GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 6 સુરેખ અસમતાઓ Exercise 6.2

નીચેની અસમતાઓનો ઉકેલગણ આલેખ પર દ્વિ-પરિમાણીય યામ-સમતલમાં મેળવો :

Question 1. \( x + y < 5 \)
Answer:સૌપ્રથમ, આપણે \( x + y = 5 \) ની સીધી રેખા બનાવીશું. અક્ષો સાથેના છેદતા બિંદુઓ શોધવા માટે, \( y = 0 \) મૂકવાથી \( x = 5 \) મળે છે અને \( x = 0 \) મૂકવાથી \( y = 5 \) મળે છે. આથી, \( A (5, 0) \) તેમજ \( B (0, 5) \) આ રેખા પર આવેલા બિંદુઓ છે. આગળની આકૃતિમાં \( \overleftrightarrow{\mathrm{AB}} \) ને તૂટેલી લીટી વડે બતાવેલ છે. હવે, \( \overleftrightarrow{\mathrm{AB}} \) પર ન હોય તેવું એક બિંદુ \( (0, 0) \) પસંદ કરો અને તેને અસમતા \( x + y < 5 \) માં મૂકો. \( 0 + 0 < 5 \) એટલે કે \( 0 < 5 \), જે સાચું છે. આથી, ઉકેલવાળો વિસ્તાર એ \( x + y = 5 \) રેખાથી \( (0, 0) \) બિંદુ સમાવતું અડધું સમતલ છે. તેને છાયાંકિત ભાગ દ્વારા દર્શાવેલ છે. અહીં, \( x + y = 5 \) રેખા ઉકેલ વિસ્તારમાં સમાવિષ્ટ નથી.
In simple words: પહેલા \( x + y = 5 \) ની રેખા દોરો. પછી \( (0, 0) \) ને અસમતામાં મૂકીને તપાસો. જો તે સાચું હોય, તો \( (0, 0) \) તરફનો ભાગ છાયાંકિત કરો. કારણ કે અસમતામાં 'ઓછા' નું ચિહ્ન છે, તેથી રેખા તૂટક લીટીવાળી રહેશે અને ઉકેલમાં સમાવેશ થશે નહીં.

Exam Tip: અસમતામાં < અથવા > હોય ત્યારે રેખા તૂટક (dashed) દોરવી અને ≤ અથવા ≥ હોય ત્યારે રેખા ઘન (solid) દોરવી. પરીક્ષણ બિંદુ (0,0) લેવાથી ગણતરી સરળ બને છે.

Question 2. \( 2x + y ≥ 6 \)
Answer:સૌપ્રથમ, આપણે \( 2x + y = 6 \) ની સીધી રેખા બનાવીશું. અક્ષો સાથેના છેદતા બિંદુઓ શોધવા માટે, \( y = 0 \) મૂકવાથી \( 2x = 6 \) એટલે કે \( x = 3 \) મળે છે અને \( x = 0 \) મૂકવાથી \( y = 6 \) મળે છે. આથી, \( A (3, 0) \) તેમજ \( B (0, 6) \) આ રેખા પર આવેલા બિંદુઓ છે. આગળની આકૃતિમાં \( \overleftrightarrow{\mathrm{AB}} \) ને ઘન લીટી વડે બતાવેલ છે. હવે, \( \overleftrightarrow{\mathrm{AB}} \) પર ન હોય તેવું એક બિંદુ \( (0, 0) \) પસંદ કરો અને તેને અસમતા \( 2x + y ≥ 6 \) માં મૂકો. \( 2(0) + 0 ≥ 6 \) એટલે કે \( 0 ≥ 6 \), જે સાચું નથી. આથી, ઉકેલવાળો વિસ્તાર એ \( 2x + y = 6 \) રેખાથી \( (0, 0) \) બિંદુ સમાવતું ન હોય તેવું અડધું સમતલ છે. તેને છાયાંકિત ભાગ દ્વારા દર્શાવેલ છે. અહીં, \( 2x + y = 6 \) રેખા ઉકેલ વિસ્તારમાં સમાવિષ્ટ છે.
In simple words: પહેલા \( 2x + y = 6 \) ની રેખા દોરો. પછી \( (0, 0) \) ને અસમતામાં મૂકીને તપાસો. જો તે ખોટું હોય, તો \( (0, 0) \) થી વિરુદ્ધનો ભાગ છાયાંકિત કરો. કારણ કે અસમતામાં 'વધુ અથવા બરાબર' નું ચિહ્ન છે, તેથી રેખા ઘન રહેશે અને ઉકેલમાં સમાવેશ થશે.

