \( x/(-x) = -1 \) થાય છે. જ્યારે \( x \) શૂન્ય કે ધન હોય છે, ત્યારે વિધેય સીધું જ -1 છે. આમ, વિધેય હંમેશા -1 જ હોય ​​છે, ભલે \( x \) કોઈ પણ હોય. તેથી, તે દરેક જગ્યાએ સતત છે.

Exam Tip: Carefully simplify the function's expression for different intervals. In this case, realizing that \( \frac{x}{|x|} = -1 \) for \( x < 0 \) shows that the function is a constant \( -1 \) everywhere, making it continuous.

Question 10. ફાઇન્ડ ધ પોઈન્ટ્સ ઑફ ડિસ્કંટીન્યુઇટી ફોર ધ ફંક્શન \( f \) ડિફાઈન્ડ એઝ \( f(x) = \begin{cases} x+1, & x \ge 1 \\ x^2+1, & x < 1 \end{cases} \)
Answer: વિધેય \( f(x) = \begin{cases} x+1, & x \ge 1 \\ x^2+1, & x < 1 \end{cases} \) આપેલું છે.
સ્પષ્ટપણે, \( x > 1 \) માટે \( f(x) = x+1 \) એ બહુપદી વિધેય છે, તેથી તે સતત છે.
સ્પષ્ટપણે, \( x < 1 \) માટે \( f(x) = x^2+1 \) એ બહુપદી વિધેય છે, તેથી તે સતત છે.
હવે, આપણે વિભાજન બિંદુ \( x = 1 \) આગળ સાતત્ય ચકાસીશું.
**\( x = 1 \) આગળ સાતત્ય ચકાસીએ:**
\( f(1) = 1+1 = 2 \) (કારણ કે \( x \ge 1 \) શાખામાં \( x=1 \) નો સમાવેશ થાય છે)
જમણી બાજુની લિમિટ (\( x \to 1^{+} \)):
\( \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} (x+1) = 1+1 = 2 \)
ડાબી બાજુની લિમિટ (\( x \to 1^{-} \)):
\( \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} (x^2+1) = (1)^2+1 = 1+1 = 2 \)
આમ, \( \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = f(1) = 2 \).
તેથી, વિધેય \( f(x) \) એ \( x = 1 \) આગળ સતત છે.
આમ, વિધેય \( f(x) \) એ \( \forall x \in R \) માટે સતત છે.
તેથી, અસતત બિંદુઓ મળતાં નથી.
In simple words: વિધેય \( x < 1 \) માટે \( x^2+1 \) અને \( x \ge 1 \) માટે \( x+1 \) નો ઉપયોગ કરે છે. જ્યાં આ નિયમો મળે છે, એટલે કે \( x=1 \) પર, આપણે વિધેયનું મૂલ્ય અને બંને બાજુની સીમાઓ તપાસીએ છીએ. જો બધું 2 પર સમાન હોય, તો વિધેય \( x=1 \) પર સતત રહે છે.

Exam Tip: When both parts of a piecewise function are polynomials, focus on testing continuity only at the transition points. If the limits and function value match there, and the individual pieces are polynomials, the function is continuous everywhere.

Question 11. ફાઇન્ડ ધ પોઈન્ટ્સ ઑફ ડિસ્કંટીન્યુઇટી ફોર ધ ફંક્શન \( f \) ડિફાઈન્ડ એઝ \( f(x) = \begin{cases} x^3-3, & x \le 2 \\ x^2+1, & x > 2 \end{cases} \)
Answer: વિધેય \( f(x) = \begin{cases} x^3-3, & x \le 2 \\ x^2+1, & x > 2 \end{cases} \) આપેલું છે.
સ્પષ્ટપણે, \( x < 2 \) માટે \( f(x) = x^3-3 \) એ બહુપદી વિધેય છે, તેથી તે સતત છે.
સ્પષ્ટપણે, \( x > 2 \) માટે \( f(x) = x^2+1 \) એ બહુપદી વિધેય છે, તેથી તે સતત છે.
હવે, આપણે વિભાજન બિંદુ \( x = 2 \) આગળ સાતત્ય ચકાસીશું.
**\( x = 2 \) આગળ સાતત્ય ચકાસીએ:**
\( f(2) = (2)^3-3 = 8-3 = 5 \) (કારણ કે \( x \le 2 \) શાખામાં \( x=2 \) નો સમાવેશ થાય છે)
ડાબી બાજુની લિમિટ (\( x \to 2^{-} \)):
\( \lim_{x \to 2^{-}} f(x) = \lim_{x \to 2^{-}} (x^3-3) = (2)^3-3 = 8-3 = 5 \)
જમણી બાજુની લિમિટ (\( x \to 2^{+} \)):
\( \lim_{x \to 2^{+}} f(x) = \lim_{x \to 2^{+}} (x^2+1) = (2)^2+1 = 4+1 = 5 \)
આમ, \( \lim_{x \to 2^{-}} f(x) = \lim_{x \to 2^{+}} f(x) = f(2) = 5 \).
તેથી, વિધેય \( f(x) \) એ \( x = 2 \) આગળ સતત છે.
આમ, વિધેય \( f(x) \) એ \( \forall x \in R \) માટે સતત છે.
તેથી, અસતત બિંદુઓ મળતાં નથી.
In simple words: આ વિધેયના નિયમો \( x=2 \) પર બદલાય છે. આપણે આ બિંદુ પર વિધેયનું મૂલ્ય અને બંને બાજુની સીમાઓ તપાસીએ છીએ. જો તે બધા સમાન હોય, તો વિધેય \( x=2 \) પર સતત ગણાય છે. અહીં, બધા મૂલ્યો 5 છે, તેથી કોઈ અસતતતા નથી.

Exam Tip: For piecewise polynomial functions, discontinuities can only occur at the points where the function definition changes. Test these points thoroughly; if they pass the continuity test, and the individual pieces are polynomials, the function is continuous everywhere.

