GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 9 શ્રેણી અને શ્રેઢી Exercise 9.3

Question 1. સમગુણોત્તર શ્રેણી \( \frac { 5 }{ 2 }, \frac { 5 }{ 4 }, \frac { 5 }{ 8 } \); .......... 20મું પદ તથા nમું પદ શોધો.
Answer: અહીં, આપેલી સમગુણોત્તર શ્રેણી \( \frac { 5 }{ 2 }, \frac { 5 }{ 4 }, \frac { 5 }{ 8 }, \dots \) છે.
તેથી, પ્રથમ પદ \( a = \frac { 5 }{ 2 } \) અને સામાન્ય ગુણોત્તર \( r = \frac { 5/4 }{ 5/2 } = \frac { 1 }{ 2 } \) છે.
હવે, આ શ્રેણીનું nમું પદ \( a_n = a \cdot r^{n-1} \) સૂત્ર મુજબ,
\( a_n = \frac { 5 }{ 2 } \cdot \left( \frac { 1 }{ 2 } \right)^{n-1} = 5 \cdot \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \cdot \left( \frac { 1 }{ 2 } \right)^{n-1} \)
\( \implies a_n = 5 \cdot \left( \frac { 1 }{ 2 } \right)^{n} \)



\( \implies a_n = \frac { 5 }{ 2^n } \)
અને તેથી તેનું 20મું પદ \( a_{20} = \frac { 5 }{ 2^{20} } \) થશે.
આમ, આપેલી સમગુણોત્તર શ્રેણીનું 20મું પદ \( \frac { 5 }{ 2^{20} } \) અને nમું પદ \( \frac { 5 }{ 2^n } \) છે.
In simple words: આપેલી શ્રેણીમાં, પ્રથમ પદ 5/2 છે અને દરેક પછીનું પદ અગાઉના પદનો અડધો છે. શ્રેણીનું nમું પદ 5/(2^n) અને 20મું પદ 5/(2^20) થાય છે.

Exam Tip: જ્યારે કોઈ સમગુણોત્તર શ્રેણીના પદો શોધવાના હોય, ત્યારે પ્રથમ પદ (a) અને સામાન્ય ગુણોત્તર (r)ને બરાબર ઓળખો. પછી, nમાં પદના સૂત્ર \( a_n = ar^{n-1} \) નો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરો.

Question 2. શ્રેણીનું 8મું પદ 192 છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર 2 છે, તો તેનું 12નું પદ શોધો.
Answer: ધારો કે, આપેલી સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ \( a \) અને સામાન્ય ગુણોત્તર \( r \) છે. અહીં, 8મું પદ \( a_8 = 192 \) અને સામાન્ય ગુણોત્તર \( r = 2 \) આપેલ છે.
હવે, \( a_n = ar^{n-1} \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને:
\( a_8 = ar^{8-1} = ar^7 \)
\( 192 = a(2)^7 \)
\( 192 = a(128) \)
\( a = \frac { 192 }{ 128 } = \frac { 3 }{ 2 } \)
તેથી, પ્રથમ પદ \( a = \frac { 3 }{ 2 } \) અને સામાન્ય ગુણોત્તર \( r = 2 \) છે.
આ શ્રેણીનું 12મું પદ \( a_{12} = ar^{12-1} = ar^{11} \)
\( a_{12} = \frac { 3 }{ 2 } \cdot (2)^{11} \)
\( a_{12} = 3 \cdot (2)^{10} = 3 \cdot (1024) \)
\( a_{12} = 3072 \)
આમ, આપેલી સમગુણોત્તર શ્રેણીનું 12મું પદ 3072 છે.
In simple words: એક શ્રેણીનું 8મું પદ 192 અને સામાન્ય ગુણોત્તર 2 છે. આપણે પ્રથમ પદ શોધવા માટે આ માહિતીનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જે 3/2 મળે છે. પછી, 12મું પદ શોધવા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જે 3072 આવે છે.

Exam Tip: આવા દાખલાઓમાં, આપેલ પદનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ પદ \( a \) શોધવું એ પ્રથમ પગલું છે. પછી, તમે કોઈ પણ માંગેલ પદને શોધી શકો છો. ગણતરીમાં ઘાતાંકના નિયમોનો સાચો ઉપયોગ કરો.

Question 3. સમગુણોત્તર શ્રેણીના પાંચમા, આઠમા અને અગિયારમા પદ અનુક્રમે P, q અને s હોય, તો બતાવો કે \( q^2 = ps \).
Answer: ધારો કે, સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ \( a \) અને સામાન્ય ગુણોત્તર \( r \) છે.
પક્ષ અનુસાર, 5મું પદ \( a_5 = P \), 8મું પદ \( a_8 = q \) અને 11મું પદ \( a_{11} = s \) છે.
\( a_n = ar^{n-1} \) સૂત્ર મુજબ,
\( ar^{5-1} = ar^4 = P \) ...(1)
\( ar^{8-1} = ar^7 = q \) ...(2)
\( ar^{11-1} = ar^{10} = s \) ...(3)
હવે, આપણે સાબિત કરવાનું છે કે \( q^2 = ps \).
સમીકરણ (2) પરથી, \( q = ar^7 \).
તેથી, \( q^2 = (ar^7)^2 = a^2 r^{14} \)
આપણે \( a^2 r^{14} \) ને \( ar^4 \) અને \( ar^{10} \) ના ગુણાકાર તરીકે લખી શકીએ છીએ:
\( a^2 r^{14} = (ar^4) \cdot (ar^{10}) \)
સમીકરણ (1) અને (3) પરથી \( ar^4 = P \) અને \( ar^{10} = s \).
તેથી, \( q^2 = P \cdot s \)
આમ, \( q^2 = ps \) સાબિત થાય છે.
In simple words: જો પાંચમું, આઠમું અને અગિયારમું પદ P, q, s હોય, તો આપણે તેમને a અને r ના સ્વરૂપમાં લખીએ. પછી, આપણે q ના વર્ગ અને P ગુણ્યા s ની ગણતરી કરીએ છીએ અને બતાવીએ છીએ કે બંને સમાન છે, જે સાબિત કરે છે કે \( q^2 = ps \).

Exam Tip: આ પ્રકારના દાખલામાં, આપેલ પદોને પ્રથમ પદ (a) અને સામાન્ય ગુણોત્તર (r)ના સ્વરૂપમાં લખો. પછી, ડાબા અને જમણા હાથની બાજુઓની કિંમતો શોધીને તેમની તુલના કરો.

Question 4. એક સમગુણોત્તર શ્રેણીનું ચોથું પદ બીજા પદના વર્ગ જેટલું છે અને પ્રથમ પદ -3 છે, તો તેનું 7મું પદ શોધો.
Answer: અહીં, આપેલ સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ \( a = -3 \) છે. ધારો કે, તેનો સામાન્ય ગુણોત્તર \( r \) છે.
પક્ષ અનુસાર, ચોથું પદ બીજા પદના વર્ગ જેટલું છે, એટલે કે \( a_4 = (a_2)^2 \).
\( a_n = ar^{n-1} \) સૂત્ર મુજબ,
\( ar^{4-1} = (ar^{2-1})^2 \)
\( ar^3 = (ar)^2 \)
\( ar^3 = a^2 r^2 \)
જો \( a \neq 0 \) અને \( r \neq 0 \) હોય, તો બંને બાજુ \( ar^2 \) વડે ભાગતાં,
\( r = a \)
આપણને પ્રથમ પદ \( a = -3 \) આપેલું છે.
તેથી, \( r = -3 \).
હવે, શ્રેણીનું 7મું પદ \( a_7 = ar^{7-1} = ar^6 \)
\( a_7 = (-3) \cdot (-3)^6 \)
\( a_7 = (-3) \cdot (729) \)
\( a_7 = -2187 \)
આમ, આપેલી સમગુણોત્તર શ્રેણીનું 7મું પદ -2187 છે.
In simple words: પ્રથમ પદ -3 અને ચોથું પદ બીજા પદના વર્ગ બરાબર છે. આ માહિતીનો ઉપયોગ કરીને, આપણે સામાન્ય ગુણોત્તર r = -3 શોધીએ છીએ. પછી, આ કિંમતોનો ઉપયોગ કરીને 7મું પદ -2187 મળે છે.

Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, આપેલ શરતોને સમીકરણોના રૂપમાં લખો. પછી, પ્રથમ પદ અને સામાન્ય ગુણોત્તર શોધવા માટે તેમને ઉકેલો. યાદ રાખો કે \( a_n = ar^{n-1} \) એ સમગુણોત્તર શ્રેણીના nમાં પદનું સૂત્ર છે.

Question 5. (a) શ્રેણી \( 2, 2\sqrt{2}, 4, \dots \)નું કેટલામું પદ 128 થાય?
(b) શ્રેણી \( \sqrt{3}, 3, 3\sqrt{3}, \dots \)નું કેટલામું પદ 729 થાય?
Answer:
(a) શ્રેણી \( 2, 2\sqrt{2}, 4, \dots \) માટે
પ્રથમ પદ \( a = 2 \) અને સામાન્ય ગુણોત્તર \( r = \frac { 2\sqrt{2} }{ 2 } = \sqrt{2} \) છે.
ધારો કે, આપેલી શ્રેણીનું nમું પદ 128 છે.
\( a_n = 128 \)
\( ar^{n-1} = 128 \)
\( 2 \cdot (\sqrt{2})^{n-1} = 128 \)
\( (\sqrt{2})^{n-1} = \frac { 128 }{ 2 } = 64 \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \sqrt{2} = 2^{1/2} \) અને \( 64 = 2^6 \).
તેથી, \( (2^{1/2})^{n-1} = 2^6 \)
\( 2^{\frac { n-1 }{ 2 }} = 2^6 \)
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતાં,
\( \frac { n-1 }{ 2 } = 6 \)
\( n-1 = 12 \)
\( n = 13 \)
આમ, આપેલી શ્રેણીનું 13મું પદ 128 છે.
(b) શ્રેણી \( \sqrt{3}, 3, 3\sqrt{3}, \dots \) માટે
પ્રથમ પદ \( a = \sqrt{3} \) અને સામાન્ય ગુણોત્તર \( r = \frac { 3 }{ \sqrt{3} } = \sqrt{3} \) છે.
ધારો કે, આપેલી શ્રેણીનું nમું પદ 729 છે.
\( a_n = 729 \)
\( ar^{n-1} = 729 \)
\( \sqrt{3} \cdot (\sqrt{3})^{n-1} = 729 \)
\( (\sqrt{3})^n = 729 \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \sqrt{3} = 3^{1/2} \) અને \( 729 = 3^6 \).
તેથી, \( (3^{1/2})^n = 3^6 \)
\( 3^{\frac { n }{ 2 }} = 3^6 \)
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતાં,
\( \frac { n }{ 2 } = 6 \)
\( n = 12 \)
આમ, આપેલી શ્રેણીનું 12મું પદ 729 છે.
In simple words: (a) શ્રેણી 2, 2√2, 4,... નું 13મું પદ 128 છે કારણ કે \( r = \sqrt{2} \). (b) શ્રેણી √3, 3, 3√3,... નું 12મું પદ 729 છે કારણ કે \( r = \sqrt{3} \). nમું પદ શોધવા માટે ઘાતાંકોને સરખાવો.

