GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 9 શ્રેણી અને શ્રેઢી Exercise 9.1

પ્રશ્ન 1થી 6માં જેનું nમું પદ આપેલ છે, તે શ્રેણીનાં પ્રથમ પાંચ લખો :

Question 1. \( a_n = n(n + 2) \)
Answer: અહીં, \( a_n = n(n + 2) \) માં \( n = 1, 2, 3, 4 \) અને \( 5 \) મૂકતાં:
\( a_1 = 1(1 + 2) = 1(3) = 3 \)
\( a_2 = 2(2 + 2) = 2(4) = 8 \)
\( a_3 = 3(3 + 2) = 3(5) = 15 \)
\( a_4 = 4(4 + 2) = 4(6) = 24 \)
\( a_5 = 5(5 + 2) = 5(7) = 35 \)
આમ, શ્રેણીના પ્રથમ પાંચ પદો 3, 8, 15, 24 અને 35 છે.
In simple words: આપણે n ની જગ્યાએ 1 થી 5 સુધીની સંખ્યાઓ મૂકીને, આપેલા સૂત્રમાંથી શ્રેણીના પહેલા પાંચ પદો મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે કોઈ શ્રેણીનું nમું પદ આપેલું હોય, ત્યારે પ્રથમ પાંચ પદ શોધવા માટે n ની જગ્યાએ 1, 2, 3, 4 અને 5 મૂકીને ગણતરી કરો.

Question 2. \( a_n = \frac{n}{n+1} \)
Answer: અહીં, \( a_n = \frac{n}{n+1} \) માં \( n = 1, 2, 3, 4 \) અને \( 5 \) મૂકતાં:
\( a_1 = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} \)
\( a_2 = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3} \)
\( a_3 = \frac{3}{3+1} = \frac{3}{4} \)
\( a_4 = \frac{4}{4+1} = \frac{4}{5} \)
\( a_5 = \frac{5}{5+1} = \frac{5}{6} \)
આમ, શ્રેણીના પ્રથમ પાંચ પદો \( \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5} \) અને \( \frac{5}{6} \) છે.
In simple words: અહીં, આપણે n ની કિંમતો 1 થી 5 સુધી મૂકીને, અપૂર્ણાંક સ્વરૂપમાં શ્રેણીના પહેલા પાંચ પદો શોધીએ છીએ.

Exam Tip: અપૂર્ણાંક શ્રેણીના પદો શોધતી વખતે, n ની કિંમત અંશ અને છેદ બંનેમાં સાવચેતીપૂર્વક મૂકો.

Question 3. \( a_n = 2^n \)
Answer: અહીં, \( a_n = 2^n \) માં \( n = 1, 2, 3, 4 \) અને \( 5 \) મૂકતાં:
\( a_1 = 2^1 = 2 \)
\( a_2 = 2^2 = 4 \)
\( a_3 = 2^3 = 8 \)
\( a_4 = 2^4 = 16 \)
\( a_5 = 2^5 = 32 \)
આમ, શ્રેણીના પ્રથમ પાંચ પદો 2, 4, 8, 16 અને 32 છે.
In simple words: આપણે n ની કિંમત 1 થી 5 સુધી મૂકીને, 2 ના ઘાતાંકમાં શ્રેણીના પહેલા પાંચ પદો શોધીએ છીએ.

Exam Tip: ઘાતાંકવાળી શ્રેણીમાં n ની કિંમત ઘાતાંકમાં જ મૂકવી, જેથી ગણતરીમાં ભૂલ ન થાય.

