GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 6 સુરેખ અસમતાઓ Exercise 6.3

નીચેની અસમતા સંહતિનો ઉકેલપ્રદેશ આલેખ પરથી મેળવો :

 

Question 1. \( x \ge 3, y \ge 2 \)
Answer: અહીં, \( x = 3 \) ની રેખા બિંદુ \( (3, 0) \) માંથી પસાર થાય છે અને Y-અક્ષને સમાંતર રહેલી રેખા છે. \( y = 2 \) ની રેખા બિંદુ \( (0, 2) \) માંથી પસાર થાય છે અને X-અક્ષને સમાંતર રહેલી રેખા છે. હવે, બિંદુ \( (0, 0) \) ને \( x = 3 \) માં મૂકતા \( 0 \ge 3 \) મળે છે, જે સાચું નથી. આથી \( x \ge 3 \) નો ઉકેલપ્રદેશ \( x = 3 \) રેખા અને તેની જમણી બાજુનું અર્ધતલ છે. બિંદુ \( (0, 0) \) ને \( y \ge 2 \) માં મૂકતા \( 0 \ge 2 \) મળે છે, જે સાચું નથી. આથી \( y = 2 \) નો ઉકેલપ્રદેશ \( y = 2 \) રેખા અને તેની ઉપરની બાજુનું અર્ધતલ છે. આ બંને ઉકેલપ્રદેશોનો સામાન્ય વિસ્તાર આપેલ અસમતા સંહતિનો ઉકેલપ્રદેશ છે. તેને આલેખમાં છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
In simple words: પહેલા x=3 અને y=2 રેખાઓ દોરો. પછી \( (0,0) \) મૂકીને જુઓ ક્યાં સાચું નથી પડતું. x=3 માટે જમણી બાજુનો ભાગ, અને y=2 માટે ઉપરનો ભાગ લેવાનો. બંનેનો સામાન્ય ભાગ એ જ આપણો ઉકેલ છે.

Exam Tip: When graphing inequalities, always test a point (like the origin) to determine which side of the line represents the solution. If the statement is false, shade the opposite side.

 

Question 2. \( 3x + 2y \le 12; x \ge 1, y \ge 2 \)
Answer: આપણે પ્રથમ \( 3x + 2y = 12 \), \( x = 1 \) અને \( y = 2 \) વડે દર્શાવાતી રેખાઓ અનુક્રમે AB, CD અને EF દોરીશું.

સ્પષ્ટપણે, \( x \ge 1 \) નો ઉકેલપ્રદેશ \( x = 1 \) રેખા અને તેની જમણી તરફનો અર્ધતલ છે. \( y \ge 2 \) નો ઉકેલપ્રદેશ \( y = 2 \) રેખા અને તેની ઉપરનો અર્ધતલ છે. હવે, બિંદુ \( (0, 0) \) ને \( 3x + 2y \le 12 \) માં મૂકતા \( 0 \le 12 \) મળે છે, જે સત્ય છે. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ \( 3x + 2y = 12 \) રેખા અને તેની નીચેનો અર્ધતલ છે. આ ત્રણેય ઉકેલપ્રદેશોનો સામાન્ય વિસ્તાર આપેલ અસમતા સંહતિનો ઉકેલપ્રદેશ છે, જે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
In simple words: પહેલા ત્રણ રેખાઓ દોરો: \( 3x+2y=12 \), \( x=1 \), અને \( y=2 \). પછી દરેક અસમાનતા માટે \( (0,0) \) નો ઉપયોગ કરીને સાચી બાજુ શોધો. \( x \ge 1 \) માટે જમણી બાજુ, \( y \ge 2 \) માટે ઉપરની બાજુ, અને \( 3x+2y \le 12 \) માટે નીચેની બાજુ. આ ત્રણેયનો જે સામાન્ય ભાગ મળે, તે આપણો ઉકેલ છે.

Exam Tip: For systems of inequalities, first graph all boundary lines. Then, use test points (like \( (0,0) \)) to determine the feasible region for each inequality. The common overlapping region is the solution.

 

Question 3. \( 2x + y \ge 6, 3x + 4y \le 12 \)
Answer: આપણે પ્રથમ \( 2x + y = 6 \) અને \( 3x + 4y = 12 \) સમીકરણો વડે દર્શાવાતી રેખાઓ અનુક્રમે AB અને CD દોરીશું.

