GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 5 સંકર સંખ્યાઓ અને દ્વિઘાત સમીકરણો Exercise 5.3

નીચેનાં સમીકરણો ઉકેલો :

Question 1. \(x^2 + 3 = 0\)
Answer: આપેલ સમીકરણ છે: \(x^2 + 3 = 0\)
તેથી, \(x^2 = -3\)
વર્ગમૂળ લેતાં, \(x = \pm \sqrt{-3}\)
અહીં, \( \sqrt{-3} \) ને \( \sqrt{3 \times -1} \) તરીકે લખી શકાય.
આથી, \( x = \pm \sqrt{3}i \) કારણ કે \( \sqrt{-1} = i \).
આમ, આ સમીકરણનાં બીજ \( \sqrt{3}i \) અને \( -\sqrt{3}i \) છે.
In simple words: જ્યારે સમીકરણ \(x^2 + 3 = 0\) હોય, ત્યારે \(x^2\) નો અર્થ -3 થાય છે. પછી, \(x\) શોધવા માટે, આપણે -3 નું વર્ગમૂળ લઈએ છીએ. કારણ કે નકારાત્મક સંખ્યાનું વર્ગમૂળ કાલ્પનિક હોય છે, તેથી જવાબો \( \sqrt{3}i \) અને \( -\sqrt{3}i \) આવે છે.

Exam Tip: જ્યારે દ્વિઘાત સમીકરણમાં \(b^2 - 4ac\) નું મૂલ્ય નકારાત્મક હોય, ત્યારે હંમેશા સંકર (કાલ્પનિક) બીજ મળે છે. \( \sqrt{-1} = i \) યાદ રાખો.

Question 2. \(2x^2 + x + 1 = 0\)
Answer: આપેલ સમીકરણ \(2x^2 + x + 1 = 0\) છે.
આ સમીકરણને દ્વિઘાત સમીકરણના સામાન્ય સ્વરૂપ \(ax^2 + bx + c = 0\) સાથે સરખાવતાં,
આપણને મળે છે: \(a = 2, b = 1, c = 1\)
હવે, વિવેચક (discriminant) \(D = b^2 - 4ac\) ની ગણતરી કરીએ:
\(D = (1)^2 - 4(2)(1)\)
\(D = 1 - 8 = -7\)
કારણ કે વિવેચક \(D = -7\) જે શૂન્ય કરતાં ઓછો છે, તેથી આપેલ સમીકરણને વાસ્તવિક બીજ નથી મળતા, પરંતુ સંકર (કાલ્પનિક) બીજ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બીજ શોધીએ: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(x = \frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{2(2)}\)
\(x = \frac{-1 \pm \sqrt{7}i}{4}\)
આમ, સમીકરણનાં બીજ \( \frac{-1 + \sqrt{7}i}{4} \) અને \( \frac{-1 - \sqrt{7}i}{4} \) છે.
In simple words: \(2x^2 + x + 1 = 0\) માં, આપણે \(a, b, c\) ની કિંમતો શોધીએ છીએ. પછી \(b^2 - 4ac\) ની ગણતરી કરીએ છીએ, જે -7 આવે છે. આ સંખ્યા શૂન્ય કરતાં ઓછી હોવાથી, તેનો અર્થ એ થાય કે જવાબોમાં કાલ્પનિક ભાગ હશે. સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે \( \frac{-1 \pm \sqrt{7}i}{4} \) તરીકે બીજ મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ શોધવા માટે, હંમેશા પહેલા \(D = b^2 - 4ac\) ગણી લો. જો \(D < 0\) હોય, તો સમીકરણના બીજ સંકર હશે.

