GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 6 સુરેખ અસમતાઓ Exercise 6.1

Question 1. (1) પ્રાકૃતિક સંખ્યા x (2) પૂર્ણાંક સંખ્યા x માટે \( 24x < 100 \) ઉકેલો.
Answer: અહીં, \( 24x < 100 \)
\( \implies x < \frac{100}{24} \)
\( \implies x < \frac{25}{6} \)
\( \implies x < 4.17 \)
(1) જો \( x \) ગણતરીની સંખ્યા હોય, તો જવાબનો સમૂહ \( \{1, 2, 3, 4\} \) છે.
(2) જો \( x \) આખી સંખ્યા હોય, તો જવાબનો સમૂહ \( \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} \) છે.
In simple words: પહેલાં, અસમાનતા \( 24x < 100 \) ને \( x \) માટે ઉકેલો, જેથી \( x < 4.17 \) મળે. પછી, જો \( x \) ગણતરીની સંખ્યા હોય, તો 1 થી 4 સુધીના આખા નંબર લેવાય. જો \( x \) આખી સંખ્યા હોય, તો 4 થી નાના બધા જ પૂર્ણાંક નંબરો સમાવેશ થાય છે.

Exam Tip: જ્યારે કોઈ અસમાનતાનો ઉકેલ શોધતા હોઈએ, ત્યારે ચલ (variable) કયા પ્રકારની સંખ્યા છે તે જોવું ખૂબ જ અગત્યનું છે (જેમ કે પ્રાકૃતિક, પૂર્ણાંક કે વાસ્તવિક).

Question 2. (1) પ્રાકૃતિક સંખ્યા x (2) પૂર્ણાંક સંખ્યા x માટે \( -12x > 80 \) ઉકેલો.
Answer: અહીં, \( -12x > 80 \)
ઋણ સંખ્યા વડે ભાગતા, અસમાનતાની નિશાની બદલાય છે.
\( \implies x < \frac{80}{-12} \)
\( \implies x < \frac{-20}{3} \)
\( \implies x < -6.67 \)
(1) જો \( x \) ગણતરીની સંખ્યા હોય, તો \( x < -6.67 \) થાય તેવી કોઈ ગણતરીની સંખ્યા નથી. તેથી, આ સ્થિતિમાં કોઈ ઉકેલ મળતો નથી. ઉકેલ સમૂહ ખાલી ગણ \( \emptyset \) છે.
(2) જો \( x \) આખી સંખ્યા હોય, તો \( x < -6.67 \) થાય તેવી આખી સંખ્યાઓ \( \{..., -10, -9, -8, -7\} \) છે.
In simple words: \( -12x > 80 \) ને \( x \) માટે ઉકેલવા, બંને બાજુને \( -12 \) વડે ભાગો. યાદ રાખો કે ઋણ સંખ્યા વડે ભાગતા અસમાનતાની નિશાની બદલવી પડે છે. આથી \( x < -6.67 \) મળે. જો \( x \) ગણતરીની સંખ્યા હોય તો કોઈ જવાબ નહીં મળે કારણ કે ગણતરીની સંખ્યાઓ ધન હોય છે. જો \( x \) આખી સંખ્યા હોય તો \( -7 \) થી નાના બધા જ પૂર્ણાંક નંબરો જવાબ ગણાશે.

Exam Tip: જ્યારે તમે અસમાનતાના બંને પક્ષને ઋણ સંખ્યા વડે ગુણો કે ભાગો, ત્યારે અસમાનતાની નિશાની હંમેશાં ઉલટાવવાનું યાદ રાખો.

Question 3. (1) પૂર્ણાંક સંખ્યા x (2) વાસ્તવિક સંખ્યા x માટે \( 5x – 3 < 7 \) ઉકેલો.
Answer: અહીં, \( 5x - 3 < 7 \)
\( \implies 5x < 7 + 3 \)
\( \implies 5x < 10 \)
\( \implies x < \frac{10}{5} \)
\( \implies x < 2 \)
(1) જો \( x \) આખી સંખ્યા હોય, તો ઉકેલ સમૂહ \( \{..., -2, -1, 0, 1\} \) છે.
(2) જો \( x \) ખરી સંખ્યા હોય, તો ઉકેલ સમૂહ \( \{x : x \in R, x < 2\} = (-\infty, 2) \) છે.
In simple words: \( 5x - 3 < 7 \) ને ઉકેલવા, પહેલાં \( x \) ને અલગ કરો. આથી \( 5x < 10 \) અને પછી \( x < 2 \) મળે. જો \( x \) આખી સંખ્યા હોય, તો 2 કરતાં નાના બધા જ પૂર્ણાંક નંબરો સમાવેશ થાય છે. જો \( x \) ખરી સંખ્યા હોય, તો \( -\infty \) થી 2 સુધીના બધા જ નંબરો ઉકેલ ગણાય.

Exam Tip: પૂર્ણાંક અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ઉકેલ ગણને દર્શાવવા માટે યોગ્ય સંકેતનો ઉપયોગ કરવો ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે.

Question 4. (1) પૂર્ણાંક સંખ્યા x (2) વાસ્તવિક સંખ્યા x માટે \( 3x + 8 > 2 \) ઉકેલો.
Answer: અહીં, \( 3x + 8 > 2 \)
\( \implies 3x > 2 - 8 \)
\( \implies 3x > -6 \)
\( \implies x > \frac{-6}{3} \)
\( \implies x > -2 \)
(1) જો \( x \) આખી સંખ્યા હોય, તો ઉકેલ સમૂહ \( \{-1, 0, 1, 2, ...\} \) છે.
(2) જો \( x \) ખરી સંખ્યા હોય, તો ઉકેલ સમૂહ \( \{x : x \in R, x > -2\} = (-2, \infty) \) છે.
In simple words: \( 3x + 8 > 2 \) ને ઉકેલવા માટે, \( x \) ને એક બાજુએ રાખો. આનાથી \( 3x > -6 \) થાય, અને પછી \( x > -2 \) મળે. જો \( x \) આખી સંખ્યા હોય, તો \( -1 \) અને તેનાથી મોટા બધા જ પૂર્ણાંક જવાબો છે. જો \( x \) ખરી સંખ્યા હોય, તો \( -2 \) થી મોટી બધી જ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ ઉકેલ ગણાય છે.