બિંદુ \( (0, 0) \) ને \( 2x + y \ge 6 \) માં મૂકતા \( 0 \ge 6 \) મળે છે, જે સાચું નથી. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ \( 2x + y = 6 \) રેખા અને તેની ઉપરનો અર્ધતલ છે. હવે, બિંદુ \( (0, 0) \) ને \( 3x + 4y \le 12 \) માં મૂકતા \( 0 \le 12 \) મળે છે, જે સત્ય છે. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ \( 3x + 4y = 12 \) રેખા અને તેની નીચેનો અર્ધતલ છે. આ બંને ઉકેલપ્રદેશોનો સામાન્ય વિસ્તાર આપેલ અસમતા સંહતિનો ઉકેલપ્રદેશ છે, જે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
In simple words: પહેલા \( 2x+y=6 \) અને \( 3x+4y=12 \) રેખાઓ દોરો. પછી \( (0,0) \) નો ઉપયોગ કરીને \( 2x+y \ge 6 \) માટે ઉપરનો ભાગ અને \( 3x+4y \le 12 \) માટે નીચેનો ભાગ શોધો. બંને રેખાઓનો સામાન્ય છાયાંકિત ભાગ એ જ આપણો ઉકેલ છે.

Exam Tip: Remember to clearly label each line on your graph to ensure clarity for the examiner. Always identify the vertices of the feasible region for further analysis.

 

Question 4. \( x + y \ge 4, 2x - y > 0 \)
Answer: અહીં, રેખા \( 2x - y = 0 \) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા છે. આપણે પ્રથમ \( x + y = 4 \) અને \( 2x - y = 0 \) સમીકરણો વડે દર્શાવાતી રેખાઓ અનુક્રમે AB અને OC દોરીશું.

બિંદુ \( (0, 0) \) ને \( x + y \ge 4 \) માં મૂકતા \( 0 \ge 4 \) મળે છે, જે સાચું નથી. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ \( x + y = 4 \) રેખા અને તેની ઉપરનો અર્ધતલ છે. બિંદુ \( (1, 1) \) ને \( 2x - y > 0 \) માં મૂકતા \( 2(1) - 1 > 0 \), એટલે કે \( 1 > 0 \) મળે છે, જે સત્ય છે. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ \( 2x - y = 0 \) રેખાની નીચેનો અર્ધતલ છે. આ બંને ઉકેલપ્રદેશોનો સામાન્ય વિસ્તાર આપેલ અસમતા સંહતિનો ઉકેલપ્રદેશ છે, જે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
In simple words: પહેલા \( x+y=4 \) અને \( 2x-y=0 \) રેખાઓ દોરો. \( 2x-y=0 \) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે. પછી \( (0,0) \) નો ઉપયોગ કરીને \( x+y \ge 4 \) માટે ઉપરનો ભાગ, અને \( (1,1) \) નો ઉપયોગ કરીને \( 2x-y > 0 \) માટે નીચેનો ભાગ શોધો. બંનેનો સામાન્ય છાયાંકિત ભાગ આપણો ઉકેલ છે.

Exam Tip: For strict inequalities (like \( > \) or \( < \)), remember to draw the boundary line as a dashed line on your graph to indicate that points on the line are not included in the solution.

 

Question 5. \( 2x - y > 1, x - 2y < -1 \)
Answer: આપણે પ્રથમ \( 2x - y = 1 \) અને \( x - 2y = -1 \) સમીકરણો વડે દર્શાવાતી રેખાઓ અનુક્રમે AB અને CD દોરીશું.

બિંદુ \( (0, 0) \) ને \( 2x - y > 1 \) માં મૂકતા \( 0 > 1 \) મળે છે, જે સાચું નથી. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ \( 2x - y = 1 \) રેખાની નીચેનો અર્ધતલ છે. બિંદુ \( (0, 0) \) ને \( x - 2y < -1 \) માં મૂકતા \( 0 < -1 \) મળે છે, જે સાચું નથી. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ \( x - 2y = -1 \) રેખાની ઉપરનો અર્ધતલ છે. આ બંને ઉકેલપ્રદેશોનો સામાન્ય વિસ્તાર આપેલ અસમતા સંહતિનો ઉકેલપ્રદેશ છે, જે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
In simple words: પહેલા \( 2x-y=1 \) અને \( x-2y=-1 \) રેખાઓ દોરો. \( (0,0) \) મૂકીને \( 2x-y > 1 \) માટે નીચેનો ભાગ અને \( x-2y < -1 \) માટે ઉપરનો ભાગ શોધો. બંને રેખાઓનો સામાન્ય છાયાંકિત ભાગ એ જ આપણો ઉકેલ છે.

