GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 5 સંકર સંખ્યાઓ અને દ્વિઘાત સમીકરણો Exercise 5.4

વર્ગમૂળ શોધો :

Question 1. -15 - 8i
Answer: ધારો કે, \( \sqrt{-15-8 i} = x + yi; \) જ્યાં \( x, y \in R \).
બંને બાજુ વર્ગ કરવાથી, આપણને મળે છે:
\( -15 - 8i = (x + yi)^2 \)
\( -15 - 8i = x^2 + y^2i^2 + 2xyi \)
\( -15 - 8i = (x^2 - y^2) + 2xyi \) (કેમ કે \( i^2 = -1 \))
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા,
\( x^2 - y^2 = -15 \) અને \( 2xy = -8 \)
તેથી, \( y = -\frac{4}{x} \)
આ \( y \) ની કિંમતને પહેલા સમીકરણમાં રાખતા,
\( x^2 - \left(-\frac{4}{x}\right)^2 = -15 \)
\( x^2 - \frac{16}{x^2} = -15 \)
\( x^4 - 16 = -15x^2 \)
\( x^4 + 15x^2 - 16 = 0 \)
આ સમીકરણને \( x^2 \) માટે ઉકેલતા,
\( (x^2 + 16)(x^2 - 1) = 0 \)
આથી, \( x^2 = -16 \) અથવા \( x^2 = 1 \) થાય.
કેમ કે \( x \) એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે,
\( x^2 \neq -16 \). તેથી, \( x^2 = 1 \) થશે.
આથી, \( x = \pm 1 \) પ્રાપ્ત થાય.
જો \( x = 1 \), તો \( y = -\frac{4}{1} = -4 \)
જો \( x = -1 \), તો \( y = \frac{-4}{-1} = 4 \)
તેથી, \( -15 - 8i \) ના વર્ગમૂળ \( 1 - 4i \) અને \( -1 + 4i \) છે, જેને ટૂંકમાં \( \pm (1 - 4i) \) લખી શકાય.
In simple words: -15 - 8i ના વર્ગમૂળ શોધવા માટે, તેને \( x + yi \) માનીને બંને બાજુ વર્ગ કરીએ છીએ. પછી વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગો સરખાવીને \( x \) અને \( y \) ના મૂલ્યો શોધીએ છીએ. આ રીતે આપણને \( \pm (1 - 4i) \) વર્ગમૂળ મળે છે.

Exam Tip: જ્યારે કોઈ સંકર સંખ્યાનું વર્ગમૂળ શોધવાનું હોય, ત્યારે તેને \( x + yi \) બરાબર ધારો અને બંને બાજુ વર્ગ કરીને વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને અલગ-અલગ સરખાવો. \( i^2 = -1 \) નો ઉપયોગ કરવાનું યાદ રાખો.