Exam Tip: પૂર્ણાંક અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ઉકેલ સમૂહ લખતી વખતે કૌંસનો (દા.ત., \( \{ \} \) વિરુદ્ધ \( ( ) \) કે \( [ ] \)) સાચો ઉપયોગ કરવો જોઈએ.

Solve the following inequalities for real number x: (Questions 5 to 16)

Question 5. \( 4x + 3 < 5x + 7 \)
Answer: અહીં, \( 4x + 3 < 5x + 7 \)
\( \implies 3 - 7 < 5x - 4x \)
\( \implies -4 < x \)
\( \implies x > -4 \)
જ્યાં, \( x \in R \).
તેથી, ઉકેલગણ \( \{x : x \in R, x > -4\} = (-4, \infty) \) છે.
In simple words: અસમાનતા \( 4x + 3 < 5x + 7 \) માં, \( x \) વાળા પદોને એક બાજુએ અને અચળ પદોને બીજી બાજુએ ભેગા કરો. આનાથી \( -4 < x \) મળે, જેનો મતલબ \( x \) \( -4 \) કરતાં મોટો છે.

Exam Tip: અસમાનતા ઉકેલતી વખતે, \( x \) ના ગુણાંક (coefficient) ને ધન રાખવાનો પ્રયાસ કરો જેથી ઓછા ભૂલો થાય.

Question 6. \( 3x - 7 > 5x - 1 \)
Answer: અહીં, \( 3x - 7 > 5x - 1 \)
\( \implies -7 + 1 > 5x - 3x \)
\( \implies -6 > 2x \)
\( \implies \frac{-6}{2} > x \)
\( \implies -3 > x \)
\( \implies x < -3 \)
જ્યાં, \( x \in R \).
તેથી, ઉકેલગણ \( \{x : x \in R, x < -3\} = (-\infty, -3) \) છે.
In simple words: \( 3x - 7 > 5x - 1 \) ને ઉકેલવા, \( x \) વાળા પદો અને અચળ પદોને જુદા પાડો. આનાથી \( -6 > 2x \) મળે. પછી \( 2 \) વડે ભાગો, જેથી \( -3 > x \) અથવા \( x < -3 \) મળે.

Exam Tip: ઋણ સંખ્યા વડે ભાગતી વખતે અસમાનતાની નિશાની બદલવાનું ધ્યાન રાખો.

Question 7. \( 3(x – 1) \leq 2(x – 3) \)
Answer: અહીં, \( 3(x – 1) \leq 2(x – 3) \)
\( \implies 3x - 3 \leq 2x - 6 \)
\( \implies 3x - 2x \leq -6 + 3 \)
\( \implies x \leq -3 \)
જ્યાં, \( x \in R \).
તેથી, ઉકેલગણ \( \{x : x \in R, x \leq -3\} = (-\infty, -3] \) છે.
In simple words: \( 3(x – 1) \leq 2(x – 3) \) માં કૌંસ ખોલો. પછી \( x \) વાળા પદો એક બાજુ અને અચળ પદો બીજી બાજુ લઈ જાઓ. આનાથી સીધો \( x \leq -3 \) જવાબ મળશે.

Exam Tip: અસમાનતામાં કૌંસ ખોલતી વખતે ગુણાકારના નિયમોનું યોગ્ય રીતે પાલન કરવું જોઈએ.

Question 8. \( 3 (2 – x) \geq 2 (1 – x) \)
Answer: અહીં, \( 3 (2 – x) \geq 2 (1 – x) \)
\( \implies 6 - 3x \geq 2 - 2x \)
\( \implies 6 - 2 \geq -2x + 3x \)
\( \implies 4 \geq x \)
\( \implies x \leq 4 \)
જ્યાં, \( x \in R \).
તેથી, ઉકેલગણ \( \{x : x \in R, x \leq 4\} = (-\infty, 4] \) છે.
In simple words: \( 3 (2 – x) \geq 2 (1 – x) \) માં કૌંસનું વિસ્તરણ કરો. \( x \) પદોને એક બાજુ ભેગા કરો અને અચળ પદોને બીજી બાજુ. આનાથી \( 4 \geq x \) અથવા \( x \leq 4 \) મળે.

Exam Tip: જો અસમાનતામાં \( x \) ઋણ આવે, તો તેને ધન બનાવવા માટે ઋણ સંખ્યા વડે ગુણો, પરંતુ અસમાનતાની નિશાની બદલવાનું યાદ રાખો.

Question 9. \( x + \frac{x}{2}+\frac{x}{3} < 11 \)
Answer: અહીં, \( x + \frac{x}{2}+\frac{x}{3} < 11 \)
\( \implies \frac{6x + 3x + 2x}{6} < 11 \)
\( \implies \frac{11x}{6} < 11 \)
\( \implies 11x < 11 \times 6 \)
\( \implies 11x < 66 \)
\( \implies x < \frac{66}{11} \)
\( \implies x < 6 \)
જ્યાં, \( x \in R \).
તેથી, ઉકેલગણ \( \{x : x \in R, x < 6\} = (-\infty, 6) \) છે.
In simple words: \( x + \frac{x}{2}+\frac{x}{3} < 11 \) ને ઉકેલવા માટે, પહેલાં અપૂર્ણાંકોને એક સામાન્ય છેદ (6) પર લાવો. પછી \( x \) ના પદોનો સરવાળો કરો, જેથી \( \frac{11x}{6} < 11 \) મળે. છેલ્લે, \( x \) ને અલગ કરો, જેનાથી \( x < 6 \) મળે.