Exam Tip: Pay close attention to strict vs. non-strict inequalities. Strict inequalities require dashed lines, while non-strict inequalities use solid lines, showing points on the line are part of the solution.

 

Question 6. \( x + y \le 6, x + y \ge 4 \)
Answer: આપણે પ્રથમ \( x + y = 6 \) અને \( x + y = 4 \) સમીકરણો વડે દર્શાવાતી રેખાઓ અનુક્રમે AB અને CD દોરીશું.

બિંદુ \( (0, 0) \) ને \( x + y \le 6 \) માં મૂકતા \( 0 \le 6 \) મળે છે, જે સાચું છે. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ \( x + y = 6 \) રેખા અને તેની નીચેનો અર્ધતલ છે. બિંદુ \( (0, 0) \) ને \( x + y \ge 4 \) માં મૂકતા \( 0 \ge 4 \) મળે છે, જે સાચું નથી. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ \( x + y = 4 \) રેખા અને તેની ઉપરનો અર્ધતલ છે. આ બંને ઉકેલપ્રદેશોનો સામાન્ય વિસ્તાર આપેલ અસમતા સંહતિનો ઉકેલપ્રદેશ છે, જે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
In simple words: પહેલા \( x+y=6 \) અને \( x+y=4 \) રેખાઓ દોરો. \( (0,0) \) મૂકીને \( x+y \le 6 \) માટે નીચેનો ભાગ અને \( x+y \ge 4 \) માટે ઉપરનો ભાગ શોધો. આ બંને રેખાઓ વચ્ચેનો વિસ્તાર એ જ આપણો ઉકેલ છે.

Exam Tip: Parallel boundary lines in inequalities often create a band-like feasible region. Ensure both boundary lines are correctly plotted and the shading is accurate between them.

 

Question 7. \( 2x + y \ge 8, x + 2y \le 10 \)
Answer: આપણે પ્રથમ \( 2x + y = 8 \) અને \( x + 2y = 10 \) સમીકરણો વડે દર્શાવાતી રેખાઓ અનુક્રમે AB અને CD દોરીશું.

બિંદુ \( (0, 0) \) ને \( 2x + y \ge 8 \) માં મૂકતા \( 0 \ge 8 \) મળે છે, જે સાચું નથી. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ \( 2x + y = 8 \) રેખા અને તેની ઉપરનો અર્ધતલ છે. બિંદુ \( (0, 0) \) ને \( x + 2y \le 10 \) માં મૂકતા \( 0 \le 10 \) મળે છે, જે સત્ય છે. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ \( x + 2y = 10 \) રેખા અને તેની નીચેનો અર્ધતલ છે. આ બંને ઉકેલપ્રદેશોનો સામાન્ય વિસ્તાર આપેલ અસમતા સંહતિનો ઉકેલપ્રદેશ છે, જે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
In simple words: પહેલા \( 2x+y=8 \) અને \( x+2y=10 \) રેખાઓ દોરો. \( (0,0) \) મૂકીને \( 2x+y \ge 8 \) માટે ઉપરનો ભાગ અને \( x+2y \le 10 \) માટે નીચેનો ભાગ શોધો. બંને રેખાઓનો સામાન્ય છાયાંકિત ભાગ આપણો ઉકેલ છે.

Exam Tip: When dealing with multiple inequalities, ensure your shading clearly indicates the region that satisfies *all* conditions simultaneously. This intersection region is your final solution.

 

Question 8. \( x + y \le 9; y > x, x \ge 0 \)
Answer: અહીં, સ્પષ્ટ છે કે \( x = 0 \) નો ઉકેલપ્રદેશ \( x = 0 \) રેખા એટલે કે, Y-અક્ષ અને તેની જમણી તરફનો અર્ધતલ છે. વળી, \( x - y = 0 \) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા દર્શાવે છે. હવે, \( x + y = 9 \) અને \( x - y = 0 \) સમીકરણો વડે દર્શાવાતી રેખાઓ અનુક્રમે AB અને OC દોરીશું.