Question 12. ફાઇન્ડ ધ પોઈન્ટ્સ ઑફ ડિસ્કંટીન્યુઇટી ફોર ધ ફંક્શન \( f \) ડિફાઈન્ડ એઝ \( f(x) = \begin{cases} x^{10}-1, & x \le 1 \\ x^2, & x > 1 \end{cases} \)
Answer: વિધેય \( f(x) = \begin{cases} x^{10}-1, & x \le 1 \\ x^2, & x > 1 \end{cases} \) આપેલું છે.
સ્પષ્ટપણે, \( x < 1 \) માટે \( f(x) = x^{10}-1 \) એ બહુપદી વિધેય છે, તેથી તે સતત છે.
સ્પષ્ટપણે, \( x > 1 \) માટે \( f(x) = x^2 \) એ બહુપદી વિધેય છે, તેથી તે સતત છે.
હવે, આપણે વિભાજન બિંદુ \( x = 1 \) આગળ સાતત્ય ચકાસીશું.
**\( x = 1 \) આગળ સાતત્ય ચકાસીએ:**
\( f(1) = (1)^{10}-1 = 1-1 = 0 \) (કારણ કે \( x \le 1 \) શાખામાં \( x=1 \) નો સમાવેશ થાય છે)
ડાબી બાજુની લિમિટ (\( x \to 1^{-} \)):
\( \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} (x^{10}-1) = (1)^{10}-1 = 1-1 = 0 \)
જમણી બાજુની લિમિટ (\( x \to 1^{+} \)):
\( \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} (x^2) = (1)^2 = 1 \)
અહીં, \( \lim_{x \to 1^{-}} f(x) \ne \lim_{x \to 1^{+}} f(x) \) (કારણ કે \( 0 \ne 1 \)).
તેથી, વિધેય \( f(x) \) એ \( x = 1 \) આગળ અસતત છે.
અસતતતાનું એકમાત્ર બિંદુ \( x = 1 \) છે.
In simple words: વિધેય \( x=1 \) પર તેના નિયમો બદલે છે. આપણે \( x=1 \) પર વિધેયનું મૂલ્ય, ડાબી બાજુની સીમા અને જમણી બાજુની સીમા શોધીએ છીએ. ડાબી બાજુની સીમા 0 છે જ્યારે જમણી બાજુની સીમા 1 છે. કારણ કે આ મૂલ્યો સમાન નથી, વિધેય \( x=1 \) પર તૂટી જાય છે અને અસતત છે.

Exam Tip: Be extra careful with calculations involving powers like \( x^{10} \). Even though the functions on either side of the transition point are polynomials (and thus continuous within their respective domains), the function might still be discontinuous at the transition point itself due to differing limits.

Question 13. ફાઇન્ડ ધ પોઈન્ટ્સ ઑફ ડિસ્કંટીન્યુઇટી ફોર ધ ફંક્શન \( f \) ડિફાઈન્ડ એઝ \( f(x) = \begin{cases} x+5, & x \le 1 \\ 5, & x > 1 \end{cases} \)
Answer: વિધેય \( f(x) = \begin{cases} x+5, & x \le 1 \\ 5, & x > 1 \end{cases} \) આપેલું છે.
સ્પષ્ટપણે, \( x < 1 \) માટે \( f(x) = x+5 \) એ બહુપદી વિધેય છે, તેથી તે સતત છે.
સ્પષ્ટપણે, \( x > 1 \) માટે \( f(x) = 5 \) એ અચળ વિધેય છે, તેથી તે સતત છે.
હવે, આપણે વિભાજન બિંદુ \( x = 1 \) આગળ સાતત્ય ચકાસીશું.
**\( x = 1 \) આગળ સાતત્ય ચકાસીએ:**
\( f(1) = 1+5 = 6 \) (કારણ કે \( x \le 1 \) શાખામાં \( x=1 \) નો સમાવેશ થાય છે)
ડાબી બાજુની લિમિટ (\( x \to 1^{-} \)):
\( \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} (x+5) = 1+5 = 6 \)
જમણી બાજુની લિમિટ (\( x \to 1^{+} \)):
\( \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} 5 = 5 \)
અહીં, \( \lim_{x \to 1^{-}} f(x) \ne \lim_{x \to 1^{+}} f(x) \) (કારણ કે \( 6 \ne 5 \)).
તેથી, વિધેય \( f(x) \) એ \( x = 1 \) આગળ અસતત છે.
અસતતતાનું એકમાત્ર બિંદુ \( x = 1 \) છે.
In simple words: આ વિધેય \( x=1 \) પર તેના નિયમો બદલે છે. આપણે \( x=1 \) પર વિધેયનું મૂલ્ય અને બંને બાજુની સીમાઓ તપાસીએ છીએ. ડાબી બાજુથી આવતી સીમા 6 છે, પરંતુ જમણી બાજુથી આવતી સીમા 5 છે. આ મૂલ્યો સમાન ન હોવાથી, વિધેય \( x=1 \) પર અસતત છે.

Exam Tip: Remember that even if one part of a piecewise function is a constant and the other is a polynomial, you still must check the limits at the transition point. A constant function is continuous, but the overall piecewise function might not be if there's a jump.

Question 14. નીચે આપેલ વ્યાખ્યાયિત વિધેય \( f \) માટે સાતત્ય ચર્ચો : \( f(x) = \begin{cases} 3, & 0 \le x \le 1 \\ 4, & 1 < x < 3 \\ 5, & 3 \le x \le 10 \end{cases} \)
Answer: વિધેય \( f(x) = \begin{cases} 3, & 0 \le x \le 1 \\ 4, & 1 < x < 3 \\ 5, & 3 \le x \le 10 \end{cases} \) આપેલું છે.
વિધેય \( f \) ત્રણ જુદા જુદા અંતરાલોમાં અચળ મૂલ્યો ધરાવે છે. અચળ વિધેય હંમેશા સતત હોય છે.
તેથી, \( 0 \le x < 1 \) માટે \( f(x) = 3 \) સતત છે.
\( 1 < x < 3 \) માટે \( f(x) = 4 \) સતત છે.
\( 3 < x \le 10 \) માટે \( f(x) = 5 \) સતત છે.
આપણે વિભાજન બિંદુઓ \( x = 1 \) અને \( x = 3 \) આગળ સાતત્ય ચકાસીશું.
**\( x = 1 \) આગળ સાતત્ય ચકાસીએ:**
\( f(1) = 3 \) (કારણ કે \( 0 \le x \le 1 \) શાખામાં \( x=1 \) નો સમાવેશ થાય છે)
ડાબી બાજુની લિમિટ (\( x \to 1^{-} \)):
\( \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} 3 = 3 \)
જમણી બાજુની લિમિટ (\( x \to 1^{+} \)):
\( \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} 4 = 4 \)
અહીં, \( \lim_{x \to 1^{-}} f(x) \ne \lim_{x \to 1^{+}} f(x) \) (કારણ કે \( 3 \ne 4 \)).
તેથી, વિધેય \( f(x) \) એ \( x = 1 \) આગળ અસતત છે.
**\( x = 3 \) આગળ સાતત્ય ચકાસીએ:**
\( f(3) = 5 \) (કારણ કે \( 3 \le x \le 10 \) શાખામાં \( x=3 \) નો સમાવેશ થાય છે)
ડાબી બાજુની લિમિટ (\( x \to 3^{-} \)):
\( \lim_{x \to 3^{-}} f(x) = \lim_{x \to 3^{-}} 4 = 4 \)
જમણી બાજુની લિમિટ (\( x \to 3^{+} \)):
\( \lim_{x \to 3^{+}} f(x) = \lim_{x \to 3^{+}} 5 = 5 \)
અહીં, \( \lim_{x \to 3^{-}} f(x) \ne \lim_{x \to 3^{+}} f(x) \) (કારણ કે \( 4 \ne 5 \)).
તેથી, વિધેય \( f(x) \) એ \( x = 3 \) આગળ અસતત છે.
આમ, વિધેય \( f(x) \) એ \( x = 1 \) અને \( x = 3 \) આગળ અસતત છે.
તેથી, \( f \) એ \( R - \{1, 3\} \) પર સતત છે.
In simple words: આ વિધેય અલગ-અલગ અંતરાલોમાં અલગ-અલગ અચળ મૂલ્યો લે છે. \( x=1 \) પર, મૂલ્ય 3 થી 4 માં બદલાય છે, તેથી તે તૂટી જાય છે. તેવી જ રીતે, \( x=3 \) પર, મૂલ્ય 4 થી 5 માં બદલાય છે, તેથી તે પણ તૂટી જાય છે. આથી, \( x=1 \) અને \( x=3 \) એ અસતતતાના બિંદુઓ છે.

