GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 5 સંકર સંખ્યાઓ અને દ્વિઘાત સમીકરણો Exercise 5.2

પ્રશ્ન 1 અને 2માં આપેલ દરેક સંકર સંખ્યાનો માનાંક અને કોણાંક શોધો :

Question 1. \( z = -1 - i\sqrt{3} \) જે \( z = x + iy \) સ્વરૂપનું છે.
Answer: અહીં, આપેલ સંકર સંખ્યા \( z = -1 - i\sqrt{3} \) છે.
આ સંખ્યાને \( z = x + iy \) સાથે સરખાવતા, આપણે મેળવીએ છીએ કે \( x = -1 \) અને \( y = -\sqrt{3} \).
હવે, માનાંક \( |z| \) શોધવા માટે, આપણે સૂત્ર \( |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \) નો ઉપયોગ કરી શકીએ.
\( |z| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} \)
\( = \sqrt{1 + 3} \)
\( = \sqrt{4} \)
\( = 2 \)
માનાંક \( |z| = 2 \) મળે છે.
હવે, કોણાંક \( \theta \) શોધવા માટે, આપણે \( \cos \theta = \frac{x}{|z|} \) અને \( \sin \theta = \frac{y}{|z|} \) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( \cos \theta = \frac{-1}{2} \)
\( \sin \theta = \frac{-\sqrt{3}}{2} \)
કારણ કે \( \cos \theta \) અને \( \sin \theta \) બંને ઋણ છે, કોણાંક ત્રીજા ચરણમાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \) અને \( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
ત્રીજા ચરણમાં, \( \theta = -(\pi - \alpha) \) અથવા \( \theta = \pi + \alpha \) (જ્યાં \( \alpha \) સંદર્ભ કોણ છે).
આથી, \( \theta = -(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\frac{2\pi}{3} \).
તેથી, આપેલ સંકર સંખ્યાનો માનાંક 2 છે અને કોણાંક \( -\frac{2\pi}{3} \) છે.
In simple words: અહીં, આપણે \( z = -1 - i\sqrt{3} \) ને \( x + iy \) સાથે સરખાવ્યો. પછી, \( x = -1 \) અને \( y = -\sqrt{3} \) મળ્યા. માનાંક \( |z| \) શોધવા માટે \( \sqrt{x^2 + y^2} \) નો ઉપયોગ કરતા, આપણને 2 મળ્યું. કોણાંક \( \theta \) શોધવા માટે \( \cos \theta = x/|z| \) અને \( \sin \theta = y/|z| \) નો ઉપયોગ કર્યો, જે \( -\frac{2\pi}{3} \) આવ્યું.

Exam Tip: જ્યારે \( x \) અને \( y \) બંને ઋણ હોય ત્યારે કોણાંક ત્રીજા ચરણમાં આવે છે. ખાતરી કરો કે તમે યોગ્ય ચરણ માટે યોગ્ય સૂત્રનો ઉપયોગ કરો છો.

Question 2. \( z = -\sqrt{3} + i \)
Answer: અહીં, આપેલ સંકર સંખ્યા \( z = -\sqrt{3} + i \) છે.
આ સંખ્યાને \( z = x + iy \) સાથે સરખાવતા, આપણે મેળવીએ છીએ કે \( x = -\sqrt{3} \) અને \( y = 1 \).
હવે, માનાંક \( |z| \) શોધવા માટે, આપણે સૂત્ર \( |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( |z| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (1)^2} \)
\( = \sqrt{3 + 1} \)
\( = \sqrt{4} \)
\( = 2 \)
માનાંક \( |z| = 2 \) મળે છે.
હવે, કોણાંક \( \theta \) શોધવા માટે, આપણે \( \cos \theta = \frac{x}{|z|} \) અને \( \sin \theta = \frac{y}{|z|} \) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( \cos \theta = \frac{-\sqrt{3}}{2} \)
\( \sin \theta = \frac{1}{2} \)
કારણ કે \( \cos \theta \) ઋણ છે અને \( \sin \theta \) ધન છે, કોણાંક બીજા ચરણમાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) અને \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \).
બીજા ચરણમાં, \( \theta = \pi - \alpha \) (જ્યાં \( \alpha \) સંદર્ભ કોણ છે).
આથી, \( \theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \).
તેથી, આપેલ સંકર સંખ્યાનો માનાંક 2 છે અને કોણાંક \( \frac{5\pi}{6} \) છે.
In simple words: \( z = -\sqrt{3} + i \) માં, \( x = -\sqrt{3} \) અને \( y = 1 \) છે. માનાંક \( |z| \) શોધતા, આપણને 2 મળ્યું. કોણાંક \( \theta \) શોધવા માટે, આપણે \( \cos \theta = x/|z| \) અને \( \sin \theta = y/|z| \) નો ઉપયોગ કર્યો. \( \cos \theta \) ઋણ અને \( \sin \theta \) ધન હોવાથી, કોણાંક બીજા ચરણમાં છે, જે \( \frac{5\pi}{6} \) મળે છે.