બિંદુ \( (0, 0) \) ને \( x + y \le 9 \) માં મૂકતા \( 0 \le 9 \) મળે છે, જે સાચું છે. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ \( x + y = 9 \) રેખા અને તેની નીચેનો અર્ધતલ છે. હવે \( y > x \) એટલે \( x - y < 0 \) માં બિંદુ \( (0, 1) \) મૂકતા \( -1 < 0 \) મળે છે, જે સત્ય છે. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ \( x - y = 0 \) રેખાની ઉપરનો અર્ધતલ છે. આ ત્રણેય ઉકેલપ્રદેશોનો સામાન્ય વિસ્તાર આપેલ અસમતા સંહતિનો ઉકેલપ્રદેશ છે, જે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
In simple words: પહેલા \( x+y=9 \) અને \( x-y=0 \) રેખાઓ દોરો. \( x=0 \) એટલે Y-અક્ષ. પછી \( (0,0) \) મૂકીને \( x+y \le 9 \) માટે નીચેનો ભાગ અને \( (0,1) \) મૂકીને \( y > x \) માટે ઉપરનો ભાગ શોધો. \( x \ge 0 \) એટલે Y-અક્ષની જમણી બાજુ. આ બધાનો જે સામાન્ય ભાગ મળે, તે આપણો ઉકેલ છે.

Exam Tip: For problems involving the first quadrant (\( x \ge 0, y \ge 0 \)), remember to restrict your feasible region to that area. The axes themselves form boundaries for the solution.

 

Question 9. \( 5x + 4y \le 20; x \ge 1, y \ge 2 \)
Answer: આપણે પ્રથમ \( 5x + 4y = 20 \), \( x = 1 \) અને \( y = 2 \) વડે દર્શાવાતી રેખાઓ અનુક્રમે AB, CD અને EF દોરીશું.

સ્પષ્ટ છે કે \( x \ge 1 \) નો ઉકેલપ્રદેશ \( x = 1 \) રેખા અને તેની જમણી તરફનો અર્ધતલ છે. \( y \ge 2 \) નો ઉકેલપ્રદેશ \( y = 2 \) રેખા અને તેની ઉપરનો અર્ધતલ છે. હવે, બિંદુ \( (0, 0) \) ને \( 5x + 4y \le 20 \) માં મૂકતા \( 0 \le 20 \) મળે છે, જે સત્ય છે. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ \( 5x + 4y = 20 \) રેખા અને તેની નીચેનો અર્ધતલ છે. આ ત્રણેય ઉકેલપ્રદેશોનો સામાન્ય વિસ્તાર આપેલ અસમતા સંહતિનો ઉકેલપ્રદેશ છે, જે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
In simple words: પહેલા ત્રણ રેખાઓ દોરો: \( 5x+4y=20 \), \( x=1 \), અને \( y=2 \). પછી \( (0,0) \) નો ઉપયોગ કરીને દરેક અસમાનતા માટે સાચી બાજુ શોધો. \( x \ge 1 \) માટે જમણી બાજુ, \( y \ge 2 \) માટે ઉપરની બાજુ, અને \( 5x+4y \le 20 \) માટે નીચેની બાજુ. આ ત્રણેયનો જે સામાન્ય ભાગ મળે, તે આપણો ઉકેલ છે.

Exam Tip: Accurately calculating the intersection points of the boundary lines is crucial for defining the vertices of your feasible region. These points often represent optimal solutions in linear programming problems.

 

Question 10. \( 3x + 4y \le 60, x + 3y \le 30; x \ge 0, y \ge 0 \)
Answer: આપણે પ્રથમ \( 3x + 4y = 60 \) અને \( x + 3y = 30 \) સમીકરણો વડે દર્શાવાતી રેખાઓ અનુક્રમે AB અને CD દોરીશું.