Exam Tip: For step functions (where the function value changes abruptly at certain points), the points of discontinuity are typically found at the boundaries between the constant segments. Always check function value and both limits at these points.

Question 15. ડિસ્કસ ધ કંટીન્યુઇટી ઑફ ધ ફંક્શન \( f \) ડિફાઈન્ડ એઝ \( f(x) = \begin{cases} 2x, & x < 0 \\ 0, & 0 \le x \le 1 \\ 4x, & x > 1 \end{cases} \)
Answer: વિધેય \( f(x) = \begin{cases} 2x, & x < 0 \\ 0, & 0 \le x \le 1 \\ 4x, & x > 1 \end{cases} \) આપેલું છે.
ત્રણ અંતરાલોમાં, વિધેય બહુપદી અથવા અચળ વિધેય છે, તેથી તે દરેક અંતરાલની અંદર સતત છે.
**\( x < 0 \) માટે:**
\( f(x) = 2x \) એ બહુપદી વિધેય છે, તેથી તે સતત છે.
**\( 0 < x < 1 \) માટે:**
\( f(x) = 0 \) એ અચળ વિધેય છે, તેથી તે સતત છે.
**\( x > 1 \) માટે:**
\( f(x) = 4x \) એ બહુપદી વિધેય છે, તેથી તે સતત છે.
આપણે વિભાજન બિંદુઓ \( x = 0 \) અને \( x = 1 \) આગળ સાતત્ય ચકાસીશું.
**\( x = 0 \) આગળ સાતત્ય ચકાસીએ:**
\( f(0) = 0 \) (કારણ કે \( 0 \le x \le 1 \) શાખામાં \( x=0 \) નો સમાવેશ થાય છે)
ડાબી બાજુની લિમિટ (\( x \to 0^{-} \)):
\( \lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} (2x) = 2(0) = 0 \)
જમણી બાજુની લિમિટ (\( x \to 0^{+} \)):
\( \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} 0 = 0 \)
આમ, \( \lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = f(0) = 0 \).
તેથી, વિધેય \( f(x) \) એ \( x = 0 \) આગળ સતત છે.
**\( x = 1 \) આગળ સાતત્ય ચકાસીએ:**
\( f(1) = 0 \) (કારણ કે \( 0 \le x \le 1 \) શાખામાં \( x=1 \) નો સમાવેશ થાય છે)
ડાબી બાજુની લિમિટ (\( x \to 1^{-} \)):
\( \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} 0 = 0 \)
જમણી બાજુની લિમિટ (\( x \to 1^{+} \)):
\( \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} (4x) = 4(1) = 4 \)
અહીં, \( \lim_{x \to 1^{-}} f(x) \ne \lim_{x \to 1^{+}} f(x) \) (કારણ કે \( 0 \ne 4 \)).
તેથી, વિધેય \( f(x) \) એ \( x = 1 \) આગળ અસતત છે.
આમ, વિધેય \( f(x) \) એ ફક્ત \( x = 1 \) આગળ અસતત છે.
તેથી, \( f \) એ \( R - \{1\} \) પર સતત છે.
In simple words: આ વિધેયના નિયમો \( x=0 \) અને \( x=1 \) પર બદલાય છે. \( x=0 \) પર, વિધેયનું મૂલ્ય અને બંને બાજુની સીમાઓ 0 છે, તેથી તે સતત છે. પરંતુ \( x=1 \) પર, ડાબી બાજુની સીમા 0 છે જ્યારે જમણી બાજુની સીમા 4 છે. આ મૂલ્યો સમાન ન હોવાથી, વિધેય \( x=1 \) પર અસતત છે.

Exam Tip: Be sure to evaluate the function at each transition point using the appropriate definition from the piecewise function. Any point where the left-hand limit, right-hand limit, or function value do not match will be a point of discontinuity.

Question 19. સાબિત કરો કે વિધેય g(x) = x- [x] પ્રત્યેક પૂર્ણાંક માટે અસતત છે. અહીં [x] એ x જેટલો કે તેથી નાનો હોય તેવો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે.
Answer: આપણે x = n આગળ વિધેય \( g(x) \) ની સાતત્યતા ચકાસીએ છીએ.
\( g(n) = 0 \)
\( \lim_{x \to n^-} g(x) = \lim_{x \to n^-} (x - [x]) \)
\( = \lim_{x \to n^-} (x - (n-1)) \)
\( = (n - 0) - (n-1) = 1 \) (જ્યાં \( x = n-h \), અને \( h \to 0 \))
\( \lim_{x \to n^+} g(x) = \lim_{x \to n^+} (x - [x]) \)
\( = \lim_{x \to n^+} (x - n) \)
\( = (n + 0) - n = 0 \) (જ્યાં \( x = n+h \), અને \( h \to 0 \))
આમ, \( \lim_{x \to n^-} g(x) \neq \lim_{x \to n^+} g(x) \).
તેથી, વિધેય \( g(x) \) એ \( x = n \) આગળ અસતત છે.
અહીં \( n \) એ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે.
આથી, વિધેય \( g(x) \) એ બધા જ પૂર્ણાંક બિંદુઓ પર અસતત છે.
આપણે \( g(x) = x - [x] \) નો આલેખ બનાવીએ છીએ.
જો \( 0 < x < 1 \), તો \( g(x) = x \)
જો \( x = 1 \), તો \( g(x) = 0 \)
જો \( 1 < x < 2 \), તો \( g(x) = x - 1 \)
જો \( x = 2 \), તો \( g(x) = 0 \)
જો \( 2 < x < 3 \), તો \( g(x) = x - 2 \)
જો \( x = 3 \), તો \( g(x) = 0 \)
જો \( 3 < x < 4 \), તો \( g(x) = x - 3 \)
જો \( x = 4 \), તો \( g(x) = 0 \)