Question 2. -8 - 6i
Answer: ધારો કે, \( \sqrt{-8-6i} = x + yi; \) જ્યાં \( x, y \in R \).
બંને બાજુ વર્ગ કરવાથી, આપણને મળે છે:
\( -8 - 6i = (x + yi)^2 \)
\( -8 - 6i = x^2 + y^2i^2 + 2xyi \)
\( -8 - 6i = (x^2 - y^2) + 2xyi \) (કેમ કે \( i^2 = -1 \))
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા,
\( x^2 - y^2 = -8 \) અને \( 2xy = -6 \)
તેથી, \( y = -\frac{3}{x} \)
આ \( y \) ની કિંમતને પહેલા સમીકરણમાં મુકતા,
\( x^2 - \left(-\frac{3}{x}\right)^2 = -8 \)
\( x^2 - \frac{9}{x^2} = -8 \)
\( x^4 - 9 = -8x^2 \)
\( x^4 + 8x^2 - 9 = 0 \)
આ સમીકરણને \( x^2 \) માટે ઉકેલતા,
\( (x^2 + 9)(x^2 - 1) = 0 \)
આથી, \( x^2 = -9 \) અથવા \( x^2 = 1 \)
કેમ કે \( x \) એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે,
\( x^2 \neq -9 \). તેથી, \( x^2 = 1 \) મળે છે.
આથી, \( x = \pm 1 \) પ્રાપ્ત થાય.
જો \( x = 1 \), તો \( y = \frac{-3}{1} = -3 \)
જો \( x = -1 \), તો \( y = \frac{-3}{-1} = 3 \)
તેથી, \( -8 - 6i \) ના વર્ગમૂળ \( 1 - 3i \) અને \( -1 + 3i \) છે, જેને ટૂંકમાં \( \pm (1 - 3i) \) લખી શકાય.
In simple words: -8 - 6i ના વર્ગમૂળ શોધવા માટે, આપણે તેને \( x + yi \) માનીને બંને બાજુ વર્ગ કરીએ છીએ. પછી વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગો સરખાવીને \( x \) અને \( y \) ના મૂલ્યો શોધીએ છીએ. આ રીતે આપણને \( \pm (1 - 3i) \) વર્ગમૂળ મળે છે.

Exam Tip: \( i^2 = -1 \) નો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોને સરળ બનાવો અને વાસ્તવિક સંખ્યા \( x \) માટે \( x^2 \) હંમેશા ધન કે શૂન્ય હોવો જોઈએ તે યાદ રાખો.

Question 3. 1 - i
Answer: ધારો કે, \( \sqrt{1-i} = x + yi; \) જ્યાં \( x, y \in R \).
બંને બાજુ વર્ગ કરવાથી, આપણને મળે છે:
\( 1 - i = (x + yi)^2 \)
\( 1 - i = x^2 + y^2i^2 + 2xyi \)
\( 1 - i = (x^2 - y^2) + 2xyi \) (કેમ કે \( i^2 = -1 \))
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા,
\( x^2 - y^2 = 1 \) અને \( 2xy = -1 \)
તેથી, \( y = -\frac{1}{2x} \)
આ \( y \) ની કિંમતને પહેલા સમીકરણમાં રાખતા,
\( x^2 - \left(-\frac{1}{2x}\right)^2 = 1 \)
\( x^2 - \frac{1}{4x^2} = 1 \)
\( 4x^4 - 1 = 4x^2 \)
\( 4x^4 - 4x^2 - 1 = 0 \)
આ દ્વિઘાત સમીકરણને \( x^2 \) માટે ઉકેલવા, આપણે સૂત્ર \( x^2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) વાપરીએ છીએ.
અહીં, \( a = 4, b = -4, c = -1 \).
\( x^2 = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(4)(-1)}}{2(4)} \)
\( x^2 = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{8} \)
\( x^2 = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{8} \)
\( x^2 = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{8} \)
\( x^2 = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2} \)
કેમ કે \( x \) એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે, \( x^2 \) હંમેશા ધન હોવો જોઈએ.
\( \frac{1 - \sqrt{2}}{2} \) ઋણ છે કારણ કે \( \sqrt{2} \approx 1.414 \), તેથી \( 1 - \sqrt{2} \) ઋણ થશે.
આથી, \( x^2 \neq \frac{1 - \sqrt{2}}{2} \) થશે.
તેથી, \( x^2 = \frac{1 + \sqrt{2}}{2} \) મળે છે.
આથી, \( x = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{2} + 1}{2}} \)
જો \( x = \sqrt{\frac{\sqrt{2} + 1}{2}} \), તો \( y = -\frac{1}{2x} = -\frac{1}{2\sqrt{\frac{\sqrt{2} + 1}{2}}} = -\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{2} + 1}} \)
આને સરળ બનાવવા, આપણે \( \sqrt{\sqrt{2} - 1} \) વડે ગુણીએ અને ભાગીએ છીએ:
\( y = -\frac{\sqrt{\sqrt{2} - 1}}{\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{2} + 1}\sqrt{\sqrt{2} - 1}} = -\frac{\sqrt{\sqrt{2} - 1}}{\sqrt{2}\sqrt{(\sqrt{2})^2 - 1^2}} = -\frac{\sqrt{\sqrt{2} - 1}}{\sqrt{2}\sqrt{2 - 1}} = -\frac{\sqrt{\sqrt{2} - 1}}{\sqrt{2}} \)
જો \( x = -\sqrt{\frac{\sqrt{2} + 1}{2}} \), તો \( y = -\frac{1}{2x} = -\frac{1}{2(-\sqrt{\frac{\sqrt{2} + 1}{2}})} = \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{2} + 1}} \)
ફરી, \( \sqrt{\sqrt{2} - 1} \) વડે ગુણી અને ભાગીને,
\( y = \frac{\sqrt{\sqrt{2} - 1}}{\sqrt{2}} \)
તેથી, \( 1 - i \) ના વર્ગમૂળ \( \sqrt{\frac{\sqrt{2} + 1}{2}} - \frac{\sqrt{\sqrt{2} - 1}}{\sqrt{2}}i \) અને \( -\sqrt{\frac{\sqrt{2} + 1}{2}} + \frac{\sqrt{\sqrt{2} - 1}}{\sqrt{2}}i \) છે, જેને ટૂંકમાં \( \pm \left(\sqrt{\frac{\sqrt{2} + 1}{2}} - \sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}}i\right) \) લખી શકાય.
In simple words: 1 - i નું વર્ગમૂળ શોધવા, આપણે તેને \( x + yi \) માનીને સમીકરણો બનાવીએ છીએ. \( x^2 \) માટે દ્વિઘાત સૂત્ર વાપરીએ છીએ અને \( x^2 \) ધન હોવો જોઈએ તે ધ્યાન રાખીએ છીએ. આખરે, \( x \) અને \( y \) ની કિંમતો શોધીને વર્ગમૂળ મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: \( x^2 \) માટે કિંમત શોધતી વખતે, જો બે શક્ય કિંમતો મળે, તો ખાતરી કરો કે તમે ફક્ત ધન કિંમત જ પસંદ કરો છો કારણ કે \( x \) એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

