GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 9 શ્રેણી અને શ્રેઢી Exercise 9.2

Question 1. 1 થી 2001 સુધીના અયુગ્મ પૂર્ણાંકોનો સરવાળો શોધો.
Answer: 1 થી 2001 સુધીના એકી પૂર્ણાંકો 1, 3, 5, 7, ..., 2001 છે.
અહીં, પ્રથમ પદ \( a = 1 \), સામાન્ય તફાવત \( d = 3 - 1 = 2 \), અને અંતિમ પદ \( a_n = 2001 \) છે.
હવે, \( a_n = a + (n - 1)d \) ના સૂત્ર પ્રમાણે,
\( 2001 = 1 + (n - 1) \cdot 2 \)

\( \implies 2001 - 1 = (n - 1) \cdot 2 \)

\( \implies (n - 1) \cdot 2 = 2000 \)

\( \implies n - 1 = \frac{2000}{2} = 1000 \)

\( \implies n = 1000 + 1 = 1001 \)

\( \implies n = 1001 \)
તદુપરાંત, \( S_n = \frac{n}{2}(a + l) \) ના સૂત્રમાં \( n = 1001, a = 1, \) અને \( l = 2001 \) મૂકીએ તો,
\( S_{1001} = \frac{1001}{2}(1 + 2001) \)

\( \implies S_{1001} = \frac{1001}{2}(2002) = (1001)(1001) \)

\( \implies S_{1001} = 1002001 \)
In simple words: પહેલાં, 1 થી 2001 વચ્ચે કેટલી એકી સંખ્યાઓ છે તે શોધો. પછી, સમાંતર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર વાપરીને કુલ સરવાળો મેળવો.

Exam Tip: Remember the formulas for \( a_n \) and \( S_n \) in an arithmetic progression. Always identify the first term (a), common difference (d), and last term (l) or number of terms (n) clearly.

Question 2. 100 અને 1000 વચ્ચેની 5ની ગુણિત પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધો.
Answer: 100 અને 1000 વચ્ચે આવતી 5 વડે ગુણાતી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ 105, 110, 115, ..., 995 છે.
તેથી, પ્રથમ પદ \( a = 105 \), સામાન્ય તફાવત \( d = 110 - 105 = 5 \), અને છેલ્લું પદ \( a_n = 995 \) છે.
ફરીથી, \( a_n = a + (n - 1)d \) ના સૂત્ર પ્રમાણે,
\( 995 = 105 + (n - 1)5 \)

\( \implies 995 - 105 = (n - 1)5 \)

\( \implies (n - 1)5 = 890 \)

\( \implies n - 1 = \frac{890}{5} = 178 \)

\( \implies n = 178 + 1 \)

\( \implies n = 179 \)
ત્યારબાદ, \( S_n = \frac{n}{2}(a + l) \) ના સૂત્રમાં \( n = 179, a = 105 \) અને \( l = 995 \) મૂકીએ તો,
\( S_{179} = \frac{179}{2}(105 + 995) \)

\( \implies S_{179} = \frac{179}{2} \cdot (1100) = (179)(550) \)

\( \implies S_{179} = 98450 \)
In simple words: પહેલાં 100 પછી 5 વડે ગુણાતી પહેલી સંખ્યા અને 1000 પહેલાં 5 વડે ગુણાતી છેલ્લી સંખ્યા શોધો. પછી કેટલી સંખ્યાઓ છે તે જાણીને, સમાંતર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર વાપરીને કુલ સરવાળો શોધો.

Exam Tip: Ensure the range is exclusive (between 100 and 1000) so you do not include 100 or 1000 if they are multiples.

Question 3. એક સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ 2 છે અને પ્રથમ પાંચ પદોનો સરવાળો પછીનાં પાંચ પદના સરવાળાના એક ચતુર્થાંશ ભાગનો છે, તો સાબિત કરો કે 20મું પદ – 112 છે.
Answer: અહીં, પ્રથમ પદ \( a = 2 \) છે. શરત મુજબ, પ્રથમ પાંચ પદોનો સરવાળો \( = \frac{1}{4} \) (પ્રથમ પાંચ પદો પછીના પાંચ પદોનો સરવાળો).

\( \implies S_5 = \frac{1}{4} (S_{10} - S_5) \) ... (1)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( S_n = \frac{n}{2}(2a + (n - 1)d) \)

\( \implies S_n = \frac{n}{2}(2(2) + (n - 1)d) \) ( \( \because a = 2 \) )

\( \implies S_n = \frac{n}{2}(4 + (n - 1)d) \)
\( S_5 = \frac{5}{2}(4 + (5 - 1)d) \)

\( \implies S_5 = \frac{5}{2}(4 + 4d) \) ... (2)
અને,
\( S_{10} = \frac{10}{2}(2(2) + (10 - 1)d) \) ( \( \because a = 2 \) )

\( \implies S_{10} = 5(4 + 9d) \) ... (3)
હવે, સમીકરણ (1) પરથી \( 4 S_5 = S_{10} - S_5 \)

\( \implies 5 S_5 = S_{10} \)

\( \implies 5 \cdot \frac{5}{2}(4 + 4d) = 5(4 + 9d) \) ( \( \because \) (2) અને (3) પરથી)

\( \implies \frac{25}{2}(4 + 4d) = 5(4 + 9d) \)

\( \implies 25(2 + 2d) = 5(4 + 9d) \)

\( \implies 5(2 + 2d) = 4 + 9d \)

\( \implies 10 + 10d = 4 + 9d \)

\( \implies 10d - 9d = 4 - 10 \)

\( \implies d = -6 \)
ત્યારબાદ, 20મું પદ શોધવા માટે, \( a_n = a + (n - 1)d \) ના સૂત્રમાં \( n = 20 \) મૂકીએ.
\( a = 2 \) અને \( d = -6 \) ના મૂલ્યો મુકતા,
\( a_{20} = 2 + (20 - 1)(-6) \)
\( = 2 + (19)(-6) \)
\( = 2 - 114 \)
\( = -112 \)
આ રીતે, આપેલ શ્રેણીનું 20મું પદ – 112 મળે છે.
In simple words: પહેલાં, આપેલ શરતનો ઉપયોગ કરીને સમાંતર શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત \( d \) શોધો. પછી, \( n \) માં પદ શોધવાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને 20મું પદ મેળવો.