આલેખ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે, વિધેય \( g(x) \) એ બધા જ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ પર અસતત છે. તે સિવાયની સંખ્યાઓ માટે સતત રહે છે. \( x \) ની કોઈપણ કિંમત માટે \( g(x) \neq 1 \).
In simple words: First, we check if \( g(x) = x - [x] \) is continuous at any integer \( n \). We find that the left-hand limit is 1, and the right-hand limit is 0. Since these limits are not equal, the function is discontinuous at all integer points. The graph shows repeating segments, confirming this behavior, as \( g(x) \) is always zero at integers and jumps to 1 right before the next integer.

Exam Tip: When dealing with the greatest integer function, always check the left-hand limit and right-hand limit at integer points, as this is where discontinuities typically occur.

Question 20. \( f(x) = x^2 - \sin x + 5 \) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય \( x = \pi \) આગળ સતત છે ?
Answer: \( f(x) = x^2 - \sin x + 5 \)
\( x = \pi \) પર, \( f(\pi) = \pi^2 - \sin\pi + 5 = \pi^2 - 0 + 5 = \pi^2 + 5 \)
\( \lim_{x \to \pi^+} f(x) = \lim_{x \to \pi^+} (x^2 - \sin x + 5) \)
\( = \lim_{h \to 0} ((\pi+h)^2 - \sin(\pi+h) + 5) \)
\( = \pi^2 - (0) + 5 = \pi^2 + 5 \)
\( \lim_{x \to \pi^-} f(x) = \lim_{x \to \pi^-} (x^2 - \sin x + 5) \)
\( = \lim_{h \to 0} ((\pi-h)^2 - \sin(\pi-h) + 5) \)
\( = \pi^2 - (0) + 5 = \pi^2 + 5 \)
આથી, \( \lim_{x \to \pi^+} f(x) = \lim_{x \to \pi^-} f(x) = f(\pi) \)
તેથી, વિધેય \( f(x) \) એ \( x = \pi \) આગળ સતત છે.
In simple words: To check if \( f(x) \) is continuous at \( x = \pi \), we calculate \( f(\pi) \) and the left-hand and right-hand limits. All three values come out to be \( \pi^2 + 5 \). Since they are all equal, the function is continuous at \( x = \pi \).

Exam Tip: For polynomial and trigonometric functions, continuity at a point usually holds unless there's a division by zero or a piecewise definition with a break.

Question 21. નીચેનાં વિધેયોનું સાતત્ય ચર્ચો :
(a) \( f(x) = \sin x + \cos x \)
(b) \( f(x) = \sin x - \cos x \)
(c) \( f(x) = \sin x \cdot \cos x \)
Answer:
(a) ધારો કે \( a \) કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
\( f(a) = \sin a + \cos a \)
\( \lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^+} (\sin x + \cos x) \)
\( = \lim_{h \to 0} (\sin(a+h) + \cos(a+h)) \)
\( = \lim_{h \to 0} (\sin a \cosh - \cos a \sinh + \cos a \cosh + \sin a \sin h) \) (Using Taylor Series expansion or trigonometric identities for sin(a+h) and cos(a+h))
\( = \sin a (1) + \cos a (0) + \cos a (1) + \sin a (0) = \sin a + \cos a \)
\( \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^-} (\sin x + \cos x) \)
\( = \lim_{h \to 0} (\sin(a-h) + \cos(a-h)) \)
\( = \sin a (1) - \cos a (0) + \cos a (1) - \sin a (0) = \sin a + \cos a \)
આથી, \( \lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a) \).
તેથી, \( f(x) = \sin x + \cos x \) એ બધી જ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે સતત છે.

(b) ધારો કે \( a \) કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
\( f(a) = \sin a - \cos a \)
\( \lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^+} (\sin x - \cos x) \)
\( = \lim_{h \to 0} (\sin(a+h) - \cos(a+h)) \)
\( = \lim_{h \to 0} (\sin a \cosh - \cos a \sinh - (\cos a \cosh - \sin a \sin h)) \)
\( = \sin a (1) + \cos a (0) - \cos a (1) + \sin a (0) = \sin a - \cos a \)
\( \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^-} (\sin x - \cos x) \)
\( = \lim_{h \to 0} (\sin(a-h) - \cos(a-h)) \)
\( = \sin a (1) - \cos a (0) - (\cos a (1) - \sin a (0)) = \sin a - \cos a \)
આથી, \( \lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a) \).
તેથી, \( f(x) = \sin x - \cos x \) એ બધી જ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે સતત છે.

(c) ધારો કે \( a \) કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
\( f(a) = \sin a \cdot \cos a \)
\( \lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^+} (\sin x \cdot \cos x) \)
\( = \lim_{h \to 0} (\sin(a+h) \cdot \cos(a+h)) \)
\( = \lim_{h \to 0} ((\sin a \cosh + \cos a \sinh) \cdot (\cos a \cosh - \sin a \sin h)) \)
\( = (\sin a \cdot 1 + \cos a \cdot 0) \cdot (\cos a \cdot 1 - \sin a \cdot 0) = \sin a \cdot \cos a \)
\( \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^-} (\sin x \cdot \cos x) \)
\( = \lim_{h \to 0} (\sin(a-h) \cdot \cos(a-h)) \)
\( = (\sin a \cdot 1 - \cos a \cdot 0) \cdot (\cos a \cdot 1 + \sin a \cdot 0) = \sin a \cdot \cos a \)
આથી, \( \lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a) \).
તેથી, \( f(x) = \sin x \cdot \cos x \) એ બધી જ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે સતત છે.
In simple words: For all three functions, we check continuity by looking at the function value and the left and right limits at an arbitrary point 'a'. Since all these values are equal for each function, they are all continuous for every real number. This is because sine and cosine functions are individually continuous, and their sum, difference, and product also maintain continuity.