Exam Tip: અસમતામાં ≥ અથવા ≤ હોય ત્યારે રેખા ઘન (solid) દોરવી અને તે રેખા ઉકેલ ગણમાં સમાવિષ્ટ હોય છે.

Question 3. \( 3x + 4y ≤ 12 \)
Answer:સૌપ્રથમ, આપણે \( 3x + 4y = 12 \) ની સીધી રેખા બનાવીશું. અક્ષો સાથેના છેદતા બિંદુઓ શોધવા માટે, \( y = 0 \) મૂકવાથી \( 3x = 12 \) એટલે કે \( x = 4 \) મળે છે અને \( x = 0 \) મૂકવાથી \( 4y = 12 \) એટલે કે \( y = 3 \) મળે છે. આથી, \( A (4, 0) \) તેમજ \( B (0, 3) \) આ રેખા પર આવેલા બિંદુઓ છે. આગળની આકૃતિમાં \( \overleftrightarrow{\mathrm{AB}} \) ને ઘન લીટી વડે બતાવેલ છે. હવે, \( \overleftrightarrow{\mathrm{AB}} \) પર ન હોય તેવું એક બિંદુ \( (0, 0) \) પસંદ કરો અને તેને અસમતા \( 3x + 4y ≤ 12 \) માં મૂકો. \( 3(0) + 4(0) ≤ 12 \) એટલે કે \( 0 ≤ 12 \), જે સાચું છે. આથી, ઉકેલવાળો વિસ્તાર એ \( 3x + 4y = 12 \) રેખાથી \( (0, 0) \) બિંદુ સમાવતું અડધું સમતલ છે. તેને છાયાંકિત ભાગ દ્વારા દર્શાવેલ છે. અહીં, \( 3x + 4y = 12 \) રેખા ઉકેલ વિસ્તારમાં સમાવિષ્ટ છે.
In simple words: પહેલા \( 3x + 4y = 12 \) ની રેખા દોરો. પછી \( (0, 0) \) ને અસમતામાં મૂકીને તપાસો. જો તે સાચું હોય, તો \( (0, 0) \) તરફનો ભાગ છાયાંકિત કરો. કારણ કે અસમતામાં 'ઓછા અથવા બરાબર' નું ચિહ્ન છે, તેથી રેખા ઘન રહેશે અને ઉકેલમાં સમાવેશ થશે.

Exam Tip: રેખાના અક્ષો પરના છેદબિંદુઓ મેળવવા માટે એકવાર x=0 અને એકવાર y=0 મૂકવાથી ગ્રાફ દોરવો સરળ બને છે.

Question 4. \( y + 8 ≥ 2x \)
Answer:આ અસમતાને \( 2x - y ≤ 8 \) તરીકે પણ લખી શકાય છે. સૌપ્રથમ, આપણે \( 2x - y = 8 \) ની સીધી રેખા બનાવીશું. અક્ષો સાથેના છેદતા બિંદુઓ શોધવા માટે, \( y = 0 \) મૂકવાથી \( 2x - 0 = 8 \) એટલે કે \( x = 4 \) મળે છે અને \( x = 0 \) મૂકવાથી \( 0 - y = 8 \) એટલે કે \( y = -8 \) મળે છે. આથી, \( A (4, 0) \) તેમજ \( B (0, -8) \) આ રેખા પર આવેલા બિંદુઓ છે. આગળની આકૃતિમાં \( \overleftrightarrow{\mathrm{AB}} \) ને ઘન લીટી વડે બતાવેલ છે. હવે, \( \overleftrightarrow{\mathrm{AB}} \) પર ન હોય તેવું એક બિંદુ \( (0, 0) \) પસંદ કરો અને તેને અસમતા \( 2x - y ≤ 8 \) માં મૂકો. \( 2(0) - 0 ≤ 8 \) એટલે કે \( 0 ≤ 8 \), જે સાચું છે. આથી, ઉકેલવાળો વિસ્તાર એ \( 2x - y = 8 \) રેખાથી \( (0, 0) \) બિંદુ સમાવતું અડધું સમતલ છે. તેને છાયાંકિત ભાગ દ્વારા દર્શાવેલ છે. અહીં, \( 2x - y = 8 \) રેખા ઉકેલ વિસ્તારમાં સમાવિષ્ટ છે.
In simple words: પહેલા \( 2x - y = 8 \) ની રેખા દોરો. પછી \( (0, 0) \) ને અસમતામાં મૂકીને તપાસો. જો તે સાચું હોય, તો \( (0, 0) \) તરફનો ભાગ છાયાંકિત કરો. કારણ કે અસમતામાં 'ઓછા અથવા બરાબર' નું ચિહ્ન છે, તેથી રેખા ઘન રહેશે અને ઉકેલમાં સમાવેશ થશે.