Exam Tip: Ensure all terms of the condition are correctly translated into the sum formula. Pay close attention to simplifying algebraic expressions to avoid errors in 'd'.

Question 4. \( -6, -\frac{11}{2}, -5, \dots \) સમાંતર શ્રેણીનાં કેટલાં પ્રથમ પદોનો સરવાળો \( -25 \) થાય?
Answer: અહીં, શ્રેણીનું પ્રથમ પદ \( a = -6 \) અને સામાન્ય તફાવત \( d = -\frac{11}{2} - (-6) = -\frac{11}{2} + 6 = \frac{1}{2} \) છે.
ધારી લો કે, આ આપેલી શ્રેણીના પ્રથમ \( n \) પદોનો કુલ સરવાળો \( -25 \) છે.

\( \implies S_n = -25 \)
\( S_n = \frac{n}{2}\{2a + (n - 1)d\} \) ના સૂત્ર પ્રમાણે,
\( -25 = \frac{n}{2}\left\{2(-6) + (n - 1)\left(\frac{1}{2}\right)\right\} \)

\( \implies -50 = n\left\{-12 + \frac{n - 1}{2}\right\} \)

\( \implies -50 = n\left\{\frac{-24 + n - 1}{2}\right\} \)

\( \implies -100 = n(n - 25) \)

\( \implies n^2 - 25n + 100 = 0 \)

\( \implies n^2 - 20n - 5n + 100 = 0 \)

\( \implies n(n - 20) - 5(n - 20) = 0 \)

\( \implies (n - 20)(n - 5) = 0 \)

\( \implies n - 20 = 0 \) અથવા \( n - 5 = 0 \)

\( \implies n = 20 \) અથવા \( n = 5 \)
\( n = \frac{29}{3} \) શક્ય નથી, કારણ કે \( n \) એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવી જોઈએ.
તેથી, \( n = 8 \).
આથી, છેલ્લું પદ એટલે 8મું પદ.
આઠમું પદ \( a_8 \) શોધવા માટે \( a_n = a + (n - 1)d \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ.
\( a_8 = 25 + 7(-3) \) ( \( \because a = 25, d = -3 \) )
\( = 25 - 21 \)

\( \implies a_8 = 4 \)
આ રીતે, આ શ્રેણીના પ્રથમ 5 અથવા પ્રથમ 20 પદોનો સરવાળો \( -25 \) જેટલો થાય છે.
In simple words: સરવાળાના સૂત્ર \( S_n \) માં આપેલ કિંમતો મૂકો. આથી એક દ્વિઘાત સમીકરણ બનશે. તે સમીકરણ ઉકેલીને \( n \) ની કિંમત શોધો.

Exam Tip: When solving a quadratic equation for 'n' (number of terms), remember that 'n' must always be a positive integer. Both 5 and 20 are valid here, indicating two possible scenarios.

Question 5. એક સમાંતર શ્રેણીનું pમું પદ \( \frac{1}{q} \) અને qમું પદ \( \frac{1}{p} \) છે. \( p \neq q \) માટે સાબિત કરો કે પ્રથમ pq પદનો સરવાળો \( \frac{1}{2}(pq + 1) \) થાય.
Answer: ધારી લો કે, સમાંતર શ્રેણીનું પહેલું પદ \( a \) અને તેનો સામાન્ય તફાવત \( d \) છે.
હવે, શ્રેણીનું pમું પદ \( \frac{1}{q} \) અને qમું પદ \( \frac{1}{p} \) આપેલું છે.
\( a_p = a + (p - 1)d = \frac{1}{q} \) ... (1)
\( a_q = a + (q - 1)d = \frac{1}{p} \) ... (2)
સમીકરણ (1) માંથી સમીકરણ (2) બાદ કરીએ તો,
\( (a + (p - 1)d) - (a + (q - 1)d) = \frac{1}{q} - \frac{1}{p} \)

\( \implies \{(p - 1) - (q - 1)\}d = \frac{p - q}{pq} \)

\( \implies (p - q)d = \frac{p - q}{pq} \)

\( \implies d = \frac{1}{pq} \)
\( d \) ની કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકીએ તો,
\( a + (p - 1)\frac{1}{pq} = \frac{1}{q} \)

\( \implies a = \frac{1}{q} - \frac{p - 1}{pq} \)

\( \implies a = \frac{p - (p - 1)}{pq} \)

\( \implies a = \frac{1}{pq} \)
ત્યારબાદ, પ્રથમ n પદોનો સરવાળો શોધવા માટે \( S_n = \frac{n}{2}\{2a + (n - 1)d\} \) સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે.
આથી, પ્રથમ pq પદોનો કુલ સરવાળો
\( S_{pq} = \frac{pq}{2}\{2a + (pq - 1)d\} \)

\( \implies S_{pq} = \frac{pq}{2}\left\{2\left(\frac{1}{pq}\right) + (pq - 1)\left(\frac{1}{pq}\right)\right\} \) ( \( \because a = d = \frac{1}{pq} \) )

\( \implies S_{pq} = \frac{pq}{2} \cdot \frac{1}{pq}\{2 + (pq - 1)\} \)

\( \implies S_{pq} = \frac{1}{2}(pq + 1) \)
આમ, સાબિત થાય છે કે \( S_{pq} = \frac{1}{2}(pq + 1) \) છે.
In simple words: પહેલાં, આપેલા pમા અને qમા પદોનો ઉપયોગ કરીને શ્રેણીનું પ્રથમ પદ \( a \) અને સામાન્ય તફાવત \( d \) શોધો. પછી, આ કિંમતોને પ્રથમ \( n \) પદોના સરવાળાના સૂત્રમાં \( n=pq \) તરીકે મૂકીને જવાબ મેળવો.

