GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 16 સંભાવના Exercise 16.1

નીચે આપેલા પ્રશ્નો 1થી 7માં દર્શાવેલ પ્રયોગો માટે પ્રત્યેક પ્રયોગનો નિદર્શાવકાશ દર્શાવો:

Question 1. એક સિક્કાને ત્રણ વાર ઉછાળવામાં આવે છે.
Answer: એક સિક્કાને ત્રણ વાર ઉછાળતા પ્રાપ્ત થતો નિદર્શાવકાશ S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
In simple words: એક સિક્કાને ત્રણ વખત ઉછાળીએ, તો કયા કયા પરિણામો આવી શકે તેની યાદી આ નિદર્શાવકાશમાં આપેલી છે.

Exam Tip: સિક્કાને n વાર ઉછાળતા કુલ \( 2^n \) શક્ય પરિણામો મળે છે. તેમને વ્યવસ્થિત રીતે સૂચિબદ્ધ કરવા માટે વૃક્ષ આકૃતિનો ઉપયોગ કરો.

Question 2. એક પાસાને બે વાર ફેંકવામાં આવે છે.
Answer: એક પાસાને બે વાર ફેંકતા પ્રાપ્ત થતો નિદર્શાવકાશ S = {(x,y) : x, y=1, 2, 3, 4, 5, 6}, એટલે કે, S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
In simple words: એક પાસાને બે વખત રોલ કરીએ ત્યારે કયા કયા જોડીમાં નંબર આવી શકે છે તેની સંપૂર્ણ યાદી આ નિદર્શાવકાશમાં આપેલી છે.

Exam Tip: પાસાને n વાર ફેંકતા કુલ \( 6^n \) શક્ય પરિણામો મળે છે. દરેક જોડીને (પ્રથમ રોલ, બીજો રોલ) ફોર્મેટમાં દર્શાવવી જોઈએ.

Question 3. એક સિક્કાને ચાર વાર ઉછાળવામાં આવે છે.
Answer: એક સિક્કાને ચાર વાર ઉછાળતા પ્રાપ્ત થતો નિદર્શાવકાશ S = {HHHH, HHHT, HHTH, HTHH, THHH, HHTT, HTHT, HTTH, THTH, THHT, TTHH, HTTT, THTT, TTHT, TTTH, TTTT}
In simple words: જ્યારે એક સિક્કાને ચાર વખત ટોસ કરાય છે, ત્યારે શક્ય બધા પરિણામોની સૂચિ આ નિદર્શાવકાશમાં આપેલી છે.

Exam Tip: સિક્કાના ઉછાળમાં, દરેક પરિણામ H (હેડ) અથવા T (ટેલ) હોય છે. ચોકસાઈ માટે \( 2^n \) સંભવિત પરિણામોની ખાતરી કરો.

Question 4. એક સિક્કાને ઉછાળ્યો છે અને એક પાસાને ફેંક્યો છે.
Answer: એક સિક્કાને ઉછાળતા અને એક પાસાને ફેંકતા પ્રાપ્ત થતો નિદર્શાવકાશ S = {H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6}
In simple words: એક કોઈન ટોસ કરીએ અને એક પાસો રોલ કરીએ, તો સિક્કા પર હેડ (H) કે ટેલ (T) આવે અને પાસા પર 1 થી 6 સુધીનો કોઈ નંબર આવે તેવા બધા સંભવિત પરિણામો આ સૂચિમાં છે.

Exam Tip: જ્યારે બે જુદી જુદી ઘટનાઓ બને છે, ત્યારે કુલ પરિણામો માટે દરેક ઘટનાના પરિણામોનો ગુણાકાર કરો (અહીં \( 2 \times 6 = 12 \) પરિણામો).

Question 5. એક સિક્કાને ઉછાળવામાં આવ્યો છે અને સિક્કા પર છાપ મળે ત્યારે પાસાને ફેંકવામાં આવે છે.
Answer: એક સિક્કાને ઉછાળતાં તેના પર છાપ (હેડ) મળે અથવા કાંટો (ટેલ) મળે. જો સિક્કા પર છાપ આવે તો એક પાસો ફેંકાય છે. તેની પર 1, 2, 3, 4, 5, 6 પૈકી કોઈપણ એક સંખ્યા મળી શકે. તેથી પ્રાપ્ત થતો નિદર્શાવકાશ S = {H1, H2, H3, H4, H5, H6, T}
In simple words: કોઈન ટોસ કર્યા પછી, જો હેડ આવે તો પાસો રોલ થાય છે. પણ જો ટેલ આવે તો પાસો રોલ થતો નથી, તેથી માત્ર ટેલ (T) એકલું જ પરિણામ ગણાય છે.