બિંદુ \( (0, 0) \) ને \( 3x + 4y \le 60 \) માં મૂકતા \( 0 \le 60 \) મળે છે, જે સત્ય છે. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ \( 3x + 4y = 60 \) રેખા અને તેની નીચેનો અર્ધતલ છે. બિંદુ \( (0, 0) \) ને \( x + 3y \le 30 \) માં મૂકતા \( 0 \le 30 \) મળે છે, જે સત્ય છે. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ \( x + 3y = 30 \) રેખા અને તેની નીચેનો અર્ધતલ છે. વળી, \( x \ge 0 \) અને \( y \ge 0 \) નો ઉકેલપ્રદેશ X-અક્ષની ધન દિશા, Y-અક્ષની ધન દિશા, બિંદુ \( (0, 0) \) તથા પ્રથમ ચરણમાં રહેલાં બધાં જ બિંદુઓ છે. આ બધા ઉકેલપ્રદેશોનો સામાન્ય વિસ્તાર આપેલ અસમતા સંહતિનો ઉકેલપ્રદેશ છે, જે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
In simple words: પહેલા \( 3x+4y=60 \) અને \( x+3y=30 \) રેખાઓ દોરો. પછી \( (0,0) \) મૂકીને \( 3x+4y \le 60 \) માટે નીચેનો ભાગ અને \( x+3y \le 30 \) માટે નીચેનો ભાગ શોધો. \( x \ge 0 \) અને \( y \ge 0 \) એટલે પ્રથમ ચરણ. આ બધાનો જે સામાન્ય ભાગ મળે, તે આપણો ઉકેલ છે.

Exam Tip: For solutions in the first quadrant, remember that \( x \ge 0 \) implies shading to the right of the Y-axis and \( y \ge 0 \) implies shading above the X-axis.

 

Question 11. \( 2x + y \ge 4, x + y \le 3, 2x - 3y \le 6 \)
Answer: આપણે પ્રથમ \( 2x + y = 4 \), \( x + y = 3 \) અને \( 2x - 3y = 6 \) સમીકરણો વડે દર્શાવાતી રેખાઓ અનુક્રમે AB, CD અને EF દોરીશું.

નોંધ: અહીં, બિંદુ C \( (3, 0) \) અને E \( (3, 0) \) એક જ બિંદુ દર્શાવશે. બિંદુ \( (0, 0) \) ને \( 2x + y \ge 4 \) માં મૂકતા \( 0 \ge 4 \) મળે છે, જે સાચું નથી. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ \( 2x + y = 4 \) રેખા અને તેની જમણી તરફનો અર્ધતલ છે. બિંદુ \( (0, 0) \) ને \( x + y \le 3 \) માં મૂકતા \( 0 \le 3 \) મળે છે, જે સત્ય છે. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ \( x + y = 3 \) રેખા અને તેની નીચેનો અર્ધતલ છે. બિંદુ \( (0, 0) \) ને \( 2x - 3y \le 6 \) માં મૂકતા \( 0 \le 6 \) મળે છે, જે સત્ય છે. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ \( 2x - 3y = 6 \) રેખા અને તેની ઉપરનો અર્ધતલ છે. આ ત્રણેય ઉકેલપ્રદેશોનો સામાન્ય વિસ્તાર આપેલ અસમતા સંહતિનો ઉકેલપ્રદેશ છે, જે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
In simple words: પહેલા \( 2x+y=4 \), \( x+y=3 \) અને \( 2x-3y=6 \) રેખાઓ દોરો. \( (0,0) \) નો ઉપયોગ કરીને \( 2x+y \ge 4 \) માટે જમણી બાજુ, \( x+y \le 3 \) માટે નીચેની બાજુ, અને \( 2x-3y \le 6 \) માટે ઉપરની બાજુ શોધો. આ ત્રણેયનો જે સામાન્ય ભાગ મળે, તે આપણો ઉકેલ છે.

Exam Tip: Be mindful of shared points or lines. If two equations define the same point or line, mention this in your explanation to show a complete understanding of the problem.

 

Question 12. \( x - 2y \le 3, 3x + 4y \ge 12; x \ge 0, y \ge 1 \)
Answer: આપણે પ્રથમ \( x - 2y = 3 \), \( 3x + 4y = 12 \) અને \( y = 1 \) સમીકરણો વડે દર્શાવાતી રેખાઓ અનુક્રમે AB, CD અને EF દોરીશું.