Question 4. -i
Answer: ધારો કે, \( \sqrt{-i} = x + yi; \) જ્યાં \( x, y \in R \).
બંને બાજુ વર્ગ કરવાથી, આપણને મળે છે:
\( -i = (x + yi)^2 \)
\( 0 - i = x^2 + y^2i^2 + 2xyi \)
\( 0 - i = (x^2 - y^2) + 2xyi \) (કેમ કે \( i^2 = -1 \))
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા,
\( x^2 - y^2 = 0 \) અને \( 2xy = -1 \)
પહેલા સમીકરણમાંથી, \( x^2 = y^2 \), આથી \( y = \pm x \).
બીજા સમીકરણમાંથી, \( y = -\frac{1}{2x} \) થાય છે.
જો \( y = x \) હોય, તો \( x = -\frac{1}{2x} \implies 2x^2 = -1 \implies x^2 = -\frac{1}{2} \), જે શક્ય નથી કેમ કે \( x \) વાસ્તવિક છે.
આથી, આપણે \( y = -x \) લેવું પડે.
\( -x = -\frac{1}{2x} \implies 2x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{2} \)
આથી, \( x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \) મળે છે.
જો \( x = \frac{1}{\sqrt{2}} \), તો \( y = -x = -\frac{1}{\sqrt{2}} \)
જો \( x = -\frac{1}{\sqrt{2}} \), તો \( y = -x = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
તેથી, \( -i \) ના વર્ગમૂળ \( \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i \) અને \( -\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i \) છે, જેને ટૂંકમાં \( \pm \left(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i\right) \) લખી શકાય.
In simple words: -i નું વર્ગમૂળ શોધવા, તેને \( x + yi \) માનીને સમીકરણો બનાવીએ છીએ. \( x^2 - y^2 = 0 \) માંથી \( y = \pm x \) મેળવીએ છીએ. પછી બીજા સમીકરણ સાથે સુસંગત વિકલ્પ પસંદ કરીને \( x \) અને \( y \) ના મૂલ્યો શોધીએ છીએ, જે \( \pm \left(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i\right) \) વર્ગમૂળ આપે છે.

