GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 16 સંભાવના Exercise 16.2

Question 1. એક પાસો ફેંકવામાં આવે છે. ધારો કે, ઘટના E પાસા પર સંખ્યા 4 દર્શાવે છે અને ઘટના F પાસા પર યુગ્મ સંખ્યા દર્શાવે છે. શું E અને F પરસ્પર નિવારક છે?
Answer: એક પાસો ફેંકવાથી મળતો નિદર્શાવકાશ \( S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
\( E = \{4\} \)
અને \( F = \{2, 4, 6\} \)
\( \therefore E \cap F = \{4\} \neq \Phi \)
\( \therefore \) E અને F પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ નથી.
In simple words: When you roll a die, event E is getting a 4, and event F is getting an even number. Since 4 is both in E and F, they have a common outcome, meaning they are not mutually exclusive.

Exam Tip: Mutually exclusive events are those that cannot happen at the same time. If their intersection is empty, they are mutually exclusive.

Question 2. એક પાસો ફેંકવામાં આવે છે. નીચે આપેલ ઘટનાઓનું વર્ણન કરો:
(1) A: સંખ્યા 7 કરતાં નાની છે.
(2) B : સંખ્યા 7 કરતાં મોટી છે.
(3) C : સંખ્યા ૩નો ગુણક છે.
(4) D: સંખ્યા 4 કરતાં નાની છે.
(5) E : 4થી મોટી યુગ્મ સંખ્યા છે.
(6) F: સંખ્યા ૩ કરતાં નાની નથી.
તથા A \( \cup \) B, A \( \cap \) B, B \( \cup \) C, B \( \cap \) E, D \( \cap \) E, A-C, D-E, E \( \cap \) F', F' શોધો.
Answer: એક પાસો ફેંકવાથી મળતો નિદર્શાવકાશ \( S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
હવે..
(1) A : સંખ્યા 7 કરતાં નાની છે.
\( \therefore A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
(2) B : સંખ્યા 7 કરતાં મોટી છે.
\( \therefore B = \Phi \)
(3) C : સંખ્યા 3નો ગુણક છે.
\( \therefore C = \{3, 6\} \)
(4) D : સંખ્યા 4 કરતાં નાની છે.
\( \therefore D = \{1, 2, 3\} \)
(5) E : 4થી મોટી યુગ્મ સંખ્યા છે.
\( \therefore E = \{6\} \)
(6) F : સંખ્યા 3 કરતાં નાની નથી.
\( \therefore F = \{3, 4, 5, 6\} \)

A \( \cup \) B \( = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \cup \Phi \)
\( = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)

A \( \cap \) B \( = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \cap \Phi \)
\( = \Phi \)

B \( \cup \) C \( = \Phi \cup \{3, 6\} \)
\( = \{3, 6\} \)

E \( \cap \) F \( = \{6\} \cap \{3, 4, 5, 6\} \)
\( = \{6\} \)

D \( \cap \) E \( = \{1, 2, 3\} \cap \{6\} \)
\( = \Phi \)

A - C \( = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} – \{3, 6\} \)
\( = \{1, 2, 4, 5\} \)

D - E \( = \{1, 2, 3\} – \{6\} \)
\( = \{1, 2, 3\} \)

F' \( = S – F = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} – \{3, 4, 5, 6\} = \{1, 2\} \)
E \( \cap \) F' \( = \{6\} \cap \{1, 2\} = \Phi \)
In simple words: First, list all the possible outcomes when you roll a die. Then, for each event, write down the numbers that match its description. Finally, use those sets to find the union, intersection, and difference as asked in the question.

Exam Tip: Clearly define the sample space S first. When describing events, ensure the set notation accurately reflects the condition provided in the question.