Exam Tip: શરતી પ્રયોગોમાં, ફક્ત તે જ પરિણામો ધ્યાનમાં લો જે શરત પૂરી કરે છે. અહીં, પાસો ફેંકવાની ઘટના ફક્ત છાપ (H) આવે ત્યારે જ થાય છે.

Question 6. ઓરડા Xમાં 2 છોકરા અને 2 છોકરીઓ છે તથા ઓરડા ૪માં 1 છોકરો અને 3 છોકરીઓ છે. પહેલા ઓરડા પસંદ કરવામાં આવે છે અને પછી એક વ્યક્તિ પસંદ કરવામાં આવે છે તેવા પ્રયોગનો નિદર્શાવકાશ શોધો.
Answer: ઓરડા Xના બે છોકરાઓને B1, B2 અને બે છોકરીઓને G1, G2 વડે તેમજ ઓરડા Yના એક છોકરાને B3 વડે અને ત્રણ છોકરીઓને G3, G4, G5 વડે દર્શાવીએ તો પ્રાપ્ત થતો નિદર્શાવકાશ S = {XB1, XB2, XG1, XG2, YB3, YG3, YG4, YG5}
In simple words: સૌપ્રથમ રૂમ X અથવા રૂમ Y પસંદ કરાય છે. પછી પસંદ કરેલા રૂમમાંથી એક વ્યક્તિ (છોકરો કે છોકરી) પસંદ કરાય છે. આ બધા સંભવિત પસંદગીઓની યાદી આ નિદર્શાવકાશમાં આપેલી છે.

Exam Tip: બહુ-સ્તરીય પ્રયોગોમાં, દરેક સ્તરના શક્ય પરિણામોને સ્પષ્ટપણે વ્યાખ્યાયિત કરો અને પછી તમામ સંયોજનોને વ્યવસ્થિત રીતે સૂચિબદ્ધ કરો.

Question 7. એક કોથળામાં એક પાસો લાલ રંગનો, એક સફેદ રંગનો અને અન્ય એક પાસો ભૂરા રંગનો રાખ્યો છે. એક પાસો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કર્યો છે અને તેને ફેંકવામાં આવે છે. પાસાનો રંગ અને તેની ઉપરની બાજુ પરની સંખ્યા નોંધવામાં આવે છે. આ પ્રયોગનો નિદર્શાવકાશ વર્ણવો.
Answer: લાલ, સફેદ અને ભૂરા રંગના પાસાને ક્રમશઃ R, W અને B વડે દર્શાવીએ તો પ્રાપ્ત થતો નિદર્શાવકાશ S = {R1, R2, R3, R4, R5, R6, W1, W2, W3, W4, W5, W6, B1, B2, B3, B4, B5, B6}
In simple words: થેલીમાંથી એક રંગીન પાસો પસંદ કરાય છે, પછી તેને રોલ કરાય છે. પાસાનો રંગ અને તેના પર આવેલો નંબર એમ બંને વસ્તુઓ નોંધવામાં આવે છે.

Exam Tip: જ્યારે બહુવિધ ગુણધર્મો (અહીં, રંગ અને સંખ્યા) હોય, ત્યારે દરેક ગુણધર્મ માટેની શક્યતાઓને જોડીને નિદર્શાવકાશ બનાવો.

Question 8. એક પરીક્ષણમાં બે બાળકોવાળાં કુટુંબો પૈકી પ્રત્યેકમાં છોકરા- છોકરીઓની સંખ્યા નોંધવામાં આવે છે.
(1) જો જન્મેલ બાળક છોકરો છે કે છોકરી તે ક્રમમાં જાણવામાં આપણી રુચિ હોય, તો તેનો નિદર્શાવકાશ શું થશે?
(2) જો આપણી રુચિ કુટુંબમાં છોકરીઓની સંખ્યા જાણવાની હોય, તો નિદર્શાવકાશ શું થશે?
Answer: અહીં, પરિવારમાં બે બાળકો હોય. છોકરાને B વડે અને છોકરીને G વડે દર્શાવીએ, તો
(1) જો જન્મેલા બાળકની જાતિ ક્રમમાં જાણવામાં રસ હોય, તો તેનો નિદર્શાવકાશ S = {BB, BG, GB, GG}
(2) જો આપણી રુચિ કુટુંબમાં છોકરીઓની સંખ્યા જાણવાની હોય, તો નિદર્શાવકાશ S = {0, 1, 2}
In simple words: બે બાળકોવાળા કુટુંબ માટે, આપણે બાળકોના લિંગ (છોકરો કે છોકરી) ક્રમમાં જોઈ શકીએ છીએ, અથવા કુટુંબમાં છોકરીઓની કુલ સંખ્યા ગણી શકીએ છીએ.