Exam Tip: અસમતાને સરળ સ્વરૂપમાં (દા.ત., \( ax + by \) સ્વરૂપમાં) ફેરવવાથી ગણતરીમાં ભૂલો થવાની શક્યતા ઘટે છે.

Question 5. \( x - y ≤ 2 \)
Answer:સૌપ્રથમ, આપણે \( x - y = 2 \) ની સીધી રેખા બનાવીશું. અક્ષો સાથેના છેદતા બિંદુઓ શોધવા માટે, \( y = 0 \) મૂકવાથી \( x = 2 \) મળે છે અને \( x = 0 \) મૂકવાથી \( y = -2 \) મળે છે. આથી, \( A (2, 0) \) તેમજ \( B (0, -2) \) આ રેખા પર આવેલા બિંદુઓ છે. આગળની આકૃતિમાં \( \overleftrightarrow{\mathrm{AB}} \) ને ઘન લીટી વડે બતાવેલ છે. હવે, \( \overleftrightarrow{\mathrm{AB}} \) પર ન હોય તેવું એક બિંદુ \( (0, 0) \) પસંદ કરો અને તેને અસમતા \( x - y ≤ 2 \) માં મૂકો. \( 0 - 0 ≤ 2 \) એટલે કે \( 0 ≤ 2 \), જે સાચું છે. આથી, ઉકેલવાળો વિસ્તાર એ \( x - y = 2 \) રેખાથી \( (0, 0) \) બિંદુ સમાવતું અડધું સમતલ છે. તેને છાયાંકિત ભાગ દ્વારા દર્શાવેલ છે. અહીં, \( x - y = 2 \) રેખા ઉકેલ વિસ્તારમાં સમાવિષ્ટ છે.
In simple words: પહેલા \( x - y = 2 \) ની રેખા દોરો. પછી \( (0, 0) \) ને અસમતામાં મૂકીને તપાસો. જો તે સાચું હોય, તો \( (0, 0) \) તરફનો ભાગ છાયાંકિત કરો. કારણ કે અસમતામાં 'ઓછા અથવા બરાબર' નું ચિહ્ન છે, તેથી રેખા ઘન રહેશે અને ઉકેલમાં સમાવેશ થશે.

Exam Tip: અસમતાનો ઉકેલ પ્રદેશ એ બિંદુઓનો સમૂહ છે જે અસમતાને સંતોષે છે, અને ગ્રાફમાં તેને છાયાંકન દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

Question 6. \( 2x - 3y = 6 \)
Answer:સૌપ્રથમ, આપણે \( 2x - 3y = 6 \) ની સીધી રેખા બનાવીશું. અક્ષો સાથેના છેદતા બિંદુઓ શોધવા માટે, \( y = 0 \) મૂકવાથી \( 2x - 0 = 6 \) એટલે કે \( x = 3 \) મળે છે અને \( x = 0 \) મૂકવાથી \( 0 - 3y = 6 \) એટલે કે \( y = -2 \) મળે છે. આથી, \( A (3, 0) \) તેમજ \( B (0, -2) \) આ રેખા પર આવેલા બિંદુઓ છે. આગળની આકૃતિમાં \( \overleftrightarrow{\mathrm{AB}} \) ને ઘન લીટી વડે બતાવેલ છે. હવે, આ દાખલો અસમતાનો છે એમ ધારીને, ચાલો આપણે `(0,0)` ને \( 2x - 3y \ge 6 \) માં મૂકીએ (જે આલેખના છાયાંકિત પ્રદેશને અનુરૂપ છે). \( 2(0) - 3(0) \ge 6 \) એટલે કે \( 0 \ge 6 \), જે સાચું નથી. આથી, ઉકેલવાળો વિસ્તાર એ \( 2x - 3y = 6 \) રેખાથી \( (0, 0) \) બિંદુ સમાવતું ન હોય તેવું અડધું સમતલ છે. તેને છાયાંકિત ભાગ દ્વારા દર્શાવેલ છે. અહીં, \( 2x - 3y = 6 \) રેખા ઉકેલ વિસ્તારમાં સમાવિષ્ટ છે.
In simple words: પહેલા \( 2x - 3y = 6 \) ની રેખા દોરો. જો અસમતા \( 2x - 3y \ge 6 \) હોય, તો \( (0, 0) \) ને અસમતામાં મૂકીને તપાસો. જો તે ખોટું હોય, તો \( (0, 0) \) થી વિરુદ્ધનો ભાગ છાયાંકિત કરો. કારણ કે અસમતામાં 'વધુ અથવા બરાબર' નું ચિહ્ન છે, તેથી રેખા ઘન રહેશે અને ઉકેલમાં સમાવેશ થશે.