Question 3. એક પ્રયોગમાં પાસાની એક જોડને ફેંકવામાં આવે છે અને તેમના ઉપર દેખાતી સંખ્યાઓની નોંધ કરવામાં આવે છે. નીચે આપેલ ઘટનાઓનું વર્ણન કરો ઃ A : સંખ્યાઓનો સરવાળો 8 કરતાં વધુ છે. B : બંને પાસાઓ ઉપર સંખ્યા 2 દેખાય છે. C : બંને સંખ્યાઓનો સરવાળો ઓછામાં ઓછો 7 છે અને 3નો ગુણિત છે. આ ઘટનાઓની કઈ જોડની ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક છે?
Answer: પાસાની એક જોડને ફેંકવાથી મળતો નિદર્શાવકાશ
\( S = \{(1, 1), (1,2), (1,3), (1,4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2,5), (2, 6), (3, 1), (3,2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4,3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5,5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\} \)
એટલે કે, \( S = \{(x, y) : x, y = 1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
અહીં, A : સંખ્યાઓનો સરવાળો 8 કરતાં વધુ હોય.
\( \therefore A = \{(3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\} \)
B : બંને પાસાઓ ઉપર સંખ્યા 2 દેખાય છે.
\( \therefore B = \{(1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2)\} \)
C : બંને સંખ્યાઓનો સરવાળો ઓછામાં ઓછો 7 છે અને 3નો ગુણિત છે.
\( \therefore C = \{(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (6, 6)\} \)
અહીં, \( A \cap B = \Phi \)
\( \therefore \) A અને B પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે.
B \( \cap \) C \( = \Phi \)
\( \therefore \) B અને C પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે.
A \( \cap \) C \( = \{(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (6, 6)\} \neq \Phi \)
\( \therefore \) A અને C પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ નથી.
In simple words: First, list all possible outcomes when rolling two dice. Then, define each event (A, B, C) as a set of outcomes. To check if events are mutually exclusive, find their intersection. If the intersection is empty, they are mutually exclusive.

Exam Tip: Be meticulous when listing the sample space and the elements of each event. A single missing or extra element can change the intersection and union results. When asked to determine if events are mutually exclusive, calculate their intersection.

Question 4. ત્રણ સિક્કાઓને એક વાર ઉછાળવામાં આવે છે. જો ત્રણ છાપ દેખાય તેને ઘટના A, બે છાપ અને એક કાંટો દેખાય તેને ઘટના B, ત્રણ કાંટા દેખાય તેને ઘટના C અને પહેલા સિક્કા ઉપર છાપ દેખાય તેને ઘટના D દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. કઈ ઘટનાઓ (1) પરસ્પર નિવારક છે? (2) પ્રાથમિક છે? (3) સંયુક્ત છે?
Answer: ત્રણ સિક્કાઓને એક વાર ઉછાળતાં મળતો નિદર્શાવકાશ
\( S = \{\text{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}\} \)
અહીં, A : ત્રણ છાપ દેખાય.
\( \therefore A = \{\text{HHH}\} \)
B: બે છાપ અને એક કાંટો દેખાય.
\( \therefore B = \{\text{HHT, HTH, THH}\} \)
C: ત્રણ કાંટા દેખાય.
\( \therefore C = \{\text{TTT}\} \)
D: પહેલા સિક્કા ઉપર છાપ દેખાય.
\( \therefore D = \{\text{HHH, HHT, HTH, HTT}\} \)

(1) પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ:
\( A \cap B = \Phi \)
\( \therefore \) A અને B પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે.
\( A \cap C = \Phi \)
\( \therefore \) A અને C પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે.
\( B \cap C = \Phi \)
\( \therefore \) B અને C પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે.
\( C \cap D = \Phi \)
\( \therefore \) C અને D પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે.

(2) પ્રાથમિક ઘટનાઓ:
ઘટનાઓ A અને C માં એક જ નિદર્શ બિંદુ છે.
\( \therefore \) A અને C પ્રાથમિક ઘટનાઓ છે.

(3) સંયુક્ત ઘટનાઓ:
ઘટનાઓ B અને D માં એક કરતાં વધુ નિદર્શ બિંદુઓ છે.
\( \therefore \) B અને D સંયુક્ત ઘટનાઓ છે.
In simple words: First, list all the possible results when tossing three coins. Then, write out the set of outcomes for each event A, B, C, and D. For mutually exclusive events, check if their intersection is empty. For elementary events, see if they have only one outcome. For compound events, check if they have more than one outcome.

Exam Tip: An elementary event consists of only one outcome from the sample space. A compound event contains more than one outcome. Mutually exclusive events have no outcomes in common.