Exam Tip: The key to this problem is finding 'a' and 'd' correctly by solving simultaneous equations. Remember that \( d \) and \( a \) turn out to be the same, which simplifies the final sum calculation.

Question 6. 22, 19, ....નાં નિશ્ચિત સંખ્યાના શરૂઆતના પદનો સરવાળો 116 હોય, તો છેલ્લું પદ શોધો.
Answer: અહીં, આપેલી સમાંતર શ્રેણી 25, 22, 19, ... તરીકે આપેલી છે.
આથી, પ્રથમ પદ \( a = 25 \) અને સામાન્ય તફાવત \( d = 22 - 25 = -3 \) છે.
ધારી લો કે, આ શ્રેણીના પ્રથમ \( n \) પદોનો કુલ સરવાળો \( 116 \) છે.

\( \implies S_n = 116 \)
\( S_n = \frac{n}{2}\{2a + (n - 1)d\} = 116 \)

\( \implies \frac{n}{2}\{2(25) + (n - 1)(-3)\} = 116 \)

\( \implies n\{50 - 3n + 3\} = 232 \)

\( \implies n(53 - 3n) = 232 \)

\( \implies 53n - 3n^2 = 232 \)

\( \implies 3n^2 - 53n + 232 = 0 \)
\( n = \frac{-(-53) \pm \sqrt{(-53)^2 - 4(3)(232)}}{2(3)} \)

\( \implies n = \frac{53 \pm \sqrt{2809 - 2784}}{6} \)

\( \implies n = \frac{53 \pm \sqrt{25}}{6} \)

\( \implies n = \frac{53 \pm 5}{6} \)
બે શક્ય કિંમતો:
\( n = \frac{53 + 5}{6} = \frac{58}{6} = \frac{29}{3} \)
અથવા
\( n = \frac{53 - 5}{6} = \frac{48}{6} = 8 \)
\( \implies n = \frac{29}{3} \) શક્ય નથી, કારણ કે \( n \) એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવી જોઈએ.
તેથી, \( n = 8 \).
આથી, છેલ્લું પદ એટલે 8મું પદ.
આઠમું પદ \( a_8 \) શોધવા માટે \( a_n = a + (n - 1)d \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ.
\( a_8 = 25 + (8 - 1)(-3) \) ( \( \because a = 25, d = -3 \) )
\( = 25 + 7(-3) \)
\( = 25 - 21 \)

\( \implies a_8 = 4 \)
આથી, આપેલી શ્રેણીનું છેલ્લું પદ 4 છે.
In simple words: પહેલાં, શ્રેણીનું પ્રથમ પદ \( a \) અને સામાન્ય તફાવત \( d \) શોધો. પછી, સરવાળાના સૂત્ર \( S_n \) નો ઉપયોગ કરીને પદોની સંખ્યા \( n \) નક્કી કરો. અંતે, \( n \) માં પદના સૂત્ર \( a_n \) નો ઉપયોગ કરીને છેલ્લું પદ શોધો.

Exam Tip: Always check if the calculated number of terms 'n' is a natural number. If 'n' is a fraction or negative, it is an invalid solution. Make sure to identify 'a' and 'd' correctly, especially when the series is decreasing.

Question 7. જો સમાંતર શ્રેણીનું kમું પદ \( 5k + 1 \) હોય, તો તેનાં પ્રથમ n પદનો સરવાળો શોધો.
Answer: અહીં, આપેલ સમાંતર શ્રેણીનું kમું પદ \( a_k = (5k + 1) \) છે.
\( \implies a_1 = 5(1) + 1 = 6 \)
આથી, પ્રથમ પદ \( a = a_1 = 6 \) મળે છે.
આપણી પાસે \( a_k = 5k + 1 \) છે.
તેથી, \( n \) મું પદ \( a_n = 5n + 1 \) થશે.
પ્રથમ \( n \) પદોનો સરવાળો શોધવા માટે \( S_n = \frac{n}{2}(a + l) \) ના સૂત્ર પ્રમાણે,
\( S_n = \frac{n}{2}\{6 + (5n + 1)\} \) ( \( \because a = 6, l = 5n + 1 \) )

\( \implies S_n = \frac{n}{2}(5n + 7) \) મળે છે.
In simple words: પહેલાં, આપેલ \( a_k \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ પદ \( a_1 \) અને \( n \) મું પદ \( a_n \) શોધો. પછી, પ્રથમ \( n \) પદોના સરવાળાના સૂત્ર \( S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \) માં આ કિંમતો મૂકીને સરવાળો મેળવો.

Exam Tip: For finding the sum of 'n' terms when the k-th term is given, first derive the first term and the n-th term by substituting k=1 and k=n respectively. Then use the appropriate sum formula.

Question 8. અચળ \( P, q \) માટે જે સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ \( n \) પદોનો સરવાળો \( (pn + qn^2) \) હોય, તેનો સામાન્ય તફાવત શોધો.
Answer: અહીં, એક સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ \( n \) પદોનો સરવાળો \( S_n = pn + qn^2 \) તરીકે આપવામાં આવેલો છે.
આથી, પ્રથમ પદ \( a = S_1 = p(1) + q(1)^2 = p + q \) થશે.
આપણને \( S_n = pn + qn^2 \) આપેલ છે, અને આપણે જાણીએ છીએ કે \( S_n = \frac{n}{2}\{2a + (n - 1)d\} \) હોય છે.

