GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 9 શ્રેણી અને શ્રેઢી Exercise 9.4

પ્રશ્ન 1થી 7માં આપેલ શ્રેઢીમાં પ્રથમ n પદોનો સરવાળો શોધો :

Question 1. \( 1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + 4 \times 5 + \dots \)
Answer: ધારી લો કે, આપેલી શ્રેણીનું \( r \)મું પદ \( a_r \) છે.
\( \therefore a_r = \) (સમાંતર શ્રેણી 1, 2, 3, ....નું \( r \)મું પદ) \( \times \) (સમાંતર શ્રેણી 2, 3, 4, ...નું \( r \)મું પદ)
\( = r \times (r + 1) \)
\( \therefore a_r = r (r + 1) \)
\( \therefore 1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + 4 \times 5 + \dots n \) પદ સુધી
\( = \sum_{r=1}^{n} r(r + 1) \)
\( = \sum_{r=1}^{n} (r^2 + r) \)
\( = \sum_{r=1}^{n} r^2 + \sum_{r=1}^{n} r \)
\( = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \)
\( = \frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{2n+1}{3} + 1 \right] \)
\( = \frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{2n+1+3}{3} \right] \)
\( = \frac{n(n+1)(2n+4)}{6} \)
\( = \frac{n(n+1)2(n+2)}{6} \)
\( = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} \)
In simple words: પહેલાં આપેલા ક્રમનું \( r \)મું પદ શોધો. પછી \( r^2 + r \) ના સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કુલ સરવાળો મેળવો.

Exam Tip: જ્યારે શ્રેઢીના પદો ગુણાકારમાં હોય, ત્યારે પહેલાં તેનો સામાન્ય \( r \)મું પદ શોધીને પછી સરવાળા માટેના પ્રમાણિત સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવો.

Question 2. \( 1 \times 2 \times 3 + 2 \times 3 \times 4 + 3 \times 4 \times 5 + \dots \)
Answer: ધારી લો કે, આપેલી શ્રેણીનું \( r \)મું પદ \( a_r \) છે.
\( \therefore a_r = \) (સમાંતર શ્રેણી 1, 2, 3, ...નું \( r \)મું પદ) \( \times \) (સમાંતર શ્રેણી 2, 3, 4, ...નું \( r \)મું પદ) \( \times \) (સમાંતર શ્રેણી 3, 4, 5, ...નું \( r \)મું પદ)
\( = [1 + (r-1)1] \times [2 + (r-1)1] \times [3 + (r-1)1] \)
\( = (1 + r-1) (2 + r-1) (3 + r-1) \)
\( = r(r+1)(r+2) \)
\( \therefore 1 \times 2 \times 3 + 2 \times 3 \times 4 + 3 \times 4 \times 5 + \dots n \) પદ સુધી
\( = \sum_{r=1}^{n} a_r \)
\( = \sum_{r=1}^{n} r(r+1)(r+2) \)
\( = \sum_{r=1}^{n} r(r^2 + 3r + 2) \)
\( = \sum_{r=1}^{n} (r^3 + 3r^2 + 2r) \)
\( = \sum_{r=1}^{n} r^3 + 3 \sum_{r=1}^{n} r^2 + 2 \sum_{r=1}^{n} r \)
\( = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} \)
\( = \frac{n(n+1)}{4} \left[ n(n+1) + 2(2n+1) + 4 \right] \)
\( = \frac{n(n+1)}{4} \left[ n^2+n+4n+2+4 \right] \)
\( = \frac{n(n+1)(n^2+5n+6)}{4} \)
\( = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4} \)
In simple words: શ્રેણીનું \( r \)મું પદ શોધીને તેને ગુણાકારના રૂપમાં દર્શાવો. પછી દરેક પદ માટે સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને અંતિમ સરવાળો મેળવો.

Exam Tip: જ્યારે ત્રણ ગુણાકારના પદો હોય, ત્યારે \( r(r+1)(r+2) \) ના સ્વરૂપમાં લખીને પછી વિસ્તરણ કરીને સરવાળાના સૂત્રો વાપરવા સરળ રહે છે.