Exam Tip: કોણાંક નક્કી કરતી વખતે, \( \cos \theta \) અને \( \sin \theta \) ના ચિહ્નોના આધારે યોગ્ય ચરણ ઓળખવું ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે.

પ્રશ્ન 3થી 8માં આપેલ દરેક સંકર સંખ્યાને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં ફેરવોઃ

Question 3. \( 1 - i \)
Answer: અહીં, આપેલ સંકર સંખ્યા \( z = 1 - i \) છે.
આ સંખ્યાને \( z = x + iy \) સાથે સરખાવતા, આપણે મેળવીએ છીએ કે \( x = 1 \) અને \( y = -1 \).
હવે, માનાંક \( r \) શોધવા માટે, આપણે સૂત્ર \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} \)
\( = \sqrt{1 + 1} \)
\( = \sqrt{2} \)
માનાંક \( r = \sqrt{2} \) મળે છે.
હવે, કોણાંક \( \theta \) શોધવા માટે, આપણે \( \cos \theta = \frac{x}{r} \) અને \( \sin \theta = \frac{y}{r} \) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( \sin \theta = \frac{-1}{\sqrt{2}} \)
કારણ કે \( \cos \theta \) ધન છે અને \( \sin \theta \) ઋણ છે, કોણાંક ચોથા ચરણમાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \) અને \( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \).
ચોથા ચરણમાં, \( \theta = -\alpha \) (જ્યાં \( \alpha \) સંદર્ભ કોણ છે).
આથી, \( \theta = -\frac{\pi}{4} \).
તેથી, સંકર સંખ્યાનું ધ્રુવીય સ્વરૂપ \( z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \) છે.
\( z = \sqrt{2} \left( \cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) \)
In simple words: સંકર સંખ્યા \( z = 1 - i \) માટે, \( x = 1 \) અને \( y = -1 \) છે. માનાંક \( r = \sqrt{2} \) છે. \( \cos \theta = 1/\sqrt{2} \) અને \( \sin \theta = -1/\sqrt{2} \) હોવાથી, કોણાંક \( \theta = -\pi/4 \) મળે છે. તેથી, ધ્રુવીય સ્વરૂપ \( \sqrt{2}(\cos(-\pi/4) + i \sin(-\pi/4)) \) છે.

Exam Tip: યાદ રાખો કે \( \cos(-\theta) = \cos \theta \) અને \( \sin(-\theta) = -\sin \theta \), જે કોણાંકને સરળ રીતે રજૂ કરવામાં મદદ કરે છે.

Question 4. \( -1 + i \)
Answer: અહીં, આપેલ સંકર સંખ્યા \( z = -1 + i \) છે.
આ સંખ્યાને \( z = x + iy \) સાથે સરખાવતા, આપણે મેળવીએ છીએ કે \( x = -1 \) અને \( y = 1 \).
હવે, માનાંક \( r \) શોધવા માટે, આપણે સૂત્ર \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( r = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2} \)
\( = \sqrt{1 + 1} \)
\( = \sqrt{2} \)
માનાંક \( r = \sqrt{2} \) મળે છે.
હવે, કોણાંક \( \theta \) શોધવા માટે, આપણે \( \cos \theta = \frac{x}{r} \) અને \( \sin \theta = \frac{y}{r} \) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( \cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{2}} \)
\( \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
કારણ કે \( \cos \theta \) ઋણ છે અને \( \sin \theta \) ધન છે, કોણાંક બીજા ચરણમાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \) અને \( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \).
બીજા ચરણમાં, \( \theta = \pi - \alpha \) (જ્યાં \( \alpha \) સંદર્ભ કોણ છે).
આથી, \( \theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \).
તેથી, સંકર સંખ્યાનું ધ્રુવીય સ્વરૂપ \( z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \) છે.
\( z = \sqrt{2} \left( \cos \left(\frac{3\pi}{4}\right) + i \sin \left(\frac{3\pi}{4}\right) \right) \)
In simple words: \( z = -1 + i \) માટે, \( x = -1 \) અને \( y = 1 \) છે. માનાંક \( r = \sqrt{2} \) છે. \( \cos \theta = -1/\sqrt{2} \) અને \( \sin \theta = 1/\sqrt{2} \) હોવાથી, કોણાંક \( \theta = 3\pi/4 \) મળે છે. તેથી, ધ્રુવીય સ્વરૂપ \( \sqrt{2}(\cos(3\pi/4) + i \sin(3\pi/4)) \) છે.