Exam Tip: Remember that if two functions \( g(x) \) and \( h(x) \) are continuous, then their sum \( g(x) + h(x) \), difference \( g(x) - h(x) \), and product \( g(x) \cdot h(x) \) are also continuous.

Question 22. cosine, cosecant, secant અને cotangent વિધેયોનાં સાતત્ય ચર્ચો :
(1) \( f(x) = \cos x, x \in R \)
(2) \( f(x) = \operatorname{cosec} x = \frac{1}{\sin x}, x \in R - \{n\pi\}, n \in Z \)
(3) \( f(x) = \sec x = \frac{1}{\cos x}, x \in R - \{(2n + 1)\frac{\pi}{2}, n \in Z \} \)
(4) \( f(x) = \cot x = \frac{1}{\tan x}, x \in R - \{n\pi\}, n \in Z \)
Answer:
(1) \( f(x) = \cos x \)
ધારો કે \( c \) કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
\( f(c) = \cos c \)
\( \lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} \cos x \)
\( = \lim_{h \to 0} \cos(c+h) \)
\( = \lim_{h \to 0} (\cos c \cosh - \sin c \sin h) \)
\( = \cos c \cdot \cos 0 - \sin c \cdot \sin 0 \)
\( = \cos c (1) - \sin c (0) = \cos c \)
આથી, \( \lim_{x \to c} f(x) = f(c) \).
તેથી, \( f(x) = \cos x \) એ \( x \in R \) માટે સતત વિધેય છે.

(2) \( f(x) = \operatorname{cosec} x = \frac{1}{\sin x} \)
ધારો કે \( c \in R - \{n\pi\} \) એ કોઈ સંખ્યા છે.
\( f(c) = \operatorname{cosec} c \)
\( \lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} \frac{1}{\sin x} \)
\( = \frac{1}{\lim_{h \to 0} \sin(c+h)} \)
\( = \frac{1}{\lim_{h \to 0} (\sin c \cosh + \cos c \sin h)} \)
\( = \frac{1}{\sin c \cdot \cos 0 + \cos c \cdot \sin 0} \)
\( = \frac{1}{\sin c (1) + \cos c (0)} = \frac{1}{\sin c} = \operatorname{cosec} c \)
આથી, \( \lim_{x \to c} f(x) = f(c) \).
તેથી, \( f(x) = \operatorname{cosec} x \) એ \( x \in R - \{n\pi\} \) માટે સતત વિધેય છે.

(3) \( f(x) = \sec x = \frac{1}{\cos x} \)
ધારો કે \( c \in R - \{(2n+1)\frac{\pi}{2}\} \) એ કોઈ સંખ્યા છે.
\( f(c) = \sec c \)
\( \lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} \frac{1}{\cos x} \)
\( = \frac{1}{\lim_{h \to 0} \cos(c+h)} \)
\( = \frac{1}{\lim_{h \to 0} (\cos c \cosh - \sin c \sin h)} \)
\( = \frac{1}{\cos c \cdot \cos 0 - \sin c \cdot \sin 0} \)
\( = \frac{1}{\cos c (1) - \sin c (0)} = \frac{1}{\cos c} = \sec c \)
આથી, \( \lim_{x \to c} f(x) = f(c) \).
તેથી, \( f(x) = \sec x \) એ \( x \in R - \{(2n+1)\frac{\pi}{2}\} \) માટે સતત વિધેય છે.

(4) \( f(x) = \cot x = \frac{1}{\tan x} \)
ધારો કે \( c \in R - \{n\pi\} \) એ કોઈ સંખ્યા છે.
\( f(c) = \cot c \)
\( \lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} \frac{1}{\tan x} \)
\( = \frac{1}{\lim_{h \to 0} \tan(c+h)} \)
\( = \frac{1}{\lim_{h \to 0} (\frac{\tan c + \tan h}{1 - \tan c \tan h})} \)
\( = \frac{1 - \tan c \tan 0}{\tan c + \tan 0} = \frac{1 - \tan c \cdot 0}{\tan c + 0} = \frac{1}{\tan c} = \cot c \)
આથી, \( \lim_{x \to c} f(x) = f(c) \).
તેથી, \( f(x) = \cot x \) એ \( x \in R - \{n\pi\} \) માટે સતત વિધેય છે.
In simple words: We examine the continuity of cosine, cosecant, secant, and cotangent functions. For each, we show that the limit of the function at an arbitrary point 'c' equals the function's value at 'c'. Cosine is continuous everywhere. Cosecant and cotangent are continuous everywhere except where \( \sin x = 0 \) (i.e., at \( n\pi \)). Secant is continuous everywhere except where \( \cos x = 0 \) (i.e., at \( (2n+1)\frac{\pi}{2} \)).

Exam Tip: Remember the domains of trigonometric functions and their reciprocals. Discontinuities occur where the denominator is zero. Understanding the limit definitions is key for these proofs.

Question 23. \( f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & x < 0 \\ x + 1, & x \ge 0 \end{cases} \) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેયો જ્યાં \( f \) અસતત હોય એવાં તમામ બિંદુઓ શોધો.
Answer: \( x = 0 \) માટે, \( f(0) = 0 + 1 = 1 \)
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} = 1 \)
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x+1) = 0 + 1 = 1 \)
આથી, \( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) \).
તેથી, વિધેય \( f(x) \) એ \( x = 0 \) આગળ સતત વિધેય છે.
\( x < 0 \) માટે, \( f(x) = \frac{\sin x}{x} \) એ બે સતત વિધેયોનો ગુણોત્તર છે, તેથી તે સતત છે (જ્યાં \( x \neq 0 \)).
\( x > 0 \) માટે, \( f(x) = x+1 \) એ બહુપદીય વિધેય હોવાથી સતત છે.
તેથી, વિધેય \( f(x) \) એ \( R \) પર સતત છે.
આથી, અસતત બિંદુઓ મળતાં નથી.
In simple words: We check the function's continuity at \( x = 0 \), where its definition changes. The left-hand limit, right-hand limit, and the function's value at 0 all equal 1. So, it's continuous at \( x = 0 \). For \( x < 0 \), \( \frac{\sin x}{x} \) is continuous. For \( x > 0 \), \( x+1 \) is continuous. Therefore, the function is continuous for all real numbers, and there are no points of discontinuity.

Exam Tip: When dealing with piecewise functions, always check continuity at the points where the function's definition changes. Also, remember standard limits like \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \).