Exam Tip: અપૂર્ણાંકવાળી અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે, દરેક પદને લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી (LCM) વડે ગુણીને પૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવું મદદરૂપ થાય છે.

Question 10. \( \frac{x}{3}>\frac{x}{2} + 1 \)
Answer: અહીં, \( \frac{x}{3}>\frac{x}{2} + 1 \)
\( \implies \frac{x}{3} - \frac{x}{2} > 1 \)
\( \implies \frac{2x - 3x}{6} > 1 \)
\( \implies \frac{-x}{6} > 1 \)
\( \implies -x > 6 \)
\( \implies x < -6 \)
જ્યાં, \( x \in R \).
તેથી, ઉકેલગણ \( \{x : x \in R, x < -6\} = (-\infty, -6) \) છે.
In simple words: \( \frac{x}{3}>\frac{x}{2} + 1 \) માં, \( x \) વાળા પદોને એક બાજુ લાવો અને સામાન્ય છેદ (6) લો. આનાથી \( \frac{-x}{6} > 1 \) મળે. પછી \( 6 \) વડે ગુણો અને ઋણ નિશાની દૂર કરવા માટે અસમાનતા ઉલટાવો, જેથી \( x < -6 \) મળે.

Exam Tip: અસમાનતા ઉકેલતી વખતે અપૂર્ણાંકોનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી (LCM) લેવાથી ગણતરી સરળ બને છે.

Question 11. \( \frac{3(x-2)}{5} \leq \frac{5(2-x)}{3} \)
Answer: અહીં, \( \frac{3(x-2)}{5} \leq \frac{5(2-x)}{3} \)
\( \implies 3 \times 3(x-2) \leq 5 \times 5(2-x) \)
\( \implies 9(x-2) \leq 25(2-x) \)
\( \implies 9x - 18 \leq 50 - 25x \)
\( \implies 9x + 25x \leq 50 + 18 \)
\( \implies 34x \leq 68 \)
\( \implies x \leq \frac{68}{34} \)
\( \implies x \leq 2 \)
જ્યાં, \( x \in R \).
તેથી, ઉકેલગણ \( \{x : x \in R, x \leq 2\} = (-\infty, 2] \) છે.
In simple words: \( \frac{3(x-2)}{5} \leq \frac{5(2-x)}{3} \) ને ઉકેલવા, બંને બાજુએ \( 5 \) અને \( 3 \) ના ગુણાકાર (15) વડે ગુણો. પછી કૌંસ ખોલો અને \( x \) વાળા પદો એક બાજુ ભેગા કરો. આનાથી \( 34x \leq 68 \) અને પછી \( x \leq 2 \) મળશે.

Exam Tip: કૌંસ ખોલતી વખતે અને પદોને ભેગા કરતી વખતે ગુણાકારના નિયમોનું સાવચેતીપૂર્વક પાલન કરવું જોઈએ.

Question 12. \( \frac{1}{2}\left(\frac{3 x}{5}+4\right) \geq \frac{1}{3}(x – 6) \)
Answer: અહીં, \( \frac{1}{2}\left(\frac{3 x}{5}+4\right) \geq \frac{1}{3}(x – 6) \)
\( \implies \frac{1}{2}\left(\frac{3x + 20}{5}\right) \geq \frac{x-6}{3} \)
\( \implies \frac{3x + 20}{10} \geq \frac{x-6}{3} \)
\( \implies 3(3x + 20) \geq 10(x-6) \)
\( \implies 9x + 60 \geq 10x - 60 \)
\( \implies 60 + 60 \geq 10x - 9x \)
\( \implies 120 \geq x \)
\( \implies x \leq 120 \)
જ્યાં, \( x \in R \).
તેથી, ઉકેલગણ \( \{x : x \in R, x \leq 120\} = (-\infty, 120] \) છે.
In simple words: \( \frac{1}{2}\left(\frac{3 x}{5}+4\right) \geq \frac{1}{3}(x – 6) \) માં, પહેલાં ડાબી બાજુના કૌંસની અંદરનો અપૂર્ણાંક ઉકેલો. પછી બંને બાજુના છેદ દૂર કરવા માટે સામાન્ય ગુણાકાર (30) વડે ગુણો. પછી કૌંસ ખોલો અને \( x \) વાળા પદોને એક બાજુ ભેગા કરો. આનાથી \( x \leq 120 \) જવાબ મળશે.

Exam Tip: ગણતરીની ભૂલો ટાળવા માટે, દરેક પગલામાં અપૂર્ણાંકો અને કૌંસને કાળજીપૂર્વક ઉકેલો.

Question 13. \( 2 (2x + 3) – 10 < 6 (x – 2) \)
Answer: અહીં, \( 2 (2x + 3) – 10 < 6 (x – 2) \)
\( \implies 4x + 6 - 10 < 6x - 12 \)
\( \implies 4x - 4 < 6x - 12 \)
\( \implies -4 + 12 < 6x - 4x \)
\( \implies 8 < 2x \)
\( \implies \frac{8}{2} < x \)
\( \implies 4 < x \)
\( \implies x > 4 \)
જ્યાં, \( x \in R \).
તેથી, ઉકેલગણ \( \{x : x \in R, x > 4\} = (4, \infty) \) છે.
In simple words: \( 2 (2x + 3) – 10 < 6 (x – 2) \) માં, કૌંસ ખોલો અને બંને બાજુના પદોને સરળ બનાવો. પછી \( x \) વાળા પદોને એક બાજુ ભેગા કરો અને અચળ પદોને બીજી બાજુ. આનાથી \( 8 < 2x \) અને પછી \( x > 4 \) જવાબ મળશે.