Exam Tip: જ્યારે કોઈ શ્રેણીનું કયું પદ આપેલ સંખ્યા છે તે શોધવાનું હોય, ત્યારે \( a_n = ar^{n-1} \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરો. ઘાતાંકોને સમાન પાયામાં રૂપાંતરિત કરો અને પછી n શોધવા માટે ઘાતાંકોની તુલના કરો.

Question 5. (c) શ્રેણી \( \frac { 1 }{ 3 }, \frac { 1 }{ 9 }, \frac { 1 }{ 27 }, \dots \)નું કેટલામું પદ \( \frac { 1 }{ 19683 } \) થાય?
Answer: અહીં, આપેલી શ્રેણી \( \frac { 1 }{ 3 }, \frac { 1 }{ 9 }, \frac { 1 }{ 27 }, \dots \) છે.
પ્રથમ પદ \( a = \frac { 1 }{ 3 } \) અને સામાન્ય ગુણોત્તર \( r = \frac { 1/9 }{ 1/3 } = \frac { 1 }{ 3 } \) છે.
ધારો કે, આપેલી શ્રેણીનું nમું પદ \( \frac { 1 }{ 19683 } \) છે.
\( a_n = \frac { 1 }{ 19683 } \)
\( ar^{n-1} = \frac { 1 }{ 19683 } \)
\( \frac { 1 }{ 3 } \cdot \left( \frac { 1 }{ 3 } \right)^{n-1} = \frac { 1 }{ 19683 } \)
\( \left( \frac { 1 }{ 3 } \right)^n = \frac { 1 }{ 19683 } \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( 19683 = 3^9 \).
તેથી, \( \left( \frac { 1 }{ 3 } \right)^n = \frac { 1 }{ 3^9 } \)
\( \left( \frac { 1 }{ 3 } \right)^n = \left( \frac { 1 }{ 3 } \right)^9 \)
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતાં,
\( n = 9 \)
આમ, આપેલી શ્રેણીનું 9મું પદ \( \frac { 1 }{ 19683 } \) છે.
In simple words: શ્રેણી \( \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \dots \) માં, પ્રથમ પદ 1/3 છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર પણ 1/3 છે. જો nમું પદ \( \frac{1}{19683} \) હોય, તો આપણે 3 ને કઈ ઘાત 19683 આપે છે તે શોધીએ છીએ. 3 ની 9 ઘાત 19683 છે, તેથી n = 9.

Exam Tip: જ્યારે અપૂર્ણાંકો સાથે કામ કરતા હો, ત્યારે પ્રથમ પદ અને સામાન્ય ગુણોત્તર બરાબર નક્કી કરો. ઘાતાંકોને સમાન આધાર પર રૂપાંતરિત કરવાની ક્ષમતા n શોધવા માટે નિર્ણાયક છે.

Question 6. \( x \) ની કિંમત માટે \( -\frac { 2 }{ 7 }, x, -\frac { 7 }{ 2 } \) સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં થાય?
Answer: જો ત્રણ સંખ્યાઓ \( a, b, c \) સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય, તો \( b^2 = ac \) થાય છે.
અહીં, આપેલ સંખ્યાઓ \( -\frac { 2 }{ 7 }, x, -\frac { 7 }{ 2 } \) સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.
તેથી, \( x^2 = \left( -\frac { 2 }{ 7 } \right) \cdot \left( -\frac { 7 }{ 2 } \right) \)
\( x^2 = 1 \)
\( x = \pm 1 \)
આમ, \( x \) ની કિંમત \( 1 \) અથવા \( -1 \) હોઈ શકે છે જેથી શ્રેણી સમગુણોત્તર બને.
In simple words: જો ત્રણ સંખ્યાઓ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય, તો વચ્ચેની સંખ્યાનો વર્ગ બાકીની બે સંખ્યાઓના ગુણાકાર બરાબર હોય છે. અહીં, x નો વર્ગ (-2/7) અને (-7/2) ના ગુણાકાર બરાબર છે, જે 1 આપે છે. તેથી, x એ +1 અથવા -1 હોઈ શકે.

Exam Tip: યાદ રાખો કે ત્રણ સંખ્યાઓ \( a, b, c \) સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય તો \( b \)ને \( a \) અને \( c \) નો સમગુણોત્તર મધ્યક કહેવાય છે અને તેની શરત \( b^2 = ac \) છે.

Question 7. નીચેની સમગુણોત્તર શ્રેણીઓમાં નિર્દેશિત પદોનો સરવાળો શોધો : (પ્રશ્ન નંબર 7થી 10)
\( 0.15, 0.015, 0.0015, \dots \) પ્રથમ 20 પદ
Answer: અહીં, આપેલી સમગુણોત્તર શ્રેણી \( 0.15, 0.015, 0.0015, \dots \) છે.
પ્રથમ પદ \( a = 0.15 \).
સામાન્ય ગુણોત્તર \( r = \frac { 0.015 }{ 0.15 } = \frac { 1 }{ 10 } = 0.1 \).
અહીં, \( |r| = |0.1| = 0.1 < 1 \) છે. પદોની સંખ્યા \( n = 20 \).
સમગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ \( n \) પદોના સરવાળાનું સૂત્ર જ્યારે \( |r| < 1 \) હોય: \( S_n = \frac { a(1-r^n) }{ 1-r } \)
આ સૂત્રમાં \( a = 0.15 \), \( r = 0.1 \) અને \( n = 20 \) કિંમતો મૂકતાં,
\( S_{20} = \frac { 0.15(1-(0.1)^{20}) }{ 1-0.1 } \)
\( S_{20} = \frac { 0.15(1-(0.1)^{20}) }{ 0.9 } \)
\( S_{20} = \frac { 15/100 \cdot (1-(0.1)^{20}) }{ 9/10 } \)
\( S_{20} = \frac { 15 }{ 100 } \cdot \frac { 10 }{ 9 } \cdot (1-(0.1)^{20}) \)
\( S_{20} = \frac { 15 }{ 90 } \cdot (1-(0.1)^{20}) \)
\( S_{20} = \frac { 1 }{ 6 } (1-(0.1)^{20}) \)
આમ, પ્રથમ 20 પદોનો સરવાળો \( \frac { 1 }{ 6 } (1-(0.1)^{20}) \) છે.
In simple words: અહીં, પ્રથમ પદ 0.15 છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર 0.1 છે. કારણ કે ગુણોત્તર 1 કરતા ઓછો છે, આપણે સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળા માટેના ખાસ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. 20 પદોનો સરવાળો 1/6 (1 - 0.1^20) મળે છે.

Exam Tip: જ્યારે સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાની ગણતરી કરતા હો, ત્યારે સામાન્ય ગુણોત્તર \( r \)ની કિંમતનું ખાસ ધ્યાન રાખો. જો \( |r| < 1 \) હોય તો \( S_n = \frac { a(1-r^n) }{ 1-r } \) અને જો \( |r| > 1 \) હોય તો \( S_n = \frac { a(r^n-1) }{ r-1 } \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરો. ભૂલ વગર અપૂર્ણાંકો અને દશાંશની ગણતરી કરો.

Question 8. નીચેની સમગુણોત્તર શ્રેણીઓમાં નિર્દેશિત પદોનો સરવાળો શોધો : (પ્રશ્ન નંબર 7થી 10)
\( \sqrt{7}, \sqrt{21}, 3\sqrt{7}, \dots \) પ્રથમ \( n \) પદ
Answer: અહીં, આપેલી સમગુણોત્તર શ્રેણી \( \sqrt{7}, \sqrt{21}, 3\sqrt{7}, \dots \) છે.
પ્રથમ પદ \( a = \sqrt{7} \).
સામાન્ય ગુણોત્તર \( r = \frac { \sqrt{21} }{ \sqrt{7} } = \sqrt{\frac { 21 }{ 7 }} = \sqrt{3} \).
અહીં, \( |r| = \sqrt{3} > 1 \) છે. પદોની સંખ્યા \( n \) છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ \( n \) પદોના સરવાળાનું સૂત્ર જ્યારે \( |r| > 1 \) હોય: \( S_n = \frac { a(r^n-1) }{ r-1 } \)
આ સૂત્રમાં \( a = \sqrt{7} \) અને \( r = \sqrt{3} \) કિંમતો મૂકતાં,
\( S_n = \frac { \sqrt{7}((\sqrt{3})^n-1) }{ \sqrt{3}-1 } \)
છેદને સંમેય બનાવવા માટે \( \frac { \sqrt{3}+1 }{ \sqrt{3}+1 } \) વડે ગુણતા અને ભાગતા:
\( S_n = \frac { \sqrt{7}((\sqrt{3})^n-1) }{ \sqrt{3}-1 } \cdot \frac { \sqrt{3}+1 }{ \sqrt{3}+1 } \)
\( S_n = \frac { \sqrt{7}(\sqrt{3}+1)((\sqrt{3})^n-1) }{ (\sqrt{3})^2-1^2 } \)
\( S_n = \frac { \sqrt{7}(\sqrt{3}+1)(3^{n/2}-1) }{ 3-1 } \)
\( S_n = \frac { \sqrt{7}(\sqrt{3}+1)(3^{n/2}-1) }{ 2 } \)
આમ, પ્રથમ \( n \) પદોનો સરવાળો \( \frac { \sqrt{7}(\sqrt{3}+1)(3^{n/2}-1) }{ 2 } \) છે.
In simple words: આ શ્રેણીમાં પ્રથમ પદ √7 છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર √3 છે. ગુણોત્તર 1 કરતા મોટો હોવાથી, આપણે સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળા માટેના યોગ્ય સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. છેદને સંમેય બનાવીને, n પદોનો સરવાળો \(\frac { \sqrt{7}(\sqrt{3}+1)(3^{n/2}-1) }{ 2 } \) મળે છે.