Question 4. \( a_n = \frac{2n-3}{6} \)
Answer: અહીં, \( a_n = \frac{2n-3}{6} \) માં \( n = 1, 2, 3, 4 \) અને \( 5 \) મૂકતાં:
\( a_1 = \frac{2(1)-3}{6} = \frac{2-3}{6} = \frac{-1}{6} \)
\( a_2 = \frac{2(2)-3}{6} = \frac{4-3}{6} = \frac{1}{6} \)
\( a_3 = \frac{2(3)-3}{6} = \frac{6-3}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
\( a_4 = \frac{2(4)-3}{6} = \frac{8-3}{6} = \frac{5}{6} \)
\( a_5 = \frac{2(5)-3}{6} = \frac{10-3}{6} = \frac{7}{6} \)
આમ, શ્રેણીના પ્રથમ પાંચ પદો \( \frac{-1}{6}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2}, \frac{5}{6} \) અને \( \frac{7}{6} \) છે.
In simple words: અહીં, આપણે n ની કિંમત 1 થી 5 સુધી મૂકીને, અપૂર્ણાંક સ્વરૂપમાં શ્રેણીના પહેલા પાંચ પદો શોધીએ છીએ. ગણતરીમાં પ્લસ-માઈનસનું ધ્યાન રાખવું.

Exam Tip: અપૂર્ણાંક અને ઋણ સંખ્યાઓવાળી શ્રેણીમાં, ગણતરીના દરેક પગલામાં ચિહ્નો (signs) અને અપૂર્ણાંકના નિયમોનું ખાસ ધ્યાન રાખો.

Question 5. \( a_n = (-1)^{n-1} 5^{n+1} \)
Answer: અહીં, \( a_n = (-1)^{n-1} 5^{n+1} \) માં \( n = 1, 2, 3, 4 \) અને \( 5 \) મૂકતાં:
\( a_1 = (-1)^{1-1} \cdot 5^{1+1} = (-1)^0 \cdot 5^2 = (1)(25) = 25 \)
\( a_2 = (-1)^{2-1} \cdot 5^{2+1} = (-1)^1 \cdot 5^3 = (-1)(125) = -125 \)
\( a_3 = (-1)^{3-1} \cdot 5^{3+1} = (-1)^2 \cdot 5^4 = (1)(625) = 625 \)
\( a_4 = (-1)^{4-1} \cdot 5^{4+1} = (-1)^3 \cdot 5^5 = (-1)(3125) = -3125 \)
\( a_5 = (-1)^{5-1} \cdot 5^{5+1} = (-1)^4 \cdot 5^6 = (1)(15625) = 15625 \)
આમ, શ્રેણીના પ્રથમ પાંચ પદો 25, -125, 625, -3125 અને 15625 છે.
In simple words: અહીં, n ની કિંમત 1 થી 5 સુધી મૂકીને, ઘાતાંક અને ઋણ સંખ્યાના ગુણાકારના નિયમો લાગુ કરીને શ્રેણીના પહેલા પાંચ પદો શોધીએ છીએ. (-1) ના ઘાતાંક પરથી ચિહ્ન બદલાય છે.

Exam Tip: જ્યારે ઘાતાંકમાં (-1) હોય, ત્યારે n-1 ની કિંમત જો સમ હોય તો પરિણામ ધન અને જો વિષમ હોય તો ઋણ આવે, તેનું ખાસ ધ્યાન રાખવું.

Question 6. \( a_n = n \frac{n^2+5}{4} \)
Answer: અહીં, \( a_n = n \frac{n^2+5}{4} \) માં \( n = 1, 2, 3, 4 \) અને \( 5 \) મૂકતાં:
\( a_1 = \frac{1(1^2+5)}{4} = \frac{1(1+5)}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)
\( a_2 = \frac{2(2^2+5)}{4} = \frac{2(4+5)}{4} = \frac{2(9)}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} \)
\( a_3 = \frac{3(3^2+5)}{4} = \frac{3(9+5)}{4} = \frac{3(14)}{4} = \frac{42}{4} = \frac{21}{2} \)
\( a_4 = \frac{4(4^2+5)}{4} = \frac{4(16+5)}{4} = \frac{4(21)}{4} = 21 \)
\( a_5 = \frac{5(5^2+5)}{4} = \frac{5(25+5)}{4} = \frac{5(30)}{4} = \frac{150}{4} = \frac{75}{2} \)
આમ, શ્રેણીના પ્રથમ પાંચ પદો \( \frac{3}{2}, \frac{9}{2}, \frac{21}{2}, 21 \) અને \( \frac{75}{2} \) છે.
In simple words: અહીં, n ની કિંમત 1 થી 5 સુધી મૂકીને, વર્ગ અને અપૂર્ણાંકના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને શ્રેણીના પહેલા પાંચ પદો શોધીએ છીએ.