Exam Tip: અસમાનતામાં પદોને એક બાજુથી બીજી બાજુ ખસેડતી વખતે નિશાની બદલવાનું ધ્યાન રાખો.

Question 14. \( 37 - (3x + 5) \geq 9x − 8 (x − 3) \)
Answer: અહીં, \( 37 - (3x + 5) \geq 9x − 8 (x − 3) \)
\( \implies 37 - 3x - 5 \geq 9x - 8x + 24 \)
\( \implies 32 - 3x \geq x + 24 \)
\( \implies 32 - 24 \geq x + 3x \)
\( \implies 8 \geq 4x \)
\( \implies \frac{8}{4} \geq x \)
\( \implies 2 \geq x \)
\( \implies x \leq 2 \)
જ્યાં, \( x \in R \).
તેથી, ઉકેલગણ \( \{x : x \in R, x \leq 2\} = (-\infty, 2] \) છે.
In simple words: \( 37 - (3x + 5) \geq 9x − 8 (x − 3) \) માં, પહેલાં કૌંસ ખોલો અને પદોને સરળ બનાવો. પછી \( x \) વાળા પદો એક બાજુ અને અચળ પદો બીજી બાજુ લઈ જાઓ. આનાથી \( 8 \geq 4x \) અને પછી \( x \leq 2 \) જવાબ મળશે.

Exam Tip: કૌંસની બહાર ઋણ નિશાની હોય ત્યારે અંદરના પદોની નિશાની બદલવાનું ભૂલશો નહીં.

Question 15. \( \frac{x}{4}<\frac{(5 x-2)}{3}-\frac{(7 x-3)}{5} \)
Answer: અહીં, \( \frac{x}{4}<\frac{(5 x-2)}{3}-\frac{(7 x-3)}{5} \)
\( \implies \frac{x}{4} < \frac{5(5x-2)-3(7x-3)}{15} \)
\( \implies \frac{x}{4} < \frac{25x-10-21x+9}{15} \)
\( \implies \frac{x}{4} < \frac{4x-1}{15} \)
\( \implies 15x < 4(4x-1) \)
\( \implies 15x < 16x - 4 \)
\( \implies 4 < 16x - 15x \)
\( \implies 4 < x \)
\( \implies x > 4 \)
જ્યાં, \( x \in R \).
તેથી, ઉકેલગણ \( \{x : x \in R, x > 4\} = (4, \infty) \) છે.
In simple words: \( \frac{x}{4}<\frac{(5 x-2)}{3}-\frac{(7 x-3)}{5} \) માં, જમણી બાજુના અપૂર્ણાંકોને એક સામાન્ય છેદ (15) પર લાવો. પછી બંને બાજુના છેદ દૂર કરવા માટે સામાન્ય ગુણાકાર (60) વડે ગુણો. કૌંસ ખોલો અને \( x \) વાળા પદોને એક બાજુ ભેગા કરો. આનાથી \( x > 4 \) જવાબ મળશે.

Exam Tip: અપૂર્ણાંકોનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી (LCM) લેતી વખતે અને ગુણાકાર કરતી વખતે સાવચેત રહો, ખાસ કરીને ઋણ નિશાનીઓ સાથે.

Question 16. \( \frac{(2 x-1)}{3} \geqslant \frac{(3 x-2)}{4}-\frac{(2-x)}{5} \)
Answer: અહીં, \( \frac{(2 x-1)}{3} \geqslant \frac{(3 x-2)}{4}-\frac{(2-x)}{5} \)
\( \implies \frac{2x-1}{3} \geqslant \frac{5(3x-2)-4(2-x)}{20} \)
\( \implies \frac{2x-1}{3} \geqslant \frac{15x-10-8+4x}{20} \)
\( \implies \frac{2x-1}{3} \geqslant \frac{19x-18}{20} \)
\( \implies 20(2x-1) \geq 3(19x-18) \)
\( \implies 40x - 20 \geq 57x - 54 \)
\( \implies -20 + 54 \geq 57x - 40x \)
\( \implies 34 \geq 17x \)
\( \implies \frac{34}{17} \geq x \)
\( \implies 2 \geq x \)
\( \implies x \leq 2 \)
જ્યાં, \( x \in R \).
તેથી, ઉકેલગણ \( \{x : x \in R, x \leq 2\} = (-\infty, 2] \) છે.
In simple words: \( \frac{(2 x-1)}{3} \geqslant \frac{(3 x-2)}{4}-\frac{(2-x)}{5} \) માં, જમણી બાજુના અપૂર્ણાંકોને એક સામાન્ય છેદ (20) પર લાવો. પછી બંને બાજુના છેદ દૂર કરવા માટે સામાન્ય ગુણાકાર (60) વડે ગુણો. કૌંસ ખોલો અને \( x \) વાળા પદો એક બાજુ ભેગા કરો. આનાથી \( 34 \geq 17x \) અને પછી \( x \leq 2 \) જવાબ મળશે.

Exam Tip: જટિલ અપૂર્ણાંકો સાથે કામ કરતી વખતે, ગણતરીમાં ભૂલો ટાળવા માટે દરેક પગલામાં લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવીનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરો.