Exam Tip: વર્ગમૂળવાળી સંખ્યાઓ સાથે કામ કરતી વખતે, ગણતરીમાં સાવચેત રહો. છેદને સંમેય બનાવવાથી જવાબને સરળ સ્વરૂપમાં લાવવામાં મદદ મળે છે. યાદ રાખો કે \( (\sqrt{a})^n = a^{n/2} \).

Question 9. નીચેની સમગુણોત્તર શ્રેણીઓમાં નિર્દેશિત પદોનો સરવાળો શોધો : (પ્રશ્ન નંબર 7થી 10)
\( 1, -a, a^2, -a^3, \dots \) પ્રથમ \( n \) પદ
Answer: અહીં, આપેલી સમગુણોત્તર શ્રેણી \( 1, -a, a^2, -a^3, \dots \) છે.
પ્રથમ પદ \( A = 1 \).
સામાન્ય ગુણોત્તર \( R = \frac { -a }{ 1 } = -a \).
પદોની સંખ્યા \( n \) છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ \( n \) પદોના સરવાળાનું સૂત્ર: \( S_n = \frac { A(1-R^n) }{ 1-R } \)
આ સૂત્રમાં \( A = 1 \) અને \( R = -a \) કિંમતો મૂકતાં,
\( S_n = \frac { 1(1-(-a)^n) }{ 1-(-a) } \)
\( S_n = \frac { 1-(-a)^n }{ 1+a } \)
આમ, પ્રથમ \( n \) પદોનો સરવાળો \( \frac { 1-(-a)^n }{ 1+a } \) છે.
In simple words: અહીં, પ્રથમ પદ 1 છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર -a છે. n પદોના સરવાળા માટેના સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા, આપણને \( \frac { 1-(-a)^n }{ 1+a } \) મળે છે.

Exam Tip: જ્યારે સામાન્ય ગુણોત્તર ઋણ હોય, ત્યારે \( (-a)^n \) ની ગણતરી કરતી વખતે ઘાતાંકની સમ અને વિષમ સંખ્યા પર ધ્યાન આપો. જો n સમ હોય તો \( a^n \) અને જો n વિષમ હોય તો \( -a^n \) થશે.

Question 10. નીચેની સમગુણોત્તર શ્રેણીઓમાં નિર્દેશિત પદોનો સરવાળો શોધો : (પ્રશ્ન નંબર 7થી 10)
\( x^3, x^5, x^7, \dots \) પ્રથમ \( n \) પદ (જ્યાં, \( x \neq \pm 1 \))
Answer: અહીં, આપેલી સમગુણોત્તર શ્રેણી \( x^3, x^5, x^7, \dots \) છે.
પ્રથમ પદ \( a = x^3 \).
સામાન્ય ગુણોત્તર \( r = \frac { x^5 }{ x^3 } = x^2 \).
પદોની સંખ્યા \( n \) છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ \( n \) પદોના સરવાળાનું સૂત્ર: \( S_n = \frac { a(1-r^n) }{ 1-r } \) (જ્યાં \( r \neq 1 \))
આ સૂત્રમાં \( a = x^3 \) અને \( r = x^2 \) કિંમતો મૂકતાં,
\( S_n = \frac { x^3(1-(x^2)^n) }{ 1-x^2 } \)
\( S_n = \frac { x^3(1-x^{2n}) }{ 1-x^2 } \)
આમ, પ્રથમ \( n \) પદોનો સરવાળો \( \frac { x^3(1-x^{2n}) }{ 1-x^2 } \) છે.
In simple words: આ શ્રેણીમાં પ્રથમ પદ \( x^3 \) અને સામાન્ય ગુણોત્તર \( x^2 \) છે. \( x \neq \pm 1 \) હોવાથી, આપણે સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જેમાં ઘાતાંકના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને સરવાળો \( \frac { x^3(1-x^{2n}) }{ 1-x^2 } \) મળે છે.

Exam Tip: ચલના રૂપમાં શ્રેણીના પદો અને ગુણોત્તર હોય ત્યારે ઘાતાંકના નિયમોનો સાચો ઉપયોગ કરવો મહત્વપૂર્ણ છે. ખાસ કરીને, \( (x^m)^n = x^{mn} \) નિયમ યાદ રાખો.

Question 11. \( \sum_{k=1}^{11}(2 + 3k) \) ની કિંમત શોધો.
Answer: આપણે \( \sum_{k=1}^{11}(2 + 3k) \) ની કિંમત શોધવાની છે.
આ સરવાળાને નીચે મુજબ લખી શકાય:
\( \sum_{k=1}^{11}(2 + 3k) = (2+3 \cdot 1) + (2+3 \cdot 2) + (2+3 \cdot 3) + \dots + (2+3 \cdot 11) \)
\( = (2+3) + (2+6) + (2+9) + \dots + (2+33) \)
આને બે ભાગમાં વિભાજિત કરી શકાય:
\( = (2+2+2+\dots \text{11 પદ સુધી}) + (3+6+9+\dots+33) \)
પ્રથમ ભાગ એ 2 નો 11 વખત સરવાળો છે: \( 11 \cdot 2 = 22 \).
બીજો ભાગ એ સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ \( a = 3 \), સામાન્ય તફાવત \( d = 3 \) અને પદોની સંખ્યા \( n = 11 \) છે.
આમ, \( \sum_{k=1}^{11}(2 + 3k) = 22 + (3+6+9+\dots+33) \) ...(1)
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ \( n \) પદોના સરવાળાનું સૂત્ર \( S_n = \frac { n }{ 2 }(2a + (n-1)d) \) અથવા \( S_n = \frac { n }{ 2 }(a + l) \) છે, જ્યાં \( l \) એ છેલ્લું પદ છે.
અહીં, \( a = 3 \), \( d = 3 \) અને \( n = 11 \), અને છેલ્લું પદ \( l = 33 \).
તેથી, \( S_{11} = \frac { 11 }{ 2 }(3 + 33) \)
\( S_{11} = \frac { 11 }{ 2 }(36) \)
\( S_{11} = 11 \cdot 18 = 198 \)
આ કિંમતને સમીકરણ (1) માં મૂકતાં,
\( \sum_{k=1}^{11}(2 + 3k) = 22 + 198 \)
\( \sum_{k=1}^{11}(2 + 3k) = 220 \)
In simple words: આપણે (2+3k) નો સરવાળો k=1 થી 11 સુધી શોધવાનો છે. આને બે ભાગમાં વહેંચી શકાય: 2 નો સરવાળો 11 વખત (જે 22 થાય) અને 3k નો સરવાળો (જે 3, 6, 9,...33 ની સમાંતર શ્રેણી છે). સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો 198 થાય છે. બંનેનો સરવાળો 22 + 198 = 220 થાય છે.

Exam Tip: સરવાળાને અલગ-અલગ ભાગોમાં વિભાજિત કરવાનું ઘણીવાર ગણતરીને સરળ બનાવે છે. એક ભાગ સમાંતર શ્રેણી અને બીજો ભાગ અચળ પદનો સરવાળો હોઈ શકે છે. સમાંતર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર બરાબર યાદ રાખો.

Question 12. સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પ્રથમ 3 પદોનો સરવાળો \( \frac { 39 }{ 10 } \) છે અને તેમનો ગુણાકાર 1 છે, તો સામાન્ય ગુણોત્તર અને તે પદો શોધો.
Answer: ધારો કે, આપેલ સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પ્રથમ ત્રણ પદો \( \frac { a }{ r }, a, ar \) છે.
પક્ષ અનુસાર, પ્રથમ ત્રણ પદોનો ગુણાકાર 1 છે:
\( \left( \frac { a }{ r } \right) \cdot a \cdot (ar) = 1 \)
\( a^3 = 1 \)
આથી, \( a = 1 \).
હવે, પ્રથમ ત્રણ પદોનો સરવાળો \( \frac { 39 }{ 10 } \) છે:
\( \frac { a }{ r } + a + ar = \frac { 39 }{ 10 } \)
\( a \left( \frac { 1 }{ r } + 1 + r \right) = \frac { 39 }{ 10 } \)
આપણે \( a = 1 \) શોધી લીધો છે, તેથી,
\( 1 \left( \frac { 1 }{ r } + 1 + r \right) = \frac { 39 }{ 10 } \)
\( \frac { 1+r+r^2 }{ r } = \frac { 39 }{ 10 } \)
\( 10(1+r+r^2) = 39r \)
\( 10 + 10r + 10r^2 = 39r \)
\( 10r^2 + 10r - 39r + 10 = 0 \)
\( 10r^2 - 29r + 10 = 0 \)
આ દ્વિઘાત સમીકરણને અવયવીકરણ દ્વારા ઉકેલીએ:
\( 10r^2 - 25r - 4r + 10 = 0 \)
\( 5r(2r-5) - 2(2r-5) = 0 \)
\( (2r-5)(5r-2) = 0 \)
તેથી, \( 2r-5 = 0 \) અથવા \( 5r-2 = 0 \)
\( r = \frac { 5 }{ 2 } \) અથવા \( r = \frac { 2 }{ 5 } \)
હવે, આપણે પદો શોધીએ.
કેસ 1: જો \( a = 1 \) અને \( r = \frac { 5 }{ 2 } \) હોય, તો પદો:
\( \frac { a }{ r } = \frac { 1 }{ 5/2 } = \frac { 2 }{ 5 } \)
\( a = 1 \)
\( ar = 1 \cdot \frac { 5 }{ 2 } = \frac { 5 }{ 2 } \)
પદો: \( \frac { 2 }{ 5 }, 1, \frac { 5 }{ 2 } \)
કેસ 2: જો \( a = 1 \) અને \( r = \frac { 2 }{ 5 } \) હોય, તો પદો:
\( \frac { a }{ r } = \frac { 1 }{ 2/5 } = \frac { 5 }{ 2 } \)
\( a = 1 \)
\( ar = 1 \cdot \frac { 2 }{ 5 } = \frac { 2 }{ 5 } \)
પદો: \( \frac { 5 }{ 2 }, 1, \frac { 2 }{ 5 } \)
આમ, સામાન્ય ગુણોત્તર \( \frac { 5 }{ 2 } \) અથવા \( \frac { 2 }{ 5 } \) છે, અને પદો \( \frac { 2 }{ 5 }, 1, \frac { 5 }{ 2 } \) (અથવા \( \frac { 5 }{ 2 }, 1, \frac { 2 }{ 5 } \)) છે.
In simple words: ત્રણ પદો \( \frac{a}{r}, a, ar \) નો ગુણાકાર 1 છે, તેથી a=1 મળે છે. તેમનો સરવાળો 39/10 છે, જેનો ઉપયોગ કરીને આપણે r માટે દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલીએ છીએ. r ની કિંમતો 5/2 અને 2/5 મળે છે. આ કિંમતોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે પદો 2/5, 1, 5/2 અથવા 5/2, 1, 2/5 શોધીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે સમગુણોત્તર શ્રેણીના પદોનો ગુણાકાર અને સરવાળો બંને આપેલા હોય, ત્યારે પદોને \( \frac { a }{ r }, a, ar \) તરીકે ધારો. આનાથી ગુણાકારની ગણતરી સરળ બને છે અને \( a \) ની કિંમત તરત મળી જાય છે. પછી, સરવાળાનો ઉપયોગ કરીને \( r \) માટે દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલો.