Exam Tip: જ્યારે \( x \) ઋણ અને \( y \) ધન હોય, ત્યારે કોણાંક બીજા ચરણમાં હોય છે, જ્યાં \( \theta = \pi - \alpha \) સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે.

Question 5. સંકર સંખ્યા \( -1 - i \) ને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં ફેરવો.
Answer: અહીં, આપેલ સંકર સંખ્યા \( z = -1 - i \) છે.
આ સંખ્યાને \( z = x + iy \) સાથે સરખાવતા, આપણે મેળવીએ છીએ કે \( x = -1 \) અને \( y = -1 \).
હવે, માનાંક \( r \) શોધવા માટે, આપણે સૂત્ર \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( r = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} \)
\( = \sqrt{1 + 1} \)
\( = \sqrt{2} \)
માનાંક \( r = \sqrt{2} \) મળે છે.
હવે, કોણાંક \( \theta \) શોધવા માટે, આપણે \( \cos \theta = \frac{x}{r} \) અને \( \sin \theta = \frac{y}{r} \) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( \cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{2}} \)
\( \sin \theta = \frac{-1}{\sqrt{2}} \)
કારણ કે \( \cos \theta \) અને \( \sin \theta \) બંને ઋણ છે, કોણાંક ત્રીજા ચરણમાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \) અને \( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \).
ત્રીજા ચરણમાં, \( \theta = -(\pi - \alpha) \) અથવા \( \theta = \pi + \alpha \) (જ્યાં \( \alpha \) સંદર્ભ કોણ છે).
આથી, \( \theta = -(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\frac{3\pi}{4} \).
તેથી, સંકર સંખ્યાનું ધ્રુવીય સ્વરૂપ \( z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \) છે.
\( z = \sqrt{2} \left( \cos \left(-\frac{3\pi}{4}\right) + i \sin \left(-\frac{3\pi}{4}\right) \right) \)
In simple words: \( z = -1 - i \) માં, \( x = -1 \) અને \( y = -1 \) છે. માનાંક \( r = \sqrt{2} \) મળ્યું. \( \cos \theta = -1/\sqrt{2} \) અને \( \sin \theta = -1/\sqrt{2} \) હોવાથી, કોણાંક ત્રીજા ચરણમાં આવે છે, જે \( \theta = -3\pi/4 \) છે. ધ્રુવીય સ્વરૂપ \( \sqrt{2}(\cos(-3\pi/4) + i \sin(-3\pi/4)) \) છે.

Exam Tip: જ્યારે \( x \) અને \( y \) બંને ઋણ હોય ત્યારે કોણાંક ત્રીજા ચરણમાં આવે છે. ખાતરી કરો કે તમે યોગ્ય ચરણ માટે યોગ્ય સૂત્રનો ઉપયોગ કરો છો.

Question 6. \( -3 \)
Answer: અહીં, આપેલ સંકર સંખ્યા \( z = -3 \) છે.
આ સંખ્યાને \( z = x + iy \) સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે, જ્યાં \( z = -3 + 0i \).
આથી, આપણે મેળવીએ છીએ કે \( x = -3 \) અને \( y = 0 \).
હવે, માનાંક \( r \) શોધવા માટે, આપણે સૂત્ર \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( r = \sqrt{(-3)^2 + (0)^2} \)
\( = \sqrt{9 + 0} \)
\( = \sqrt{9} \)
\( = 3 \)
માનાંક \( r = 3 \) મળે છે.
હવે, કોણાંક \( \theta \) શોધવા માટે, આપણે \( \cos \theta = \frac{x}{r} \) અને \( \sin \theta = \frac{y}{r} \) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( \cos \theta = \frac{-3}{3} = -1 \)
\( \sin \theta = \frac{0}{3} = 0 \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \cos \pi = -1 \) અને \( \sin \pi = 0 \).
આથી, \( \theta = \pi \).
તેથી, સંકર સંખ્યાનું ધ્રુવીય સ્વરૂપ \( z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \) છે.
\( z = 3(\cos \pi + i \sin \pi) \)
In simple words: સંકર સંખ્યા \( z = -3 \) ને \( -3 + 0i \) તરીકે લખી શકાય છે. અહીં \( x = -3 \) અને \( y = 0 \) છે. માનાંક \( r = 3 \) છે. \( \cos \theta = -1 \) અને \( \sin \theta = 0 \) હોવાથી, કોણાંક \( \theta = \pi \) મળે છે. તેથી, ધ્રુવીય સ્વરૂપ \( 3(\cos \pi + i \sin \pi) \) છે.

