GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 9 શ્રેણી અને શ્રેઢી Exercise 9.5

નીચેની દરેક સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં અનંત પદોનો સરવાળો શોધો : (પ્રશ્ન 1થી 4)

Question 1. 1, \( \frac{1}{3} \), \( \frac{1}{9} \), ..........
Answer: અહીં, પ્રથમ પદ \( a = 1 \) અને સામાન્ય ગુણોત્તર \( r = \frac{1}{3} \) છે. કારણ કે \( |r| = \frac{1}{3} \) જે 1 કરતાં ઓછું છે, તેથી આ શ્રેણીનાં અનંત પદોનો સરવાળો આ સૂત્ર દ્વારા મળે છે: \( S = \frac{a}{1-r} \). કિંમતો મૂકતા, આપણને
\( S = \frac{1}{1-\frac{1}{3}} \)
\( = \frac{1}{\frac{2}{3}} \)
\( = \frac{3}{2} \)
\( = 1.5 \)
મળે છે.
In simple words: અહીં, પ્રથમ પદ \( a=1 \) અને ગુણોત્તર \( r=\frac{1}{3} \) છે. ગુણોત્તર 1 થી ઓછો હોવાથી, અનંત શ્રેણીનો સરવાળો \( S = \frac{a}{1-r} \) સૂત્રથી ગણી શકાય.

Exam Tip: અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો શોધવા માટે હંમેશા \( |r| < 1 \) ની શરત તપાસવી જરૂરી છે, નહીં તો સરવાળો શક્ય નથી.

Question 2. 6, 1.2, 0.24, ..........
Answer: આ શ્રેણીમાં પ્રથમ પદ \( a = 6 \) છે. સામાન્ય ગુણોત્તર \( r = \frac{1.2}{6} = 0.2 \) છે. કારણ કે \( |r| = 0.2 \) જે 1 કરતાં નાનું છે, તેથી અનંત પદોનો સરવાળો ગણવા માટે, આપણે \( S = \frac{a}{1-r} \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. કિંમતો દાખલ કરતા,
\( S = \frac{6}{1-0.2} \)
\( = \frac{6}{0.8} \)
\( = \frac{60}{8} \)
\( = 7.5 \)
મળે છે.
In simple words: અહીં પ્રથમ પદ 6 છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર 0.2 છે. આથી, અનંત સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે શ્રેણીનો સરવાળો 7.5 મેળવી શકીએ છીએ.

Exam Tip: દશાંશ સંખ્યાઓમાં ગણતરી કરતી વખતે ધ્યાન રાખવું, ખાસ કરીને ગુણોત્તર \( r \) શોધતી વખતે.

Question 3. 5, \( \frac{20}{7} \), \( \frac{80}{49} \), ........
Answer: આ શ્રેણીમાં પ્રથમ પદ \( a = 5 \) છે. સામાન્ય ગુણોત્તર \( r = \frac{20}{7} \div 5 = \frac{20}{7} \times \frac{1}{5} = \frac{4}{7} \) છે. કારણ કે \( |r| = \frac{4}{7} \) જે 1 કરતાં ઓછું છે, તેથી અનંત પદોનો સરવાળો ગણવા માટે, આપણે \( S = \frac{a}{1-r} \) સૂત્ર વાપરીએ છીએ. કિંમતો મૂકતા, આપણને
\( S = \frac{5}{1-\frac{4}{7}} \)
\( = \frac{5}{\frac{7-4}{7}} \)
\( = \frac{5}{\frac{3}{7}} \)
\( = \frac{5 \times 7}{3} \)
\( = \frac{35}{3} \)
મળે છે.
In simple words: પ્રથમ પદ 5 છે અને ગુણોત્તર \( \frac{4}{7} \) છે. ગુણોત્તર 1 થી ઓછો હોવાથી, અનંત શ્રેણીનો સરવાળો \( \frac{35}{3} \) થાય છે.

Exam Tip: અપૂર્ણાંકમાં ભાગાકાર અને ગુણાકારની ગણતરી કાળજીપૂર્વક કરવી, ખાસ કરીને \( 1-r \) પદનું સાદું રૂપ આપતી વખતે.

Question 4. \( -\frac{3}{4} \), \( \frac{3}{16} \), \( -\frac{3}{64} \), ........
Answer: આ શ્રેણીમાં પ્રથમ પદ \( a = -\frac{3}{4} \) છે. સામાન્ય ગુણોત્તર \( r = \frac{3}{16} \div (-\frac{3}{4}) = \frac{3}{16} \times (-\frac{4}{3}) = -\frac{1}{4} \) છે. કારણ કે \( |r| = \frac{1}{4} \) જે 1 કરતાં નાનું છે, તેથી અનંત પદોનો સરવાળો શોધવા માટે, આપણે \( S = \frac{a}{1-r} \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. કિંમતો દાખલ કરતા, આપણને
\( S = \frac{-\frac{3}{4}}{1-(-\frac{1}{4})} \)
\( = \frac{-\frac{3}{4}}{1+\frac{1}{4}} \)
\( = \frac{-\frac{3}{4}}{\frac{4+1}{4}} \)
\( = \frac{-\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}} \)
\( = -\frac{3}{5} \)
મળે છે.
In simple words: અહીં પ્રથમ પદ \( -\frac{3}{4} \) અને સામાન્ય ગુણોત્તર \( -\frac{1}{4} \) છે. ગુણોત્તર 1 થી ઓછો હોવાથી, અનંત શ્રેણીનો સરવાળો \( -\frac{3}{5} \) થશે.