Question 13. સમગુણોત્તર શ્રેણી \( 3, 3^2, 3^3, \dots \)નાં પ્રથમ કેટલાં પદોનો સરવાળો 120 થાય?
Answer: ધારો કે, સમગુણોત્તર શ્રેણી \( 3, 3^2, 3^3, \dots \)નાં \( n \) પદોનો સરવાળો 120 છે.
અહીં, પ્રથમ પદ \( a = 3 \).
સામાન્ય ગુણોત્તર \( r = \frac { 3^2 }{ 3 } = 3 \).
અહીં, \( |r| = 3 > 1 \) છે. પ્રથમ \( n \) પદોનો સરવાળો \( S_n = 120 \) આપેલ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ \( n \) પદોના સરવાળાનું સૂત્ર જ્યારે \( |r| > 1 \) હોય: \( S_n = \frac { a(r^n-1) }{ r-1 } \)
આ સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં,
\( 120 = \frac { 3(3^n-1) }{ 3-1 } \)
\( 120 = \frac { 3(3^n-1) }{ 2 } \)
બંને બાજુ 2 વડે ગુણતાં,
\( 240 = 3(3^n-1) \)
બંને બાજુ 3 વડે ભાગતાં,
\( \frac { 240 }{ 3 } = 3^n-1 \)
\( 80 = 3^n-1 \)
\( 80+1 = 3^n \)
\( 81 = 3^n \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( 81 = 3^4 \).
તેથી, \( 3^4 = 3^n \)
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતાં,
\( n = 4 \)
આમ, સમગુણોત્તર શ્રેણી \( 3, 3^2, 3^3, \dots \)નાં પ્રથમ 4 પદોનો સરવાળો 120 થાય.
In simple words: આપેલ શ્રેણી 3, 3^2, 3^3, ... માં પ્રથમ પદ 3 અને સામાન્ય ગુણોત્તર 3 છે. n પદોનો સરવાળો 120 આપેલ છે. સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અને સમીકરણને ઉકેલીને, આપણે n=4 શોધીએ છીએ, જેનો અર્થ છે કે પ્રથમ 4 પદોનો સરવાળો 120 થાય છે.

Exam Tip: n પદોનો સરવાળો \( S_n \) આપેલ હોય ત્યારે \( n \) શોધવા માટે, સમીકરણને કાળજીપૂર્વક ઉકેલો. ઘાતાંક સ્વરૂપમાં સંખ્યાઓને રૂપાંતરિત કરીને ઘાતાંકોની તુલના કરવી એ સામાન્ય રીત છે.

Question 14. સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પ્રથમ 3 પદોનો સરવાળો 16 છે અને પછીનાં ત્રણ પદોનો સરવાળો 128 છે, તો આ શ્રેણીનું પ્રથમ પદ, સામાન્ય ગુણોત્તર અને \( n \) પદોનો સરવાળો શોધો.
Answer: ધારો કે, સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ \( a \) અને સામાન્ય ગુણોત્તર \( r \) છે.
પ્રથમ ત્રણ પદો: \( a, ar, ar^2 \).
પછીનાં ત્રણ પદો: \( ar^3, ar^4, ar^5 \).
પક્ષ અનુસાર, પ્રથમ 3 પદોનો સરવાળો 16 છે:
\( a + ar + ar^2 = 16 \)
\( a(1+r+r^2) = 16 \) ...(1)
અને પછીનાં ત્રણ પદોનો સરવાળો 128 છે:
\( ar^3 + ar^4 + ar^5 = 128 \)
\( ar^3(1+r+r^2) = 128 \) ...(2)
સમીકરણ (2) ને સમીકરણ (1) વડે ભાગતાં:
\( \frac { ar^3(1+r+r^2) }{ a(1+r+r^2) } = \frac { 128 }{ 16 } \)
\( r^3 = 8 \)
\( r^3 = 2^3 \)
તેથી, \( r = 2 \).
\( r = 2 \) ની કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતાં:
\( a(1+2+2^2) = 16 \)
\( a(1+2+4) = 16 \)
\( a(7) = 16 \)
\( a = \frac { 16 }{ 7 } \)
આમ, શ્રેણીનું પ્રથમ પદ \( \frac { 16 }{ 7 } \) અને સામાન્ય ગુણોત્તર 2 છે.
હવે, શ્રેણીના \( n \) પદોનો સરવાળો \( S_n \) શોધવાનો છે.
અહીં \( a = \frac { 16 }{ 7 } \) અને \( r = 2 \). કારણ કે \( r > 1 \), સરવાળાનું સૂત્ર છે: \( S_n = \frac { a(r^n-1) }{ r-1 } \)
\( S_n = \frac { \frac { 16 }{ 7 }(2^n-1) }{ 2-1 } \)
\( S_n = \frac { 16 }{ 7 }(2^n-1) \)
In simple words: પ્રથમ ત્રણ પદોનો સરવાળો 16 છે અને પછીના ત્રણ પદોનો સરવાળો 128 છે. આ માહિતીનો ઉપયોગ કરીને, આપણે સમીકરણો બનાવીએ છીએ અને તેમને ઉકેલીને સામાન્ય ગુણોત્તર \( r = 2 \) શોધીએ છીએ. પછી, પ્રથમ પદ \( a = 16/7 \) મળે છે. અંતે, આ કિંમતોનો ઉપયોગ કરીને n પદોનો સરવાળો \( \frac { 16 }{ 7 }(2^n-1) \) મળે છે.

Exam Tip: જ્યારે પદોના સમૂહોના સરવાળા આપેલા હોય, ત્યારે સામાન્ય ગુણોત્તર \( r \) શોધવા માટે સમીકરણોને ભાગવાની યુક્તિનો ઉપયોગ કરો. એકવાર \( a \) અને \( r \) મળી જાય, પછી કોઈ પણ ગણતરી સરળ બને છે.

Question 15. આપેલ સમગુણોત્તર શ્રેણી માટે \( a = 729 \) અને 7મું પદ 64 હોય, તો \( S_7 \) શોધો.
Answer: અહીં, આપેલ સમગુણોત્તર શ્રેણી માટે પ્રથમ પદ \( a = 729 \) અને 7મું પદ \( a_7 = 64 \) છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે \( a_n = ar^{n-1} \).
તેથી, \( a_7 = ar^{7-1} = ar^6 \)
\( 64 = 729 \cdot r^6 \)
\( r^6 = \frac { 64 }{ 729 } \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( 64 = 2^6 \) અને \( 729 = 3^6 \).
તેથી, \( r^6 = \frac { 2^6 }{ 3^6 } = \left( \frac { 2 }{ 3 } \right)^6 \)
આથી, \( r = \frac { 2 }{ 3 } \).
અહીં, \( |r| = \frac { 2 }{ 3 } < 1 \) છે. આપણે પ્રથમ 7 પદોનો સરવાળો \( S_7 \) શોધવાનો છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ \( n \) પદોના સરવાળાનું સૂત્ર જ્યારે \( |r| < 1 \) હોય: \( S_n = \frac { a(1-r^n) }{ 1-r } \)
આ સૂત્રમાં \( a = 729 \), \( r = \frac { 2 }{ 3 } \) અને \( n = 7 \) કિંમતો મૂકતાં,
\( S_7 = \frac { 729 \left( 1 - \left( \frac { 2 }{ 3 } \right)^7 \right) }{ 1 - \frac { 2 }{ 3 } } \)
\( S_7 = \frac { 729 \left( 1 - \frac { 2^7 }{ 3^7 } \right) }{ \frac { 1 }{ 3 } } \)
\( S_7 = 729 \cdot 3 \left( 1 - \frac { 128 }{ 2187 } \right) \)
\( S_7 = 2187 \left( \frac { 2187 - 128 }{ 2187 } \right) \)
\( S_7 = 2187 \left( \frac { 2059 }{ 2187 } \right) \)
\( S_7 = 2059 \)
આમ, \( S_7 = 2059 \).
In simple words: શ્રેણીનું પ્રથમ પદ 729 અને 7મું પદ 64 છે. આ માહિતીનો ઉપયોગ કરીને, આપણે સામાન્ય ગુણોત્તર r = 2/3 શોધીએ છીએ. કારણ કે r એ 1 કરતા ઓછો છે, આપણે n પદોના સરવાળા માટેના યોગ્ય સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અંતે, 7 પદોનો સરવાળો 2059 મળે છે.

Exam Tip: આવા દાખલાઓમાં, સામાન્ય ગુણોત્તર \( r \) શોધવા માટે ઘાતાંકના નિયમોનો ઉપયોગ કરો. ખાતરી કરો કે તમે સરવાળા માટે સાચા સૂત્રનો ઉપયોગ કરી રહ્યા છો (એટલે કે, \( |r| < 1 \) માટે એક અને \( |r| > 1 \) માટે બીજું).