Exam Tip: જ્યારે સંકર સંખ્યાનો વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોય, ત્યારે \( x^2 - y^2 = 0 \) માંથી \( y = \pm x \) સંબંધ મેળવો અને પછી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો જે બીજા સમીકરણ સાથે સુસંગત હોય.

Question 5. i
Answer: ધારો કે, \( \sqrt{i} = x + yi; \) જ્યાં \( x, y \in R \).
બંને બાજુ વર્ગ કરવાથી, આપણને મળે છે:
\( i = (x + yi)^2 \)
\( 0 + i = x^2 + y^2i^2 + 2xyi \)
\( 0 + i = (x^2 - y^2) + 2xyi \) (કેમ કે \( i^2 = -1 \))
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા,
\( x^2 - y^2 = 0 \) અને \( 2xy = 1 \)
પહેલા સમીકરણમાંથી, \( x^2 = y^2 \), આથી \( y = \pm x \).
બીજા સમીકરણમાંથી, \( y = \frac{1}{2x} \) થાય છે.
જો \( y = -x \) હોય, તો \( -x = \frac{1}{2x} \implies -2x^2 = 1 \implies x^2 = -\frac{1}{2} \), જે શક્ય નથી કેમ કે \( x \) વાસ્તવિક છે.
આથી, આપણે \( y = x \) લેવું પડે.
\( x = \frac{1}{2x} \implies 2x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{2} \)
આથી, \( x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \) મળે છે.
જો \( x = \frac{1}{\sqrt{2}} \), તો \( y = x = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
જો \( x = -\frac{1}{\sqrt{2}} \), તો \( y = x = -\frac{1}{\sqrt{2}} \)
તેથી, \( i \) ના વર્ગમૂળ \( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i \) અને \( -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i \) છે, જેને ટૂંકમાં \( \pm \left(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i\right) \) લખી શકાય.
In simple words: \( i \) નું વર્ગમૂળ શોધવા માટે, આપણે તેને \( x + yi \) માનીને સમીકરણો બનાવીએ છીએ. \( x^2 - y^2 = 0 \) માંથી \( y = \pm x \) મેળવીએ છીએ. પછી બીજા સમીકરણ સાથે સુસંગત વિકલ્પ પસંદ કરીને \( x \) અને \( y \) ના મૂલ્યો શોધીએ છીએ, જે \( \pm \left(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i\right) \) વર્ગમૂળ આપે છે.

Exam Tip: ધ્યાન રાખો કે \( x \) અને \( y \) ના ગુણાકારનું ચિહ્ન સંકર સંખ્યાના કાલ્પનિક ભાગના ચિહ્ન સાથે મેળ ખાતું હોવું જોઈએ.