Solve the following inequalities and represent them on a number line: (Questions 17 to 20)

Question 17. \( 8x - 2 < 2x + 1 \)
Answer: અહીં, \( 8x - 2 < 2x + 1 \)
\( \implies 8x - 2x < 1 + 2 \)
\( \implies 6x < 3 \)
\( \implies x < \frac{3}{6} \)
\( \implies x < \frac{1}{2} \)
જ્યાં, \( x \in R \).
તેથી, ઉકેલગણ \( \{x : x \in R, x < \frac{1}{2}\} = (-\infty, \frac{1}{2}) \) છે.
જેને સંખ્યા રેખા પર નીચેની આકૃતિમાં બતાવેલ છે:
અહીં, સંખ્યા રેખા પરનો ઘેરો કરેલો ભાગ આપેલી અસમાનતાનો ઉકેલ સમૂહ દર્શાવે છે, જેમાં \( x = \frac{1}{2} \) નો સમાવેશ થતો નથી.
In simple words: \( 8x - 2 < 2x + 1 \) ને ઉકેલવા માટે, \( x \) વાળા પદોને એક બાજુ અને અચળ પદોને બીજી બાજુ લાવો, આનાથી \( 6x < 3 \) મળે. પછી \( 6 \) વડે ભાગતા \( x < \frac{1}{2} \) મળે. સંખ્યા રેખા પર \( \frac{1}{2} \) પર ખુલ્લું વર્તુળ મૂકો અને \( \frac{1}{2} \) થી ડાબી બાજુનો ભાગ છાયાંકિત કરો, જે દર્શાવે છે કે \( \frac{1}{2} \) ઉકેલમાં નથી.

Exam Tip: ખુલ્લું વર્તુળ \( < \) અથવા \( > \) અસમાનતા માટે ઉપયોગમાં લેવાય છે, જે દર્શાવે છે કે સીમાંત બિંદુ (boundary point) ઉકેલનો ભાગ નથી.

Question 18. \( 5 - 8 \geq 3x - 5 \)
Answer: અહીં, \( 5 - 8 \geq 3x - 5 \)
\( \implies -3 \geq 3x - 5 \)
\( \implies -3 + 5 \geq 3x \)
\( \implies 2 \geq 3x \)
\( \implies \frac{2}{3} \geq x \)
\( \implies x \leq \frac{2}{3} \)
જ્યાં, \( x \in R \).
તેથી, ઉકેલગણ \( \{x : x \in R, x \leq \frac{2}{3}\} = (-\infty, \frac{2}{3}] \) છે.
જેને સંખ્યા રેખા પર નીચેની આકૃતિમાં બતાવેલ છે:
અહીં, સંખ્યા રેખા પરનો ઘેરો કરેલો ભાગ આપેલી અસમાનતાનો ઉકેલ સમૂહ દર્શાવે છે, જેમાં \( x = \frac{2}{3} \) નો પણ સમાવેશ થાય છે.
In simple words: \( 5 - 8 \geq 3x - 5 \) ને સરળ બનાવતા \( -3 \geq 3x - 5 \) મળે. પછી \( 3x \) ને અલગ કરવા માટે પદોને ખસેડો, જેથી \( 2 \geq 3x \) અને \( x \leq \frac{2}{3} \) મળે. સંખ્યા રેખા પર, \( \frac{2}{3} \) પર ભરેલું વર્તુળ મૂકો અને \( \frac{2}{3} \) થી ડાબી બાજુનો ભાગ છાયાંકિત કરો, જે દર્શાવે છે કે \( \frac{2}{3} \) ઉકેલમાં સમાવેશ થાય છે.

Exam Tip: ભરેલું વર્તુળ \( \leq \) અથવા \( \geq \) અસમાનતા માટે ઉપયોગમાં લેવાય છે, જે દર્શાવે છે કે સીમાંત બિંદુ ઉકેલનો ભાગ છે.

Question 19. \( 3 (1 - x) < 2 (x + 4) \)
Answer: અહીં, \( 3 (1 - x) < 2 (x + 4) \)
\( \implies 3 - 3x < 2x + 8 \)
\( \implies 3 - 8 < 2x + 3x \)
\( \implies -5 < 5x \)
\( \implies \frac{-5}{5} < x \)
\( \implies -1 < x \)
\( \implies x > -1 \)
જ્યાં, \( x \in R \).
તેથી, ઉકેલગણ \( \{x : x \in R, x > -1\} = (-1, \infty) \) છે.
જેને સંખ્યા રેખા પર નીચેની આકૃતિમાં બતાવેલ છે:
અહીં, સંખ્યા રેખા પરનો ઘેરો કરેલો ભાગ આપેલી અસમાનતાનો ઉકેલ સમૂહ દર્શાવે છે, જેમાં \( x = -1 \) નો સમાવેશ થતો નથી.
In simple words: \( 3 (1 - x) < 2 (x + 4) \) માં કૌંસ ખોલો અને પદોને ભેગા કરો. આનાથી \( -5 < 5x \) અને પછી \( x > -1 \) મળે. સંખ્યા રેખા પર, \( -1 \) પર ખુલ્લું વર્તુળ મૂકો અને \( -1 \) થી જમણી બાજુનો ભાગ છાયાંકિત કરો, જે દર્શાવે છે કે \( -1 \) ઉકેલમાં સમાવેશ થતો નથી.

Exam Tip: અસમાનતામાં ઋણ નિશાનીઓ સાથે ગુણાકાર કે ભાગાકાર કરતી વખતે અસમાનતાની નિશાની બદલવાનું ધ્યાન રાખો.