Question 16. જેનાં પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો – 4 હોય અને પાંચમું પદ ત્રીજા પદથી ચાર ગણું હોય એવી સમગુણોત્તર શ્રેણી શોધો.
Answer: ધારો કે, સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ \( a \) અને સામાન્ય ગુણોત્તર \( r \) છે.
પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો –4 છે:
\( a + ar = -4 \)
\( a(1+r) = -4 \) ...(1)
પાંચમું પદ ત્રીજા પદથી ચાર ગણું છે:
\( a_5 = 4a_3 \)
\( ar^{5-1} = 4(ar^{3-1}) \)
\( ar^4 = 4ar^2 \)
જો \( a \neq 0 \) અને \( r \neq 0 \) હોય, તો \( ar^2 \) વડે ભાગતાં,
\( r^2 = 4 \)
\( r = \pm 2 \)
કેસ 1: \( r = 2 \) ને સમીકરણ (1) માં મૂકતાં,
\( a(1+2) = -4 \)
\( 3a = -4 \)
\( a = -\frac { 4 }{ 3 } \)
તેથી, શ્રેણીના પદો છે: \( a, ar, ar^2, ar^3, \dots \)
\( -\frac { 4 }{ 3 }, -\frac { 4 }{ 3 }(2), -\frac { 4 }{ 3 }(2^2), -\frac { 4 }{ 3 }(2^3), \dots \)
\( -\frac { 4 }{ 3 }, -\frac { 8 }{ 3 }, -\frac { 16 }{ 3 }, -\frac { 32 }{ 3 }, \dots \)
કેસ 2: \( r = -2 \) ને સમીકરણ (1) માં મૂકતાં,
\( a(1+(-2)) = -4 \)
\( a(1-2) = -4 \)
\( a(-1) = -4 \)
\( a = 4 \)
તેથી, શ્રેણીના પદો છે: \( a, ar, ar^2, ar^3, \dots \)
\( 4, 4(-2), 4(-2)^2, 4(-2)^3, \dots \)
\( 4, -8, 16, -32, \dots \)
આમ, માગેલી સમગુણોત્તર શ્રેણી \( -\frac { 4 }{ 3 }, -\frac { 8 }{ 3 }, -\frac { 16 }{ 3 }, \dots \) અથવા \( 4, -8, 16, -32, \dots \) છે.
In simple words: શ્રેણીના પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો -4 છે અને પાંચમું પદ ત્રીજા પદથી ચાર ગણું છે. આ શરતોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે r=±2 શોધીએ છીએ. r ની દરેક કિંમત માટે, આપણે પ્રથમ પદ (a) શોધીએ છીએ અને તેમાંથી બે શક્ય શ્રેણીઓ મળે છે: \( -\frac{4}{3}, -\frac{8}{3}, -\frac{16}{3}, \dots \) અને \( 4, -8, 16, -32, \dots \).

Exam Tip: જ્યારે બે અલગ-અલગ શરતો આપેલી હોય, ત્યારે બંને શરતોમાંથી સમીકરણો બનાવો. પછી, એક સમીકરણમાંથી ચલની કિંમત શોધીને બીજા સમીકરણમાં મૂકીને ઉકેલો. \( r^2 = 4 \) માં \( r = \pm 2 \) બંને શક્યતાઓને ધ્યાનમાં રાખો.

Question 17. જો સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં ચોથા, દસમા અને સોળમા પદ અનુક્રમે \( x, y \) અને \( z \) હોય, તો સાબિત કરો કે \( x, y, z \) સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.
Answer: ધારો કે, સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ \( A \) અને સામાન્ય ગુણોત્તર \( R \) છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે nમું પદ \( a_n = AR^{n-1} \) છે.
પક્ષ અનુસાર, ચોથું પદ \( a_4 = x \), દસમું પદ \( a_{10} = y \) અને સોળમું પદ \( a_{16} = z \) છે.
તેથી,
\( a_4 = AR^{4-1} = AR^3 = x \) ...(1)
\( a_{10} = AR^{10-1} = AR^9 = y \) ...(2)
\( a_{16} = AR^{16-1} = AR^{15} = z \) ...(3)
આપણે સાબિત કરવાનું છે કે \( x, y, z \) સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે, એટલે કે \( y^2 = xz \).
\( xz = (AR^3) \cdot (AR^{15}) \)
\( xz = A^2 R^{3+15} = A^2 R^{18} \)
હવે, \( y^2 = (AR^9)^2 = A^2 R^{2 \cdot 9} = A^2 R^{18} \)
અહીં, \( xz = A^2 R^{18} \) અને \( y^2 = A^2 R^{18} \) છે.
તેથી, \( y^2 = xz \).
આમ, \( x, y, z \) સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે તે સાબિત થાય છે.
In simple words: જો x, y, z એ ચોથા, દસમા અને સોળમા પદ હોય, તો આપણે તેમને પ્રથમ પદ A અને સામાન્ય ગુણોત્તર R નો ઉપયોગ કરીને લખીએ છીએ. પછી, આપણે y ના વર્ગ અને x ગુણ્યા z ની કિંમતો શોધીએ છીએ. બંને A^2 R^18 બરાબર હોવાથી, સાબિત થાય છે કે x, y, z સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.

Exam Tip: ત્રણ સંખ્યાઓ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે તે સાબિત કરવા માટે, તમારે બતાવવું પડશે કે મધ્યમ પદનો વર્ગ અન્ય બે પદોના ગુણાકાર બરાબર છે (\( b^2 = ac \)). \( a_n = AR^{n-1} \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને દરેક પદને તેના પ્રથમ પદ અને સામાન્ય ગુણોત્તરના સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરો.

Question 18. \( 8, 88, 888, 8888, \dots \) શ્રેણીનાં પ્રથમ \( n \) પદોનો સરવાળો શોધો.
Answer: આપણે શ્રેણી \( S_n = 8 + 88 + 888 + 8888 + \dots + n \) પદોનો સરવાળો શોધવાનો છે.
આ શ્રેણીને નીચે મુજબ લખી શકાય:
\( S_n = 8(1 + 11 + 111 + 1111 + \dots + n \text{ પદો}) \)
\( S_n = \frac { 8 }{ 9 }(9 + 99 + 999 + 9999 + \dots + n \text{ પદો}) \)
\( S_n = \frac { 8 }{ 9 }((10-1) + (10^2-1) + (10^3-1) + \dots + n \text{ પદો}) \)
\( S_n = \frac { 8 }{ 9 }((10 + 10^2 + 10^3 + \dots + n \text{ પદો}) - (1+1+1+\dots + n \text{ પદો})) \)
પ્રથમ કૌંસમાં \( (10 + 10^2 + 10^3 + \dots + n \text{ પદો}) \) એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ \( a = 10 \), સામાન્ય ગુણોત્તર \( r = 10 \) અને પદોની સંખ્યા \( n \) છે.
આ સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો \( S'_n = \frac { a(r^n-1) }{ r-1 } = \frac { 10(10^n-1) }{ 10-1 } = \frac { 10(10^n-1) }{ 9 } \).
બીજા કૌંસમાં \( (1+1+1+\dots + n \text{ પદો}) \) નો સરવાળો \( n \) થાય છે.
તેથી, \( S_n = \frac { 8 }{ 9 } \left[ \frac { 10(10^n-1) }{ 9 } - n \right] \)
\( S_n = \frac { 80(10^n-1) }{ 81 } - \frac { 8n }{ 9 } \)
આમ, શ્રેણીનાં પ્રથમ \( n \) પદોનો સરવાળો \( \frac { 80(10^n-1) }{ 81 } - \frac { 8n }{ 9 } \) છે.
In simple words: શ્રેણી 8, 88, 888, ... ને 8/9 વડે ગુણીને અને ભાગીને 10, 100, 1000 ના રૂપમાં બદલી શકાય છે. પછી, તેને બે ભાગમાં વહેંચીને - એક સમગુણોત્તર શ્રેણી અને એક સમાંતર શ્રેણી - સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અંતે, સરવાળો \(\frac { 80(10^n-1) }{ 81 } - \frac { 8n }{ 9 } \) મળે છે.

Exam Tip: \( 8, 88, 888, \dots \) જેવી શ્રેણીઓનો સરવાળો શોધવા માટે, શ્રેણીને 8/9 વડે ગુણીને અને ભાગીને \( (10-1), (100-1), (1000-1) \) ના સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરો. આનાથી તે સમગુણોત્તર શ્રેણી અને સમાંતર શ્રેણીના મિશ્રણમાં વિભાજિત થાય છે, જેના માટે સૂત્રો સરળતાથી લાગુ પાડી શકાય છે.

Question 19. શ્રેણીઓ \( 2, 4, 8, 16, 32 \) અને \( 128, 32, 8, 2, \frac { 1 }{ 2 } \)નાં સંગત પદોના ગુણાકારનો સરવાળો શોધો.
Answer: આપેલ પ્રથમ શ્રેણી છે: \( 2, 4, 8, 16, 32 \).
આપેલ બીજી શ્રેણી છે: \( 128, 32, 8, 2, \frac { 1 }{ 2 } \).
આ બંને શ્રેણીઓના સંગત પદોનો ગુણાકાર કરતાં મળતાં પદો:
\( (2 \cdot 128), (4 \cdot 32), (8 \cdot 8), (16 \cdot 2), (32 \cdot \frac { 1 }{ 2 }) \)
\( = 256, 128, 64, 32, 16 \)
આ મળેલ નવી શ્રેણી \( 256, 128, 64, 32, 16 \) એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
અહીં, પ્રથમ પદ \( a = 256 \).
સામાન્ય ગુણોત્તર \( r = \frac { 128 }{ 256 } = \frac { 1 }{ 2 } \).
પદોની સંખ્યા \( n = 5 \) (કારણ કે બંને શ્રેણીઓમાં 5 પદો છે).
અહીં, \( |r| = \frac { 1 }{ 2 } < 1 \) છે.
આ શ્રેણીના પ્રથમ \( n \) પદોના સરવાળાનું સૂત્ર જ્યારે \( |r| < 1 \) હોય: \( S_n = \frac { a(1-r^n) }{ 1-r } \)
આ સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં,
\( S_5 = \frac { 256(1-(\frac { 1 }{ 2 })^5) }{ 1-\frac { 1 }{ 2 } } \)
\( S_5 = \frac { 256(1-\frac { 1 }{ 32 }) }{ \frac { 1 }{ 2 } } \)
\( S_5 = 256 \cdot 2 \left( \frac { 32-1 }{ 32 } \right) \)
\( S_5 = 512 \left( \frac { 31 }{ 32 } \right) \)
\( S_5 = 16 \cdot 31 \)
\( S_5 = 496 \)
આમ, સંગત પદોના ગુણાકારનો સરવાળો 496 છે.
In simple words: પહેલા, બે આપેલી શ્રેણીના સંગત પદોનો ગુણાકાર કરીને એક નવી શ્રેણી બનાવીએ છીએ. આ નવી શ્રેણી (256, 128, 64, 32, 16) પણ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે. પછી, આ નવી શ્રેણીના પ્રથમ 5 પદોનો સરવાળો 496 મળે છે.

Exam Tip: જ્યારે બે શ્રેણીઓના સંગત પદોના ગુણાકારનો સરવાળો શોધવાનો હોય, ત્યારે પહેલા ગુણાકાર કરીને નવી શ્રેણી બનાવો. પછી, તે નવી શ્રેણી સમગુણોત્તર છે કે નહીં તે તપાસો અને યોગ્ય સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરો.