Exam Tip: જો પ્રશ્નમાં ફક્ત સમીકરણ હોય પરંતુ સંદર્ભ અસમતાનો હોય, તો સૌથી સંભવિત અસમતા (જે આલેખ સાથે સુસંગત હોય) ધારીને ઉકેલ આપવો.

Question 7. \( -3x + 2y ≥ -6 \)
Answer:સૌપ્રથમ, આપણે \( -3x + 2y = -6 \) ની સીધી રેખા બનાવીશું. અક્ષો સાથેના છેદતા બિંદુઓ શોધવા માટે, \( y = 0 \) મૂકવાથી \( -3x + 0 = -6 \) એટલે કે \( x = 2 \) મળે છે અને \( x = 0 \) મૂકવાથી \( 0 + 2y = -6 \) એટલે કે \( y = -3 \) મળે છે. આથી, \( A (2, 0) \) તેમજ \( B (0, -3) \) આ રેખા પર આવેલા બિંદુઓ છે. આગળની આકૃતિમાં \( \overleftrightarrow{\mathrm{AB}} \) ને ઘન લીટી વડે બતાવેલ છે. હવે, \( \overleftrightarrow{\mathrm{AB}} \) પર ન હોય તેવું એક બિંદુ \( (0, 0) \) પસંદ કરો અને તેને અસમતા \( -3x + 2y ≥ -6 \) માં મૂકો. \( -3(0) + 2(0) ≥ -6 \) એટલે કે \( 0 ≥ -6 \), જે સાચું છે. આથી, ઉકેલવાળો વિસ્તાર એ \( -3x + 2y = -6 \) રેખાથી \( (0, 0) \) બિંદુ સમાવતું અડધું સમતલ છે. તેને છાયાંકિત ભાગ દ્વારા દર્શાવેલ છે. અહીં, \( -3x + 2y = -6 \) રેખા ઉકેલ વિસ્તારમાં સમાવિષ્ટ છે.
In simple words: પહેલા \( -3x + 2y = -6 \) ની રેખા દોરો. પછી \( (0, 0) \) ને અસમતામાં મૂકીને તપાસો. જો તે સાચું હોય, તો \( (0, 0) \) તરફનો ભાગ છાયાંકિત કરો. કારણ કે અસમતામાં 'વધુ અથવા બરાબર' નું ચિહ્ન છે, તેથી રેખા ઘન રહેશે અને ઉકેલમાં સમાવેશ થશે.

Exam Tip: ઋણ સંખ્યાઓ સાથેની અસમતાઓને ઉકેલતી વખતે ખાસ ધ્યાન રાખવું કે નિશાનીઓ યોગ્ય રીતે બદલાય છે કે નહીં, ખાસ કરીને જ્યારે ઋણ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કે ભાગાકાર કરતા હોઈએ.

Question 8. \( 3y - 5x < 30 \)
Answer:સૌપ્રથમ, આપણે \( 3y - 5x = 30 \) ની સીધી રેખા બનાવીશું. અક્ષો સાથેના છેદતા બિંદુઓ શોધવા માટે, \( y = 0 \) મૂકવાથી \( -5x = 30 \) એટલે કે \( x = -6 \) મળે છે અને \( x = 0 \) મૂકવાથી \( 3y = 30 \) એટલે કે \( y = 10 \) મળે છે. આથી, \( A (-6, 0) \) તેમજ \( B (0, 10) \) આ રેખા પર આવેલા બિંદુઓ છે. આગળની આકૃતિમાં \( \overleftrightarrow{\mathrm{AB}} \) ને તૂટેલી લીટી વડે બતાવેલ છે. હવે, \( \overleftrightarrow{\mathrm{AB}} \) પર ન હોય તેવું એક બિંદુ \( (0, 0) \) પસંદ કરો અને તેને અસમતા \( 3y - 5x < 30 \) માં મૂકો. \( 3(0) - 5(0) < 30 \) એટલે કે \( 0 < 30 \), જે સાચું છે. આથી, ઉકેલવાળો વિસ્તાર એ \( 3y - 5x = 30 \) રેખાથી \( (0, 0) \) બિંદુ સમાવતું અડધું સમતલ છે. તેને છાયાંકિત ભાગ દ્વારા દર્શાવેલ છે. અહીં, \( 3y - 5x = 30 \) રેખા ઉકેલ વિસ્તારમાં સમાવિષ્ટ નથી.
In simple words: પહેલા \( 3y - 5x = 30 \) ની રેખા દોરો. પછી \( (0, 0) \) ને અસમતામાં મૂકીને તપાસો. જો તે સાચું હોય, તો \( (0, 0) \) તરફનો ભાગ છાયાંકિત કરો. કારણ કે અસમતામાં 'ઓછા' નું ચિહ્ન છે, તેથી રેખા તૂટક લીટીવાળી રહેશે અને ઉકેલમાં સમાવેશ થશે નહીં.