Question 3. \(x^2 + 3x + 9 = 0\)
Answer: આપેલ સમીકરણ \(x^2 + 3x + 9 = 0\) છે.
આ સમીકરણને દ્વિઘાત સમીકરણના સામાન્ય સ્વરૂપ \(ax^2 + bx + c = 0\) સાથે સરખાવતાં,
આપણને મળે છે: \(a = 1, b = 3, c = 9\)
હવે, વિવેચક \(D = b^2 - 4ac\) ની ગણતરી કરીએ:
\(D = (3)^2 - 4(1)(9)\)
\(D = 9 - 36 = -27\)
કારણ કે વિવેચક \(D = -27\) જે શૂન્ય કરતાં ઓછો છે, તેથી આપેલ સમીકરણને વાસ્તવિક બીજ નથી મળતા, પરંતુ સંકર (કાલ્પનિક) બીજ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બીજ શોધીએ: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(x = \frac{-3 \pm \sqrt{-27}}{2(1)}\)
અહીં, \( \sqrt{-27} \) ને \( \sqrt{9 \times -3} = 3\sqrt{-3} = 3\sqrt{3}i \) તરીકે લખી શકાય.
તેથી, \(x = \frac{-3 \pm 3\sqrt{3}i}{2}\)
આમ, સમીકરણનાં બીજ \( \frac{-3 + 3\sqrt{3}i}{2} \) અને \( \frac{-3 - 3\sqrt{3}i}{2} \) છે.
In simple words: \(x^2 + 3x + 9 = 0\) માં, \(a=1, b=3, c=9\). વિવેચક \(D\) -27 છે, જે ઋણ છે, એટલે કાલ્પનિક બીજ મળશે. સૂત્રથી ગણતરી કરતાં, બીજ \( \frac{-3 \pm 3\sqrt{3}i}{2} \) મળે છે.

Exam Tip: જ્યારે \( \sqrt{-N} \) હોય, ત્યારે તેને \( \sqrt{N}i \) તરીકે લખવાનું યાદ રાખો. આ કાલ્પનિક સંખ્યાઓ માટે મહત્વપૂર્ણ છે.

Question 4. \(-x^2 + x - 2 = 0\)
Answer: આપેલ સમીકરણ \(-x^2 + x - 2 = 0\) છે.
આ સમીકરણને દ્વિઘાત સમીકરણના સામાન્ય સ્વરૂપ \(ax^2 + bx + c = 0\) સાથે સરખાવતાં,
આપણને મળે છે: \(a = -1, b = 1, c = -2\)
હવે, વિવેચક \(D = b^2 - 4ac\) ની ગણતરી કરીએ:
\(D = (1)^2 - 4(-1)(-2)\)
\(D = 1 - 8 = -7\)
કારણ કે વિવેચક \(D = -7\) જે શૂન્ય કરતાં ઓછો છે, તેથી આપેલ સમીકરણને વાસ્તવિક બીજ નથી મળતા, પરંતુ સંકર (કાલ્પનિક) બીજ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બીજ શોધીએ: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(x = \frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{2(-1)}\)
\(x = \frac{-1 \pm \sqrt{7}i}{-2}\)
આમ, સમીકરણનાં બીજ \( \frac{-1 + \sqrt{7}i}{-2} \) અને \( \frac{-1 - \sqrt{7}i}{-2} \) છે.
In simple words: સમીકરણ \(-x^2 + x - 2 = 0\) માટે, \(a=-1, b=1, c=-2\). વિવેચક \(D\) -7 આવે છે, જે ઋણ છે. તેથી, બીજ કાલ્પનિક હશે. દ્વિઘાત સૂત્ર વાપરતા, બીજ \( \frac{-1 \pm \sqrt{7}i}{-2} \) મળે છે.

Exam Tip: જો \(a\) ની કિંમત ઋણ હોય તો, તમે સમીકરણને \(-1\) વડે ગુણીને \(a\) ને ધન બનાવી શકો છો, જેથી ગણતરી સરળ બને, પરંતુ બીજ સમાન જ રહેશે.