Question 21. જેમાં ત્રીજું પદ, પ્રથમ પદથી 9 જેટલું વધારે હોય અને બીજું પદ ચોથા પદથી 18 જેટલું વધારે હોય તેવી સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પ્રથમ ચાર પદ શોધો.
Answer: ધારો કે, સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પ્રથમ ચાર પદો \( a, ar, ar^2, ar^3 \) છે.
પક્ષ અનુસાર, ત્રીજું પદ પ્રથમ પદથી 9 જેટલું વધારે છે:
\( ar^2 = a + 9 \)
\( ar^2 - a = 9 \)
\( a(r^2-1) = 9 \) ...(1)
અને બીજું પદ ચોથા પદથી 18 જેટલું વધારે છે:
\( ar = ar^3 + 18 \)
\( ar - ar^3 = 18 \)
\( ar(1-r^2) = 18 \)
\( -ar(r^2-1) = 18 \) ...(2)
સમીકરણ (1) માંથી \( a(r^2-1) = 9 \) ની કિંમત સમીકરણ (2) માં મૂકતાં,
\( -r \cdot 9 = 18 \)
\( -9r = 18 \)
\( r = \frac { 18 }{ -9 } = -2 \)
\( r = -2 \) ની કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતાં:
\( a((-2)^2-1) = 9 \)
\( a(4-1) = 9 \)
\( 3a = 9 \)
\( a = \frac { 9 }{ 3 } = 3 \)
આમ, પ્રથમ પદ \( a = 3 \) અને સામાન્ય ગુણોત્તર \( r = -2 \) છે.
શ્રેણીનાં પ્રથમ ચાર પદ છે:
\( a = 3 \)
\( ar = 3(-2) = -6 \)
\( ar^2 = 3(-2)^2 = 3(4) = 12 \)
\( ar^3 = 3(-2)^3 = 3(-8) = -24 \)
આમ, માગેલાં પદો \( 3, -6, 12, -24 \) છે.
In simple words: ત્રીજું પદ પ્રથમ પદથી 9 વધુ છે અને બીજું પદ ચોથા પદથી 18 વધુ છે. આ શરતોને સમીકરણોમાં ફેરવીને ઉકેલવાથી, આપણે સામાન્ય ગુણોત્તર \( r = -2 \) અને પ્રથમ પદ \( a = 3 \) શોધીએ છીએ. પછી, શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદો 3, -6, 12, -24 મળે છે.

Exam Tip: જ્યારે પદો વચ્ચેના સંબંધો આપેલા હોય, ત્યારે તેને સમીકરણોમાં પરિવર્તિત કરો. સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, સામાન્ય અવયવો બહાર કાઢવાની અને કિંમતોને બદલવાની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરો. ઋણ ગુણોત્તર પદોના ચિહ્નોને વારાફરતી બદલે છે, જે ધ્યાનમાં રાખવું જોઈએ.

Question 22. સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં \( p, q, r \) મા પદો અનુક્રમે \( a, b, c \) હોય, તો સાબિત કરો કે \( a^{q-r} b^{r-p} c^{p-q} = 1 \).
Answer: ધારો કે, સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ \( A \) અને સામાન્ય ગુણોત્તર \( R \) છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે nમું પદ \( a_n = AR^{n-1} \) છે.
પક્ષ અનુસાર, \( p \) મું પદ \( a_p = a \), \( q \) મું પદ \( a_q = b \) અને \( r \) મું પદ \( a_r = c \) છે.
તેથી,
\( a_p = AR^{p-1} = a \) ...(1)
\( a_q = AR^{q-1} = b \) ...(2)
\( a_r = AR^{r-1} = c \) ...(3)
આપણે સાબિત કરવાનું છે કે \( a^{q-r} b^{r-p} c^{p-q} = 1 \).
ડાબી બાજુ (LHS) લઈએ:
\( LHS = (AR^{p-1})^{q-r} (AR^{q-1})^{r-p} (AR^{r-1})^{p-q} \)
ઘાતાંકના નિયમો લાગુ પાડતાં, \( (x^m)^n = x^{mn} \) અને \( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \):
\( LHS = A^{q-r} R^{(p-1)(q-r)} \cdot A^{r-p} R^{(q-1)(r-p)} \cdot A^{p-q} R^{(r-1)(p-q)} \)
હવે, \( A \) ના ઘાતાંકોનો સરવાળો કરીએ:
\( (q-r) + (r-p) + (p-q) = q-r+r-p+p-q = 0 \).
તેથી, \( A \) નો કુલ ઘાતાંક \( A^0 \) છે.
હવે, \( R \) ના ઘાતાંકોનો સરવાળો કરીએ:
\( (p-1)(q-r) + (q-1)(r-p) + (r-1)(p-q) \)
\( = (pq - pr - q + r) + (qr - qp - r + p) + (rp - rq - p + q) \)
\( = pq - pr - q + r + qr - qp - r + p + rp - rq - p + q \)
અહીં, દરેક પદ એક સકારાત્મક અને એક નકારાત્મક સ્વરૂપમાં હાજર છે:
\( pq \) અને \( -qp \)
\( -pr \) અને \( rp \)
\( -q \) અને \( q \)
\( r \) અને \( -rq \)
\( qr \) અને \( -rq \)
\( -r \) અને \( r \)
\( p \) અને \( -p \)
આથી, બધા પદોનો સરવાળો 0 થાય છે.
તેથી, \( R \) નો કુલ ઘાતાંક \( R^0 \) છે.
આમ, \( LHS = A^0 \cdot R^0 = 1 \cdot 1 = 1 \).
આમ, \( a^{q-r} b^{r-p} c^{p-q} = 1 \) સાબિત થાય છે.
In simple words: જો \( p, q, r \) મા પદો \( a, b, c \) હોય, તો આપણે તેમને પ્રથમ પદ A અને સામાન્ય ગુણોત્તર R ના સ્વરૂપમાં લખીએ છીએ. પછી, \( a^{q-r} b^{r-p} c^{p-q} \) માં આ કિંમતો મૂકીને ઘાતાંકના નિયમોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અંતે, A અને R બંનેના ઘાતાંકો 0 થાય છે, જેના પરિણામે જવાબ 1 મળે છે.

Exam Tip: આવા સાબિતીના દાખલાઓમાં, પ્રથમ પદ અને સામાન્ય ગુણોત્તરના સંદર્ભમાં દરેક પદને વ્યક્ત કરો. પછી, ઘાતાંકના નિયમોનો સાચો ઉપયોગ કરીને પદાવલિને સરળ બનાવો. યાદ રાખો કે \( x^0 = 1 \).

Question 23. સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a અને nમું પદ b છે. જો n પદોનો ગુણાકાર P હોય. તો સાબિત કરો કે \( P^2 = (ab)^n \).
Answer: અહીં, સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ \( a \) છે. ધારો કે, તેનો સામાન્ય ગુણોત્તર \( r \) છે. હવે, તેનું \( n \)મું પદ \( b \) આપેલું છે. \( a_n = b \)
\( \implies ar^{n-1} = b \)
\( \implies r^{n-1} = \frac{b}{a} \) .............(1) ધારો કે, \( P \) એ સમગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ \( n \) પદોનો ગુણાકાર છે. \( P = a \cdot ar \cdot ar^2 \cdot \dots \cdot ar^{n-1} \)
\( P = a^n \cdot r^{(1+2+3+\dots+(n-1))} \) અહીં, \( 1 + 2 + 3 + \dots + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2} \) છે.
\( \implies P = a^n \cdot r^{\frac{n(n-1)}{2}} \) બંને બાજુ વર્ગ કરતાં,
\( P^2 = (a^n)^2 \cdot (r^{\frac{n(n-1)}{2}})^2 \)
\( P^2 = a^{2n} \cdot r^{n(n-1)} \)
\( P^2 = a^{2n} \cdot (r^{n-1})^n \) સમીકરણ (1) પરથી \( r^{n-1} = \frac{b}{a} \) મૂકતાં,
\( P^2 = a^{2n} \cdot \left(\frac{b}{a}\right)^n \)
\( P^2 = a^{2n} \cdot \frac{b^n}{a^n} \)
\( P^2 = a^{2n-n} \cdot b^n \)
\( P^2 = a^n \cdot b^n \)
\( P^2 = (ab)^n \) આમ, સાબિત થાય છે કે \( P^2 = (ab)^n \).
In simple words: જો એક ગુણોત્તર શ્રેણીનું પહેલું પદ \( a \) અને છેલ્લું \( n \)મું પદ \( b \) હોય, અને બધાં \( n \) પદોનો ગુણાકાર \( P \) હોય, તો \( P^2 \) હંમેશાં \( ab \) ના \( n \) ઘાત બરાબર થાય છે.

Exam Tip: આવા સાબિત કરવાના દાખલામાં, તમારે ગુણાકારના સૂત્રને યોગ્ય રીતે વિસ્તૃત કરીને અને \( r^{n-1} \) ની કિંમતનો ઉપયોગ કરીને અંતિમ પદ સુધી પહોંચવું જોઈએ.

Question 24. સાબિત કરો કે, સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પ્રથમ n પદોના સરવાળાનો (n+1) પદથી (2n)મા પદ સુધીના ગુણોત્તર \( \frac{1}{r^n} \) થાય.
Answer: ધારો કે, સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ \( a \) અને સામાન્ય ગુણોત્તર \( r \) છે. પ્રથમ \( n \) પદોનો સરવાળો \( S_n \) છે. \( S_n = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1} \)
\( S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} \) (n+1)મા પદથી (2n)મા પદ સુધીનો સરવાળો \( S'_{n} \) છે. આ શ્રેણીનો પ્રથમ પદ \( a_{n+1} = ar^n \) થશે. પદોની સંખ્યા \( (2n - (n+1) + 1) = n \) છે.
\( S'_{n} = ar^n + ar^{n+1} + ar^{n+2} + \dots + ar^{2n-1} \)
\( S'_{n} = ar^n (1 + r + r^2 + \dots + r^{n-1}) \)
\( S'_{n} = ar^n \frac{(r^n-1)}{r-1} \) હવે, બંને સરવાળાનો ગુણોત્તર લઈએ:
\( \frac{S_n}{S'_{n}} = \frac{\frac{a(r^n-1)}{r-1}}{ar^n \frac{(r^n-1)}{r-1}} \)
\( \frac{S_n}{S'_{n}} = \frac{a(r^n-1)}{r-1} \cdot \frac{r-1}{ar^n(r^n-1)} \)
\( \frac{S_n}{S'_{n}} = \frac{1}{r^n} \) આમ, માગેલ પરિણામ સાબિત થાય છે.
In simple words: ગુણોત્તર શ્રેણીમાં, પહેલા \( n \) પદોના સરવાળાને, પછીના \( n \) પદો (જે \( (n+1) \)મા પદથી શરૂ થાય છે)ના સરવાળાથી ભાગીએ, તો જવાબ હંમેશાં \( \frac{1}{r^n} \) આવે છે. અહીં \( r \) એ સામાન્ય ગુણોત્તર છે.