Exam Tip: આવી શ્રેણીમાં, n ની કિંમત મૂક્યા પછી ગુણાકાર અને ભાગાકારની ક્રિયાઓનો યોગ્ય ક્રમ (BODMAS) જાળવો.

પ્રશ્ન 7થી 10માં જેનું nમું પદ આપેલ છે, તે શ્રેણીના નિર્દેશિત પદ શોધો :

Question 7. \( a_n = 4n - 3; a_{17}, a_{24} \)
Answer: અહીં, \( a_n = 4n - 3 \) માં \( n = 17 \) અને \( 24 \) મૂકતાં:
\( a_{17} = 4(17) - 3 = 68 - 3 = 65 \)
\( a_{24} = 4(24) - 3 = 96 - 3 = 93 \)
આમ, 17મું અને 24મું પદ અનુક્રમે 65 અને 93 છે.
In simple words: આપેલા સૂત્રમાં n ની જગ્યાએ 17 અને 24 મૂકીને, આપણે શ્રેણીના 17મા અને 24મા પદની ગણતરી કરીએ છીએ.

Exam Tip: નિર્દેશિત પદ શોધતી વખતે, n ની કિંમત બરાબર મૂકવાની ખાતરી કરો અને પછી સરવાળા-બાદબાકીની ગણતરી સાચી રીતે કરો.

Question 8. \( a_n = \frac{n^2}{2^n}; a_7 \)
Answer: અહીં, \( a_n = \frac{n^2}{2^n} \) માં \( n = 7 \) મૂકતાં:
\( a_7 = \frac{7^2}{2^7} = \frac{49}{128} \)
આમ, 7મું પદ \( \frac{49}{128} \) છે.
In simple words: અહીં, n ની કિંમત 7 મૂકીને, અંશમાં 7 નો વર્ગ અને છેદમાં 2 ની 7 ઘાત ગણીને આપણે 7મું પદ શોધીએ છીએ.

Exam Tip: ઘાતાંકવાળા અપૂર્ણાંકોમાં, n ની કિંમત અંશ અને છેદ બંનેમાં યોગ્ય રીતે મૂકીને ગણતરી કરો. મોટી ઘાતાંકની કિંમત યાદ રાખો અથવા ગણી લો.

Question 9. \( a_n = (-1)^{n-1} n^3; a_9 \)
Answer: અહીં, \( a_n = (-1)^{n-1} n^3 \) માં \( n = 9 \) મૂકતાં:
\( a_9 = (-1)^{9-1} \cdot 9^3 = (-1)^8 \cdot 729 = (1) \cdot 729 = 729 \)
આમ, 9મું પદ 729 છે.
In simple words: n ની જગ્યાએ 9 મૂકીને, (-1) ના ઘાતાંક અને 9 ના ઘન (cube) ની ગણતરી કરીને આપણે 9મું પદ શોધીએ છીએ. (-1) ની બેકી ઘાત હોય તો તે +1 બને છે.

Exam Tip: (-1) ના ઘાતાંકનું ચિહ્ન અને n ના ઘન (cube) ની ગણતરીમાં સાવચેત રહો. (-1) ની બેકી ઘાત હંમેશા 1 હોય છે, જ્યારે વિષમ ઘાત -1 હોય છે.

Question 10. \( a_n = \frac{n(n-2)}{n+3}; a_{20} \)
Answer: અહીં, \( a_n = \frac{n(n-2)}{n+3} \) માં \( n = 20 \) મૂકતાં:
\( a_{20} = \frac{20(20-2)}{20+3} = \frac{20(18)}{23} = \frac{360}{23} \)
આમ, 20મું પદ \( \frac{360}{23} \) છે.
In simple words: આપણે n ની જગ્યાએ 20 મૂકીને, આપેલા અપૂર્ણાંક સૂત્રમાં ગણતરી કરીને 20મું પદ શોધીએ છીએ.