Question 20. \( \frac{x}{2} \geq \frac{5 x-2}{3}-\frac{7 x-3}{5} \)
Answer: અહીં, \( \frac{x}{2} \geq \frac{5 x-2}{3}-\frac{7 x-3}{5} \)
\( \implies \frac{x}{2} \geq \frac{5(5x-2)-3(7x-3)}{15} \)
\( \implies \frac{x}{2} \geq \frac{25x-10-21x+9}{15} \)
\( \implies \frac{x}{2} \geq \frac{4x-1}{15} \)
\( \implies 15x \geq 2(4x-1) \)
\( \implies 15x \geq 8x - 2 \)
\( \implies 15x - 8x \geq -2 \)
\( \implies 7x \geq -2 \)
\( \implies x \geq \frac{-2}{7} \)
જ્યાં, \( x \in R \).
તેથી, ઉકેલગણ \( \{x : x \in R, x \geq \frac{-2}{7}\} = [\frac{-2}{7}, \infty) \) છે.
જેને સંખ્યા રેખા પર નીચેની આકૃતિમાં બતાવેલ છે:
અહીં, સંખ્યા રેખા પરનો ઘેરો કરેલો ભાગ આપેલી અસમાનતાનો ઉકેલ સમૂહ દર્શાવે છે, જેમાં \( x = \frac{-2}{7} \) નો પણ સમાવેશ થાય છે.
In simple words: \( \frac{x}{2} \geq \frac{5 x-2}{3}-\frac{7 x-3}{5} \) માં, જમણી બાજુના અપૂર્ણાંકોનો સામાન્ય છેદ (15) શોધો. પછી ક્રોસ-ગુણાકાર કરો અને પદોને સરળ બનાવો. \( x \) વાળા પદો એક બાજુ અને અચળ પદો બીજી બાજુ લઈ જાઓ. આનાથી \( x \geq \frac{-2}{7} \) મળે. સંખ્યા રેખા પર, \( \frac{-2}{7} \) પર ભરેલું વર્તુળ મૂકો અને જમણી બાજુનો ભાગ છાયાંકિત કરો.

Exam Tip: અસમાનતાના ઉકેલને સંખ્યા રેખા પર દર્શાવતી વખતે, \( <, > \) માટે ખુલ્લું વર્તુળ અને \( \leq, \geq \) માટે ભરેલું વર્તુળનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ.

Question 21. રવિએ પહેલી બે એકમ કસોટીમાં 70 અને 75 ગુણ મેળવેલ છે. હવે તેણે ત્રીજી કસોટીમાં કેટલાં ન્યૂનતમ ગુણ મેળવવા જોઈએ કે જેથી તેના સરેરાશ ગુણ ઓછામાં ઓછા 60 થાય.
Answer: માની લો કે, રવિએ ત્રીજી કસોટીમાં મેળવેલા ગુણ \( x \) છે. તેથી,
ત્રણ કસોટીમાં મેળવેલા ગુણની સરેરાશ \( = \frac{70+75+x}{3} \)
હવે, સરેરાશ ગુણ ઓછામાં ઓછા 60 થવા માટે,
\( \frac{70+75+x}{3} \geq 60 \)
\( \implies 145 + x \geq 60 \times 3 \)
\( \implies 145 + x \geq 180 \)
\( \implies x \geq 180 - 145 \)
\( \implies x \geq 35 \)
આમ, ત્રીજી કસોટીમાં રવિએ ઓછામાં ઓછા 35 ગુણ મેળવવા જરૂરી છે કે જેથી તેના ત્રણ કસોટીનાં સરેરાશ ગુણ ઓછામાં ઓછા 60 થાય.
In simple words: રવિના પહેલા બે પરીક્ષાના ગુણ 70 અને 75 છે. ધારો કે ત્રીજી પરીક્ષામાં તેના ગુણ \( x \) છે. કુલ ત્રણ પરીક્ષાની સરેરાશ 60 કે તેથી વધુ હોવી જોઈએ. આ માટે, \( \frac{70+75+x}{3} \geq 60 \) ની અસમાનતા ઉકેલો. આનાથી \( x \geq 35 \) મળે, એટલે કે રવિએ ત્રીજી કસોટીમાં ઓછામાં ઓછા 35 ગુણ મેળવવા પડશે.

Exam Tip: સરેરાશ સંબંધિત સમસ્યાઓમાં, કુલ ગુણનો સરવાળો કરી અને તેને સંખ્યા વડે ભાગીને અસમાનતા બનાવવામાં આવે છે.

Question 22. એક અભ્યાસક્રમમાં ગ્રેડ A' મેળવવા માટે પાંચ પરીક્ષાની સરેરાશ 90 કે તેથી વધુ ગુણ હોવા જોઈએ. (દરેકના 100 ગુણ હોય તેવી પરીક્ષા). જો સુનિતાના પ્રથમ ચાર પરીક્ષાના ગુણ 87, 92, 94 અને 95 હોય, તો તેને તે અભ્યાસક્રમમાં A' ગ્રેડ મળે એ માટે તેણે પાંચમી પરીક્ષામાં ન્યૂનતમ કેટલા ગુણ મેળવવા જોઈએ ?
Answer: માની લો કે, સુનિતાએ પાંચમી પરીક્ષામાં મેળવેલા ગુણ \( x \) છે. તેથી,
પાંચ કસોટીમાં મેળવેલા ગુણની સરેરાશ \( = \frac{87+92+94+95+x}{5} \)
\( = \frac{368+x}{5} \)
હવે, આપેલી માહિતી મુજબ,
\( \frac{368+x}{5} \geq 90 \)
\( \implies 368 + x \geq 90 \times 5 \)
\( \implies 368 + x \geq 450 \)
\( \implies x \geq 450 - 368 \)
\( \implies x \geq 82 \)
આમ, સુનિતાને અભ્યાસક્રમમાં 'A' ગ્રેડ મળે એ માટે તેણે પાંચમી પરીક્ષામાં ઓછામાં ઓછા 82 ગુણ મેળવવા જરૂરી છે.
In simple words: સુનિતાના પહેલા ચાર પરીક્ષાના ગુણ આપેલા છે, અને પાંચમી પરીક્ષાના ગુણ \( x \) ધારો. પાંચેય પરીક્ષાની સરેરાશ 90 કે તેથી વધુ હોવી જોઈએ. \( \frac{87+92+94+95+x}{5} \geq 90 \) ની અસમાનતા ઉકેલો. આનાથી \( x \geq 82 \) મળે, એટલે કે સુનિતાએ A' ગ્રેડ મેળવવા માટે પાંચમી પરીક્ષામાં ઓછામાં ઓછા 82 ગુણ મેળવવા પડશે.