Exam Tip: ઋણ સંખ્યાઓ સાથે કામ કરતી વખતે ચિહ્નો (signs) નું ખાસ ધ્યાન રાખવું જેથી ગણતરીમાં ભૂલ ન થાય.

Question 5. સાબિત કરો કે \( 3^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{1}{4}} \times 3^{\frac{1}{8}} \times \ldots = 3 \)
Answer: આપણે જાણીએ છીએ કે \( 3^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{1}{4}} \times 3^{\frac{1}{8}} \times \ldots \) ને \( 3^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots} \) તરીકે લખી શકાય છે. ઘાતાંકમાં રહેલી શ્રેણી \( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots \) એ અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે. અહીં, પ્રથમ પદ \( a = \frac{1}{2} \) અને સામાન્ય ગુણોત્તર \( r = \frac{1}{2} \) છે. કારણ કે \( |r| = \frac{1}{2} \) જે 1 કરતાં ઓછું છે, તેથી આ શ્રેણીનાં અનંત પદોનો સરવાળો શોધવા માટે, આપણે \( S = \frac{a}{1-r} \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. કિંમતો મૂકતા, આપણને
\( S = \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} \)
\( = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \)
\( = 1 \)
મળે છે. તેથી, \( 3^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots} = 3^1 = 3 \). આ રીતે સાબિત થાય છે.
In simple words: જ્યારે ઘાતાંકમાં ગુણાકાર હોય, ત્યારે આધાર સરખા હોય તો ઘાતાંકનો સરવાળો કરી શકાય. અહીં ઘાતાંક અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી બનાવે છે. તેનો સરવાળો 1 હોવાથી, આખો ગુણાકાર 3 થાય છે.

Exam Tip: ઘાતાંકના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને જટિલ અભિવ્યક્તિઓને સરળ બનાવવી, અને અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર યાદ રાખવું.

Question 6. \( |a|<1 \) તથા \( |b|<1 \) માટે \( x = 1 + a + a^2 + \ldots \) અને \( y = 1 + b + b^2 + \ldots \), તો સાબિત કરો કે, \( 1 + ab + a^2b^2 + \ldots = \frac{xy}{x+y-1} \)
Answer: અહીં, આપેલ છે કે \( |a| < 1 \) અને \( |b| < 1 \). આથી, \( |ab| < 1 \) પણ થશે.
આપણે જાણીએ છીએ કે અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર \( S = \frac{a}{1-r} \) છે.
તેથી,
\( x = 1 + a + a^2 + \ldots = \frac{1}{1-a} \)
\( y = 1 + b + b^2 + \ldots = \frac{1}{1-b} \)
અને, \( 1 + ab + a^2b^2 + \ldots = \frac{1}{1-ab} \ldots (1) \)

હવે, આપણે \( \frac{xy}{x+y-1} \) ની કિંમત શોધીએ:
\( \frac{xy}{x+y-1} = \frac{(\frac{1}{1-a})(\frac{1}{1-b})}{\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} - 1} \)
\( = \frac{\frac{1}{(1-a)(1-b)}}{\frac{(1-b) + (1-a) - (1-a)(1-b)}{(1-a)(1-b)}} \)
\( = \frac{1}{(1-b) + (1-a) - (1-a)(1-b)} \)
\( = \frac{1}{1-b+1-a-(1-b-a+ab)} \)
\( = \frac{1}{1-b+1-a-1+b+a-ab} \)
\( = \frac{1}{1-ab} \ldots (2) \)
પરિણામ (1) અને (2) પરથી, સાબિત થાય છે કે \( 1 + ab + a^2b^2 + \ldots = \frac{xy}{x+y-1} \).
In simple words: આપેલ શ્રેણીઓ અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીઓ છે. સૌપ્રથમ \( x \) અને \( y \) ને તેમના સૂત્ર પ્રમાણે લખો. પછી, \( 1 + ab + a^2b^2 + \ldots \) ને પણ તેના સૂત્રમાં રૂપાંતરિત કરો. છેલ્લે, \( \frac{xy}{x+y-1} \) ની ગણતરી કરો અને બતાવો કે તે \( 1 + ab + a^2b^2 + \ldots \) સમાન છે.

Exam Tip: આવા સાબિતીના દાખલાઓમાં, ડાબી બાજુ (LHS) અને જમણી બાજુ (RHS) ને અલગ-અલગ રીતે ગણીને સરખી બતાવવી એ શ્રેષ્ઠ પદ્ધતિ છે.