GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 2 સંબંધ અને વિધેયો Exercise 2.1

Question 1. જો \( (\frac{x}{3} + 1, \frac{y-2}{3}) = (\frac{5}{3}, \frac{1}{3}) \) હોય, તો x અને y શોધો.
Answer: અહીં, \( (\frac{x}{3} + 1, \frac{y-2}{3}) = (\frac{5}{3}, \frac{1}{3}) \) છે. આ ક્રમયુક્ત જોડ સમાન છે.
\( \implies \) તેથી, ક્રમવાર ઘટકો સમાન થાય.
\( \implies \frac{x}{3} + 1 = \frac{5}{3} \) અને \( \frac{y-2}{3} = \frac{1}{3} \)
\( \implies \frac{x}{3} = \frac{5}{3} - 1 \) અને \( \frac{y}{3} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \)
\( \implies \frac{x}{3} = \frac{5-3}{3} \) અને \( \frac{y}{3} = \frac{1+2}{3} \)
\( \implies \frac{x}{3} = \frac{2}{3} \) અને \( \frac{y}{3} = \frac{3}{3} \)
\( \implies x = 2 \) અને \( y = 1 \)
In simple words: જો બે જોડીઓ સરખી હોય, તો તેમના પહેલા ભાગ અને બીજા ભાગ પણ સરખા હોય છે. આપણે x અને y શોધવા માટે આ નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે બે ક્રમયુક્ત જોડીઓ સમાન હોય, ત્યારે તેમના અનુરૂપ ઘટકોને સમાન ગણીને સમીકરણો બનાવો અને તેમને ઉકેલો.

Question 2. જો ગણ Aમાં ૩ ઘટકો હોય અને ગણ B = {3, 4, 5}, તો \( (A \times B) \)ના ઘટકોની સંખ્યા શોધો.
Answer: અહીં, \( n (A) = 3 \) છે.
\( B = \{3, 4, 5\} \) .∴ \( n (B) = 3 \)
\( n (A \times B) = n (A) \cdot n (B) \)
\( n (A \times B) = 3 \times 3 = 9 \)
તેથી, \( A \times B \) ના ઘટકોની સંખ્યા 9 છે.
In simple words: A ગણમાં 3 વસ્તુઓ છે અને B ગણમાં પણ 3 વસ્તુઓ છે. જ્યારે આપણે A અને B ને ગુણીએ છીએ, ત્યારે કુલ 3 ગુણ્યા 3 એટલે કે 9 જોડીઓ બને છે.

Exam Tip: બે ગણોના કાર્તેઝિય ગુણાકારમાં ઘટકોની સંખ્યા શોધવા માટે, બંને ગણોના ઘટકોની સંખ્યાનો ગુણાકાર કરો.

Question 3. જો \( G = \{7, 8\} \) અને \( H = \{5, 4, 2\} \), તો \( G \times H \) અને \( H \times G \) શોધો.
Answer: અહીં, \( G = \{7, 8\} \) અને \( H = \{5, 4, 2\} \) છે.
\( G \times H = \{(7, 5), (7, 4), (7, 2), (8, 5), (8, 4), (8, 2)\} \)
અને \( H \times G = \{(5, 7), (5, 8), (4, 7), (4, 8), (2, 7), (2, 8)\} \)
In simple words: G અને H બે ગણ છે. \( G \times H \) માં G ના દરેક ઘટકને H ના દરેક ઘટક સાથે જોડીઓ બનાવીએ છીએ. \( H \times G \) માં H ના દરેક ઘટકને G ના દરેક ઘટક સાથે જોડીઓ બનાવીએ છીએ.

Exam Tip: કાર્તેઝિય ગુણાકાર \( A \times B \) માં, પહેલો ઘટક A માંથી અને બીજો ઘટક B માંથી લેવામાં આવે છે. યાદ રાખો કે \( A \times B \ne B \times A \) સિવાય કે \( A = B \) હોય.

Question 4. નીચે આપેલાં વિધાનોમાંથી કયું વિધાન સત્ય છે અને કયું વિધાન અસત્ય છે, તે જણાવો તથા અસત્ય વિધાન સત્ય બને તે રીતે ફરીથી લખો :
(1) જો \( P = \{m, n\} \) અને \( Q = \{n, m\} \), તો \( P \times Q = \{\{m, n), (n, m)\}\} \)
(2) જો A અને B અરિક્ત ગણો હોય, તો જ્યાં \( x \in A \) તથા \( y \in B \) હોય તેવી તમામ ક્રમયુક્ત જોડો \( (x, y) \) થી બનતો અરિક્ત ગણ \( A \times B \) છે.
(3) જો \( A = \{1, 2\}, B = \{3, 4\} \), તો \( A \times (B \cap \Phi) = \Phi \).
Answer:
(1) જો \( P = \{m, n\} \) અને \( Q = \{n, m\} \), તો \( P \times Q = \{(m, n), (m, m), (n, n), (n, m)\} \). આ વિધાન અસત્ય છે, કારણ કે અહીં, \( P \times Q = \{(m, n), (m, m), (n, n), (n, m)\} \) થાય.
(2) આપેલું વિધાન સત્ય છે.
(3) આપેલું વિધાન સત્ય છે.
In simple words: (1) આ વિધાન ખોટું છે કારણ કે \( P \times Q \) માં ચાર અલગ-અલગ જોડીઓ બનવી જોઈએ. (2) આ વિધાન સાચું છે કારણ કે \( A \times B \) એ A અને B ના બધા ઘટકોની જોડીઓનો સમૂહ છે. (3) આ વિધાન સાચું છે કારણ કે જો B માં કોઈ ઘટક નથી (કારણ કે તે \( \Phi \) સાથે છેદે છે), તો \( A \times B \) પણ ખાલી ગણ જ હશે.

Exam Tip: કાર્તેઝિય ગુણાકારની વ્યાખ્યા અને ખાલી ગણ \( \Phi \) સાથેના તેના ગુણધર્મોને સમજવું અસત્ય વિધાનોને ઓળખવામાં મદદ કરશે. યાદ રાખો કે \( A \times \Phi = \Phi \).

Question 5. જો \( A = \{-1, 1\} \), તો \( A \times A \times A \) મેળવો.
Answer: અહીં, \( A = \{-1, 1\} \)
∴ \( A \times A \times A = \{-1, 1\} \times \{-1, 1\} \times \{-1, 1\} \)
\( A \times A \times A = \{(-1, -1, -1), (-1, -1, 1), (-1, 1, -1), (-1, 1, 1), (1, -1, -1), (1, -1, 1), (1, 1, -1), (1, 1, 1)\} \)
In simple words: A ગણમાં -1 અને 1 છે. \( A \times A \times A \) એટલે A ના ઘટકોનો ઉપયોગ કરીને ત્રણ ઘટકોવાળી બધી શક્ય જોડીઓ બનાવવી.

Exam Tip: \( A \times A \times A \) માં, ત્રણેય ઘટકો A ગણમાંથી જ લેવાના હોય છે. જો A માં \( n \) ઘટકો હોય, તો \( A \times A \times A \) માં \( n^3 \) ઘટકો હશે.

Question 6. જો \( A \times B = \{(a, x), (a, y), (b, x), (b, y)\} \), તો A અને B શોધો.
Answer: અહીં, \( A \times B = \{(a, x), (a, u), (b, x), (b, y)\} \)
\( A \) એ \( A \times B \) ની ક્રમયુક્ત જોડના પ્રથમ ઘટકોનો ગણ છે.
∴ \( A = \{a, b\} \)
\( B \) એ \( A \times B \) ની ક્રમયુક્ત જોડના બીજા ઘટકોનો ગણ છે.
∴ \( B = \{x, y\} \)
In simple words: \( A \times B \) માં બનેલી જોડીઓમાં, પહેલો ઘટક હંમેશા A ગણમાંથી આવે છે અને બીજો ઘટક હંમેશા B ગણમાંથી આવે છે. તેથી, બધી જોડીઓના પહેલા ઘટકો ભેગા કરીને A ગણ બનાવો અને બધા બીજા ઘટકો ભેગા કરીને B ગણ બનાવો.

Exam Tip: \( A \times B \) માં, A એ પ્રથમ ઘટકોનો ગણ છે અને B એ બીજા ઘટકોનો ગણ છે. સમાન ઘટકોને ગણમાં એક જ વાર લખો.