Exam Tip: 'ઓછામાં ઓછા' શબ્દ \( \geq \) અસમાનતા દર્શાવે છે, અને 'વધુમાં વધુ' શબ્દ \( \leq \) અસમાનતા દર્શાવે છે, આ બાબતનું ધ્યાન રાખવું.

Question 23. બે પૈકી પ્રત્યેક 10થી નાના હોય અને જેમનો સરવાળો 11થી વધુ હોય તેવા ક્રમિક અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંકોની જોડ મેળવો.
Answer: માની લો કે, બે સતત એકી ધન પૂર્ણાંકોમાં \( x \) નાનો પૂર્ણાંક છે.
આથી બીજો પૂર્ણાંક \( x + 2 \) થશે.
પ્રત્યેક પૂર્ણાંક 10 થી નાનો હોવાથી,
\( x < 10 \) .....(1)
અને તેમનો સરવાળો 11 થી વધુ હોવાથી,
\( x + (x + 2) > 11 \) .....(2)
હવે, (2) પરથી,
\( x + x + 2 > 11 \)
\( \implies 2x + 2 > 11 \)
\( \implies 2x > 11 - 2 \)
\( \implies 2x > 9 \)
\( \implies x > \frac{9}{2} \) .....(3)
(1) અને (3) પરથી,
\( \frac{9}{2} < x < 10 \)
\( \implies 4.5 < x < 10 \)
જ્યાં, \( x \) એકી ધન પૂર્ણાંક છે.
તેથી, \( x \) ની સંભવિત કિંમતો 5, 7 અને 9 થાય.
પરંતુ જો \( x = 9 \) લઈએ તો \( x + 2 = 11 \) થાય.
આમ, બીજો પૂર્ણાંક 10 થી મોટો બની જાય.
પરંતુ બંને પૂર્ણાંકો 10 થી નાના હોય તેમ આપેલું છે.
તેથી, \( x \neq 9 \).
આમ, માંગેલી સતત એકી ધન પૂર્ણાંકોની જોડ \( (5, 7) \) અને \( (7, 9) \) છે.
In simple words: આપણે બે સતત એકી ધન પૂર્ણાંકો \( x \) અને \( x+2 \) શોધી રહ્યા છીએ. શરતો છે કે દરેક પૂર્ણાંક 10 થી નાનો હોવો જોઈએ અને તેમનો સરવાળો 11 થી વધુ હોવો જોઈએ. આથી \( x < 10 \) અને \( x + (x+2) > 11 \) અસમાનતાઓ મળે. આને ઉકેલતા \( 4.5 < x < 10 \) મળે. \( x \) એકી સંખ્યા હોવાથી, સંભવિત કિંમતો 5, 7, 9 છે. જો \( x=9 \) લઈએ, તો \( x+2=11 \) જે 10 થી મોટો છે, તેથી \( x=9 \) માન્ય નથી. આમ, જોડીઓ \( (5, 7) \) અને \( (7, 9) \) છે.

Exam Tip: 'ક્રમિક અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંકો' એટલે \( x, x+2, x+4 \) વગેરે, જ્યારે 'ક્રમિક યુગ્મ ધન પૂર્ણાંકો' એટલે પણ \( x, x+2, x+4 \) વગેરે. શરતોને ધ્યાનથી વાંચો અને યોગ્ય અસમાનતાઓ બનાવો.

Question 24. બે પૈકી પ્રત્યેક 5 થી મોટો હોય અને જેમનો સરવાળો 23થી ઓછો હોય તેવી ક્રમિક યુગ્મ ધન પૂર્ણાંકોની જોડ મેળવો.
Answer: માની લો કે, બે સતત બેકી ધન પૂર્ણાંકોમાં \( x \) નાનો પૂર્ણાંક છે.
આથી બીજો પૂર્ણાંક \( x + 2 \) થશે.
પ્રત્યેક પૂર્ણાંક 5 થી મોટો હોવાથી,
\( x > 5 \) .....(1)
અને તેમનો સરવાળો 23 થી ઓછો હોવાથી,
\( x + (x + 2) < 23 \) .....(2)
હવે, (2) પરથી,
\( x + x + 2 < 23 \)
\( \implies 2x + 2 < 23 \)
\( \implies 2x < 23 - 2 \)
\( \implies 2x < 21 \)
\( \implies x < \frac{21}{2} \) .....(3)
(1) અને (3) પરથી,
\( 5 < x < \frac{21}{2} \)
\( \implies 5 < x < 10.5 \)
જ્યાં, \( x \) બેકી ધન પૂર્ણાંક છે.
તેથી, \( x \) ની સંભવિત કિંમતો 6, 8 અને 10 થાય.
આમ, માંગેલી સતત બેકી ધન પૂર્ણાંકોની જોડ \( (6, 8) \), \( (8, 10) \) અને \( (10, 12) \) છે.
In simple words: આપણે બે સતત બેકી ધન પૂર્ણાંકો \( x \) અને \( x+2 \) શોધી રહ્યા છીએ. શરતો છે કે દરેક પૂર્ણાંક 5 થી મોટો હોવો જોઈએ અને તેમનો સરવાળો 23 થી ઓછો હોવો જોઈએ. આથી \( x > 5 \) અને \( x + (x+2) < 23 \) અસમાનતાઓ મળે. આને ઉકેલતા \( 5 < x < 10.5 \) મળે. \( x \) બેકી સંખ્યા હોવાથી, સંભવિત કિંમતો 6, 8, 10 છે. આથી, જોડીઓ \( (6, 8) \), \( (8, 10) \) અને \( (10, 12) \) છે.