Question 24. \( f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases} \) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય સતત વિધેય છે ?
Answer: અહીં, \( f(0) = 0 \).
માટે \( -1 \le \sin \frac{1}{x} \le 1 \).
આથી \( -x^2 \le x^2 \sin \frac{1}{x} \le x^2 \) (બંને બાજુ \( x^2 \) વડે ગુણતા).
\( \lim_{x \to 0} (-x^2) = 0 \) અને \( \lim_{x \to 0} (x^2) = 0 \).
સેન્ડવીચ પ્રમેય મુજબ, \( \lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x} = 0 \).
વળી, \( f(0) = 0 \).
આથી, \( \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) \).
તેથી, વિધેય \( f(x) \) એ તમામ \( x \in R \) માટે સતત વિધેય છે.
In simple words: We need to check if the function is continuous everywhere. At \( x=0 \), the function value is 0. Since \( \sin(1/x) \) is always between -1 and 1, \( x^2 \sin(1/x) \) will be between \( -x^2 \) and \( x^2 \). As \( x \) approaches 0, both \( -x^2 \) and \( x^2 \) approach 0. So, by the Squeeze Theorem, \( x^2 \sin(1/x) \) also approaches 0. Since the limit at 0 equals \( f(0) \), the function is continuous at \( x=0 \). It is continuous elsewhere too, so it's a continuous function everywhere.

Exam Tip: The Squeeze Theorem is a powerful tool for finding limits of functions that are bounded by other functions whose limits are known. It's often used when dealing with oscillating terms like \( \sin(1/x) \).

Question 25. \( f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x - \cos x}{x}, & x \neq 0 \\ -1, & x = 0 \end{cases} \) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેયનું સાતત્ય ચકાસો.
Answer: \( f(0) = -1 \).
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (\sin x - \cos x) = \sin 0 - \cos 0 = 0 - 1 = -1 \).
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (\sin x - \cos x) = \sin 0 - \cos 0 = 0 - 1 = -1 \).
આથી, \( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) \).
તેથી, વિધેય \( f(x) \) એ \( x = 0 \) આગળ સતત વિધેય છે.
વળી, \( x \neq 0 \) માટે \( f(x) = \sin x - \cos x \) એ સતત વિધેય છે, કારણ કે \( \sin x \) અને \( \cos x \) બંને સતત છે.
આથી, વિધેય \( f(x) \) એ \( R \) પર સતત વિધેય છે.
In simple words: We check if the function is continuous at \( x = 0 \). The value of \( f(0) \) is -1. Both the left-hand limit and the right-hand limit as \( x \) approaches 0 are also -1. Since these three values match, the function is continuous at \( x=0 \). For all other points, the function is a difference of two continuous functions (\( \sin x \) and \( \cos x \)), so it's continuous everywhere. Thus, the function is continuous for all real numbers.

Exam Tip: For functions involving \( \sin x \) and \( \cos x \), their values at \( x=0 \) are \( \sin 0 = 0 \) and \( \cos 0 = 1 \). This helps in evaluating limits quickly.

Question 26. પ્રશ્નો 26 થી 29 માં દર્શાવેલ બિંદુએ વિધેય \( f \) સતત હોય તો \( k \) નું મૂલ્ય શોધો :
\( f(x) = \begin{cases} k \cos x, & x \neq \frac{\pi}{2} \\ 3, & x = \frac{\pi}{2} \end{cases} \)
Answer: વિધેય \( f \) એ \( x = \frac{\pi}{2} \) આગળ સતત છે.
આથી, \( \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x) = f(\frac{\pi}{2}) \)
\( \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} k \cos x = 3 \)
ધારો કે \( x = \frac{\pi}{2} + h \), જેમ \( x \to \frac{\pi}{2} \) તેમ \( h \to 0 \).
\( \lim_{h \to 0} k \cos(\frac{\pi}{2} + h) = 3 \)
\( \lim_{h \to 0} -k \sin h = 3 \)
\( -k \lim_{h \to 0} \sin h = 3 \)
\( -k \cdot 0 = 3 \)
\( 0 = 3 \)
આ નિવેદન અસંગત છે, જે દર્શાવે છે કે આવો કોઈ \( k \) શક્ય નથી.
અહીં, કદાચ પ્રશ્નમાં ભૂલ છે અથવા વિધેય સતત હોઈ શકે નહીં. જો \( k \) ને 0 તરીકે લઈએ તો પણ, 0 = 3 અસત્ય છે, જેથી \( k \) નું કોઈ મૂલ્ય શક્ય નથી.
જો પ્રશ્ન \( \frac{\sin x}{x} \) ને બદલે \( \frac{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}{\frac{\pi}{2}-x} \) હોય, તો \( \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} k \cos x = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} k \sin (\frac{\pi}{2} - x) \) જે 0 થશે.
પરંતુ જો પ્રશ્ન આ પ્રમાણે હોય: \( f(x) = \begin{cases} \frac{k \cos x}{\pi - 2x}, & x \neq \frac{\pi}{2} \\ 3, & x = \frac{\pi}{2} \end{cases} \)
તો, \( \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{k \cos x}{\pi - 2x} = 3 \)
ધારો કે \( x = \frac{\pi}{2} + h \), જેમ \( x \to \frac{\pi}{2} \) તેમ \( h \to 0 \).
\( \lim_{h \to 0} \frac{k \cos(\frac{\pi}{2} + h)}{\pi - 2(\frac{\pi}{2} + h)} = 3 \)
\( \lim_{h \to 0} \frac{-k \sin h}{-2h} = 3 \)
\( \frac{-k}{-2} \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 3 \)
\( \frac{k}{2} \cdot 1 = 3 \)
\( k = 6 \)
આથી, \( k = 6 \).
In simple words: The original function's limit as \( x \) approaches \( \pi/2 \) is \( k \cos(\pi/2) = k \cdot 0 = 0 \). Since the function value at \( \pi/2 \) is 3, for continuity, 0 must equal 3, which is false. This means the original question implies no such \( k \) exists, or there is a typo in the question. Assuming a common type of question, where the denominator is \( \pi - 2x \), we use a substitution \( x = \pi/2 + h \). This simplifies the limit to \( \frac{k}{2} \cdot 1 \). Setting this equal to 3, we find \( k = 6 \).

Exam Tip: When a problem states a function is continuous, set the limit of the function as \( x \) approaches the critical point equal to the function's value at that point. If the limit calculation yields an indeterminate form (like \( 0/0 \)), use L'Hopital's rule or algebraic manipulation to evaluate it.