Question 7. ધારો કે, \( A = \{1, 2\}, B = \{1, 2, 3, 4\}, C = \{5, 6\} \) અને \( D = \{5, 6, 7, 8\} \), તો નીચેનાં પરિણામો ચકાસો :
(1) \( A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C) \)
(2) \( A \times C \) એ \( B \times D \) નો ઉપગણ છે.
Answer: અહીં, \( A = \{1, 2\}, B = \{1, 2, 3, 4\}, C = \{5, 6\}, D = \{5, 6, 7, 8\} \).
(1) સૌપ્રથમ, \( B \cap C = \{1, 2, 3, 4\} \cap \{5, 6\} = \Phi \)
∴ ડાબી બાજુ \( = A \times (B \cap C) \)
\( = A \times \Phi = \Phi \)
હવે, જમણી બાજુ \( = (A \times B) \cap (A \times C) \)
\( A \times B = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)\} \)
\( A \times C = \{(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)\} \)
\( (A \times B) \cap (A \times C) = \Phi \)
∴ ડાબી બાજુ \( = \) જમણી બાજુ.
આમ, \( A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C) \)
(2) \( A \times C = \{1, 2\} \times \{5, 6\} \)
\( = \{(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)\} \)
અને \( B \times D = \{1, 2, 3, 4\} \times \{5, 6, 7, 8\} \)
\( = \{(1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)\} \)
અહીં, \( A \times C \) નો દરેક સભ્ય \( B \times D \) નો પણ સભ્ય છે.
∴ \( A \times C \subset B \times D \)
In simple words: (1) આપણે પહેલા B અને C નો છેદગણ શોધીએ છીએ, જે ખાલી ગણ આવે છે. પછી A નો ખાલી ગણ સાથે કાર્તેઝિય ગુણાકાર ખાલી ગણ જ આપે છે. બીજી બાજુ, A અને B નો ગુણાકાર અને A અને C નો ગુણાકાર કરીને તેમનો છેદગણ પણ ખાલી ગણ આવે છે. તેથી બંને બાજુઓ સરખી છે. (2) A અને C નો ગુણાકાર કરીને મળેલા દરેક ઘટક B અને D ના ગુણાકારમાંથી મળે છે, તેથી \( A \times C \) એ \( B \times D \) નો ઉપગણ છે.

Exam Tip: ગણ ક્રિયાઓના ગુણધર્મોને સમજવું ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. કાર્તેઝિય ગુણાકારનું વિતરણ નિયમ \( A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C) \) અને ઉપગણની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને આવા દાખલાઓને સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે.

Question 8. \( A = \{1, 2\} \) અને \( B = \{3, 4\} \), તો \( A \times B \) લખો. \( A \times B \) ને કેટલા ઉપગણો હશે? તે તમામ ઉપગણોની યાદી બનાવો.
Answer: અહીં, \( A = \{1, 2\} \) અને \( B = \{3, 4\} \)
∴ \( A \times B = \{(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)\} \)
અહીં, \( A \times B \) માં 4 સભ્યો છે.
\( A \times B \) ના ઉપગણોની સંખ્યા \( = 2^4 = 16 \) થશે.
\( A \times B \) ના ઉપગણો નીચે મુજબ છેઃ
\( \Phi \),
\( \{(1, 3)\} \),
\( \{(1, 4)\} \),
\( \{(2, 3)\} \),
\( \{(2, 4)\} \),
\( \{(1, 3), (1, 4)\} \),
\( \{(1, 3), (2, 3)\} \),
\( \{(1, 3), (2, 4)\} \),
\( \{(1, 4), (2, 3)\} \),
\( \{(1, 4), (2, 4)\} \),
\( \{(2, 3), (2, 4)\} \),
\( \{(1, 3), (1, 4), (2, 3)\} \),
\( \{(1, 3), (1, 4), (2, 4)\} \),
\( \{(1, 3), (2, 3), (2, 4)\} \),
\( \{(1, 4), (2, 3), (2, 4)\} \),
\( \{(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)\} \).
In simple words: પહેલા A અને B ના ઘટકોનો ઉપયોગ કરીને બધી શક્ય જોડીઓ બનાવીએ. પછી તે બધી જોડીઓનો ઉપયોગ કરીને અલગ-અલગ નાના ગણ બનાવીએ. જો કુલ 4 જોડીઓ હોય, તો \( 2 \times 2 \times 2 \times 2 \) એટલે કે 16 અલગ-અલગ ઉપગણ બનાવી શકાય.

Exam Tip: જો કોઈ ગણમાં \( n \) ઘટકો હોય, તો તેના ઉપગણોની સંખ્યા \( 2^n \) હોય છે. દરેક ઉપગણમાં ખાલી ગણ \( \Phi \) અને તે પોતે ગણ પણ શામેલ હોય છે. ઉપગણો લખતી વખતે કોઈ પણ ઘટક ભૂલી ન જાય તેનું ધ્યાન રાખો.

Question 9. જો \( n (A) = 8 \) અને \( n (B) = 2 \) હોય તેવા બે ગણો A અને B હોય અને ભિન્ન ઘટકો \( x, y \) અને \( z \) માટે \( (x, 1), (y, 2) (z, 1) \) એ \( A \times B \) ના ઘટકો હોય, તો A અને B શોધો.
Answer: અહીં, \( (x, 1) \in A \times B \implies x \in A \) અને \( 1 \in B \)
\( (y, 2) \in A \times B \implies y \in A \) અને \( 2 \in B \)
\( (z, 1) \in A \times B \implies z \in A \) અને \( 1 \in B \)
વળી, \( n (A) = 3 \) અને \( n (B) = 2 \) આપેલ છે.
∴ \( A = \{x, y, z\} \) અને \( B = \{1, 2\} \)
In simple words: \( A \times B \) માં આપેલી જોડીઓ પરથી A ના ઘટકો (પ્રથમ ઘટકો) અને B ના ઘટકો (બીજા ઘટકો) શોધો. કારણ કે x, y, z ભિન્ન ઘટકો છે, A માં {x, y, z} હશે. B માં 1 અને 2 છે.

Exam Tip: કાર્તેઝિય ગુણાકારમાં, પ્રથમ ઘટકો હંમેશા પ્રથમ ગણના સભ્યો હોય છે અને બીજા ઘટકો હંમેશા બીજા ગણના સભ્યો હોય છે. સેટના ઘટકો હંમેશા અનન્ય (unique) હોય છે, તેથી પુનરાવર્તિત ઘટકોને એક જ વાર લખવામાં આવે છે.

Question 10. જો કાર્તેઝિય ગુણાકાર \( A \times A \) ના ઘટકોની સંખ્યા 9 હોય અને તેમાંના બે ઘટકો \( (-1, 0) \) અને \( (0, 1) \) હોય, તો A શોધો તથા \( A \times A \) ના બાકીના ઘટકો લખો.
Answer: અહીં, \( n (A \times A) = 9 \) આપેલ છે.
\( n (A) \cdot n (A) = 9 \)
\( n (A) = 3 \)
વળી, \( (-1, 0) \in A \times A \implies -1 \in A \) અને \( 0 \in A \)
\( (0, 1) \in A \times A \implies 0 \in A \) અને \( 1 \in A \)
તથા \( n (A) = 3 \) છે.
∴ \( A = \{-1, 0, 1\} \)
∴ \( A \times A = \{-1, 0, 1\} \times \{-1, 0, 1\} \)
\( A \times A = \{(-1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (1, -1), (1, 0), (1, 1)\} \) આથી \( (-1, 0) \) અને \( (0, 1) \) સિવાયના \( A \times A \) ના અન્ય ઘટકો \( \{(-1, -1), (-1, 1), (0, -1), (0, 0), (1, -1), (1, 0), (1, 1)\} \) થશે.
In simple words: જો \( A \times A \) માં 9 ઘટકો હોય, તો A માં 3 ઘટકો હોવા જોઈએ (કારણ કે \( 3 \times 3 = 9 \)). આપેલા ઘટકો \( (-1, 0) \) અને \( (0, 1) \) પરથી, A માં -1, 0, 1 હોવા જોઈએ. હવે A ના આ ઘટકોનો ઉપયોગ કરીને \( A \times A \) ના બધા ઘટકો શોધો અને પછી આપેલા બે ઘટકોને તેમાંથી બાદ કરો.

Exam Tip: જો \( n(A \times A) = k \) હોય, તો \( n(A) = \sqrt{k} \) હોય છે. પછી \( A \times A \) ના બધા ઘટકો લખવા માટે, ગણ A ના ઘટકોનો ઉપયોગ કરીને બધી શક્ય ક્રમયુક્ત જોડીઓ બનાવો.