Question 5. ત્રણ સિક્કા એક વાર ઉછાળવામાં આવે છે. નીચેની ઘટનાઓનું વર્ણન કરો ઃ
(1) પરસ્પર નિવારક બે ઘટનાઓ
(2) પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ ત્રણ ઘટનાઓ
(3) પરસ્પર નિવારક ન હોય તેવી બે ઘટનાઓ
(4) પરસ્પર નિવારક છે, પરંતુ નિઃશેષ ન હોય તેવી બે ઘટનાઓ
(5) પરસ્પર નિવારક હોય પણ નિઃશેષ ન હોય તેવી ત્રણ ઘટનાઓ
Answer: ત્રણ સિક્કાને એક વાર ઉછાળવાથી મળતો નિદર્શાવકાશ
\( S = \{\text{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}\} \)

(1) નીચે પ્રમાણેની ઘટનાઓ લઈએ :
A : એક છાપ અને બે કાંટા મળે.
\( \therefore A = \{\text{HTT, THT, TTH}\} \)
અને B : એક કાંટો અને બે છાપ મળે.
\( \therefore B = \{\text{HHT, HTH, THH}\} \)
\( \therefore A \cap B = \Phi \)
\( \therefore \) A અને B પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે.

(2) નીચે પ્રમાણેની ઘટનાઓ લઈએ :
A : એક છાપ મળે.
\( \therefore A = \{\text{HTT, THT, TTH}\} \)
B : ત્રણ કાંટા મળે.
\( \therefore B = \{\text{TTT}\} \)
C : ઓછામાં ઓછી બે છાપ મળે.
\( \therefore C = \{\text{HHT, HTH, THH, HHH}\} \)
\( \therefore A \cap B = \Phi \), \( B \cap C = \Phi \), \( A \cap C = \Phi \)
અને \( A \cup B \cup C = S \)
\( \therefore \) A, B, C પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ ઘટનાઓ છે.

(3) નીચે પ્રમાણેની ઘટનાઓ લઈએઃ
A : ઓછામાં ઓછી બે છાપ મળે.
\( \therefore A = \{\text{HHT, HTH, THH, HHH}\} \)
B : બરાબર બે છાપ મળે.
\( \therefore B = \{\text{HHT, HTH, THH}\} \)
\( \therefore A \cap B = \{\text{HHT, HTH, THH}\} \neq \Phi \)
\( \therefore \) A અને B પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ નથી.

(4) નીચે પ્રમાણેની ઘટનાઓ લઈએ ઃ
A : બરાબર એક છાપ મળે.
\( \therefore A = \{\text{HTT, THT, TTH}\} \)
B : બરાબર બે છાપ મળે.
\( \therefore B = \{\text{HHT, HTH, THH}\} \)
\( \therefore A \cap B = \Phi \)
અને \( A \cup B = \{\text{HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH}\} \neq S \)
\( \therefore \) A અને B પરસ્પર નિવારક છે, પરંતુ નિઃશેષ નથી.

(5) ધારો કે ઘટના,
A : બરાબર એક છાપ મળે.
\( \therefore A = \{\text{HTT, THT, TTH}\} \)
B : બરાબર બે છાપ મળે.
\( \therefore B = \{\text{HHT, HTH, THH}\} \)
C: બરાબર ત્રણ છાપ મળે.
\( \therefore C = \{\text{HHH}\} \)
\( \therefore A \cap B = B \cap C = C \cap A = \Phi \)
અને \( A \cup B \cup C = \{\text{HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH, HHH}\} \neq S \)
\( \therefore \) A, B, C પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે, પણ નિઃશેષ ઘટનાઓ નથી.
In simple words: This question asks you to provide examples of different types of events based on tossing three coins. Remember that mutually exclusive events have no common outcomes, exhaustive events cover the entire sample space, and non-mutually exclusive events have at least one common outcome. Construct sets A, B, and C that satisfy these definitions.

Exam Tip: When defining events, make sure the outcomes you list accurately reflect the description. For exhaustive events, the union of all events should cover the entire sample space.

Question 6. બે પાસાઓ ફેંકવામાં આવે છે. ઘટનાઓ A, B અને C નીચે મુજબ છે: A: પહેલા પાસા ઉપર યુગ્મ સંખ્યા મળે છે. B: પહેલા પાસા ઉપર અયુગ્મ સંખ્યા મળે છે. C: પાસાઓ ઉપર મળતી સંખ્યાઓનો સરવાળો 5 કે 5થી ઓછો છે. નીચે આપેલ ઘટનાઓ વર્ણવોઃ
(1) A'
(2) B-નહીં
(3) A અથવા B
(4) A અને B
(5) A પરંતુ C નહીં
(6) B અથવા C
(7) B અને C
(8) A \( \cap \) B' \( \cap \) C'
Answer: બે પાસાઓ ફેંકવામાં આવતા મળતો નિદર્શાવકાશ :
\( S = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\} \)
એટલે કે, \( S = \{(x, y) : x, y = 1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
હવે, A : પહેલા પાસા પર યુગ્મ સંખ્યા મળે તે ઘટના છે.
\( \therefore A = \{(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\} \)
B: પહેલા પાસા પર અયુગ્મ સંખ્યા મળે તે ઘટના છે.
\( \therefore B = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)\} \)
C : પાસાઓ ઉપર મળતી સંખ્યાનો સરવાળો 5 કે તેથી ઓછો હોય તે ઘટના છે.
\( \therefore C = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)\} \)

(1) A' = B
\( \therefore A' = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)\} = B \)

(2) B-નહીં, એટલે કે B' = A
\( \therefore B' = \{(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\} = A \)

(3) A અથવા B \( = A \cup B \)
\( = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\} = S \)

(4) A અને B \( = A \cap B = \Phi \)

(5) A પરંતુ C – નહીં \( = A – C \)
\( = \{(2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\} \)

(6) B અથવા C \( = B \cup C \)
\( = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)\} \)

(7) B અને C \( = B \cap C \)
\( = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (3, 1), (3, 2)\} \)

(8) A \( \cap \) B' \( \cap \) C' \( = A \cap A \cap C' \) (કારણ કે (2) પરથી B' = A)
\( = A \cap C' \)
\( = \{(2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\} \)
In simple words: First, list the entire sample space for rolling two dice. Then, clearly define the outcomes for events A, B, and C based on the problem statement. After that, use these sets to calculate each requested operation (complement, union, intersection, difference) step by step.

Exam Tip: Be very careful when listing the ordered pairs for each event. A small mistake in identifying the elements can lead to incorrect unions, intersections, or complements. Remember that B' is the complement of B.

Question 7. ઉપર્યુક્ત પ્રશ્ન 6 પરથી નીચે આપેલાં વિધાનો સત્ય છે કે અસત્ય તે જણાવો (તમારા જવાબનું કારણ આપો) :
(1) A અને B પરસ્પર નિવારક છે.
(2) A અને B પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ છે.
(3) A = B'
(4) A અને C પરસ્પર નિવારક છે.
(5) A અને B' પરસ્પર નિવારક છે.
(6) A', B' અને C પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ છે.
Answer: પ્રશ્ન 6ના ઉકેલ મુજબ,
(1) \( A \cap B = \Phi \)
\( \therefore \) A અને B પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે. આમ, આપેલું વિધાન સત્ય છે.

(2) \( A \cap B = \Phi \) અને \( A \cup B = S \)
\( \therefore \) A અને B પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ ઘટનાઓ છે. આમ, આપેલું વિધાન સત્ય છે.

(3) \( A = B' = \{(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\} \)
આમ, આપેલું વિધાન સત્ય છે.

(4) \( A \cap C = \{(2, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 1)\} \neq \Phi \)
\( \therefore \) A અને C પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ નથી. આમ, આપેલું વિધાન અસત્ય છે.

(5) \( A \cap B' \neq \Phi \)
\( \therefore \) A અને B’ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ નથી. આમ, આપેલું વિધાન અસત્ય છે.

(6) A' = B અને B' = A
\( \therefore \) B' \( \cap \) C \( = A \cap C = \{(2, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 1)\} \neq \Phi \)
અને A' \( \cap \) C \( = B \cap C = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (3, 1), (3, 2)\} \neq \Phi \)
\( \therefore \) A', B’ અને C પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ નથી. આમ, આપેલું વિધાન અસત્ય છે.
In simple words: Use the event definitions and results from Question 6 to determine if each statement is true or false. For mutual exclusivity, check the intersection. For exhaustive events, verify if the union covers the entire sample space. Compare the sets for equality.

Exam Tip: Always refer back to the defined events and their elements from the previous question to justify your answers. Clearly state the intersection or union to support your claim about mutual exclusivity or exhaustiveness.