Question 3. \( 3 \times 1^2 + 5 \times 2^2 + 7 \times 3^2 + \dots \)
Answer: ધારી લો કે, આપેલી શ્રેણીનું \( r \)મું પદ \( a_r \) છે.
\( \therefore a_r = \) (સમાંતર શ્રેણી 3, 5, 7, ...નું \( r \)મું પદ) \( \times \) (સમાંતર શ્રેણી 1, 2, 3, ...નું \( r \)મું પદ)\(^2\)
\( = [3 + (r-1)2] \times [1 + (r-1)1]^2 \)
\( = (3 + 2r-2) (1 + r-1)^2 \)
\( = (2r+1) r^2 \)
\( = 2r^3 + r^2 \)
\( \therefore 3 \times 1^2 + 5 \times 2^2 + 7 \times 3^2 + \dots n \) પદ સુધી
\( = \sum_{r=1}^{n} a_r \)
\( = \sum_{r=1}^{n} (2r^3 + r^2) \)
\( = 2 \sum_{r=1}^{n} r^3 + \sum_{r=1}^{n} r^2 \)
\( = 2 \cdot \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)
\( = \frac{n^2(n+1)^2}{2} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)
\( = \frac{n(n+1)}{6} \left[ 3n(n+1) + (2n+1) \right] \)
\( = \frac{n(n+1)}{6} \left[ 3n^2+3n+2n+1 \right] \)
\( = \frac{n(n+1)(3n^2+5n+1)}{6} \)
In simple words: પહેલાં શ્રેણીના \( r \)મું પદને \( 2r^3 + r^2 \) સ્વરૂપમાં શોધો. પછી ઘનના અને વર્ગના સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કુલ સરવાળો મેળવો.

Exam Tip: જ્યારે શ્રેણીના પદોમાં એક પદ ગુણાકારમાં અને બીજું વર્ગમાં હોય, ત્યારે \( a_r \) ને વિસ્તૃત કરીને \( r^3 \) અને \( r^2 \) ના પદોમાં રૂપાંતરિત કરવું મદદરૂપ થાય છે.

Question 4. \( \frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{3 \times 4} + \dots \)
Answer: ધારી લો કે, આપેલી શ્રેણીનું \( r \)મું પદ \( a_r \) છે.
\( a_r = \frac{1}{(1+(r-1)1) \times (2+(r-1)1)} \)
\( = \frac{1}{r(r+1)} \)
\( = \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1} \)
\( \therefore \frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{3 \times 4} + \dots n \) પદ સુધી
\( S_n = \sum_{r=1}^{n} a_r \)
\( = \sum_{r=1}^{n} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1} \right) \)
\( = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \)
\( = 1 - \frac{1}{n+1} \)
\( = \frac{n+1-1}{n+1} \)
\( = \frac{n}{n+1} \)
In simple words: આ પ્રકારની શ્રેણી માટે, \( r \)મું પદ \( \frac{1}{r(r+1)} \) શોધીને તેને \( \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1} \) ના રૂપમાં લખો. પછી સરવાળો કરો, જેમાં વચ્ચેના પદો રદ થશે અને તમને અંતિમ સરવાળો \( \frac{n}{n+1} \) મળશે.

Exam Tip: જ્યારે છેદમાં ગુણાકાર સ્વરૂપના પદો હોય, ત્યારે આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત (partial fractions) નો ઉપયોગ કરીને પદોને વિભાજિત કરવાથી શ્રેણીનો સરવાળો સરળતાથી કરી શકાય છે (ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી).

Question 5. \( 5^2 + 6^2 + 7^2 + \dots + 20^2 \)
Answer: \( 5^2 + 6^2 + 7^2 + \dots + 20^2 \)
\( = (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + \dots + 20^2) - (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2) \)
\( = \sum_{r=1}^{20} r^2 - \sum_{r=1}^{4} r^2 \)
\( = \frac{20(20+1)(2 \times 20+1)}{6} - \frac{4(4+1)(2 \times 4+1)}{6} \)
\( = \frac{20 \times 21 \times 41}{6} - \frac{4 \times 5 \times 9}{6} \)
\( = \frac{17220}{6} - \frac{180}{6} \)
\( = 2870 - 30 \)
\( = 2840 \)
In simple words: આપેલી શ્રેણીનો સરવાળો કરવા માટે, 1 થી 20 સુધીના વર્ગોના સરવાળામાંથી 1 થી 4 સુધીના વર્ગોનો સરવાળો બાદ કરો. આ કરવાથી તમને 5 થી 20 સુધીના વર્ગોનો સાચો સરવાળો મળશે.

Exam Tip: જ્યારે કોઈ શ્રેણી 1 સિવાયના અન્ય પદથી શરૂ થતી હોય, ત્યારે 1 થી શરૂ કરીને કુલ સરવાળો શોધીને, પછી ખૂટતા પદોનો સરવાળો બાદ કરવો એ એક સામાન્ય અને અસરકારક પદ્ધતિ છે.