Exam Tip: જ્યારે શ્રેણીના ભાગોના સરવાળાનો ગુણોત્તર પૂછાય, ત્યારે દરેક ભાગનો સરવાળો અલગથી શોધો અને પછી ગુણોત્તર લો. યાદ રાખો કે \( (n+1) \)મા પદથી શરૂ થતી શ્રેણીનું પ્રથમ પદ \( ar^n \) હશે.

Question 25. જો a, b, c, d સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય, તો બતાવો કે \( (a^2 + b^2 + c^2)(b^2 + c^2 + d^2) = (ab + bc + cd)^2 \).
Answer: અહીં, \( a, b, c, d \) સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે. તેથી, સામાન્ય ગુણોત્તર \( r \) ને નીચે પ્રમાણે લખી શકાય:
\( \frac{b}{a} = \frac{c}{b} = \frac{d}{c} = r \) આથી, આપણે \( b, c, d \) ને \( a \) અને \( r \) ના સંદર્ભમાં લખી શકીએ:
\( b = ar \)
\( c = br = (ar)r = ar^2 \)
\( d = cr = (ar^2)r = ar^3 \) હવે, જમણી બાજુ (RHS) અને ડાબી બાજુ (LHS) અલગથી ગણતરી કરીએ. ડાબી બાજુ (LHS):
\( (a^2 + b^2 + c^2)(b^2 + c^2 + d^2) \)
\( = (a^2 + (ar)^2 + (ar^2)^2)((ar)^2 + (ar^2)^2 + (ar^3)^2) \)
\( = (a^2 + a^2r^2 + a^2r^4)(a^2r^2 + a^2r^4 + a^2r^6) \)
\( = a^2(1 + r^2 + r^4) \cdot a^2r^2(1 + r^2 + r^4) \)
\( = a^4r^2(1 + r^2 + r^4)^2 \) જમણી બાજુ (RHS):
\( (ab + bc + cd)^2 \)
\( = (a(ar) + (ar)(ar^2) + (ar^2)(ar^3))^2 \)
\( = (a^2r + a^2r^3 + a^2r^5)^2 \)
\( = (a^2r(1 + r^2 + r^4))^2 \)
\( = a^4r^2(1 + r^2 + r^4)^2 \) આમ, LHS = RHS, તેથી સાબિત થાય છે કે \( (a^2 + b^2 + c^2)(b^2 + c^2 + d^2) = (ab + bc + cd)^2 \).
In simple words: જો ચાર સંખ્યાઓ ગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય, તો પહેલી ત્રણના વર્ગોના સરવાળાનો બીજી ત્રણના વર્ગોના સરવાળા સાથેનો ગુણાકાર, એ પહેલી-બીજી, બીજી-ત્રીજી અને ત્રીજી-ચોથીના ગુણાકારના સરવાળાના વર્ગ બરાબર હોય છે.

Exam Tip: આવા સાબિત કરવાના દાખલામાં, શ્રેણીના દરેક પદને \( a \) અને \( r \) ના સ્વરૂપમાં દર્શાવો. પછી ડાબી અને જમણી બાજુની ગણતરી અલગ-અલગ કરો અને સરખાવો.

Question 26. 3 અને 81ની વચ્ચે એવી બે સંખ્યાઓ \( G_1, G_2 \) ઉમેરો કે જેથી 3, \( G_1, G_2 \), 81 એ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.
Answer: ધારો કે, 3 અને 81ની વચ્ચે બે સંખ્યાઓ \( G_1, G_2 \) ઉમેરવામાં આવે છે, જેથી 3, \( G_1, G_2 \), 81 એક સમગુણોત્તર શ્રેણી બનાવે છે. આ શ્રેણીનું પ્રથમ પદ \( a = 3 \) અને ચોથું પદ \( a_4 = 81 \) છે. સમગુણોત્તર શ્રેણીના \( n \)મા પદનું સૂત્ર \( a_n = ar^{n-1} \) છે. તેથી, \( a_4 = ar^{4-1} = ar^3 \)
\( \implies 81 = 3r^3 \)
\( \implies r^3 = \frac{81}{3} \)
\( \implies r^3 = 27 \)
\( \implies r^3 = 3^3 \)
\( \implies r = 3 \) હવે, \( G_1 \) અને \( G_2 \) શોધીએ:
\( G_1 = ar = 3 \times 3 = 9 \)
\( G_2 = ar^2 = 3 \times 3^2 = 3 \times 9 = 27 \) આમ, 3 અને 81ની વચ્ચે માગેલી સંખ્યાઓ 9 અને 27 છે.
In simple words: જો 3 અને 81 ની વચ્ચે બે સંખ્યાઓ એવી રીતે મૂકીએ કે તે ગુણોત્તર શ્રેણી બનાવે, તો તે સંખ્યાઓ 9 અને 27 છે.

Exam Tip: ગુણોત્તર શ્રેણીમાં મધ્યમ પદો શોધવા માટે, આપેલા પ્રથમ અને અંતિમ પદોનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય ગુણોત્તર \( r \) શોધો, અને પછી \( ar, ar^2 \) વગેરે ગણીને મધ્યમ પદો મેળવો.

Question 27. જો a અને bનો સમગુણોત્તર મધ્યક \( \frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^n+b^n} \) હોય, તો \( n \)નું મૂલ્ય શોધો.
Answer: અહીં, \( a \) અને \( b \)નો સમગુણોત્તર મધ્યક (Geometric Mean) \( G = \sqrt{ab} \) છે. પ્રશ્નમાં આપેલું છે કે \( a \) અને \( b \)નો સમગુણોત્તર મધ્યક \( \frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^n+b^n} \) છે. તેથી,
\( \frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^n+b^n} = \sqrt{ab} \)
\( \frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^n+b^n} = a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} \)
\( a^{n+1}+b^{n+1} = a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} (a^n+b^n) \)
\( a^{n+1}+b^{n+1} = a^{n+\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} b^{n+\frac{1}{2}} \)
\( a^{n+1} - a^{n+\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} b^{n+\frac{1}{2}} - b^{n+1} \) ડાબી બાજુથી \( a^{n+\frac{1}{2}} \) સામાન્ય કાઢતા અને જમણી બાજુથી \( b^{n+\frac{1}{2}} \) સામાન્ય કાઢતા,
\( a^{n+\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) = b^{n+\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) \) જો \( a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} \neq 0 \) (એટલે કે \( a \neq b \) ), તો બંને બાજુથી \( (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) \) ને રદ કરી શકાય છે.
\( a^{n+\frac{1}{2}} = b^{n+\frac{1}{2}} \)
\( \frac{a^{n+\frac{1}{2}}}{b^{n+\frac{1}{2}}} = 1 \)
\( \left(\frac{a}{b}\right)^{n+\frac{1}{2}} = 1 \) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ સંખ્યાની ઘાત શૂન્ય હોય તો જવાબ 1 આવે છે, તેથી:
\( n+\frac{1}{2} = 0 \)
\( n = -\frac{1}{2} \) આમ, \( n \)નું મૂલ્ય \( -\frac{1}{2} \) છે.
In simple words: જો બે સંખ્યાઓ \( a \) અને \( b \) નો ગુણોત્તર મધ્યક \( \frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^n+b^n} \) હોય, તો \( n \) ની કિંમત \( -\frac{1}{2} \) હોવી જોઈએ.

Exam Tip: આવા દાખલામાં, સમગુણોત્તર મધ્યકની વ્યાખ્યા \( \sqrt{ab} \) નો ઉપયોગ કરો અને સમીકરણને સરળ બનાવીને \( n \) માટે ઉકેલો. ઘાતાંકના નિયમોનો સાવચેતીપૂર્વક ઉપયોગ કરો.

Question 28. જો બે ધન સંખ્યાઓનો સરવાળો તેમના સમગુણોત્તર મધ્યક કરતાં છ ગણો હોય, તો બતાવો કે સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર \( (3 + 2\sqrt{2}) : (3 - 2\sqrt{2}) \) છે.
Answer: ધારો કે, બે ધન સંખ્યાઓ \( x \) અને \( y \) છે. તેમનો સમાંતર મધ્યક \( A = \frac{x+y}{2} \) અને સમગુણોત્તર મધ્યક \( G = \sqrt{xy} \) થશે. પ્રશ્નની શરત મુજબ, બે સંખ્યાઓનો સરવાળો તેમના સમગુણોત્તર મધ્યક કરતાં છ ગણો છે:
\( x + y = 6\sqrt{xy} \)
\( \frac{x+y}{2\sqrt{xy}} = 3 \) ભાગાકારના નિયમ (Componendo and Dividendo) નો ઉપયોગ કરતા: જો \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) તો \( \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d} \)
\( \frac{x+y+2\sqrt{xy}}{x+y-2\sqrt{xy}} = \frac{3+1}{3-1} \)
\( \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2} = \frac{4}{2} \)
\( \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2} = 2 \) બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
\( \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} = \sqrt{2} \) ફરીથી ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
\( \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}) + (\sqrt{x}-\sqrt{y})}{(\sqrt{x}+\sqrt{y}) - (\sqrt{x}-\sqrt{y})} = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \)
\( \frac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \)
\( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \) બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
\( \frac{x}{y} = \left(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\right)^2 \) છેદનું સંમેયકરણ કરતા:
\( \frac{x}{y} = \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2}-1)^2} = \frac{(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2} + 1} \)
\( \frac{x}{y} = \frac{2 + 2\sqrt{2} + 1}{2 - 2\sqrt{2} + 1} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}} \) આમ, સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર \( (3 + 2\sqrt{2}) : (3 - 2\sqrt{2}) \) છે.
In simple words: જો બે સંખ્યાઓનો સરવાળો તેમના ગુણોત્તર મધ્યકના છ ગણા જેટલો હોય, તો તે સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર \( (3 + 2\sqrt{2}) : (3 - 2\sqrt{2}) \) હોય છે.

Exam Tip: આવા દાખલાઓમાં, સમાંતર અને ગુણોત્તર મધ્યકના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, Componendo and Dividendo (યોગ-વિયોગનો નિયમ)નો ઉપયોગ વારંવાર કરવો પડે છે, જે ગણતરીને સરળ બનાવે છે.