બિંદુ \( (0, 0) \) ને \( x - 2y \le 3 \) માં મૂકતા \( 0 \le 3 \) મળે છે, જે સત્ય છે. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ \( x - 2y = 3 \) રેખા અને તેની ઉપરનો અર્ધતલ છે. બિંદુ \( (0, 0) \) ને \( 3x + 4y \ge 12 \) માં મૂકતા \( 0 \ge 12 \) મળે છે, જે સત્ય નથી. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ \( 3x + 4y = 12 \) રેખા અને તેની ઉપરનો અર્ધતલ છે. \( y \ge 1 \) નો ઉકેલપ્રદેશ \( y = 1 \) રેખા અને તેની ઉપરનો અર્ધતલ છે. \( x \ge 0 \) નો ઉકેલપ્રદેશ X-અક્ષની ધન દિશા અને Y-અક્ષની જમણી તરફનો અર્ધતલ છે. આ ચારેય ઉકેલપ્રદેશોનો સામાન્ય વિસ્તાર આપેલ અસમતા સંહતિનો ઉકેલપ્રદેશ છે, જે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
In simple words: પહેલા \( x-2y=3 \), \( 3x+4y=12 \) અને \( y=1 \) રેખાઓ દોરો. \( x \ge 0 \) એટલે Y-અક્ષની જમણી બાજુ. પછી \( (0,0) \) મૂકીને \( x-2y \le 3 \) માટે ઉપરનો ભાગ, \( 3x+4y \ge 12 \) માટે ઉપરનો ભાગ, અને \( y \ge 1 \) માટે ઉપરનો ભાગ શોધો. આ બધાનો જે સામાન્ય ભાગ મળે, તે આપણો ઉકેલ છે.

Exam Tip: When \( x \ge 0 \) is a condition, make sure your shaded region does not cross the Y-axis into the negative \( x \) values. Similarly for \( y \ge 0 \) and the X-axis.

 

Question 13. \( 4x + 3y \le 60, y \ge 2x; x \ge 3, x, y \ge 0 \)
Answer: સ્પષ્ટ છે કે અહીં, \( y = 2x \) એટલે કે \( 2x - y = 0 \) ની રેખા ઉગમબિંદુ O માંથી પસાર થાય છે. આપણે પ્રથમ \( 4x + 3y = 60 \), \( 2x - y = 0 \) અને \( x = 3 \) સમીકરણો વડે દર્શાવાતી રેખાઓ અનુક્રમે AB, OC અને DE દોરીશું.

બિંદુ \( (0, 0) \) ને \( 4x + 3y \le 60 \) માં મૂકતા \( 0 \le 60 \) મળે છે, જે સત્ય છે. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ \( 4x + 3y = 60 \) રેખા અને તેની ડાબી તરફનો અર્ધતલ છે. બિંદુ \( (1, 0) \) ને \( y \ge 2x \) એટલે કે \( 2x - y \le 0 \) માં મૂકતા \( 2(1) - 0 \le 0 \), એટલે કે \( 2 \le 0 \) મળે છે, જે સત્ય નથી. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ \( 2x - y = 0 \) રેખાની ઉપરનો અર્ધતલ છે. \( x \ge 3 \) નો ઉકેલપ્રદેશ \( x = 3 \) રેખા અને તેની જમણી તરફનો અર્ધતલ છે. \( x \ge 0 \) અને \( y \ge 0 \) નો ઉકેલપ્રદેશ X-અક્ષની ધન દિશા, Y-અક્ષની ધન દિશા, બિંદુ \( (0, 0) \) તથા પ્રથમ ચરણનાં બધાં જ બિંદુઓ છે. આ બધા ઉકેલપ્રદેશોનો સામાન્ય વિસ્તાર આપેલ અસમતા સંહતિનો ઉકેલપ્રદેશ છે, જે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
In simple words: પહેલા \( 4x+3y=60 \), \( 2x-y=0 \) અને \( x=3 \) રેખાઓ દોરો. \( 2x-y=0 \) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે. પછી \( (0,0) \) નો ઉપયોગ કરીને \( 4x+3y \le 60 \) માટે ડાબી બાજુ, \( (1,0) \) મૂકીને \( y \ge 2x \) માટે ઉપરનો ભાગ, અને \( x \ge 3 \) માટે જમણી બાજુ શોધો. \( x \ge 0 \) અને \( y \ge 0 \) એટલે પ્રથમ ચરણ. આ બધાનો જે સામાન્ય ભાગ મળે, તે આપણો ઉકેલ છે.

Exam Tip: Be cautious when an inequality involves \( y \) in terms of \( x \) (like \( y \ge 2x \)). It's often helpful to rewrite it as \( 2x - y \le 0 \) for testing with the origin or other points.