Exam Tip: અસમતાનો ગ્રાફ દોરતી વખતે, ખાસ કરીને x-અક્ષ અને y-અક્ષ પરના છેદબિંદુઓ સાચી રીતે દર્શાવવા જરૂરી છે.

Question 9. \( y < -2 \)
Answer:સૌપ્રથમ, આપણે \( y = -2 \) ની સીધી રેખા બનાવીશું. આ રેખા \( (0, -2) \) માંથી પસાર થતી અને X-અક્ષને સમાંતર છે. આગળની આકૃતિમાં \( y = -2 \) ને તૂટેલી લીટી વડે બતાવેલ છે. હવે, \( y = -2 \) રેખા પર ન હોય તેવું એક બિંદુ \( (0, 0) \) પસંદ કરો અને તેને અસમતા \( y < -2 \) માં મૂકો. \( 0 < -2 \), જે સાચું નથી. આથી, ઉકેલવાળો વિસ્તાર એ \( y = -2 \) રેખાથી \( (0, 0) \) બિંદુ સમાવતું ન હોય તેવું અડધું સમતલ છે. એટલે કે, રેખાની નીચેનો ભાગ છાયાંકિત થશે. તેને છાયાંકિત ભાગ દ્વારા દર્શાવેલ છે. અહીં, \( y = -2 \) રેખા ઉકેલ વિસ્તારમાં સમાવિષ્ટ નથી.
In simple words: પહેલા \( y = -2 \) ની આડી રેખા દોરો, પણ તેને તૂટક રાખો. પછી \( (0, 0) \) ને અસમતામાં મૂકીને તપાસો. જો તે ખોટું હોય, તો \( (0, 0) \) થી વિરુદ્ધનો ભાગ (એટલે કે રેખાની નીચેનો ભાગ) છાયાંકિત કરો.

Exam Tip: જ્યારે અસમતા ફક્ત y અથવા x પર આધાર રાખતી હોય, ત્યારે તે આડી અથવા ઊભી રેખા દર્શાવે છે, જે અનુક્રમે x-અક્ષ અથવા y-અક્ષને સમાંતર હોય છે.

Question 10. \( x > -3 \)
Answer:સૌપ્રથમ, આપણે \( x = -3 \) ની સીધી રેખા બનાવીશું. આ રેખા \( (-3, 0) \) માંથી પસાર થતી અને Y-અક્ષને સમાંતર છે. આગળની આકૃતિમાં \( x = -3 \) ને તૂટેલી લીટી વડે બતાવેલ છે. હવે, \( x = -3 \) રેખા પર ન હોય તેવું એક બિંદુ \( (0, 0) \) પસંદ કરો અને તેને અસમતા \( x > -3 \) માં મૂકો. \( 0 > -3 \), જે સાચું છે. આથી, ઉકેલવાળો વિસ્તાર એ \( x = -3 \) રેખાથી \( (0, 0) \) બિંદુ સમાવતું અડધું સમતલ છે. એટલે કે, રેખાની જમણી બાજુનો ભાગ છાયાંકિત થશે. તેને છાયાંકિત ભાગ દ્વારા દર્શાવેલ છે. અહીં, \( x = -3 \) રેખા ઉકેલ વિસ્તારમાં સમાવિષ્ટ નથી.
In simple words: પહેલા \( x = -3 \) ની ઊભી રેખા દોરો, પણ તેને તૂટક રાખો. પછી \( (0, 0) \) ને અસમતામાં મૂકીને તપાસો. જો તે સાચું હોય, તો \( (0, 0) \) તરફનો ભાગ (એટલે કે રેખાની જમણી બાજુનો ભાગ) છાયાંકિત કરો.

Exam Tip: અસમતાનો ગ્રાફ દોરતી વખતે, જો તેમાં ફક્ત x અથવા y ચલ હોય, તો તે હંમેશા અક્ષોને સમાંતર રેખા રચે છે.