Question 29. બે ધન સંખ્યાઓના સમાંતર અને સમગુણોત્તર મધ્યકો અનુક્રમે \( A \) અને \( G \) હોય, તો સાબિત કરો કે તે સંખ્યાઓ \( A \pm \sqrt{(A+G)(A-G)} \) છે.
Answer: ધારો કે, બે ધન સંખ્યાઓ \( x \) અને \( y \) છે. તેમના સમાંતર મધ્યક \( A \) અને સમગુણોત્તર મધ્યક \( G \) અનુક્રમે નીચે મુજબ છે:
\( A = \frac{x+y}{2} \)
\( \implies x+y = 2A \) ..............(1)
\( G = \sqrt{xy} \)
\( \implies xy = G^2 \) ..............(2) આપણે જાણીએ છીએ કે \( (x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy \) સમીકરણ (1) અને (2) માંથી કિંમતો મૂકતા:
\( (x-y)^2 = (2A)^2 - 4G^2 \)
\( (x-y)^2 = 4A^2 - 4G^2 \)
\( (x-y)^2 = 4(A^2 - G^2) \)
\( x-y = \pm \sqrt{4(A^2 - G^2)} \)
\( x-y = \pm 2\sqrt{A^2 - G^2} \) ..............(3) હવે, સમીકરણ (1) અને (3) નો સરવાળો કરતા:
\( (x+y) + (x-y) = 2A \pm 2\sqrt{A^2 - G^2} \)
\( 2x = 2A \pm 2\sqrt{A^2 - G^2} \)
\( x = A \pm \sqrt{A^2 - G^2} \) આપણે જાણીએ છીએ કે \( A^2 - G^2 = (A-G)(A+G) \) છે. તેથી, \( x = A \pm \sqrt{(A+G)(A-G)} \) હવે, સમીકરણ (1) માંથી (3) ને બાદ કરતા:
\( (x+y) - (x-y) = 2A \mp 2\sqrt{A^2 - G^2} \)
\( 2y = 2A \mp 2\sqrt{A^2 - G^2} \)
\( y = A \mp \sqrt{A^2 - G^2} \)
\( y = A \mp \sqrt{(A+G)(A-G)} \) આમ, માગેલી બે ધન સંખ્યાઓ \( A + \sqrt{(A+G)(A-G)} \) અને \( A - \sqrt{(A+G)(A-G)} \) છે.
In simple words: જો બે ધન સંખ્યાઓનો સમાંતર મધ્યક \( A \) અને ગુણોત્તર મધ્યક \( G \) હોય, તો તે સંખ્યાઓ \( A \) માં \( \sqrt{(A+G)(A-G)} \) ઉમેરવાથી અને બાદ કરવાથી મળે છે.

Exam Tip: આ પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે, \( x+y \) અને \( xy \) ના મૂલ્યોને \( A \) અને \( G \) ના પદમાં વ્યક્ત કરો અને પછી \( (x-y)^2 \) ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને \( x-y \) શોધો. અંતે, \( x+y \) અને \( x-y \) ના સમીકરણોને ઉકેલીને \( x \) અને \( y \) મેળવો.

Question 30. બૅક્ટેરિયાના ઉછેરમાં તેની સંખ્યા દર કલાકે બમણી થાય છે. જો શરૂઆતમાં બૅક્ટેરિયાની સંખ્યા 30 હોય, તો 2 કલાક, 4 કલાક અને \( n \)મા કલાકે બૅક્ટેરિયાની સંખ્યા શોધો.
Answer: અહીં, શરૂઆતમાં બૅક્ટેરિયાની સંખ્યા \( a = 30 \) છે. બૅક્ટેરિયાની સંખ્યા દર કલાકે બમણી થાય છે, તેથી સામાન્ય ગુણોત્તર \( r = 2 \) છે. બૅક્ટેરિયાની સંખ્યા સમગુણોત્તર શ્રેણી બનાવશે. \( n \) કલાક પછી બૅક્ટેરિયાની સંખ્યા \( a_{n+1} = ar^n \) વડે દર્શાવવામાં આવે છે. 2 કલાક પછી બૅક્ટેરિયાની સંખ્યા (એટલે કે \( n=2 \) ):
\( a_3 = ar^2 = 30 \times 2^2 = 30 \times 4 = 120 \) 4 કલાક પછી બૅક્ટેરિયાની સંખ્યા (એટલે કે \( n=4 \) ):
\( a_5 = ar^4 = 30 \times 2^4 = 30 \times 16 = 480 \) \( n \)મા કલાકે બૅક્ટેરિયાની સંખ્યા:
\( a_{n+1} = ar^n = 30 \times 2^n \) આમ, 2 કલાક પછી બૅક્ટેરિયાની સંખ્યા 120, 4 કલાક પછી 480, અને \( n \)મા કલાકે \( 30 \cdot 2^n \) થશે.
In simple words: શરૂઆતમાં 30 બૅક્ટેરિયા હોય અને દર કલાકે બમણા થાય, તો 2 કલાક પછી 120, 4 કલાક પછી 480 અને \( n \) કલાક પછી \( 30 \cdot 2^n \) બૅક્ટેરિયા હશે.

Exam Tip: બમણી થતી સંખ્યાના દાખલા ગુણોત્તર શ્રેણીના હોય છે, જ્યાં પ્રથમ પદ પ્રારંભિક સંખ્યા અને સામાન્ય ગુણોત્તર 2 હોય છે. \( n \)મા સમયગાળા પછીની સંખ્યા શોધવા માટે \( a_{n+1} = ar^n \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરો.

Question 31. બૅન્કમાં ₹ 500, 10%ના વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજે મૂકીએ, તો 10 વર્ષને અંતે કેટલી રકમ મળે?
Answer: અહીં, પ્રારંભિક રકમ (મુદ્દલ) \( a = ₹ 500 \) છે. વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજનો દર \( = 10\% \) છે. દરેક વર્ષના અંતે મળતી રકમ એક ગુણોત્તર શ્રેણી બનાવશે. પ્રથમ વર્ષના અંતે રકમ \( = 500(1 + \frac{10}{100}) \) બીજા વર્ષના અંતે રકમ \( = 500(1 + \frac{10}{100})^2 \) ત્રીજા વર્ષના અંતે રકમ \( = 500(1 + \frac{10}{100})^3 \) આ એક ગુણોત્તર શ્રેણી છે જ્યાં, પ્રથમ પદ \( A = 500(1 + \frac{10}{100}) \) સામાન્ય ગુણોત્તર \( r = (1 + \frac{10}{100}) \) આપણે 10 વર્ષને અંતે રકમ શોધવાની છે, જે શ્રેણીનું 11મું પદ \( a_{11} \) થશે. (કારણ કે પ્રથમ વર્ષના અંતે પ્રથમ પદ ગણવામાં આવે છે, અને 10 વર્ષના અંતે, 10 વધારાના સમયગાળા પછીની રકમ એટલે 11મું પદ.) \( a_{11} = Ar^{10} \) \( a_{11} = 500 \left(1 + \frac{10}{100}\right) \left(1 + \frac{10}{100}\right)^{10} \) \( a_{11} = 500 \left(1 + \frac{10}{100}\right)^{11} \) \( a_{11} = 500 (1.1)^{11} \) જો આપણે 10 વર્ષના અંતે કુલ રકમ (ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ સાથે) શોધતા હોઈએ, તો તે સૂત્ર \( P(1+\frac{R}{100})^N \) નો સીધો ઉપયોગ કરીને પણ ગણી શકાય છે. અહીં \( P = 500 \), \( R = 10 \), \( N = 10 \)
\( \text{રકમ} = 500 (1 + \frac{10}{100})^{10} \)
\( = 500 (1.1)^{10} \) આમ, 10 વર્ષને અંતે ₹ \( 500 (1.1)^{10} \) રકમ મળે.
In simple words: ₹ 500 ને 10% ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજે 10 વર્ષ માટે મૂકવામાં આવે તો કુલ રકમ ₹ \( 500 (1.1)^{10} \) થશે.

Exam Tip: ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજના દાખલાઓને ગુણોત્તર શ્રેણી તરીકે જોઈ શકાય છે. યાદ રાખો કે \( n \) વર્ષ પછીની રકમ \( P(1+\frac{R}{100})^n \) સૂત્ર દ્વારા મળે છે, જ્યાં \( P \) એ મુદ્દલ અને \( R \) એ વ્યાજનો દર છે.

Question 32. જો દ્વિઘાત સમીકરણનાં બીજોના સમાંતર અને સમગુણોત્તર મધ્યક અનુક્રમે 8 અને 5 હોય, તો તે દ્વિઘાત સમીકરણ મેળવો.
Answer: ધારો કે, દ્વિઘાત સમીકરણનાં બીજ \( \alpha \) અને \( \beta \) છે. દ્વિઘાત સમીકરણનું સામાન્ય સ્વરૂપ \( x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0 \) છે. અહીં, બીજોનો સમાંતર મધ્યક \( A = 8 \) અને સમગુણોત્તર મધ્યક \( G = 5 \) આપેલ છે. સમાંતર મધ્યકનું સૂત્ર: \( A = \frac{\alpha+\beta}{2} \)
\( \implies 8 = \frac{\alpha+\beta}{2} \)
\( \implies \alpha+\beta = 16 \) સમગુણોત્તર મધ્યકનું સૂત્ર: \( G = \sqrt{\alpha\beta} \)
\( \implies 5 = \sqrt{\alpha\beta} \)
\( \implies \alpha\beta = 5^2 = 25 \) હવે, \( \alpha+\beta \) અને \( \alpha\beta \) ની કિંમતોને દ્વિઘાત સમીકરણના સામાન્ય સ્વરૂપમાં મૂકતાં:
\( x^2 - (16)x + 25 = 0 \)
\( x^2 - 16x + 25 = 0 \) આમ, માગેલ દ્વિઘાત સમીકરણ \( x^2 - 16x + 25 = 0 \) છે.
In simple words: જો એક દ્વિઘાત સમીકરણના મૂળનો સરેરાશ મધ્યક 8 અને ગુણોત્તર મધ્યક 5 હોય, તો તે સમીકરણ \( x^2 - 16x + 25 = 0 \) છે.

Exam Tip: દ્વિઘાત સમીકરણના મૂળ \( \alpha \) અને \( \beta \) માટે, \( \alpha+\beta \) એ મૂળનો સરવાળો અને \( \alpha\beta \) એ મૂળનો ગુણાકાર છે. આ કિંમતો સમાંતર અને ગુણોત્તર મધ્યકના સૂત્રોમાંથી મેળવી શકાય છે, અને પછી \( x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0 \) માં મૂકી શકાય છે.