\( \implies pn + qn^2 = \frac{n}{2}\{2(p + q) + (n - 1)d\} \) ( \( \because a = p + q \) )

\( \implies 2(pn + qn^2) = n\{2p + 2q + (n - 1)d\} \)

\( \implies 2p + 2qn = 2p + 2q + (n - 1)d \) ( \( n \neq 0 \) હોવાથી \( n \) વડે ભાગતા)

\( \implies 2qn - 2q = (n - 1)d \)

\( \implies 2q(n - 1) = (n - 1)d \)

\( \implies d = 2q \) ( \( n \neq 1 \) હોવાથી \( (n - 1) \) વડે ભાગતા)
આમ, આ સમાંતર શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત \( 2q \) મળે છે.
In simple words: આપેલા \( S_n = pn + qn^2 \) સૂત્રને સમાંતર શ્રેણીના પ્રમાણભૂત \( S_n \) સૂત્ર સાથે સરખાવો. પહેલાં, \( n=1 \) મૂકીને પ્રથમ પદ \( a \) શોધો. પછી, બંને સૂત્રોને સરખાવીને \( d \) ની કિંમત મેળવો.

Exam Tip: To find the common difference 'd' from a given sum formula \( S_n \), you can find \( S_1 \) (which is \( a_1 \)) and \( S_2 \). Then, \( a_2 = S_2 - S_1 \), and \( d = a_2 - a_1 \). Alternatively, you can directly compare coefficients after equating the given \( S_n \) with the standard formula, as done here.

Question 9. પ્રત્યેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા \( n \) માટે, જો બે સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ \( n \) પદોના સરવાળાનો ગુણોત્તર \( (5n + 4) : (9n + 6) \) હોય, તો તેમના 18મા પદોનો ગુણોત્તર શોધો.
Answer: ધારી લો કે, પહેલી સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ \( a \) અને સામાન્ય તફાવત \( d \) છે. બીજી સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ \( A \) અને સામાન્ય તફાવત \( D \) છે. તેમના પ્રથમ \( n \) પદોના સરવાળા અનુક્રમે \( S_n \) અને \( S'_n \) તરીકે ઓળખાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે,
\( S_n = \frac{n}{2}\{2a + (n - 1)d\} \)
\( S'_n = \frac{n}{2}\{2A + (n - 1)D\} \)
આપેલ શરત મુજબ, \( \frac{S_n}{S'_n} = \frac{5n + 4}{9n + 6} \) છે.

\( \implies \frac{\frac{n}{2}\{2a + (n - 1)d\}}{\frac{n}{2}\{2A + (n - 1)D\}} = \frac{5n + 4}{9n + 6} \)

\( \implies \frac{2a + (n - 1)d}{2A + (n - 1)D} = \frac{5n + 4}{9n + 6} \) ... (1)
ત્યારબાદ, તેમના 18મા પદો \( t_{18} = a + (18 - 1)d \) અને \( T_{18} = A + (18 - 1)D \) છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે \( t_n = a + (n - 1)d \) છે.
આમ, \( t_{18} = a + 17d \) અને \( T_{18} = A + 17D \) થાય છે.
આથી, આ બંને શ્રેણીઓના 18મા પદોનો ગુણોત્તર,
\( \frac{t_{18}}{T_{18}} = \frac{a + 17d}{A + 17D} \) ... (2)
સમીકરણ (1) માં, \( \frac{n - 1}{2} = 17 \) મુકીએ.

\( \implies n - 1 = 34 \)

\( \implies n = 35 \)
આ કિંમત \( n = 35 \) ને સમીકરણ (1) માં મૂકીએ તો,
\( \frac{a + \frac{35 - 1}{2}d}{A + \frac{35 - 1}{2}D} = \frac{5(35) + 4}{9(35) + 6} \)

\( \implies \frac{a + 17d}{A + 17D} = \frac{175 + 4}{315 + 6} \)

\( \implies \frac{a + 17d}{A + 17D} = \frac{179}{321} \)
સમીકરણ (2) નો ઉપયોગ કરીને, \( \frac{t_{18}}{T_{18}} = \frac{a + 17d}{A + 17D} = \frac{179}{321} \) મળે છે.
આ રીતે, આ સમાંતર શ્રેણીના 18મા પદનો ગુણોત્તર \( 179 : 321 \) થાય છે.
In simple words: સરવાળાના ગુણોત્તરના સૂત્રમાં, \( n \) ની જગ્યાએ એવી કિંમત મૂકો જેથી \( \frac{n-1}{2} \) એ જરૂરી પદના ગુણાંક (જેમ કે 18મા પદ માટે 17) જેટલું થાય. આનાથી પદોનો ગુણોત્તર સીધો મળી જશે.

Exam Tip: A common trick in such problems is that if the ratio of sums of 'n' terms is given, to find the ratio of m-th terms, replace 'n' with \( (2m - 1) \) in the sum ratio. Here, for the 18th term, \( n = 2(18) - 1 = 35 \).

Question 10. જો સમાંતર શ્રેણીનાં p પદોનો સરવાળો, પ્રથમ q પદોનાં સરવાળા જેટલો થાય છે, તો પ્રથમ \( (p + q) \) પદોનો સરવાળો શોધો.
Answer: ધારી લો કે, આપેલી સમાંતર શ્રેણીનું પહેલું પદ \( a \) અને તેનો સામાન્ય તફાવત \( d \) છે.
તેના પ્રથમ \( p \) પદોનો સરવાળો \( S_p \) અને પ્રથમ \( q \) પદોનો સરવાળો \( S_q \) તરીકે દર્શાવાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે \( S_n = \frac{n}{2}\{2a + (n - 1)d\} \)

\( \implies S_p = \frac{p}{2}\{2a + (p - 1)d\} \)

\( \implies S_q = \frac{q}{2}\{2a + (q - 1)d\} \)
પરંતુ, \( S_p = S_q \) આપેલું છે.