Question 5. \(x^2 + 3x + 5 = 0\)
Answer: આપેલ સમીકરણ \(x^2 + 3x + 5 = 0\) છે.
આ સમીકરણને દ્વિઘાત સમીકરણના સામાન્ય સ્વરૂપ \(ax^2 + bx + c = 0\) સાથે સરખાવતાં,
આપણને મળે છે: \(a = 1, b = 3, c = 5\)
હવે, વિવેચક \(D = b^2 - 4ac\) ની ગણતરી કરીએ:
\(D = (3)^2 - 4(1)(5)\)
\(D = 9 - 20 = -11\)
કારણ કે વિવેચક \(D = -11\) જે શૂન્ય કરતાં ઓછો છે, તેથી આપેલ સમીકરણને વાસ્તવિક બીજ નથી મળતા, પરંતુ સંકર (કાલ્પનિક) બીજ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બીજ શોધીએ: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(x = \frac{-3 \pm \sqrt{-11}}{2(1)}\)
અહીં, \( \sqrt{-11} \) ને \( \sqrt{11}i \) તરીકે લખી શકાય.
તેથી, \(x = \frac{-3 \pm \sqrt{11}i}{2}\)
આમ, સમીકરણનાં બીજ \( \frac{-3 + \sqrt{11}i}{2} \) અને \( \frac{-3 - \sqrt{11}i}{2} \) છે.
In simple words: સમીકરણ \(x^2 + 3x + 5 = 0\) માં, \(a=1, b=3, c=5\). વિવેચક ગણતા, તે -11 આવે છે, જે નકારાત્મક છે. આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણના બીજ કાલ્પનિક સંખ્યાઓ હશે. દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, બીજ \( \frac{-3 \pm \sqrt{11}i}{2} \) મળે છે.

Exam Tip: કાલ્પનિક બીજ હંમેશા જોડીમાં (એકબીજાના સંયુક્ત) આવે છે, જેમ કે \( P + Qi \) અને \( P - Qi \).

Question 6. \(x^2 - x + 2 = 0\)
Answer: આપેલ સમીકરણ \(x^2 - x + 2 = 0\) છે.
આ સમીકરણને દ્વિઘાત સમીકરણના સામાન્ય સ્વરૂપ \(ax^2 + bx + c = 0\) સાથે સરખાવતાં,
આપણને મળે છે: \(a = 1, b = -1, c = 2\)
હવે, વિવેચક \(D = b^2 - 4ac\) ની ગણતરી કરીએ:
\(D = (-1)^2 - 4(1)(2)\)
\(D = 1 - 8 = -7\)
કારણ કે વિવેચક \(D = -7\) જે શૂન્ય કરતાં ઓછો છે, તેથી આપેલ સમીકરણને વાસ્તવિક બીજ નથી મળતા, પરંતુ સંકર (કાલ્પનિક) બીજ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બીજ શોધીએ: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{-7}}{2(1)}\)
અહીં, \( \sqrt{-7} \) ને \( \sqrt{7}i \) તરીકે લખી શકાય.
તેથી, \(x = \frac{1 \pm \sqrt{7}i}{2}\)
આમ, સમીકરણનાં બીજ \( \frac{1 + \sqrt{7}i}{2} \) અને \( \frac{1 - \sqrt{7}i}{2} \) છે.
In simple words: સમીકરણ \(x^2 - x + 2 = 0\) માટે, \(a=1, b=-1, c=2\). વિવેચક ગણતા, તે -7 આવે છે, જે નકારાત્મક છે. તેથી, બીજ કાલ્પનિક હશે. દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, બીજ \( \frac{1 \pm \sqrt{7}i}{2} \) મળે છે.

Exam Tip: જ્યારે \(b\) ઋણ હોય, ત્યારે સૂત્રમાં \(-b\) ધન બની જાય છે, જેમ કે \(-(-1) = 1\).

Question 7. \(\sqrt{2}x^2 + x + \sqrt{2} = 0\)
Answer: આપેલ સમીકરણ \(\sqrt{2}x^2 + x + \sqrt{2} = 0\) છે.
આ સમીકરણને દ્વિઘાત સમીકરણના સામાન્ય સ્વરૂપ \(ax^2 + bx + c = 0\) સાથે સરખાવતાં,
આપણને મળે છે: \(a = \sqrt{2}, b = 1, c = \sqrt{2}\)
હવે, વિવેચક \(D = b^2 - 4ac\) ની ગણતરી કરીએ:
\(D = (1)^2 - 4(\sqrt{2})(\sqrt{2})\)
\(D = 1 - 4(2) = 1 - 8 = -7\)
કારણ કે વિવેચક \(D = -7\) જે શૂન્ય કરતાં ઓછો છે, તેથી આપેલ સમીકરણને વાસ્તવિક બીજ નથી મળતા, પરંતુ સંકર (કાલ્પનિક) બીજ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બીજ શોધીએ: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(x = \frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{2(\sqrt{2})}\)
અહીં, \( \sqrt{-7} \) ને \( \sqrt{7}i \) તરીકે લખી શકાય.
તેથી, \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{7}i}{2\sqrt{2}}\)
આમ, સમીકરણનાં બીજ \( \frac{-1 + \sqrt{7}i}{2\sqrt{2}} \) અને \( \frac{-1 - \sqrt{7}i}{2\sqrt{2}} \) છે.
In simple words: સમીકરણ \(\sqrt{2}x^2 + x + \sqrt{2} = 0\) માં, \(a=\sqrt{2}, b=1, c=\sqrt{2}\). વિવેચક \(D\) -7 આવે છે, જે નકારાત્મક છે. તેથી, બીજ કાલ્પનિક હશે. દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, બીજ \( \frac{-1 \pm \sqrt{7}i}{2\sqrt{2}} \) મળે છે.