Exam Tip: 'ક્રમિક યુગ્મ ધન પૂર્ણાંકો' અને 'ક્રમિક અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંકો' બંનેને \( x, x+2 \) તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, પરંતુ તેમની કિંમતોનો પ્રકાર અલગ હોય છે.

Question 25. ત્રિકોણની સૌથી મોટી બાજુની લંબાઈ તેની સૌથી નાની બાજુની લંબાઈ કરતાં ત્રણ ગણી છે. આ સિવાયની ત્રીજી બાજુ સૌથી મોટી બાજુથી 2 સેમી નાની છે. ત્રિકોણની પરિમિતિ ઓછામાં ઓછી 61 સેમી હોય, તો સૌથી નાની બાજુની ન્યૂનતમ લંબાઈ શોધો.
Answer: માની લો કે, ત્રિકોણની સૌથી નાની બાજુની લંબાઈ \( x \) સેમી છે.
આથી તેની સૌથી મોટી બાજુની લંબાઈ \( 3x \) સેમી થશે અને ત્રીજી બાજુ \( (3x-2) \) સેમી થશે.
ત્રિકોણની પરિમિતિ \( = x + 3x + (3x - 2) \)
\( = 7x - 2 \)
આપેલી માહિતી મુજબ,
ત્રિકોણની પરિમિતિ ઓછામાં ઓછી 61 સેમી આપેલ છે.
\( \implies 7x - 2 \geq 61 \)
\( \implies 7x \geq 61 + 2 \)
\( \implies 7x \geq 63 \)
\( \implies x \geq \frac{63}{7} \)
\( \implies x \geq 9 \)
આમ, સૌથી નાની બાજુની ન્યૂનતમ લંબાઈ 9 સેમી છે.
In simple words: ધારો કે સૌથી નાની બાજુ \( x \) છે. તો સૌથી મોટી બાજુ \( 3x \) અને ત્રીજી બાજુ \( 3x-2 \) થશે. ત્રિકોણની પરિમિતિ \( x + 3x + (3x-2) = 7x-2 \) છે. પરિમિતિ ઓછામાં ઓછી 61 સેમી હોવાથી, \( 7x-2 \geq 61 \) અસમાનતા બનાવો. આને ઉકેલતા \( x \geq 9 \) મળે. તેથી, સૌથી નાની બાજુની ઓછામાં ઓછી લંબાઈ 9 સેમી હોવી જોઈએ.

Exam Tip: ત્રિકોણની બાજુઓને ચલના રૂપમાં દર્શાવતી વખતે, 'નાના કરતાં' કે 'મોટા કરતાં' જેવા શબ્દોનો અર્થ ધ્યાનથી સમજો અને યોગ્ય રીતે અસમાનતા બનાવો.

Question 26. એક વ્યક્તિ 91 સેમી લાંબા એક પાટિયાના ત્રણ ટુકડા કરવા માગે છે. બીજા ટુકડાની લંબાઈ સૌથી નાના ટુકડાની લંબાઈ કરતા 3 સેમી વધુ છે અને ત્રીજા ટુકડાની લંબાઈ સૌથી નાના ટુકડાની લંબાઈથી બમણી છે. જો ત્રીજા ટુકડાની લંબાઈ બીજા ટુકડાની લંબાઈથી ઓછામાં ઓછી 5 સેમી વધુ હોય, તો સૌથી નાના ટુકડાની શક્ય લંબાઈ શોધો.
Answer: માની લો કે, સૌથી નાના ટુકડાની લંબાઈ \( x \) સેમી છે.
તો બીજા ટુકડાની લંબાઈ \( (x + 3) \) સેમી થશે.
અને ત્રીજા ટુકડાની લંબાઈ \( 2x \) સેમી થશે.
આપેલી માહિતી મુજબ,
\( x + (x + 3) + 2x \leq 91 \) .....(1)
અને \( 2x \geq (x + 3) + 5 \) .....(2)
(1) પરથી,
\( 4x + 3 \leq 91 \)
\( \implies 4x \leq 91 - 3 \)
\( \implies 4x \leq 88 \)
\( \implies x \leq \frac{88}{4} \)
\( \implies x \leq 22 \) .....(3)
(2) પરથી,
\( 2x \geq x + 8 \)
\( \implies 2x - x \geq 8 \)
\( \implies x \geq 8 \) .....(4)
(3) અને (4) પરથી,
\( 8 \leq x \leq 22 \)
આમ, સૌથી નાના ટુકડાની સંભવિત લંબાઈ 8 સેમી કે તેથી વધારે અને 22 સેમી કે તેથી ઓછી હશે.
In simple words: ધારો કે સૌથી નાના ટુકડાની લંબાઈ \( x \) સેમી છે. તો બીજા ટુકડાની લંબાઈ \( x+3 \) સેમી અને ત્રીજા ટુકડાની લંબાઈ \( 2x \) સેમી થશે. કુલ લંબાઈ 91 સેમી કરતાં વધુ ન હોવી જોઈએ, તેથી \( x + (x+3) + 2x \leq 91 \). ત્રીજો ટુકડો બીજા ટુકડાથી ઓછામાં ઓછો 5 સેમી વધુ હોવાથી, \( 2x \geq (x+3) + 5 \). આ બંને અસમાનતાઓને ઉકેલતા, \( 8 \leq x \leq 22 \) મળે. એટલે કે નાના ટુકડાની લંબાઈ 8 થી 22 સેમીની વચ્ચે હોઈ શકે છે.

Exam Tip: જ્યારે કોઈ વસ્તુને ટુકડાઓમાં વહેંચવામાં આવે છે, ત્યારે ટુકડાઓની કુલ લંબાઈ મૂળ વસ્તુની લંબાઈ જેટલી અથવા તેનાથી ઓછી હોય છે.