Question 27. \( f(x) = \begin{cases} kx^2, & x \le 2 \\ 3, & x > 2 \end{cases} \)
Answer: વિધેય \( f \) એ \( x = 2 \) આગળ સતત છે.
આથી, \( \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) \)
\( f(2) = k(2)^2 = 4k \)
\( \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} kx^2 = k(2)^2 = 4k \)
\( \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} 3 = 3 \)
સતતતા માટે, \( 4k = 3 \).
આથી, \( k = \frac{3}{4} \).
In simple words: For the function to be continuous at \( x=2 \), the value of the function at \( x=2 \) must be equal to both the left-hand limit and the right-hand limit at \( x=2 \). The left-hand limit is \( k(2^2) = 4k \), and the right-hand limit is 3. Setting \( 4k = 3 \) gives us the value of \( k = \frac{3}{4} \).

Exam Tip: For piecewise functions, continuity at a junction point requires that the function value, the left-hand limit, and the right-hand limit at that point are all equal.

Question 28. \( f(x) = \begin{cases} kx + 1, & x \le \pi \\ \cos x, & x > \pi \end{cases} \)
Answer: વિધેય \( f \) એ \( x = \pi \) આગળ સતત છે.
આથી, \( \lim_{x \to \pi^-} f(x) = \lim_{x \to \pi^+} f(x) = f(\pi) \)
\( f(\pi) = k\pi + 1 \)
\( \lim_{x \to \pi^-} f(x) = \lim_{x \to \pi^-} (kx + 1) = k\pi + 1 \)
\( \lim_{x \to \pi^+} f(x) = \lim_{x \to \pi^+} \cos x = \cos \pi = -1 \)
સતતતા માટે, \( k\pi + 1 = -1 \).
\( k\pi = -2 \).
આથી, \( k = -\frac{2}{\pi} \).
In simple words: For the function to be continuous at \( x=\pi \), the parts of the function must meet at this point. We set the left-hand limit (\( kx+1 \) evaluated at \( x=\pi \)) equal to the right-hand limit (\( \cos x \) evaluated at \( x=\pi \)). This gives \( k\pi + 1 = -1 \). Solving for \( k \), we get \( k = -2/\pi \).

Exam Tip: Remember basic trigonometric values like \( \cos \pi = -1 \). These are fundamental for solving continuity problems involving trigonometric functions.

Question 29. \( f(x) = \begin{cases} kx + 1, & x \le 5 \\ 3x - 5, & x > 5 \end{cases} \)
Answer: વિધેય \( f \) એ \( x = 5 \) આગળ સતત છે.
આથી, \( \lim_{x \to 5^-} f(x) = \lim_{x \to 5^+} f(x) = f(5) \)
\( f(5) = k(5) + 1 = 5k + 1 \)
\( \lim_{x \to 5^-} f(x) = \lim_{x \to 5^-} (kx + 1) = k(5) + 1 = 5k + 1 \)
\( \lim_{x \to 5^+} f(x) = \lim_{x \to 5^+} (3x - 5) = 3(5) - 5 = 15 - 5 = 10 \)
સતતતા માટે, \( 5k + 1 = 10 \).
\( 5k = 9 \).
આથી, \( k = \frac{9}{5} \).
In simple words: To ensure the function is continuous at \( x=5 \), the limit from the left (\( kx+1 \) at \( x=5 \)) must equal the limit from the right (\( 3x-5 \) at \( x=5 \)). Setting \( 5k+1 = 10 \), we can easily solve to find \( k = 9/5 \).

Exam Tip: For piecewise linear functions, finding the value of 'k' for continuity simply involves equating the expressions at the junction point.

Question 30. \( a \) અને \( b \) નાં એવાં મૂલ્યો શોધો કે જેથી,
\( f(x) = \begin{cases} 5, & x \le 2 \\ ax + b, & 2 < x < 10 \\ 21, & x \ge 10 \end{cases} \) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય સતત હોય.
Answer: વિધેય \( f \) એ \( x = 2 \) અને \( x = 10 \) આગળ સતત છે.
\( x = 2 \) આગળ સતતતા માટે:
\( \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) \)
\( f(2) = 5 \)
\( \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} 5 = 5 \)
\( \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (ax + b) = a(2) + b = 2a + b \)
આથી, \( 2a + b = 5 \) (સમીકરણ 1)
\( x = 10 \) આગળ સતતતા માટે:
\( \lim_{x \to 10^-} f(x) = \lim_{x \to 10^+} f(x) = f(10) \)
\( f(10) = 21 \)
\( \lim_{x \to 10^-} f(x) = \lim_{x \to 10^-} (ax + b) = a(10) + b = 10a + b \)
\( \lim_{x \to 10^+} f(x) = \lim_{x \to 10^+} 21 = 21 \)
આથી, \( 10a + b = 21 \) (સમીકરણ 2)
સમીકરણ (2) માંથી સમીકરણ (1) બાદ કરતા:
\( (10a + b) - (2a + b) = 21 - 5 \)
\( 8a = 16 \)
આથી, \( a = 2 \).
\( a \) ની કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતા:
\( 2(2) + b = 5 \)
\( 4 + b = 5 \)
આથી, \( b = 1 \).
તેથી, \( a = 2 \) અને \( b = 1 \).
In simple words: For the function to be continuous, the different pieces must connect smoothly at their joining points, \( x=2 \) and \( x=10 \). At \( x=2 \), the left-hand side is 5, and the right-hand side is \( 2a+b \). So, \( 2a+b=5 \). At \( x=10 \), the left-hand side is \( 10a+b \), and the right-hand side is 21. So, \( 10a+b=21 \). Solving these two equations simultaneously gives \( a=2 \) and \( b=1 \).

Exam Tip: When a piecewise function has multiple junction points and unknown constants, set up a system of equations by applying the continuity condition (left limit = right limit = function value) at each junction point. Then, solve the system of equations.

Question 31. સાબિત કરો કે વિધેય \( f(x) = \cos(x^2) \) સતત વિધેય છે.
Answer: ધારો કે \( h(x) = x^2 \) અને \( g(x) = \cos x \).
વિધેય \( h(x) = x^2 \) એ \( x \in R \) પર બહુપદીય વિધેય હોવાથી સતત છે.
વિધેય \( g(x) = \cos x \) એ \( x \in R \) પર ત્રિકોણમિતિય વિધેય હોવાથી સતત છે.
સંયોજિત વિધેય \( (g \circ h)(x) = g(h(x)) = g(x^2) = \cos(x^2) \).
જો \( h \) અને \( g \) બંને સતત વિધેયો હોય, તો તેમનું સંયોજન \( (g \circ h)(x) \) પણ સતત હોય છે.
આથી, \( f(x) = \cos(x^2) \) એ સતત વિધેય છે.
In simple words: We can think of \( f(x) = \cos(x^2) \) as two functions joined together. Let one function be \( h(x) = x^2 \) and the other be \( g(x) = \cos x \). We know that \( x^2 \) is always continuous, and \( \cos x \) is also always continuous. When you combine two continuous functions like this (one inside the other), the resulting function is also continuous. Therefore, \( f(x) = \cos(x^2) \) is a continuous function.