\( \implies \frac{p}{2}\{2a + (p - 1)d\} = \frac{q}{2}\{2a + (q - 1)d\} \)

\( \implies p\{2a + (p - 1)d\} = q\{2a + (q - 1)d\} \)

\( \implies 2ap + p(p - 1)d = 2aq + q(q - 1)d \)

\( \implies 2ap - 2aq = q(q - 1)d - p(p - 1)d \)

\( \implies 2a(p - q) = \{(q^2 - q) - (p^2 - p)\}d \)

\( \implies 2a(p - q) = \{(q - p)(q + p) - (q - p)\}d \)

\( \implies 2a(p - q) = (q - p)\{(q + p) - 1\}d \)
કારણ કે \( p \neq q \), આપણે \( (p - q) \) વડે ભાગી શકીએ છીએ:

\( \implies -2a = \{(p + q) - 1\}d \)

\( \implies 2a = -\{(p + q) - 1\}d \) ... (1)
ત્યારબાદ, આ શ્રેણીના પ્રથમ \( (p + q) \) પદોનો કુલ સરવાળો
\( S_{p+q} = \frac{p + q}{2}\{2a + (p + q - 1)d\} \)
સમીકરણ (1) માંથી \( 2a \) ની કિંમત મૂકતાં,
\( S_{p+q} = \frac{p + q}{2}\{ -\{(p + q) - 1\}d + (p + q - 1)d\} \)

\( \implies S_{p+q} = \frac{p + q}{2}\{0\} \)

\( \implies S_{p+q} = 0 \)
આ રીતે, આપેલી સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ \( (p + q) \) પદોનો કુલ સરવાળો 0 મળે છે.
In simple words: પહેલાં, \( S_p = S_q \) શરતનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ પદ \( a \) અને સામાન્ય તફાવત \( d \) વચ્ચેનો સંબંધ શોધો. પછી, આ સંબંધને પ્રથમ \( (p + q) \) પદોના સરવાળાના સૂત્રમાં મૂકીને અંતિમ સરવાળો મેળવો.

Exam Tip: When \( S_p = S_q \) (with \( p \neq q \)), it implies \( S_{p+q} = 0 \). This is a standard result. Always ensure your algebra correctly derives the relation between 'a' and 'd' before substituting.

Question 11. એક સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ \( P, q \) અને \( r \) પદોના સરવાળા અનુક્રમે \( a, b \) અને \( c \) છે. સાબિત કરો કે \( \frac{a}{p}(q - r) + \frac{b}{q}(r - p) + \frac{c}{r}(p - q) = 0 \).
Answer: ધારી લો કે, આપેલ સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ \( A \), સામાન્ય તફાવત \( D \) અને તેના પ્રથમ \( n \) પદોનો સરવાળો \( S_n \) છે.
શરત મુજબ, \( S_p = a, S_q = b \) અને \( S_r = c \) છે.
\( S_n = \frac{n}{2}\{2A + (n - 1)D\} \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,
\( \frac{p}{2}\{2A + (p - 1)D\} = a \)

\( \implies \frac{a}{p} = A + \frac{(p - 1)}{2}D \) ... (1)
\( \frac{q}{2}\{2A + (q - 1)D\} = b \)

\( \implies \frac{b}{q} = A + \frac{(q - 1)}{2}D \) ... (2)
\( \frac{r}{2}\{2A + (r - 1)D\} = c \)

\( \implies \frac{c}{r} = A + \frac{(r - 1)}{2}D \) ... (3)
આપણે \( \frac{a}{p}(q - r) + \frac{b}{q}(r - p) + \frac{c}{r}(p - q) \) નું મૂલ્ય શોધીએ.
સમીકરણ (1), (2) અને (3) માંથી કિંમતો મૂકતાં,
\( = \left\{A + \frac{(p - 1)}{2}D\right\}(q - r) + \left\{A + \frac{(q - 1)}{2}D\right\}(r - p) + \left\{A + \frac{(r - 1)}{2}D\right\}(p - q) \)

\( \implies = A(q - r) + \frac{(p - 1)}{2}D(q - r) + A(r - p) + \frac{(q - 1)}{2}D(r - p) + A(p - q) + \frac{(r - 1)}{2}D(p - q) \)

\( \implies = A(q - r + r - p + p - q) + \frac{D}{2}\{(p - 1)(q - r) + (q - 1)(r - p) + (r - 1)(p - q)\} \)

\( \implies = A(0) + \frac{D}{2}\{(pq - pr - q + r) + (qr - pq - r + p) + (pr - qr - p + q)\} \)

\( \implies = A(0) + \frac{D}{2}(0) = 0 \)
આ રીતે, સાબિત થાય છે કે \( \frac{a}{p}(q - r) + \frac{b}{q}(r - p) + \frac{c}{r}(p - q) = 0 \).
In simple words: પહેલાં, \( \frac{a}{p}, \frac{b}{q}, \) અને \( \frac{c}{r} \) ને શ્રેણીના પ્રથમ પદ \( A \) અને સામાન્ય તફાવત \( D \) ના સંદર્ભમાં લખો. પછી, આ બધાને આપેલા સમીકરણમાં મૂકીને વિસ્તરણ કરો. અંતે, બધા પદો રદ થઈને કુલ સરવાળો શૂન્ય મળશે.

Exam Tip: This is a standard proof. The key is to correctly express \( \frac{S_n}{n} \) in terms of 'A' and 'D' and then carefully expand and collect terms. All the 'A' terms and 'D' terms should separately cancel out.

Question 12. એક સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ \( m \) અને \( n \) પદોના સરવાળાનો ગુણોત્તર \( m^2 : n^2 \) છે. સાબિત કરો કે, \( m \) માં તથા \( n \) માં પદોનો ગુણોત્તર \( (2m - 1) : (2n - 1) \) થાય.
Answer: ધારી લો કે, આપેલી સમાંતર શ્રેણીનું પહેલું પદ \( A \), સામાન્ય તફાવત \( D \) અને તેના પ્રથમ \( n \) પદોનો સરવાળો \( S_n \) છે.
આપેલ શરત મુજબ, \( \frac{S_m}{S_n} = \frac{m^2}{n^2} \) છે.