Question 6. 1 + i
Answer: ધારો કે, \( \sqrt{1+i} = x + yi; \) જ્યાં \( x, y \in R \).
બંને બાજુ વર્ગ કરવાથી, આપણને મળે છે:
\( 1 + i = (x + yi)^2 \)
\( 1 + i = x^2 + y^2i^2 + 2xyi \)
\( 1 + i = (x^2 - y^2) + 2xyi \) (કેમ કે \( i^2 = -1 \))
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા,
\( x^2 - y^2 = 1 \) અને \( 2xy = 1 \)
તેથી, \( y = \frac{1}{2x} \)
આ \( y \) ની કિંમતને પહેલા સમીકરણમાં રાખતા,
\( x^2 - \left(\frac{1}{2x}\right)^2 = 1 \)
\( x^2 - \frac{1}{4x^2} = 1 \)
\( 4x^4 - 1 = 4x^2 \)
\( 4x^4 - 4x^2 - 1 = 0 \)
આ દ્વિઘાત સમીકરણને \( x^2 \) માટે ઉકેલવા, આપણે સૂત્ર \( x^2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) વાપરીએ છીએ.
અહીં, \( a = 4, b = -4, c = -1 \).
\( x^2 = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(4)(-1)}}{2(4)} \)
\( x^2 = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{8} \)
\( x^2 = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{8} \)
\( x^2 = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{8} \)
\( x^2 = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2} \)
કેમ કે \( x \) એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે, \( x^2 \) હંમેશા ધન હોવો જોઈએ.
\( \frac{1 - \sqrt{2}}{2} \) ઋણ છે કારણ કે \( \sqrt{2} \approx 1.414 \), તેથી \( 1 - \sqrt{2} \) ઋણ થશે.
આથી, \( x^2 \neq \frac{1 - \sqrt{2}}{2} \) થશે.
તેથી, \( x^2 = \frac{1 + \sqrt{2}}{2} \) મળે છે.
આથી, \( x = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{2} + 1}{2}} \)
જો \( x = \sqrt{\frac{\sqrt{2} + 1}{2}} \), તો \( y = \frac{1}{2x} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{\sqrt{2} + 1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{2} + 1}} \)
આને સરળ બનાવવા, આપણે \( \sqrt{\sqrt{2} - 1} \) વડે ગુણીએ અને ભાગીએ છીએ:
\( y = \frac{\sqrt{\sqrt{2} - 1}}{\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{2} + 1}\sqrt{\sqrt{2} - 1}} = \frac{\sqrt{\sqrt{2} - 1}}{\sqrt{2}\sqrt{(\sqrt{2})^2 - 1^2}} = \frac{\sqrt{\sqrt{2} - 1}}{\sqrt{2}\sqrt{2 - 1}} = \frac{\sqrt{\sqrt{2} - 1}}{\sqrt{2}} \)
જો \( x = -\sqrt{\frac{\sqrt{2} + 1}{2}} \), તો \( y = \frac{1}{2x} = \frac{1}{2(-\sqrt{\frac{\sqrt{2} + 1}{2}})} = -\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{2} + 1}} \)
ફરી, \( \sqrt{\sqrt{2} - 1} \) વડે ગુણી અને ભાગીને,
\( y = -\frac{\sqrt{\sqrt{2} - 1}}{\sqrt{2}} \)
તેથી, \( 1 + i \) ના વર્ગમૂળ \( \sqrt{\frac{\sqrt{2} + 1}{2}} + \frac{\sqrt{\sqrt{2} - 1}}{\sqrt{2}}i \) અને \( -\sqrt{\frac{\sqrt{2} + 1}{2}} - \frac{\sqrt{\sqrt{2} - 1}}{\sqrt{2}}i \) છે, જેને ટૂંકમાં \( \pm \left(\sqrt{\frac{\sqrt{2} + 1}{2}} + \sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}}i\right) \) લખી શકાય.
In simple words: 1 + i નું વર્ગમૂળ શોધવા, આપણે તેને \( x + yi \) માનીને સમીકરણો બનાવીએ છીએ. \( x^2 \) માટે દ્વિઘાત સૂત્ર વાપરીએ છીએ અને \( x^2 \) ધન હોવો જોઈએ તે ધ્યાન રાખીએ છીએ. આખરે, \( x \) અને \( y \) ની કિંમતો શોધીને વર્ગમૂળ મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે \( x \) અને \( y \) ની કિંમતો જટિલ હોય, ત્યારે તેમને સરળ સ્વરૂપમાં લાવવા માટે યોગ્ય ગુણાકાર અને ભાગાકારની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરો.