GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 2 સંબંધ અને વિધેયો Exercise 2.2

Question 1. જો \( A = \{1, 2, 3,..., 14\} \) અને \( R = \{(x, y): 3x - y = 0; \text{ જ્યાં } x, y \in A\} \) હોય, તો \( A \) થી \( A \) નો સંબંધ \( R \) હોય, તો \( R \) નો પ્રદેશ, સહપ્રદેશ અને વિસ્તાર મેળવો.
Answer: અહીં, ગણ \( A = \{1, 2, 3,..., 14\} \) આપેલ છે અને સંબંધ \( R = \{(x, y): 3x - y = 0; \text{ જ્યાં } x, y \in A\} \) છે.
સંબંધના નિયમ મુજબ, \( 3x - y = 0 \), જેનો અર્થ થાય છે કે \( y = 3x \).
હવે, આપણે \( x \) ની કિંમતો \( A \) માંથી લઈને \( y \) ની કિંમતો શોધીશું:
જ્યારે \( x = 1 \), ત્યારે \( y = 3(1) = 3 \).
જ્યારે \( x = 2 \), ત્યારે \( y = 3(2) = 6 \).
જ્યારે \( x = 3 \), ત્યારે \( y = 3(3) = 9 \).
જ્યારે \( x = 4 \), ત્યારે \( y = 3(4) = 12 \).
જો આપણે \( x = 5 \) લઈએ, તો \( y = 3(5) = 15 \) થશે. પરંતુ \( 15 \) એ ગણ \( A \) માં નથી.
આથી, \( x \) ની કિંમત 5 કે તેથી વધુ લઈ શકાશે નહીં, કારણ કે \( y \) ની કિંમત \( A \) માં હોવી જોઈએ.
તેથી, \( x \) ની કિંમતો ફક્ત \( 1, 2, 3, 4 \) જ લઈ શકાય છે.
આથી, સંબંધ \( R \) ના ઘટકો આ પ્રમાણે મળશે:
\( R = \{(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12)\} \)
સંબંધ \( R \) નો પ્રદેશ એ ક્રમયુક્ત જોડના પ્રથમ ઘટકોનો ગણ છે.
પ્રદેશ \( = \{1, 2, 3, 4\} \)
સંબંધ \( R \) નો વિસ્તાર એ ક્રમયુક્ત જોડના બીજા ઘટકોનો ગણ છે.
વિસ્તાર \( = \{3, 6, 9, 12\} \)
સહપ્રદેશ એ સંબંધ જે ગણ પર વ્યાખ્યાયિત હોય તે બીજો ગણ છે, જે અહીં \( A \) છે.
સહપ્રદેશ \( = A = \{1, 2, 3,..., 14\} \)
In simple words: પહેલા સંબંધનો નિયમ \( y = 3x \) વાપરો. પછી \( x \) ની કિંમતો \( 1 \) થી \( 4 \) સુધી મૂકીને \( y \) ની કિંમતો મેળવો, કારણ કે \( y \) પણ \( A \) માં હોવો જોઈએ. સંબંધના પહેલા ઘટકોનો સમૂહ પ્રદેશ છે અને બીજા ઘટકોનો સમૂહ વિસ્તાર છે. સહપ્રદેશ હંમેશા આખો ગણ \( A \) હોય છે.

Exam Tip: સંબંધનો પ્રદેશ, વિસ્તાર અને સહપ્રદેશ શોધવા માટે, સંબંધના નિયમને ધ્યાનથી સમજો અને પછી આપેલા ગણોમાંથી કઈ કિંમતો સંબંધને સંતોષે છે તે નક્કી કરો.

Question 2. \( R = \{(x, y) : y = x + 5, x \) એ \( 4 \) થી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે; \( x, y \in N\} \) થાય તે રીતે એક સંબંધ \( N \) પર વ્યાખ્યાયિત છે. \( R \) ને યાદીની રીતે લખો. \( R \) નો પ્રદેશ તેમજ વિસ્તાર મેળવો.
Answer: અહીં, સંબંધ \( R = \{(x, y) : y = x + 5, x \) એ \( 4 \) થી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે; \( x, y \in N\} \) છે.
કારણ કે \( x \) એ \( 4 \) થી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે, આપણે \( x \) ની કિંમતો \( 1, 2, 3 \) લઈ શકીએ.
હવે, સંબંધના નિયમ \( y = x + 5 \) નો ઉપયોગ કરીને \( y \) ની કિંમતો શોધીએ:
જ્યારે \( x = 1 \) હોય, ત્યારે \( y = 1 + 5 = 6 \).
જ્યારે \( x = 2 \) હોય, ત્યારે \( y = 2 + 5 = 7 \).
જ્યારે \( x = 3 \) હોય, ત્યારે \( y = 3 + 5 = 8 \).
આથી, સંબંધ \( R \) ને યાદીની રીતે લખતા:
\( R = \{(1, 6), (2, 7), (3, 8)\} \)
સંબંધ \( R \) નો પ્રદેશ એ ક્રમયુક્ત જોડના પહેલા ઘટકોનો સમૂહ છે.
પ્રદેશ \( = \{1, 2, 3\} \)
સંબંધ \( R \) નો વિસ્તાર એ ક્રમયુક્ત જોડના બીજા ઘટકોનો સમૂહ છે.
વિસ્તાર \( = \{6, 7, 8\} \)
In simple words: પહેલા \( x \) ની કિંમતો \( 1, 2, 3 \) નક્કી કરો કારણ કે તે \( 4 \) થી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે. પછી \( y = x + 5 \) નો ઉપયોગ કરીને દરેક \( x \) માટે \( y \) શોધો. જે જોડીઓ મળે, તે સંબંધ છે. સંબંધના પહેલા ઘટકો પ્રદેશ અને બીજા ઘટકો વિસ્તાર છે.

Exam Tip: સંબંધને યાદીની રીતે લખવા માટે, આપેલ શરતોને સંતોષતી દરેક શક્ય ક્રમયુક્ત જોડને કાળજીપૂર્વક શોધો. પ્રદેશ અને વિસ્તાર માટે ઘટકોનું પુનરાવર્તન ન કરો અને ગણ સ્વરૂપમાં લખો.

Question 3. જો \( A = \{1, 2, 3, 5\} \) અને \( B = \{4, 6, 9\} \), \( R = \{(x, y) : x \) અને \( y \) નો તફાવત અયુગ્મ સંખ્યા છે; \( x \in A, y \in B\} \) થાય તે રીતે સંબંધ \( A \) થી \( B \) પર વ્યાખ્યાયિત છે. તેને યાદીની રીતે લખો.
Answer: અહીં, ગણ \( A = \{1, 2, 3, 5\} \) અને \( B = \{4, 6, 9\} \) આપેલા છે.
સંબંધ \( R = \{(x, y) : x \) અને \( y \) નો તફાવત અયુગ્મ સંખ્યા છે; \( x \in A, y \in B\} \) છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે બે સંખ્યાઓનો તફાવત અયુગ્મ ત્યારે જ હોય જ્યારે તેમાંથી એક સંખ્યા યુગ્મ હોય અને બીજી સંખ્યા અયુગ્મ હોય.
ગણ \( A \) માં અયુગ્મ સંખ્યાઓ \( \{1, 3, 5\} \) અને યુગ્મ સંખ્યા \( \{2\} \) છે.
ગણ \( B \) માં યુગ્મ સંખ્યાઓ \( \{4, 6\} \) અને અયુગ્મ સંખ્યા \( \{9\} \) છે.
ચાલો આપણે \( x \in A \) અને \( y \in B \) માટે \( |x - y| \) ની કિંમતો ચકાસીએ:
\( |1 - 4| = 3 \) (અયુગ્મ)
\( |1 - 6| = 5 \) (અયુગ્મ)
\( |1 - 9| = 8 \) (યુગ્મ)
\( |2 - 4| = 2 \) (યુગ્મ)
\( |2 - 6| = 4 \) (યુગ્મ)
\( |2 - 9| = 7 \) (અયુગ્મ)
\( |3 - 4| = 1 \) (અયુગ્મ)
\( |3 - 6| = 3 \) (અયુગ્મ)
\( |3 - 9| = 6 \) (યુગ્મ)
\( |5 - 4| = 1 \) (અયુગ્મ)
\( |5 - 6| = 1 \) (અયુગ્મ)
\( |5 - 9| = 4 \) (યુગ્મ)
તેથી, સંબંધ \( R \) માં નીચેની જોડીઓનો સમાવેશ થાય છે:
\( R = \{(1, 4), (1, 6), (2, 9), (3, 4), (3, 6), (5, 4), (5, 6)\} \)
In simple words: આપણે \( A \) માંથી \( x \) અને \( B \) માંથી \( y \) એવી રીતે પસંદ કરવાની છે કે તેમની બાદબાકી અયુગ્મ સંખ્યા આપે. આ ત્યારે જ થાય જ્યારે એક સંખ્યા યુગ્મ હોય અને બીજી અયુગ્મ. દરેક શક્ય જોડી ચકાસીને સંબંધ \( R \) ના ઘટકો શોધી શકાય છે.

Exam Tip: જ્યારે તફાવત અયુગ્મ સંખ્યા હોવાની શરત હોય, ત્યારે યાદ રાખો કે યુગ્મ અને અયુગ્મ સંખ્યાના તફાવત હંમેશા અયુગ્મ હોય છે. આ નિયમનો ઉપયોગ કરીને ઝડપથી જોડીઓ શોધી શકાય છે.

Question 4. નીચે આપેલી આકૃતિમાં P થી Q નો સંબંધ દર્શાવેલ છે. આ સંબંધને (1) ગુણધર્મની રીતે (2) યાદીની રીતે લખો. તેનો પ્રદેશ અને વિસ્તાર શું થશે?
Answer: અહીં, આપેલી આકૃતિમાં દર્શાવેલ સંબંધને અવલોકન કરતા, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે:
જ્યારે P માંથી 5 લેવાય છે, ત્યારે Q માં 3 મળે છે, એટલે કે \( 5 - 2 = 3 \)
જ્યારે P માંથી 6 લેવાય છે, ત્યારે Q માં 4 મળે છે, એટલે કે \( 6 - 2 = 4 \)
જ્યારે P માંથી 7 લેવાય છે, ત્યારે Q માં 5 મળે છે, એટલે કે \( 7 - 2 = 5 \)
આથી, સંબંધ એવો છે કે \( x \) એ \( y \) કરતાં \( 2 \) વધારે છે, એટલે કે \( x = y + 2 \), અથવા \( y = x - 2 \).
(1) આ સંબંધને ગુણધર્મની રીતે લખતાં (Set-builder form):
\( R = \{(x, y) : y = x - 2; x \in P, y \in Q\} \)
(2) આ સંબંધને યાદીની રીતે લખતાં (Roster form):
\( R = \{(5, 3), (6, 4), (7, 5)\} \)
સંબંધ \( R \) નો પ્રદેશ એ ક્રમયુક્ત જોડના પહેલા ઘટકોથી બનતો ગણ છે.
પ્રદેશ \( = \{5, 6, 7\} \)
સંબંધ \( R \) નો વિસ્તાર એ ક્રમયુક્ત જોડના બીજા ઘટકોથી બનતો ગણ છે.
વિસ્તાર \( = \{3, 4, 5\} \)
In simple words: ચિત્રમાં બતાવેલા તીરો જુઓ. P માંની દરેક સંખ્યા Q માંની સંખ્યા કરતાં બે મોટી છે. તેથી, સંબંધનો નિયમ \( y = x - 2 \) છે. આ નિયમ અને જોડીઓ લખીને પ્રદેશ અને વિસ્તાર શોધો.

Exam Tip: આકૃતિ આધારિત પ્રશ્નોમાં, તીરના નિશાન ધ્યાનથી જુઓ અને \( x \) અને \( y \) વચ્ચેનો સંબંધ શોધવા માટે દરેક જોડીને ચકાસો. પછી તે સંબંધને ગણધર્મ અને યાદીની રીતે લખો.

Question 5. જો \( A = \{1, 2, 3, 4, 6\} \), \( R = \{(a, b) : a, b \in A, b \) એ \( a \) વડે વિભાજ્ય છે.\} થાય તે રીતે સંબંધ \( R \) એ \( A \) પર વ્યાખ્યાયિત છે, (1) \( R \) ને યાદીની રીતે લખો. (2) \( R \) નો પ્રદેશ મેળવો. (3) \( R \) નો વિસ્તાર મેળવો.
Answer: અહીં, ગણ \( A = \{1, 2, 3, 4, 6\} \) આપેલ છે.
સંબંધ \( R = \{(a, b) : a, b \in A, b \) એ \( a \) વડે વિભાજ્ય છે.\} છે.
(1) \( R \) ને યાદીની રીતે લખતાં (Roster form):
આપણે \( a \in A \) અને \( b \in A \) હોય તેવી બધી જોડીઓ શોધીશું જ્યાં \( b \) ને \( a \) વડે નિશેષ ભાગી શકાય.
જો \( a = 1 \): \( 1 \) એ \( 1, 2, 3, 4, 6 \) ને વિભાજિત કરે છે. \(\implies (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6) \)
જો \( a = 2 \): \( 2 \) એ \( 2, 4, 6 \) ને વિભાજિત કરે છે. \(\implies (2, 2), (2, 4), (2, 6) \)
જો \( a = 3 \): \( 3 \) એ \( 3, 6 \) ને વિભાજિત કરે છે. \(\implies (3, 3), (3, 6) \)
જો \( a = 4 \): \( 4 \) એ \( 4 \) ને વિભાજિત કરે છે. \(\implies (4, 4) \)
જો \( a = 6 \): \( 6 \) એ \( 6 \) ને વિભાજિત કરે છે. \(\implies (6, 6) \)
આમ, સંબંધ \( R \) નીચે મુજબ છે:
\( R = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (6, 6)\} \)
(2) \( R \) નો પ્રદેશ એ સંબંધ \( R \) માંની ક્રમયુક્ત જોડના પ્રથમ ઘટકોથી બનતો ગણ છે.
પ્રદેશ \( = \{1, 2, 3, 4, 6\} \)
(3) \( R \) નો વિસ્તાર એ સંબંધ \( R \) માંની ક્રમયુક્ત જોડના બીજા ઘટકોથી બનતો ગણ છે.
વિસ્તાર \( = \{1, 2, 3, 4, 6\} \)
In simple words: પહેલા સંબંધનો નિયમ સમજો: \( b \) ને \( a \) વડે ભાગી શકાય. પછી ગણ \( A \) માંથી \( a \) અને \( b \) ની બધી શક્ય જોડીઓ શોધી કાઢો. આ જોડીઓ સંબંધ \( R \) બનાવે છે. સંબંધના પહેલા ઘટકો પ્રદેશ છે અને બીજા ઘટકો વિસ્તાર છે.

Exam Tip: 'વિભાજ્ય છે' જેવા સંબંધોમાં, દરેક ઘટક માટે કાળજીપૂર્વક ચકાસણી કરો. જોડીઓને ગોઠવીને લખવાથી કોઈ જોડી ચૂકી ન જાય તેની ખાતરી કરી શકાય છે. પ્રદેશ અને વિસ્તાર માટે, ખાતરી કરો કે તમે ફક્ત અનન્ય ઘટકોનો જ સમાવેશ કરો છો.

Question 6. \( R = \{(x, x + 5) : x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\} \) થાય તે રીતે વ્યાખ્યાયિત સંબંધનો પ્રદેશ તેમજ વિસ્તાર મેળવો.
Answer: અહીં, સંબંધ \( R = \{(x, x + 5) : x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\} \) આપેલ છે.
સંબંધના વ્યાખ્યા મુજબ, ક્રમયુક્ત જોડનો પ્રથમ ઘટક \( x \) છે અને બીજો ઘટક \( x + 5 \) છે.
અહીં \( x \) ની કિંમતોનો ગણ \( \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} \) સ્પષ્ટપણે આપેલ છે.
સંબંધ \( R \) નો પ્રદેશ એ ક્રમયુક્ત જોડના પ્રથમ ઘટકોનો ગણ છે, જે સીધેસીધો \( x \) ની કિંમતોનો ગણ છે.
પ્રદેશ \( = \{x : x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\} \)
પ્રદેશ \( = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} \)
સંબંધ \( R \) નો વિસ્તાર એ ક્રમયુક્ત જોડના બીજા ઘટકોનો ગણ છે, જે \( x + 5 \) ની કિંમતોનો ગણ છે.
ચાલો \( x \) ની દરેક કિંમત માટે \( x + 5 \) શોધીએ:
જો \( x = 0 \), તો \( x + 5 = 0 + 5 = 5 \)
જો \( x = 1 \), તો \( x + 5 = 1 + 5 = 6 \)
જો \( x = 2 \), તો \( x + 5 = 2 + 5 = 7 \)
જો \( x = 3 \), તો \( x + 5 = 3 + 5 = 8 \)
જો \( x = 4 \), તો \( x + 5 = 4 + 5 = 9 \)
જો \( x = 5 \), તો \( x + 5 = 5 + 5 = 10 \)
આમ, વિસ્તાર \( = \{5, 6, 7, 8, 9, 10\} \)
In simple words: સંબંધમાં, પહેલો નંબર \( x \) છે અને બીજો નંબર \( x+5 \) છે. \( x \) ના બધા જ શક્ય મૂલ્યો પ્રદેશ બનાવે છે. પછી \( x \) ના દરેક મૂલ્યમાં \( 5 \) ઉમેરીને જે સંખ્યાઓ મળે તે વિસ્તાર બનાવે છે.

Exam Tip: જ્યારે સંબંધને ગણધર્મ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે અને \( x \) માટેનો ગણ આપેલો હોય, ત્યારે પ્રદેશ સીધો \( x \) ના ગણમાંથી મળે છે. વિસ્તાર શોધવા માટે \( x \) ની દરેક કિંમતને સંબંધના નિયમમાં મૂકો.

Question 7. સંબંધ \( R = \{(x, x^3) : x \) એ \( 10 \) કરતાં નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.\} તેને યાદીના સ્વરૂપમાં લખો.
Answer: અહીં, સંબંધ \( R = \{(x, x^3) : x \) એ \( 10 \) કરતાં નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.\} આપેલ છે.
સૌપ્રથમ, આપણે \( 10 \) કરતાં નાની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ શોધીશું.
\( 10 \) કરતાં નાની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ \( 2, 3, 5, 7 \) છે.
હવે, સંબંધના નિયમ \( (x, x^3) \) નો ઉપયોગ કરીને દરેક અવિભાજ્ય સંખ્યા માટે ક્રમયુક્ત જોડીઓ બનાવીશું:
જ્યારે \( x = 2 \), ત્યારે \( x^3 = 2^3 = 8 \). \(\implies (2, 8) \)
જ્યારે \( x = 3 \), ત્યારે \( x^3 = 3^3 = 27 \). \(\implies (3, 27) \)
જ્યારે \( x = 5 \), ત્યારે \( x^3 = 5^3 = 125 \). \(\implies (5, 125) \)
જ્યારે \( x = 7 \), ત્યારે \( x^3 = 7^3 = 343 \). \(\implies (7, 343) \)
તેથી, સંબંધ \( R \) ને યાદીના સ્વરૂપમાં લખતાં:
\( R = \{(2, 8), (3, 27), (5, 125), (7, 343)\} \)
In simple words: પહેલા \( 10 \) થી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ શોધો. પછી દરેક સંખ્યાનો ઘન (cube) કરો. સંખ્યા અને તેના ઘનની જોડી બનાવીને સંબંધ \( R \) તૈયાર કરો.

Exam Tip: અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની વ્યાખ્યા યાદ રાખો: તે સંખ્યાઓ જે ફક્ત 1 અને પોતાના વડે જ વિભાજ્ય હોય. ઘાતાંકને કાળજીપૂર્વક ગણો અને દરેક ક્રમયુક્ત જોડીને યોગ્ય રીતે લખો.

Question 8. જો \( A = \{x, y, z\} \) અને \( B = \{1, 2\} \), તો \( A \) થી \( B \) ના સંબંધોની સંખ્યા શોધો.
Answer: અહીં, ગણ \( A = \{x, y, z\} \) અને ગણ \( B = \{1, 2\} \) આપેલ છે.
સૌપ્રથમ, આપણે ગણ \( A \) માં ઘટકોની સંખ્યા \( n(A) \) અને ગણ \( B \) માં ઘટકોની સંખ્યા \( n(B) \) શોધીશું.
\( n(A) = 3 \) (કારણ કે ગણ \( A \) માં ત્રણ ઘટકો છે: \( x, y, z \))
\( n(B) = 2 \) (કારણ કે ગણ \( B \) માં બે ઘટકો છે: \( 1, 2 \))
હવે, \( A \times B \) માં ઘટકોની કુલ સંખ્યા \( n(A \times B) \) શોધીશું.
\( n(A \times B) = n(A) \cdot n(B) = 3 \times 2 = 6 \)
કોઈપણ ગણ \( X \) થી ગણ \( Y \) પરના સંબંધોની કુલ સંખ્યા \( 2^{n(X \times Y)} \) ના સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આથી, \( A \) થી \( B \) પરના સંબંધોની કુલ સંખ્યા \( 2^{n(A \times B)} \) થશે.
\( 2^{n(A \times B)} = 2^6 \)
\( 2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64 \)
આમ, \( A \) થી \( B \) પરના સંબંધોની કુલ સંખ્યા \( 64 \) છે.
In simple words: પહેલા ગણ \( A \) અને \( B \) માં કેટલા સભ્યો છે તે ગણો. પછી તે સભ્યોનો ગુણાકાર કરો. સંબંધોની કુલ સંખ્યા શોધવા માટે, \( 2 \) ની ઘાતમાં તે ગુણાકારનો આંકડો મૂકો. આ તમને કુલ સંબંધોની સંખ્યા આપશે.