\( \implies \frac{\frac{m}{2}\{2A + (m - 1)D\}}{\frac{n}{2}\{2A + (n - 1)D\}} = \frac{m^2}{n^2} \)

\( \implies \frac{m\{2A + (m - 1)D\}}{n\{2A + (n - 1)D\}} = \frac{m^2}{n^2} \)

\( \implies \frac{2A + (m - 1)D}{2A + (n - 1)D} = \frac{m}{n} \) ( \( \frac{m}{n} \) વડે બંને બાજુ ભાગતા)

\( \implies n\{2A + (m - 1)D\} = m\{2A + (n - 1)D\} \)

\( \implies 2An + n(m - 1)D = 2Am + m(n - 1)D \)

\( \implies 2An - 2Am = m(n - 1)D - n(m - 1)D \)

\( \implies 2A(n - m) = \{mn - m - (mn - n)\}D \)

\( \implies 2A(n - m) = \{mn - m - mn + n\}D \)

\( \implies 2A(n - m) = (n - m)D \)
કારણ કે \( n \neq m \), આપણે \( (n - m) \) વડે ભાગી શકીએ છીએ:

\( \implies 2A = D \)
આથી, આપેલી શ્રેણીના \( m \) મા અને \( n \) મા પદોનો ગુણોત્તર,
\( \frac{a_m}{a_n} = \frac{A + (m - 1)D}{A + (n - 1)D} \)
\( D = 2A \) ની કિંમત મૂકતાં,
\( \frac{a_m}{a_n} = \frac{A + (m - 1)(2A)}{A + (n - 1)(2A)} \)

\( \implies = \frac{A\{1 + 2(m - 1)\}}{A\{1 + 2(n - 1)\}} \)

\( \implies = \frac{1 + 2m - 2}{1 + 2n - 2} \)

\( \implies = \frac{2m - 1}{2n - 1} \)
આ રીતે, આપેલી શ્રેણીના \( m \) મા અને \( n \) મા પદોનો ગુણોત્તર \( (2m - 1) : (2n - 1) \) થાય છે.
In simple words: પહેલાં, પ્રથમ \( m \) અને \( n \) પદોના સરવાળાના ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરીને શ્રેણીનું પ્રથમ પદ \( A \) અને સામાન્ય તફાવત \( D \) વચ્ચેનો સંબંધ મેળવો. પછી, \( m \) મા અને \( n \) મા પદોના ગુણોત્તરના સૂત્રમાં આ સંબંધને મૂકીને અંતિમ ગુણોત્તર સાબિત કરો.

Exam Tip: This is a common result: if the ratio of sums of 'm' and 'n' terms is \( m^2 : n^2 \), then the ratio of their respective m-th and n-th terms is \( (2m-1) : (2n-1) \). Remember this shortcut for quick verification.

Question 13. એક સમાંતર શ્રેણીનાં \( n \) પદોનો સરવાળો \( 3n^2 + 5n \) અને \( m \) મું પદ \( 164 \) છે, તો \( m \) નું મૂલ્ય શોધો.
Answer: અહીં, સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ \( n \) પદોનો સરવાળો \( S_n = 3n^2 + 5n \) તરીકે આપેલો છે.

\( \implies S_{n-1} = 3(n - 1)^2 + 5(n - 1) \)
\( = 3(n^2 - 2n + 1) + 5n - 5 \)
\( = 3n^2 - 6n + 3 + 5n - 5 \)

\( \implies S_{n-1} = 3n^2 - n - 2 \)
આપેલી શ્રેણીનું \( n \) મું પદ \( a_n = S_n - S_{n-1} \) સૂત્ર મુજબ,
\( a_n = (3n^2 + 5n) - (3n^2 - n - 2) \)
\( = 3n^2 + 5n - 3n^2 + n + 2 \)
\( = 6n + 2 \)
ત્યારબાદ, \( n \) ની જગ્યાએ \( m \) મૂકીએ તો,
\( a_m = 6m + 2 \)
પરંતુ, આપણને \( a_m = 164 \) આપેલું છે.

\( \implies 6m + 2 = 164 \)

\( \implies 6m = 164 - 2 \)

\( \implies 6m = 162 \)

\( \implies m = \frac{162}{6} \)

\( \implies m = 27 \)
આ રીતે, \( m \) નું મૂલ્ય 27 મળે છે.
In simple words: પહેલાં, \( S_n \) ના સૂત્રમાંથી \( S_{n-1} \) શોધીને \( n \) માં પદ \( a_n \) નું સૂત્ર મેળવો. પછી, આ \( a_n \) ના સૂત્રમાં \( n \) ને બદલે \( m \) મૂકીને અને આપેલ કિંમત \( a_m = 164 \) સાથે સરખાવીને \( m \) નું મૂલ્ય શોધો.

Exam Tip: The most crucial step here is correctly finding the formula for the n-th term \( a_n = S_n - S_{n-1} \). Be careful with signs when subtracting \( S_{n-1} \).

Question 14. 8 અને 26 વચ્ચે 5 સંખ્યાઓ એ રીતે ઉમેરો કે જેથી બનતી શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી હોય.
Answer: ધારી લો કે, 8 અને 26 ની વચ્ચે \( A_1, A_2, A_3, A_4, \) અને \( A_5 \) એવી પાંચ સંખ્યાઓ ઉમેરીએ જેથી \( 8, A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, 26 \) સમાંતર શ્રેણી બને.
આમ, પ્રથમ પદ \( a = 8 \) અને શ્રેણીનું 7મું પદ \( a_7 = 26 \) થશે.
અહીં, \( a = 8 \) અને \( a_n = 26 \) છે, અને કુલ પદોની સંખ્યા \( n = 7 \) છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે \( a_n = a + (n - 1)d \)

\( \implies a + (7 - 1)d = 26 \)

\( \implies 8 + 6d = 26 \) ( \( \because a = 8 \) )

\( \implies 6d = 26 - 8 \)

\( \implies 6d = 18 \)

\( \implies d = 3 \)
આથી, \( a = 8 \) અને \( d = 3 \) મળે છે.
આ રીતે, દાખલ કરેલી સંખ્યાઓ છે:
\( A_1 = a + d = 8 + 3 = 11 \)
\( A_2 = a + 2d = 8 + 2(3) = 14 \)
\( A_3 = a + 3d = 8 + 3(3) = 17 \)
\( A_4 = a + 4d = 8 + 4(3) = 20 \)
\( A_5 = a + 5d = 8 + 5(3) = 23 \)
આથી, 8 અને 26 વચ્ચે 11, 14, 17, 20, અને 23 સંખ્યાઓ ઉમેરવાથી એક સમાંતર શ્રેણી બને છે.
In simple words: આપેલ બે સંખ્યાઓ અને ઉમેરવાની સંખ્યાઓ મળીને એક સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે. પ્રથમ અને અંતિમ પદનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય તફાવત \( d \) શોધો, પછી વચ્ચેની બધી સંખ્યાઓ મેળવો.

Exam Tip: When inserting 'k' arithmetic means between two numbers 'a' and 'b', the total number of terms in the series becomes \( k+2 \). The last term 'b' will be the \((k+2)\)-th term. Use \( a_{k+2} = a + (k+1)d \) to find 'd'.

Question 15. જો \( a \) અને \( b \) વચ્ચેનો સમાંતર મધ્યક \( \frac{a^n+b^n}{a^{n-1}+b^{n-1}} \) હોય, તો \( n \) નું મૂલ્ય શોધો.
Answer: \( a \) અને \( b \) વચ્ચેનો સમાંતર મધ્યક \( \frac{a+b}{2} \) છે. પરંતુ, આપેલ શરત મુજબ આ મધ્યક \( \frac{a^n+b^n}{a^{n-1}+b^{n-1}} \) આપેલો છે.

\( \implies \frac{a^n+b^n}{a^{n-1}+b^{n-1}} = \frac{a+b}{2} \)

\( \implies 2(a^n+b^n) = (a+b)(a^{n-1}+b^{n-1}) \)

\( \implies 2a^n+2b^n = a \cdot a^{n-1} + a \cdot b^{n-1} + b \cdot a^{n-1} + b \cdot b^{n-1} \)

\( \implies 2a^n+2b^n = a^n + ab^{n-1} + ba^{n-1} + b^n \)

\( \implies a^n+b^n = ab^{n-1} + ba^{n-1} \)

\( \implies a^n - ba^{n-1} = ab^{n-1} - b^n \)

\( \implies a^{n-1}(a - b) = b^{n-1}(a - b) \)
કારણ કે \( a \neq b \), આપણે \( (a - b) \) વડે ભાગી શકીએ છીએ:

\( \implies a^{n-1} = b^{n-1} \)

\( \implies \frac{a^{n-1}}{b^{n-1}} = 1 \)

\( \implies \left(\frac{a}{b}\right)^{n-1} = 1 \)
કારણ કે \( \left(\frac{a}{b}\right)^0 = 1 \),

\( \implies \left(\frac{a}{b}\right)^{n-1} = \left(\frac{a}{b}\right)^0 \)

\( \implies n - 1 = 0 \)

\( \implies n = 1 \)
આમ, \( n = 1 \) મળે છે.
In simple words: આપેલા સમાંતર મધ્યકના સૂત્રને \( \frac{a+b}{2} \) સાથે સરખાવો. પછી, પદોને ક્રોસ-ગુણાકાર કરીને અને ફરીથી ગોઠવીને સમીકરણને સરળ બનાવો. અંતે, \( a^{n-1} = b^{n-1} \) સંબંધમાંથી \( n \) નું મૂલ્ય શોધો.

Exam Tip: This is a common question type involving properties of arithmetic means. The key is careful algebraic manipulation, especially when factoring out \( a^{n-1} \) and \( b^{n-1} \).

Question 16. 1 અને 31 વચ્ચે \( m \) સંખ્યાઓ એવી રીતે મૂકવામાં આવે છે કે જેથી બનતી શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી હોય અને 7મી અને \( (m - 1) \) મી સંખ્યાનો ગુણોત્તર \( 5: 9 \) છે, તો \( m \) નું મૂલ્ય શોધો.
Answer: ધારી લો કે, 1 અને 31 ની વચ્ચે \( m \) સંખ્યાઓ, જેમ કે \( A_1, A_2, A_3, \dots, A_m \), મૂકેલી છે.
આમ, \( 1, A_1, A_2, A_3, \dots, A_m, 31 \) એક સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે. તેનું પ્રથમ પદ \( a = 1 \) છે.
અને તેનો સામાન્ય તફાવત \( d \) છે તેમ ધારી લો.
અહીં, પ્રથમ પદ \( a = 1 \) અને કુલ \( (m + 2) \) પદોની શ્રેણીમાં અંતિમ પદ \( a_{m+2} = 31 \) છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે \( a_n = a + (n - 1)d \)

\( \implies a + (m + 2 - 1)d = 31 \)

\( \implies 1 + (m + 1)d = 31 \)

\( \implies (m + 1)d = 30 \)

\( \implies d = \frac{30}{m+1} \)
આપણને 7મી સંખ્યા \( A_7 \) અને \( (m - 1) \) મી સંખ્યા \( A_{m-1} \) નો ગુણોત્તર આપેલો છે.
\( A_7 \) એ શ્રેણીનું 8મું પદ છે, અને \( A_{m-1} \) એ શ્રેણીનું \( m \) મું પદ છે.
આથી, \( a_8 = a + 7d = 1 + 7d \)
અને \( a_m = a + (m - 1)d = 1 + (m - 1)d \)
આપેલ શરત મુજબ,
\( \frac{1 + 7d}{1 + (m - 1)d} = \frac{5}{9} \)
\( d = \frac{30}{m+1} \) ની કિંમત મૂકતાં,
\( \frac{1 + 7\left(\frac{30}{m+1}\right)}{1 + (m - 1)\left(\frac{30}{m+1}\right)} = \frac{5}{9} \)

\( \implies \frac{\frac{m+1+210}{m+1}}{\frac{m+1+30(m-1)}{m+1}} = \frac{5}{9} \)

\( \implies \frac{m+211}{m+1+30m-30} = \frac{5}{9} \)

\( \implies \frac{m+211}{31m-29} = \frac{5}{9} \)

\( \implies 9(m+211) = 5(31m-29) \)

\( \implies 9m + 1899 = 155m - 145 \)

\( \implies 1899 + 145 = 155m - 9m \)

\( \implies 2044 = 146m \)

\( \implies m = \frac{2044}{146} \)

\( \implies m = 14 \)
આ રીતે, \( m = 14 \) મળે છે.
In simple words: પહેલાં, સામાન્ય તફાવત \( d \) ને \( m \) ના સ્વરૂપમાં મેળવો. પછી, 7મી અને \( (m-1) \) મી દાખલ કરેલી સંખ્યાઓ માટેના પદોને \( a \) અને \( d \) ના સંદર્ભમાં લખો. તેમના ગુણોત્તરને \( 5:9 \) સાથે સરખાવીને \( m \) ની કિંમત શોધો.

Exam Tip: Be careful with indexing: if 'm' numbers are inserted between 'a' and 'b', the total terms are \( m+2 \). The k-th inserted number \( A_k \) is the \((k+1)\)-th term of the overall AP. Ensure correct substitution into the ratio equation.

Question 17. એક વ્યક્તિ તેની લોનની ચુકવણી માટે પ્રથમ હપતામાં Rs. 100 ભરે છે. જો તે દર મહિને હપતાની રકમમાં Rs. 5 વધારે ભરે, તો તેના 30મા હપતામાં કેટલી રકમ ચૂકવશે?
Answer: પહેલા હપતાની રકમ Rs. 100 છે. દર મહિને Rs. 5નો વધારો થાય છે. આથી, બીજા હપતાની રકમ Rs. 105 અને ત્રીજા હપતાની રકમ Rs. 110 થશે. આ રીતે, માસિક હપતાની રકમની હારમાળા \( 100, 105, 110, 115, \ldots \) થાય છે. અહીં, \( a = 100 \) અને \( d = 105 - 100 = 5 \) છે. 30મી રકમ માટે \( n = 30 \) થશે. સમાંતર શ્રેણીના nમાં પદના સૂત્ર \( a_n = a + (n - 1) d \) મુજબ,
\( a_{30} = 100 + (30 - 1) 5 \)
\( a_{30} = 100 + (29)(5) \)
\( a_{30} = 100 + 145 \)
\( a_{30} = 245 \)
આમ, વ્યક્તિ 30મા હપતામાં Rs. 245 આપશે.
In simple words: એક વ્યક્તિ 100 રૂપિયાથી લોન ચૂકવવાનું શરૂ કરે છે અને દર મહિને 5 રૂપિયા વધારે ચૂકવે છે. 30મા મહિને તે કુલ 245 રૂપિયા ચૂકવશે.

Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ પદ (a), સામાન્ય તફાવત (d) અને પદોની સંખ્યા (n) ને ઓળખવી અને યોગ્ય સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો મહત્વપૂર્ણ છે.

Question 18. એક બહુકોણમાં બે ક્રમિક અંતઃકોણોનો તફાવત 5° છે. જો સૌથી નાનો ખૂણો 120° નો હોય, તો તે બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા શોધો.
Answer: ધારી લો કે, બહુકોણને \( n \) બાજુઓ છે. પ્રશ્ન મુજબ, તેના અંતઃકોણો સમાંતર શ્રેણી બનાવશે. અહીં, પ્રથમ પદ \( a = 120^\circ \) અને સામાન્ય તફાવત \( d = 5^\circ \) છે. \( n \) બાજુવાળા બહુકોણના અંતઃકોણોનો કુલ સરવાળો \( S_n = (n - 2) (180^\circ) \) થાય છે. આપણે જાણીએ છીએ કે સમાંતર શ્રેણીના પદોના સરવાળાનું સૂત્ર \( S_n = \frac{n}{2} \{2a + (n - 1) d\} \) છે.
તેથી,
\( \frac{n}{2} \{2 (120) + (n - 1)5\} = (n - 2) (180) \)
\( 120n + \frac{n(n-1) 5}{2} = 180n - 360 \)
\( 240n + 5n^2 - 5n = 360n - 720 \)
\( 5n^2 - 125n + 720 = 0 \)
આ સમીકરણને 5 વડે ભાગતા,
\( n^2 - 25n + 144 = 0 \)
\( n^2 - 16n - 9n + 144 = 0 \)
\( n (n - 16) - 9 (n - 16) = 0 \)
\( (n - 9) (n - 16) = 0 \)
તેથી, \( n - 9 = 0 \) અથવા \( n - 16 = 0 \)
\( n = 9 \) અથવા \( n = 16 \)
જો \( n = 9 \) હોય, તો 9મું પદ \( a_n = a + (n - 1) d \) મુજબ,
\( a_9 = 120 + (9 - 1)5 \)
\( a_9 = 120 + 40 \)
\( a_9 = 160^\circ \)
જે \( 180^\circ \) થી નાનો છે, તેથી \( n = 9 \) માન્ય છે.
જો \( n = 16 \) હોય, તો 16મું પદ \( a_n = a + (n - 1) d \) મુજબ,
\( a_{16} = 120 + (16 - 1) d \)
\( a_{16} = 120 + (15) (5) \)
\( a_{16} = 120 + 75 \)
\( a_{16} = 195^\circ \)
આ ખૂણો \( 180^\circ \) થી મોટો છે, જે બહુકોણના અંતઃકોણ માટે શક્ય નથી. તેથી, \( n = 16 \) માન્ય નથી. આમ, બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા 9 છે.
In simple words: એક બહુકોણમાં, જો ખૂણાઓનો તફાવત 5 ડિગ્રી હોય અને સૌથી નાનો ખૂણો 120 ડિગ્રી હોય, તો તે બહુકોણને 9 બાજુઓ હોય છે.

Exam Tip: બહુકોણના અંતઃકોણોના સરવાળાનું સૂત્ર યાદ રાખો અને દરેક અંતઃકોણ \( 180^\circ \) થી ઓછો હોવો જોઈએ તે શરત તપાસો.