Exam Tip: મૂળવાળા પદો (\(\sqrt{2}\)) સાથે ગુણાકાર કરતી વખતે સાવચેત રહો; ઉદાહરણ તરીકે, \( \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 \).

Question 8. \(\sqrt{3}x^2 - \sqrt{2}x + 3\sqrt{3} = 0\)
Answer: આપેલ સમીકરણ \(\sqrt{3}x^2 - \sqrt{2}x + 3\sqrt{3} = 0\) છે.
આ સમીકરણને દ્વિઘાત સમીકરણના સામાન્ય સ્વરૂપ \(ax^2 + bx + c = 0\) સાથે સરખાવતાં,
આપણને મળે છે: \(a = \sqrt{3}, b = -\sqrt{2}, c = 3\sqrt{3}\)
હવે, વિવેચક \(D = b^2 - 4ac\) ની ગણતરી કરીએ:
\(D = (-\sqrt{2})^2 - 4(\sqrt{3})(3\sqrt{3})\)
\(D = 2 - 4(3)(3)\)
\(D = 2 - 36 = -34\)
કારણ કે વિવેચક \(D = -34\) જે શૂન્ય કરતાં ઓછો છે, તેથી આપેલ સમીકરણને વાસ્તવિક બીજ નથી મળતા, પરંતુ સંકર (કાલ્પનિક) બીજ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બીજ શોધીએ: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(x = \frac{-(-\sqrt{2}) \pm \sqrt{-34}}{2(\sqrt{3})}\)
અહીં, \( \sqrt{-34} \) ને \( \sqrt{34}i \) તરીકે લખી શકાય.
તેથી, \(x = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{34}i}{2\sqrt{3}}\)
આમ, સમીકરણનાં બીજ \( \frac{\sqrt{2} + \sqrt{34}i}{2\sqrt{3}} \) અને \( \frac{\sqrt{2} - \sqrt{34}i}{2\sqrt{3}} \) છે.
In simple words: સમીકરણ \(\sqrt{3}x^2 - \sqrt{2}x + 3\sqrt{3} = 0\) માં, \(a=\sqrt{3}, b=-\sqrt{2}, c=3\sqrt{3}\). વિવેચક \(D\) -34 આવે છે, જે નકારાત્મક છે. તેથી, બીજ કાલ્પનિક હશે. દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, બીજ \( \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{34}i}{2\sqrt{3}} \) મળે છે.

Exam Tip: જ્યારે \(b\) મૂળ સંખ્યા હોય, જેમ કે \(-\sqrt{2}\), ત્યારે \(b^2\) ની ગણતરી કાળજીપૂર્વક કરો. \((-\sqrt{2})^2 = 2\) થાય છે.