Exam Tip: ગણ \( A \) થી ગણ \( B \) પરના સંબંધોની સંખ્યા શોધવા માટેનું સૂત્ર \( 2^{n(A) \cdot n(B)} \) હંમેશા યાદ રાખો. \( A \times B \) માં જેટલા ઘટકો હોય, તેટલી જ \( 2 \) ની ઘાત મૂકવામાં આવે છે.

Question 9. \( R \) એ \( Z \) પર \( R = \{(a, b) : a, b \in Z, a - b \) એ પૂર્ણાંક છે.\} દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. \( R \) નો પ્રદેશ અને વિસ્તાર મેળવો.
Answer: અહીં, સંબંધ \( R \) એ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના ગણ \( Z \) પર વ્યાખ્યાયિત છે, જ્યાં \( R = \{(a, b) : a, b \in Z, a - b \) એ પૂર્ણાંક છે.\}
આપણે જાણીએ છીએ કે જો \( a \) અને \( b \) બંને પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ હોય, તો તેમનો તફાવત \( (a - b) \) હંમેશા એક પૂર્ણાંક સંખ્યા જ હોય છે.
ઉદાહરણ તરીકે, જો \( a = 5 \) અને \( b = 2 \), તો \( a - b = 3 \), જે પૂર્ણાંક છે.
જો \( a = -3 \) અને \( b = 4 \), તો \( a - b = -7 \), જે પૂર્ણાંક છે.
જો \( a = 0 \) અને \( b = 5 \), તો \( a - b = -5 \), જે પૂર્ણાંક છે.
આનો અર્થ એ થાય કે \( Z \) માંથી કોઈપણ બે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ \( a \) અને \( b \) લઈએ, તો તેમની જોડી \( (a, b) \) સંબંધ \( R \) માં હશે જ, કારણ કે \( a - b \) હંમેશા પૂર્ણાંક હશે.
તેથી, સંબંધ \( R \) માં \( Z \times Z \) ની બધી જ ક્રમયુક્ત જોડીઓનો સમાવેશ થાય છે.
સંબંધ \( R \) નો પ્રદેશ એ ક્રમયુક્ત જોડના પ્રથમ ઘટકોનો ગણ છે. અહીં, પ્રથમ ઘટક \( a \) કોઈ પણ પૂર્ણાંક સંખ્યા હોઈ શકે છે.
પ્રદેશ \( = Z \)
સંબંધ \( R \) નો વિસ્તાર એ ક્રમયુક્ત જોડના બીજા ઘટકોનો ગણ છે. અહીં, બીજો ઘટક \( b \) કોઈ પણ પૂર્ણાંક સંખ્યા હોઈ શકે છે.
વિસ્તાર \( = Z \)
In simple words: જો બે સંખ્યાઓ પૂર્ણાંક હોય, તો તેમની બાદબાકી પણ હંમેશા પૂર્ણાંક જ હોય છે. આથી, \( Z \) માંથી કોઈપણ બે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ પસંદ કરી શકાય છે. તેથી, આ સંબંધનો પ્રદેશ અને વિસ્તાર બંને આખો પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો ગણ \( Z \) જ રહેશે.

Exam Tip: પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના ગુણધર્મો યાદ રાખો, ખાસ કરીને સરવાળા અને બાદબાકી માટે. જો \( a \in Z \) અને \( b \in Z \) હોય, તો \( a - b \) હંમેશા \( Z \) માં જ હોય છે, આનાથી પ્રદેશ અને વિસ્તાર સરળતાથી નક્કી કરી શકાય છે.