Exam Tip: વાસ્તવિક ધરી પર આવેલી સંકર સંખ્યાઓ (જ્યાં \( y = 0 \) હોય) માટે, કોણાંક 0 જો \( x > 0 \) હોય અથવા \( \pi \) જો \( x < 0 \) હોય.

Question 7. \( \sqrt{3} + i \)
Answer: અહીં, આપેલ સંકર સંખ્યા \( z = \sqrt{3} + i \) છે.
આ સંખ્યાને \( z = x + iy \) સાથે સરખાવતા, આપણે મેળવીએ છીએ કે \( x = \sqrt{3} \) અને \( y = 1 \).
હવે, માનાંક \( r \) શોધવા માટે, આપણે સૂત્ર \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (1)^2} \)
\( = \sqrt{3 + 1} \)
\( = \sqrt{4} \)
\( = 2 \)
માનાંક \( r = 2 \) મળે છે.
હવે, કોણાંક \( \theta \) શોધવા માટે, આપણે \( \cos \theta = \frac{x}{r} \) અને \( \sin \theta = \frac{y}{r} \) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \sin \theta = \frac{1}{2} \)
કારણ કે \( \cos \theta \) અને \( \sin \theta \) બંને ધન છે, કોણાંક પ્રથમ ચરણમાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) અને \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \).
આથી, \( \theta = \frac{\pi}{6} \).
તેથી, સંકર સંખ્યાનું ધ્રુવીય સ્વરૂપ \( z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \) છે.
\( z = 2 \left( \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) \right) \)
In simple words: \( z = \sqrt{3} + i \) માટે, \( x = \sqrt{3} \) અને \( y = 1 \) છે. માનાંક \( r = 2 \) મળ્યો. \( \cos \theta = \sqrt{3}/2 \) અને \( \sin \theta = 1/2 \) હોવાથી, કોણાંક \( \theta = \pi/6 \) મળે છે. તેથી, ધ્રુવીય સ્વરૂપ \( 2(\cos(\pi/6) + i \sin(\pi/6)) \) છે.

Exam Tip: જ્યારે \( x \) અને \( y \) બંને ધન હોય, ત્યારે કોણાંક પ્રથમ ચરણમાં હોય છે અને સીધો જ સંદર્ભ કોણ જેટલો હોય છે.

Question 8. \( i \)
Answer: અહીં, આપેલ સંકર સંખ્યા \( z = i \) છે.
આ સંખ્યાને \( z = x + iy \) સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે, જ્યાં \( z = 0 + 1i \).
આથી, આપણે મેળવીએ છીએ કે \( x = 0 \) અને \( y = 1 \).
હવે, માનાંક \( r \) શોધવા માટે, આપણે સૂત્ર \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( r = \sqrt{(0)^2 + (1)^2} \)
\( = \sqrt{0 + 1} \)
\( = \sqrt{1} \)
\( = 1 \)
માનાંક \( r = 1 \) મળે છે.
હવે, કોણાંક \( \theta \) શોધવા માટે, આપણે \( \cos \theta = \frac{x}{r} \) અને \( \sin \theta = \frac{y}{r} \) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( \cos \theta = \frac{0}{1} = 0 \)
\( \sin \theta = \frac{1}{1} = 1 \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \cos \frac{\pi}{2} = 0 \) અને \( \sin \frac{\pi}{2} = 1 \).
આથી, \( \theta = \frac{\pi}{2} \).
તેથી, સંકર સંખ્યાનું ધ્રુવીય સ્વરૂપ \( z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \) છે.
\( z = 1 \left( \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) \right) \)
\( z = \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) \)
In simple words: સંકર સંખ્યા \( z = i \) ને \( 0 + 1i \) તરીકે લખી શકાય છે. અહીં \( x = 0 \) અને \( y = 1 \) છે. માનાંક \( r = 1 \) મળ્યો. \( \cos \theta = 0 \) અને \( \sin \theta = 1 \) હોવાથી, કોણાંક \( \theta = \pi/2 \) મળે છે. તેથી, ધ્રુવીય સ્વરૂપ \( \cos(\pi/2) + i \sin(\pi/2) \) છે.

Exam Tip: કાલ્પનિક ધરી પર આવેલી સંકર સંખ્યાઓ (જ્યાં \( x = 0 \) હોય) માટે, કોણાંક \( \frac{\pi}{2} \) જો \( y > 0 \) હોય અથવા \( -\frac{\pi}{2} \) જો \( y < 0 \) હોય.