Exam Tip: Remember the property that the composition of two continuous functions is also continuous. Identify the inner and outer functions, verify their individual continuity, and then conclude the continuity of the composite function.

Question 32. સાબિત કરો કે વિધેય \( f(x) = |\cos x| \) સતત વિધેય છે.
Answer: ધારો કે \( h(x) = \cos x \) અને \( g(x) = |x| \).
વિધેય \( h(x) = \cos x \) એ \( x \in R \) પર ત્રિકોણમિતિય વિધેય હોવાથી સતત છે.
વિધેય \( g(x) = |x| \) એ \( x \in R \) પર માનાંક વિધેય હોવાથી સતત છે.
સંયોજિત વિધેય \( (g \circ h)(x) = g(h(x)) = g(\cos x) = |\cos x| \).
જો \( h \) અને \( g \) બંને સતત વિધેયો હોય, તો તેમનું સંયોજન \( (g \circ h)(x) \) પણ સતત હોય છે.
આથી, \( f(x) = |\cos x| \) એ સતત વિધેય છે.
In simple words: We break down \( f(x) = |\cos x| \) into two simpler functions: \( h(x) = \cos x \) (the inner function) and \( g(x) = |x| \) (the outer function). We know that \( \cos x \) is continuous for all real numbers. We also know that the absolute value function \( |x| \) is continuous for all real numbers. Since both \( h(x) \) and \( g(x) \) are continuous, their combination (composition) \( g(h(x)) = |\cos x| \) is also continuous.

Exam Tip: The absolute value function \( |x| \) is continuous everywhere. This property, combined with the continuity of other basic functions, is useful for proving the continuity of composite functions like \( |\cos x| \).

Question 33. \( \sin|x| \) વિધેયના સાતત્યનું પરીક્ષણ કરો.
Answer: ધારો કે \( f(x) = |x| \) અને \( g(x) = \sin x \).
વિધેય \( f(x) = |x| \) એ માનાંક વિધેય હોવાથી સતત છે.
વિધેય \( g(x) = \sin x \) એ ત્રિકોણમિતિય વિધેય હોવાથી સતત છે.
સંયોજિત વિધેય \( (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(|x|) = \sin|x| \).
જેમ કે \( f \) અને \( g \) અનુક્રમે માનાંક વિધેય અને ત્રિકોણમિતિય વિધેય હોવાથી સતત વિધેયો છે, તેમનું સંયોજન પણ સતત છે.
આથી, \( \sin|x| \) એ સતત વિધેય છે.
In simple words: To check if \( \sin|x| \) is continuous, we consider it as a combination of two functions: \( f(x) = |x| \) (the absolute value function) and \( g(x) = \sin x \) (the sine function). Both \( |x| \) and \( \sin x \) are known to be continuous for all real numbers. Since we are combining two continuous functions, the resulting composite function \( \sin|x| \) will also be continuous everywhere.

Exam Tip: Similar to Question 31 and 32, understanding composition of functions is key here. The order matters for calculation, but for continuity, if both base functions are continuous, their composition is too.

Question 34. \( f(x) = |x| - |x + 1| \) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય જ્યાં અસતત હોય એવાં તમામ બિંદુઓ શોધો.
Answer: \( f(x) = |x| - |x + 1| \)
ક્રિટિકલ બિંદુઓ \( x = 0 \) અને \( x = -1 \) છે.
કેસ 1: \( x < -1 \)
આ કિસ્સામાં, \( |x| = -x \) અને \( |x+1| = -(x+1) \).
તેથી, \( f(x) = -x - (-(x+1)) = -x + x + 1 = 1 \).
કેસ 2: \( -1 \le x < 0 \)
આ કિસ્સામાં, \( |x| = -x \) અને \( |x+1| = x+1 \).
તેથી, \( f(x) = -x - (x+1) = -2x - 1 \).
કેસ 3: \( x \ge 0 \)
આ કિસ્સામાં, \( |x| = x \) અને \( |x+1| = x+1 \).
તેથી, \( f(x) = x - (x+1) = -1 \).
આમ, \( f(x) = \begin{cases} 1, & x < -1 \\ -2x-1, & -1 \le x < 0 \\ -1, & x \ge 0 \end{cases} \)
હવે, આપણે \( x = -1 \) અને \( x = 0 \) પર સતતતા ચકાસીએ છીએ.
\( x = -1 \) આગળ:
\( f(-1) = -2(-1) - 1 = 2 - 1 = 1 \).
\( \lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} 1 = 1 \).
\( \lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} (-2x-1) = -2(-1) - 1 = 2 - 1 = 1 \).
આથી, \( \lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^+} f(x) = f(-1) \).
તેથી, વિધેય \( f(x) \) એ \( x = -1 \) આગળ સતત છે.
\( x = 0 \) આગળ:
\( f(0) = -1 \).
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-2x-1) = -2(0) - 1 = -1 \).
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (-1) = -1 \).
આથી, \( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) \).
તેથી, વિધેય \( f(x) \) એ \( x = 0 \) આગળ સતત છે.
દરેક કિસ્સામાં, \( f(x) \) બહુપદીય વિધેય હોવાથી સતત છે.
આથી, વિધેય \( f(x) \) એ \( R \) પર સતત છે.
તેથી, અસતત બિંદુઓ મળતાં નથી.
In simple words: We define the function \( f(x) = |x| - |x+1| \) in three different parts based on the values of \( x \): \( x < -1 \), \( -1 \le x < 0 \), and \( x \ge 0 \). We then check the continuity at the points where the definition changes, \( x=-1 \) and \( x=0 \). At both these points, the left-hand limit, the right-hand limit, and the function's value are all equal. Since each piece of the function is a polynomial, and the function is continuous at the transition points, \( f(x) \) is continuous for all real numbers. Thus, there are no points where it is discontinuous.

Exam Tip: Functions involving absolute values should be rewritten as piecewise functions to analyze continuity. Identify the critical points where the expressions inside the absolute values change sign, then evaluate limits and function values at these points.