GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 2 સંબંધ અને વિધેયો Exercise 2.3

Question 1. નીચેના પૈકી કયો સંબંધ વિધેય છે? કારણ આપો. જો તે વિધેય હોય, તો તેનો પ્રદેશ અને વિસ્તાર શોધો.
(1){(2, 1), (5, 1), (8, 1), (11, 1), (14, 1), (17, 1)}
(2){(2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4), (10, 5), (12, 6), (14, 7)}
(3){(1, 3), (1, 5), (2, 5)}
Answer:
(1) અહીં, સંબંધ \( R = \{(2, 1), (5, 1), (8, 1), (11, 1), (14, 1), (17, 1)\} \) આપેલ છે. 2, 5, 8, 11, 14, 17 એ \( R \) ના પ્રદેશના ઘટકો છે અને તે દરેક ઘટકને અનુરૂપ એક અનન્ય પ્રતિબિંબ મળે છે. તેથી, આ સંબંધ \( R \) એક વિધેય છે. આ વિધેયનો પ્રદેશ \( = \{2, 5, 8, 11, 14, 17\} \) અને વિસ્તાર \( = \{1\} \) છે.
In simple words: આ સંબંધમાં, દરેક પ્રથમ અંક (ડોમેનનો ભાગ) ફક્ત એક જ બીજા અંક (રેન્જનો ભાગ) સાથે જોડાયેલો છે. આથી, તે એક કાર્ય છે.
(2) અહીં, સંબંધ \( R = \{(2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4), (10, 5), (12, 6), (14, 7)\} \) આપેલ છે. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 એ \( R \) ના પ્રદેશના ઘટકો છે અને તે દરેક ઘટકને અનુરૂપ એક અનન્ય પ્રતિબિંબ મળે છે. તેથી, આ સંબંધ \( R \) એક વિધેય છે. આ વિધેયનો પ્રદેશ \( = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\} \) અને વિસ્તાર \( = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \).
In simple words: આ સંબંધમાં પણ દરેક પ્રથમ અંક ફક્ત એક જ બીજા અંક સાથે જોડાયેલો છે, તેથી તે પણ એક કાર્ય ગણાય છે.
(3) અહીં, સંબંધ \( R = \{(1, 3), (1, 5), (2, 5)\} \) આપેલ છે. \( R \) ના પ્રદેશના ઘટકો 1 અને 2 છે. ઘટક 1 ને બે પ્રતિબિંબ 3 અને 5 મળે છે. તેથી, આ સંબંધ વિધેય નથી.
In simple words: અહીં, પ્રથમ અંક 1 ને બે અલગ-અલગ બીજા અંક (3 અને 5) મળે છે, જે કાર્યના નિયમનો ભંગ કરે છે, તેથી આ સંબંધ કાર્ય નથી.

Exam Tip: વિધેય (function) માં, પ્રદેશનો દરેક ઘટક ફક્ત એક જ પ્રતિબિંબ ધરાવતો હોવો જોઈએ. જો પ્રદેશના કોઈ ઘટકને બે કે તેથી વધુ પ્રતિબિંબ હોય, તો તે વિધેય નથી.

Question 2. નીચેનાં વાસ્તવિક વિધેયના પ્રદેશ અને વિસ્તાર શોધો :
(1) \( f (x) = - |x| \)
(2) \( f (x) = \sqrt{9-x^2} \)
Answer:
(1) \( f(x) = -|x| \). અહીં, બધી જ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે \( f(x) = -|x| \) વ્યાખ્યાયિત થશે. તેથી, \( f \) નો પ્રદેશ \( R \) છે. હવે, \( x \in R \) માટે \( |x| \ge 0 \) થાય જ.
\( \implies -|x| \le 0 \).
\( \implies f(x) \le 0 \).
તેથી, \( f \) નો વિસ્તાર \( (-\infty, 0] \) છે.
In simple words: આ ફંક્શનમાં, કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યા મૂકી શકાય છે. પરંતુ આઉટપુટ હંમેશા શૂન્ય અથવા નકારાત્મક જ મળશે.
(2) \( f(x) = \sqrt{9-x^2} \). અહીં, \( f(x) = \sqrt{9-x^2} \) વ્યાખ્યાયિત થવા માટે \( 9 - x^2 \ge 0 \) હોવું જોઈએ.
\( \implies 9 \ge x^2 \).
એટલે કે, \( x^2 \le 9 \).
\( \implies x \in [-3, 3] \).
તેથી, \( f \) નો પ્રદેશ \( [-3, 3] \) છે. હવે, \( x \in [-3, 3] \) માટે, \( -3 \le x \le 3 \).
\( \implies 0 \le x^2 \le 9 \).
\( \implies 0 \le 9 - x^2 \le 9 \).
\( \implies 0 \le \sqrt{9-x^2} \le \sqrt{9} \).
\( \implies 0 \le f(x) \le 3 \).
તેથી, \( f \) નો વિસ્તાર \( [0, 3] \) છે.
In simple words: આ ફંક્શનમાં, તમે x ની કિંમત -3 થી 3 સુધી જ મૂકી શકો છો. આઉટપુટ હંમેશા 0 થી 3 વચ્ચેની સંખ્યા હશે.

Exam Tip: વર્ગમૂળ વાળા વિધેયનો પ્રદેશ શોધતી વખતે, વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત હંમેશા શૂન્ય અથવા ધન હોવી જોઈએ. મોડ્યુલસ વિધેયનો પ્રદેશ હંમેશા \( R \) હોય છે.