Exam Tip: અપૂર્ણાંક શ્રેણીના નિર્દેશિત પદ શોધતી વખતે, અંશ અને છેદમાં કૌંસનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીનો ક્રમ યોગ્ય રીતે જાળવો.

પ્રશ્ન 11થી 13માં આપેલ શ્રેણીઓનાં પ્રથમ પાંચ પદ શોધો અને સંબંધિત શ્રેઢી મેળવો :

Question 11. \( a_1 = 3, n > 1 \) માટૅ \( a_n = 3a_{n-1} + 2 \)
Answer: અહીં, \( a_1 = 3 \) અને \( a_n = 3a_{n-1} + 2 \) માં \( n = 2, 3, 4 \) અને \( 5 \) મૂકતાં:
\( a_2 = 3a_1 + 2 = 3(3) + 2 \) (કારણ કે \( a_1 = 3 \))
\( = 9 + 2 = 11 \)
\( a_3 = 3a_2 + 2 = 3(11) + 2 \) (કારણ કે \( a_2 = 11 \))
\( = 33 + 2 = 35 \)
\( a_4 = 3a_3 + 2 = 3(35) + 2 \) (કારણ કે \( a_3 = 35 \))
\( = 105 + 2 = 107 \)
\( a_5 = 3a_4 + 2 = 3(107) + 2 \) (કારણ કે \( a_4 = 107 \))
\( = 321 + 2 = 323 \)
આમ, આપેલ શ્રેણીના પ્રથમ પાંચ પદો 3, 11, 35, 107 અને 323 છે. સંબંધિત શ્રેઢી \( 3 + 11 + 35 + 107 + 323 + \dots \) છે.
In simple words: અહીં, આપણે શ્રેણીના પહેલા પદનો ઉપયોગ કરીને, દરેક નવા પદ માટે અગાઉના પદને 3 વડે ગુણીને 2 ઉમેરીએ છીએ. પછી બધા પદોનો સરવાળો કરીને શ્રેઢી બનાવીએ છીએ.

Exam Tip: આવા પુનરાવર્તિત સંબંધો (recursive relations) માં, દરેક પદની ગણતરી કરવા માટે પાછલા પદની કિંમત સાચી રીતે વાપરવી જરૂરી છે.

Question 12. \( a_1 = -1, n \ge 2 \) માટૅ \( a_n = \frac{a_{n-1}}{n} \)
Answer: અહીં, \( a_1 = -1 \) અને \( a_n = \frac{a_{n-1}}{n} \), \( n \ge 2 \) છે. હવે, \( n = 2, 3, 4 \) અને \( 5 \) મૂકતાં:
\( a_2 = \frac{a_1}{2} = \frac{-1}{2} \)
\( a_3 = \frac{a_2}{3} = \frac{-1/2}{3} = -\frac{1}{6} \)
\( a_4 = \frac{a_3}{4} = \frac{-1/6}{4} = -\frac{1}{24} \)
\( a_5 = \frac{a_4}{5} = \frac{-1/24}{5} = -\frac{1}{120} \)
આમ, આપેલ શ્રેણીના પ્રથમ પાંચ પદો \( -1, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{6}, -\frac{1}{24} \) અને \( -\frac{1}{120} \) છે. સંબંધિત શ્રેઢી \( (-1) + (-\frac{1}{2}) + (-\frac{1}{6}) + (-\frac{1}{24}) + (-\frac{1}{120}) + \dots \) છે.
In simple words: અહીં, આપણે પ્રથમ પદ -1 લઈને, પછીના દરેક પદ માટે અગાઉના પદને n વડે ભાગીએ છીએ, જ્યાં n એ પદનો ક્રમાંક છે. પછી બધા પદોનો સરવાળો કરીને શ્રેઢી બનાવીએ છીએ.

Exam Tip: પુનરાવર્તિત સંબંધોમાં અપૂર્ણાંકની ગણતરી કરતી વખતે, છેદમાં n ની કિંમત ગુણાકારમાં આવે છે તેનું ધ્યાન રાખો.