Question 6. \( 3 \times 8 + 6 \times 11 + 9 \times 14 + \dots \)
Answer: ધારી લો કે, આપેલી શ્રેણીનું \( r \)મું પદ \( a_r \) છે.
\( \therefore a_r = \) (સમાંતર શ્રેણી 3, 6, 9,...નું \( r \)મું પદ) \( \times \) (સમાંતર શ્રેણી 8, 11, 14,...નું \( r \)મું પદ)
\( = [3 + (r-1)3] \times [8 + (r-1)3] \)
\( = (3 + 3r-3) (8 + 3r-3) \)
\( = (3r) (3r+5) \)
\( = 9r^2 + 15r \)
\( \therefore 3 \times 8 + 6 \times 11 + 9 \times 14 + \dots n \) પદ સુધી
\( S_n = \sum_{r=1}^{n} a_r \)
\( = \sum_{r=1}^{n} (9r^2 + 15r) \)
\( = 9 \sum_{r=1}^{n} r^2 + 15 \sum_{r=1}^{n} r \)
\( = 9 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 15 \cdot \frac{n(n+1)}{2} \)
\( = \frac{3n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{15n(n+1)}{2} \)
\( = \frac{n(n+1)}{2} \left[ 3(2n+1) + 15 \right] \)
\( = \frac{n(n+1)}{2} \left[ 6n+3+15 \right] \)
\( = \frac{n(n+1)(6n+18)}{2} \)
\( = \frac{n(n+1)6(n+3)}{2} \)
\( = 3n(n+1)(n+3) \)
In simple words: પહેલાં શ્રેણીના \( r \)મું પદ શોધીને તેને \( 9r^2 + 15r \) ના રૂપમાં લખો. પછી વર્ગ અને સામાન્ય પદોના સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને અંતિમ સરવાળો મેળવો.

Exam Tip: જ્યારે ગુણાકારમાં સમાંતર શ્રેણીના પદો હોય, ત્યારે દરેક ભાગનો \( r \)મું પદ શોધીને ગુણાકાર કરવો અને પછી વિસ્તૃત કરીને પ્રમાણભૂત સરવાળાના સૂત્રો વાપરવા.

Question 7. \( 1^2 + (1^2 + 2^2) + (1^2 + 2^2 + 3^2) + \dots \)
Answer: ધારી લો કે, આપેલી શ્રેણીનું \( r \)મું પદ \( a_r \) છે.
\( \therefore a_r = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + r^2 \)
\( = \frac{r(r+1)(2r+1)}{6} \)
\( = \frac{r(2r^2+3r+1)}{6} \)
\( = \frac{2r^3+3r^2+r}{6} \)
\( = \frac{1}{3} r^3 + \frac{1}{2} r^2 + \frac{1}{6} r \)
\( \therefore 1^2 + (1^2+2^2) + (1^2+2^2+3^2) + \dots n \) પદ સુધી
\( S_n = \sum_{r=1}^{n} a_r \)
\( = \sum_{r=1}^{n} \left( \frac{1}{3} r^3 + \frac{1}{2} r^2 + \frac{1}{6} r \right) \)
\( = \frac{1}{3} \sum_{r=1}^{n} r^3 + \frac{1}{2} \sum_{r=1}^{n} r^2 + \frac{1}{6} \sum_{r=1}^{n} r \)
\( = \frac{1}{3} \cdot \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{n(n+1)}{2} \)
\( = \frac{n^2(n+1)^2}{12} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{12} + \frac{n(n+1)}{12} \)
\( = \frac{n(n+1)}{12} \left[ n(n+1) + (2n+1) + 1 \right] \)
\( = \frac{n(n+1)}{12} \left[ n^2+n+2n+1+1 \right] \)
\( = \frac{n(n+1)(n^2+3n+2)}{12} \)
\( = \frac{n(n+1)(n+1)(n+2)}{12} \)
\( = \frac{n(n+1)^2(n+2)}{12} \)
In simple words: પહેલાં, શ્રેણીના \( r \)મું પદને \( 1^2 + 2^2 + \dots + r^2 \) ના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને \( \frac{1}{3} r^3 + \frac{1}{2} r^2 + \frac{1}{6} r \) સ્વરૂપમાં શોધો. પછી ઘન, વર્ગ અને સામાન્ય પદોના સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કુલ સરવાળો મેળવો.