Question 3. \( f (x) = 2x - 5 \) થી વ્યાખ્યાયિત વિધેય માટે નીચેની કિંમતો શોધો :
(1) \( f (0) \)
(2) \( f(7) \)
(3) \( f(-3) \)
Answer:
(1) \( f(0) = 2(0) - 5 = 0 - 5 = -5 \). તેથી, \( f(0) = -5 \).
In simple words: જ્યારે x ની કિંમત 0 હોય, ત્યારે ફંક્શનનું મૂલ્ય -5 મળે છે.
(2) \( f(7) = 2(7) - 5 = 14 - 5 = 9 \). તેથી, \( f(7) = 9 \).
In simple words: x ની કિંમત 7 લેતા, ફંક્શનનું પરિણામ 9 આવે છે.
(3) \( f(-3) = 2(-3) - 5 = -6 - 5 = -11 \). તેથી, \( f(-3) = -11 \).
In simple words: જો x ને -3 લઈએ, તો ફંક્શનનું આઉટપુટ -11 થાય છે.

Exam Tip: વિધેયનું મૂલ્ય શોધવા માટે, આપેલ x ની કિંમતને વિધેયના સૂત્રમાં મૂકો અને સાદુરૂપ આપો.

Question 4. વિધેય \( t \) એ સેલ્સિયસમાં ઉષ્ણતામાન અને ફેરનહીટમાં ઉષ્ણતામાન વચ્ચે રૂપાંતર કરતું સૂત્ર \( t(C) = \frac{9 C}{5} + 32 \) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય, તો નીચેનાં મૂલ્યો શોધો :
(1) \( t (0) \)
(2) \( t (28) \)
(3) \( t(-10) \)
(4) જો \( t (C) = 212 \) હોય, તો \( C \) શોધો.
Answer:
અહીં, \( t(C) = \frac{9C}{5} + 32 \).
(1) \( t(0) = \frac{9(0)}{5} + 32 = 0 + 32 = 32 \).
In simple words: 0 ડિગ્રી સેલ્સિયસ એટલે 32 ડિગ્રી ફેરનહીટ થાય છે.
(2) \( t(28) = \frac{9(28)}{5} + 32 = \frac{252}{5} + 32 = \frac{252 + 160}{5} = \frac{412}{5} \).
In simple words: 28 ડિગ્રી સેલ્સિયસને ફેરનહીટમાં બદલતા, આપણને \( \frac{412}{5} \) ફેરનહીટ મળે છે.
(3) \( t(-10) = \frac{9(-10)}{5} + 32 = \frac{-90}{5} + 32 = -18 + 32 = 14 \).
In simple words: -10 ડિગ્રી સેલ્સિયસ એ 14 ડિગ્રી ફેરનહીટ બરાબર છે.
(4) જો \( t(C) = 212 \) હોય, તો \( C \) શોધો:
\( 212 = \frac{9C}{5} + 32 \).
\( \implies 212 - 32 = \frac{9C}{5} \).
\( \implies 180 = \frac{9C}{5} \).
\( \implies C = \frac{180 \times 5}{9} \).
\( \implies C = 20 \times 5 \).
\( \implies C = 100 \).
In simple words: જો ફેરનહીટ 212 હોય, તો સેલ્સિયસમાં તે 100 ડિગ્રી થાય છે.

Exam Tip: તાપમાન રૂપાંતરણના સૂત્રો યાદ રાખવા અને તેમાં કિંમતો યોગ્ય રીતે મૂકીને ગણતરી કરવી મહત્વપૂર્ણ છે.

Question 5. નીચેનાં વિધેયના પ્રદેશ અને વિસ્તાર શોધો :
(1) \( f(x) = 2 - 3x \); \( x \in R, x > 0 \)
(2) \( f (x) = x^2 + 2 \), \( x \) વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
(3) \( f (x) = x \), \( x \) વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
Answer:
(1) \( f(x) = 2 - 3x \); \( x \in R, x > 0 \). અહીં, \( x > 0, x \in R \).
\( \implies 3x > 0 \).
\( \implies -3x < 0 \).
\( \implies 2 - 3x < 2 \).
તેથી, \( f \) નો વિસ્તાર \( (-\infty, 2) \) છે. પ્રદેશ \( x \in R, x > 0 \) છે.
In simple words: x ની કિંમત 0 થી મોટી કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે. ફંક્શનનું પરિણામ 2 કરતા નાની કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યા હશે.
(2) અહીં, \( f(x) = x^2 + 2 \), \( x \in R \). પ્રદેશ \( R \) છે. \( x \in R \) માટે, \( x^2 \ge 0 \).
\( \implies x^2 + 2 \ge 2 \).
તેથી, \( f \) નો વિસ્તાર \( [2, \infty) \) છે.
In simple words: x ની જગ્યાએ કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યા મૂકી શકાય છે. ફંક્શનનું મૂલ્ય હંમેશા 2 અથવા 2 થી મોટું હશે.
(3) અહીં, \( f(x) = x \), \( x \in R \). \( x \in R \) હોવાથી, \( f \) નો પ્રદેશ \( R \) થશે. તેમજ, \( f(x) = x \) હોવાથી, \( f \) નો વિસ્તાર \( R \) થશે.
In simple words: આ ફંક્શનમાં, તમે જે પણ વાસ્તવિક સંખ્યા x તરીકે આપો છો, તે જ સંખ્યા તેનું પરિણામ પણ હોય છે.

Exam Tip: વિધેયના પ્રદેશ અને વિસ્તાર નક્કી કરવા માટે, x ના કયા મૂલ્યો માટે વિધેય વ્યાખ્યાયિત છે અને વિધેયના પરિણામો કઈ કિંમતો લઈ શકે છે તે જાણવું જરૂરી છે.