 

Question 14. \( 3x + 2y \le 150, x + 4y \le 80; x \le 15, y \ge 0, x \ge 0 \)
Answer: આપણે પ્રથમ \( 3x + 2y = 150 \), \( x + 4y = 80 \) અને \( x = 15 \) સમીકરણો વડે દર્શાવાતી રેખાઓ અનુક્રમે AB, CD અને EF દોરીશું.

બિંદુ \( (0, 0) \) ને \( 3x + 2y \le 150 \) માં મૂકતા \( 0 \le 150 \) મળે છે, જે સત્ય છે. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ \( 3x + 2y = 150 \) રેખા અને તેની નીચેનો અર્ધતલ છે. બિંદુ \( (0, 0) \) ને \( x + 4y \le 80 \) માં મૂકતા \( 0 \le 80 \) મળે છે, જે સત્ય છે. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ \( x + 4y = 80 \) રેખા અને તેની નીચેનો અર્ધતલ છે. \( x \le 15 \) નો ઉકેલપ્રદેશ \( x = 15 \) રેખા અને તેની ડાબી તરફનો અર્ધતલ છે. \( x \ge 0 \) અને \( y \ge 0 \) નો ઉકેલપ્રદેશ X-અક્ષની ધન દિશા, Y-અક્ષની ધન દિશા, બિંદુ \( (0, 0) \) તથા પ્રથમ ચરણમાં રહેલાં બધાં જ બિંદુઓ છે. આ બધા ઉકેલપ્રદેશોનો સામાન્ય વિસ્તાર આપેલ અસમતા સંહતિનો ઉકેલપ્રદેશ છે, જે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
In simple words: પહેલા \( 3x+2y=150 \), \( x+4y=80 \) અને \( x=15 \) રેખાઓ દોરો. \( x \ge 0 \) અને \( y \ge 0 \) એટલે પ્રથમ ચરણ. પછી \( (0,0) \) મૂકીને \( 3x+2y \le 150 \) અને \( x+4y \le 80 \) માટે નીચેનો ભાગ શોધો. \( x \le 15 \) માટે ડાબી બાજુનો ભાગ લો. આ બધાનો જે સામાન્ય ભાગ મળે, તે આપણો ઉકેલ છે.

Exam Tip: For problems with many constraints, clearly mark each boundary line and the direction of its inequality. This helps to systematically identify the unique feasible region that satisfies all conditions.

 

Question 15. \( x + 2y \le 10, x + y \ge 1, x - y \le 0; x \ge 0, y \ge 0 \)
Answer: First, we will draw lines AB, CD, and OE using the equations \( x + 2y = 10 \), \( x + y = 1 \), and \( x - y = 0 \). It is clear that the line \( x - y = 0 \) passes through the origin O.

For \( x + 2y \le 10 \): When we substitute point (0, 0) into \( x + 2y \le 10 \), we get \( 0 \le 10 \), which is true. Therefore, the solution region for this inequality is the half-plane below the line \( x + 2y = 10 \) (towards the origin).
For \( x + y \ge 1 \): When we substitute point (0, 0) into \( x + y \ge 1 \), we get \( 0 \ge 1 \), which is false. Thus, the solution region for this inequality is the half-plane above the line \( x + y = 1 \) (away from the origin).
For \( x - y \le 0 \): When we use point (1, 0) in \( x - y \le 0 \), we get \( 1 - 0 \le 0 \implies 1 \le 0 \), which is false. Therefore, the solution region for this inequality is the half-plane above the line \( x - y = 0 \) (away from (1,0), which implies \( y \ge x \)).
Furthermore, the solution region for \( x \ge 0 \) and \( y \ge 0 \) includes all points in the first quadrant, as well as the positive X-axis and positive Y-axis, including the origin (0, 0).
The common region that satisfies all these individual solution regions represents the solution for the given system of inequalities.
In simple words: First, draw the lines for each inequality. Then, use a test point like (0,0) to figure out which side of each line is the correct solution area. For inequalities like \( x \ge 0 \) and \( y \ge 0 \), remember to only consider the first quadrant. The final answer is the area where all these separate solution regions overlap.

Exam Tip: Always clearly define your coordinate axes and label all lines. Use a different color or shading pattern for each inequality's solution region on a rough graph to easily identify the common feasible region. Also, ensure you use solid lines for \( \le \) or \( \ge \) inequalities and dashed lines for \( < \) or \( > \) inequalities, though for this problem all are solid.