Question 13. \( a_1 = a_2 = 2, n > 2 \) માટૅ \( a_n = a_{n-1} - 1 \)
Answer: અહીં, \( a_1 = a_2 = 2 \) અને \( a_n = a_{n-1} - 1 \) છે. \( n = 3, 4 \) અને \( 5 \) મૂકતાં:
\( a_3 = a_2 - 1 = 2 - 1 = 1 \) (કારણ કે \( a_2 = 2 \))
\( a_4 = a_3 - 1 = 1 - 1 = 0 \) (કારણ કે \( a_3 = 1 \))
\( a_5 = a_4 - 1 = 0 - 1 = -1 \) (કારણ કે \( a_4 = 0 \))
આમ, આપેલ શ્રેણીના પ્રથમ પાંચ પદો 2, 2, 1, 0 અને -1 છે. સંબંધિત શ્રેઢી \( 2 + 2 + 1 + 0 + (-1) + \dots \) છે.
In simple words: અહીં, પહેલા બે પદ 2 છે. પછીના દરેક પદ માટે, અગાઉના પદમાંથી 1 બાદ કરીએ છીએ. પછી બધા પદોનો સરવાળો કરીને શ્રેઢી બનાવીએ છીએ.

Exam Tip: આવા સરળ પુનરાવર્તિત સંબંધોમાં, ગણતરીમાં ભૂલ ન થાય તે માટે દરેક પગલું ધ્યાનથી કરો, ખાસ કરીને જ્યારે ઋણ સંખ્યાઓ આવતી હોય.

Question 14. ફિબોનાકી શ્રેણી \( 1 = a_1 = a_2 \) અને \( n > 2 \) માટે \( a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \) એમ વ્યાખ્યાયિત થાય છે. \( n = 1, 2, 3, 4, 5 \) માટે \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \) શોધો.
Answer: અહીં, \( a_1 = a_2 = 1 \) અને \( a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \), જ્યાં \( n > 2 \) છે.
પહેલા શ્રેણીના પદો શોધીએ:
\( a_1 = 1 \)
\( a_2 = 1 \)
\( a_3 = a_2 + a_1 = 1 + 1 = 2 \)
\( a_4 = a_3 + a_2 = 2 + 1 = 3 \)
\( a_5 = a_4 + a_3 = 3 + 2 = 5 \)
\( a_6 = a_5 + a_4 = 5 + 3 = 8 \)
હવે, \( n = 1, 2, 3, 4, 5 \) માટે \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \) શોધીએ:
\( n = 1 \) માટે \( \frac{a_{1+1}}{a_1} = \frac{a_2}{a_1} = \frac{1}{1} = 1 \)
\( n = 2 \) માટે \( \frac{a_{2+1}}{a_2} = \frac{a_3}{a_2} = \frac{2}{1} = 2 \)
\( n = 3 \) માટે \( \frac{a_{3+1}}{a_3} = \frac{a_4}{a_3} = \frac{3}{2} \)
\( n = 4 \) માટે \( \frac{a_{4+1}}{a_4} = \frac{a_5}{a_4} = \frac{5}{3} \)
\( n = 5 \) માટે \( \frac{a_{5+1}}{a_5} = \frac{a_6}{a_5} = \frac{8}{5} \)
In simple words: ફિબોનાકી શ્રેણીમાં, દરેક પદ પહેલાના બે પદોનો સરવાળો હોય છે, જેમાં પહેલા બે પદ 1 હોય છે. આપણે આ શ્રેણીના પદો શોધીએ છીએ. પછી, n = 1 થી 5 માટે, આપણે \( a_{n+1} \) ને \( a_n \) વડે ભાગીને ગુણોત્તર શોધીએ છીએ.

Exam Tip: ફિબોનાકી શ્રેણીના પદોની ગણતરી કરતી વખતે, પ્રથમ બે પદોથી શરૂ કરીને ક્રમશઃ આગળ વધો અને દરેક પદ માટે યોગ્ય રીતે સરવાળો કરો. ગુણોત્તર શોધતી વખતે ભાગાકારમાં ભૂલ ન થાય તેનું ધ્યાન રાખો.