Question 9. \(x^2 + x + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0\)
Answer: આપેલ સમીકરણ \(x^2 + x + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0\) છે.
આ સમીકરણને દ્વિઘાત સમીકરણના સામાન્ય સ્વરૂપ \(ax^2 + bx + c = 0\) સાથે સરખાવતાં,
આપણને મળે છે: \(a = 1, b = 1, c = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
હવે, વિવેચક \(D = b^2 - 4ac\) ની ગણતરી કરીએ:
\(D = (1)^2 - 4(1)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)
\(D = 1 - \frac{4}{\sqrt{2}}\)
\(D = 1 - 2\sqrt{2}\)
કારણ કે \(2\sqrt{2} \approx 2.828\), તેથી \(1 - 2\sqrt{2} \approx 1 - 2.828 = -1.828\).
વિવેચક \(D = 1 - 2\sqrt{2}\) જે શૂન્ય કરતાં ઓછો છે, તેથી આપેલ સમીકરણને વાસ્તવિક બીજ નથી મળતા, પરંતુ સંકર (કાલ્પનિક) બીજ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બીજ શોધીએ: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 2\sqrt{2}}}{2(1)}\)
અહીં, \( \sqrt{1 - 2\sqrt{2}} \) ને \( \sqrt{-(2\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2\sqrt{2} - 1}i \) તરીકે લખી શકાય.
તેથી, \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{2\sqrt{2} - 1}i}{2}\)
આમ, સમીકરણનાં બીજ \( \frac{-1 + \sqrt{2\sqrt{2} - 1}i}{2} \) અને \( \frac{-1 - \sqrt{2\sqrt{2} - 1}i}{2} \) છે.
In simple words: સમીકરણ \(x^2 + x + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0\) માં, \(a=1, b=1, c=\frac{1}{\sqrt{2}}\). વિવેચક \(D\) ગણતા, તે \(1 - 2\sqrt{2}\) આવે છે, જે નકારાત્મક છે. તેથી, બીજ કાલ્પનિક હશે. દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, બીજ \( \frac{-1 \pm \sqrt{2\sqrt{2} - 1}i}{2} \) મળે છે.

Exam Tip: જ્યારે વિવેચકનું મૂલ્ય \(1 - 2\sqrt{2}\) જેવી અભિવ્યક્તિ હોય, ત્યારે તેને દશાંશમાં અંદાજ લગાવીને તપાસવું મદદરૂપ થઈ શકે છે કે તે ધન છે કે ઋણ.

Question 10. \(x^2 + \frac{x}{\sqrt{2}} + 1 = 0\)
Answer: આપેલ સમીકરણ \(x^2 + \frac{x}{\sqrt{2}} + 1 = 0\) છે.
આ સમીકરણને દ્વિઘાત સમીકરણના સામાન્ય સ્વરૂપ \(ax^2 + bx + c = 0\) સાથે સરખાવતાં,
આપણને મળે છે: \(a = 1, b = \frac{1}{\sqrt{2}}, c = 1\)
હવે, વિવેચક \(D = b^2 - 4ac\) ની ગણતરી કરીએ:
\(D = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 - 4(1)(1)\)
\(D = \frac{1}{2} - 4\)
\(D = \frac{1 - 8}{2} = -\frac{7}{2}\)
કારણ કે વિવેચક \(D = -\frac{7}{2}\) જે શૂન્ય કરતાં ઓછો છે, તેથી આપેલ સમીકરણને વાસ્તવિક બીજ નથી મળતા, પરંતુ સંકર (કાલ્પનિક) બીજ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બીજ શોધીએ: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(x = \frac{-\frac{1}{\sqrt{2}} \pm \sqrt{-\frac{7}{2}}}{2(1)}\)
અહીં, \( \sqrt{-\frac{7}{2}} \) ને \( \sqrt{\frac{7}{2}}i = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}i \) તરીકે લખી શકાય.
તેથી, \(x = \frac{-\frac{1}{\sqrt{2}} \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}i}{2}\)
અંશમાં \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) સામાન્ય લેતા, \(x = \frac{\frac{-1 \pm \sqrt{7}i}{\sqrt{2}}}{2}\)
\(x = \frac{-1 \pm \sqrt{7}i}{2\sqrt{2}}\)
આમ, સમીકરણનાં બીજ \( \frac{-1 + \sqrt{7}i}{2\sqrt{2}} \) અને \( \frac{-1 - \sqrt{7}i}{2\sqrt{2}} \) છે.
In simple words: સમીકરણ \(x^2 + \frac{x}{\sqrt{2}} + 1 = 0\) માં, \(a=1, b=\frac{1}{\sqrt{2}}, c=1\). વિવેચક ગણતા, તે \(-\frac{7}{2}\) આવે છે, જે નકારાત્મક છે. તેથી, બીજ કાલ્પનિક હશે. દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, બીજ \( \frac{-1 \pm \sqrt{7}i}{2\sqrt{2}} \) મળે છે.

Exam Tip: અપૂર્ણાંક વાળા ગુણાંક હોય ત્યારે, \(b^2 - 4ac\) ની ગણતરી કરતી વખતે સામાન્ય છેદ લેવાનું યાદ રાખો.