Exam Tip: જ્યારે શ્રેણીના પદો પોતે જ શ્રેણીના સરવાળા હોય (જેમ કે \( r^2 \) નો સરવાળો), ત્યારે \( a_r \) ને સૌપ્રથમ શોધીને પછી \( \sum a_r \) લાગુ પાડવું.

નીચે આપેલી શ્રેણીઓનાં પ્રથમ n પદોનો સરવાળો શોધો : (પ્રશ્ન નંબર 8, 9, 10 માટે)

Question 8. \( a_n = n(n+1)(n+4) \)
Answer: અહીં, \( a_r = r(r+1)(r+4) \) છે.
\( S_n = \sum_{r=1}^{n} a_r \)
\( = \sum_{r=1}^{n} r(r+1)(r+4) \)
\( = \sum_{r=1}^{n} r(r^2+5r+4) \)
\( = \sum_{r=1}^{n} (r^3+5r^2+4r) \)
\( = \sum_{r=1}^{n} r^3 + 5 \sum_{r=1}^{n} r^2 + 4 \sum_{r=1}^{n} r \)
\( = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + 5 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} \)
\( = \frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{n(n+1)}{2} + \frac{5(2n+1)}{3} + 4 \right] \)
\( = \frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{3n(n+1) + 10(2n+1) + 24}{6} \right] \)
\( = \frac{n(n+1)}{12} \left[ 3n^2+3n+20n+10+24 \right] \)
\( = \frac{n(n+1)(3n^2+23n+34)}{12} \)
In simple words: \( a_n \) પદને \( r^3 + 5r^2 + 4r \) સ્વરૂપમાં વિસ્તૃત કરો. પછી દરેક ઘાત માટે સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને અંતિમ સરવાળો મેળવો.

Exam Tip: \( a_n \) ને વિસ્તૃત કર્યા પછી, \( \sum r^3 \), \( \sum r^2 \), અને \( \sum r \) ના સૂત્રો યાદ રાખવા અને તેનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે.

Question 9. \( a_n = n^2 + 2^n \)
Answer: અહીં, \( a_r = r^2 + 2^r \) છે.
\( S_n = \sum_{r=1}^{n} a_r \)
\( = \sum_{r=1}^{n} (r^2 + 2^r) \)
\( = \sum_{r=1}^{n} r^2 + \sum_{r=1}^{n} 2^r \)
\( = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^n) \)
\( = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{2(2^n-1)}{2-1} \)
\( = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2(2^n-1) \)
In simple words: \( a_n \) ને વર્ગ અને ઘાતાંક શ્રેણીના સરવાળામાં વિભાજિત કરો. પછી વર્ગના સરવાળાનું સૂત્ર અને ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર વાપરીને અંતિમ જવાબ મેળવો.

Exam Tip: જ્યારે \( a_n \) માં \( r^k \) અને \( a^r \) જેવા પદોનો સરવાળો હોય, ત્યારે તેમને અલગ-અલગ કરીને દરેક માટે યોગ્ય સૂત્ર વાપરવું અને પછી પરિણામોનો સરવાળો કરવો.

Question 10. \( a_n = (2n-1)^2 \)
Answer: અહીં, \( a_r = (2r-1)^2 \) છે.
\( S_n = \sum_{r=1}^{n} a_r \)
\( = \sum_{r=1}^{n} (2r-1)^2 \)
\( = \sum_{r=1}^{n} (4r^2 - 4r + 1) \)
\( = 4 \sum_{r=1}^{n} r^2 - 4 \sum_{r=1}^{n} r + \sum_{r=1}^{n} 1 \)
\( = 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n \)
\( = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n \)
\( = n \left[ \frac{2(n+1)(2n+1)}{3} - 2(n+1) + 1 \right] \)
\( = n \left[ \frac{2(2n^2+3n+1) - 6(n+1) + 3}{3} \right] \)
\( = n \left[ \frac{4n^2+6n+2 - 6n-6 + 3}{3} \right] \)
\( = n \left[ \frac{4n^2-1}{3} \right] \)
\( = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3} \)
In simple words: પહેલાં, \( (2n-1)^2 \) પદને વિસ્તૃત કરીને \( 4r^2 - 4r + 1 \) સ્વરૂપમાં લખો. પછી દરેક પદ માટે સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને અંતિમ સરવાળો મેળવો.

Exam Tip: દ્વિપદીના વર્ગને વિસ્તૃત કરવાનું ભૂલશો નહીં અને પછી દરેક પદ માટે યોગ્ય સરવાળાના સૂત્રો લાગુ કરો.