Exam Tip: નિદર્શાવકાશ લખતી વખતે, પ્રશ્ન કયા પાસા પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવા માંગે છે તે નક્કી કરવું જરૂરી છે: ઘટનાઓનો ક્રમ કે ફક્ત કુલ સંખ્યા.

Question 9. એક ડબામાં 1 લાલ અને 8 સમાન સફેદ દડા રાખ્યા છે. બે દડા એક પછી એક ડબામાંથી યાદચ્છિક રીતે કાઢવામાં આવે છે. આ પ્રયોગનો નિદર્શાવકાશ લખો.
Answer: અહીં, ત્રણ સંભવિત પરિણામો પ્રાપ્ત થાય છે.
(1) પ્રથમ બોલ લાલ અને બીજો બોલ સફેદ હોય.
(2) પ્રથમ બોલ સફેદ અને બીજો લાલ હોય.
(3) બંને બોલ સફેદ હોય.
હવે, લાલ અને સફેદ દડાને ક્રમશઃ R અને W વડે દર્શાવતા પ્રાપ્ત થતો નિદર્શાવકાશ S = {RW, WR, WW}
In simple words: એક બોક્સમાંથી એક લાલ અને આઠ સફેદ બોલમાંથી, બે બોલ એક પછી એક પાછા મૂક્યા વગર કાઢવામાં આવે છે. શક્ય પરિણામો છે: લાલ પછી સફેદ, સફેદ પછી લાલ, અથવા બંને સફેદ.

Exam Tip: જ્યારે કોઈ વસ્તુને પાછી મૂક્યા વગર પસંદ કરવામાં આવે, ત્યારે દરેક પગલા પર ઉપલબ્ધ વિકલ્પોની સંખ્યા બદલાય છે. ક્રમ મહત્વનો છે તે ધ્યાનમાં રાખો.

Question 10. એક ઘટનામાં એક સિક્કાને ઉછાળવામાં આવે છે. જો તેના પર છાપ આવે તો તે સિક્કાને ફરીથી ઉછાળવામાં આવે છે. જો પ્રથમ વખત ઉછાળવાથી તેના પર કાંટો મળે, તો એક પાસો ફેંકવામાં આવે છે. આ પ્રયોગનો નિદર્શાવકાશ શોધો.
Answer: અહીં, જો સિક્કો ઉછાળતા હેડ (છાપ) આવે તો સિક્કાને ફરીથી ટોસ કરાય છે અને ત્યારે હેડ અથવા ટેલ મળી શકે છે. પરંતુ જો પહેલી વાર સિક્કો ઉછાળતા ટેલ (કાંટો) આવે, તો એક પાસો ફેંકવામાં આવે છે. તેથી પ્રાપ્ત થતો નિદર્શાવકાશ S = {HH, HT, T1, T2, T3, T4, T5, T6}
In simple words: કોઈન ટોસ કરો. જો હેડ આવે તો ફરી કોઈન ટોસ કરો. જો ટેલ આવે તો પાસો રોલ કરો. આ બધા શક્ય પરિણામો અહીં આપેલા છે.

Exam Tip: બહુ-સ્તરીય અને શરતી પ્રયોગો માટે, ઘટનાના પ્રવાહને સમજવા માટે વૃક્ષ આકૃતિ દોરો. દરેક શાખા માટેના પરિણામોને સ્પષ્ટપણે લખો.

Question 11. ધારો કે, ગોળાઓના એક ઢગલામાંથી ૩ ગોળા યાદચ્છિક રીતે કાઢવામાં આવે છે. પ્રત્યેક ગોળાની ચકાસીને તેનો પ્રકાર (D) અથવા સારો (N) માં વર્ગીકરણ કરાય છે. આ ઘટનાનો નિદર્શાવકાશ જણાવો.
Answer: અહીં, ગોળાઓના સ્ટોકમાંથી ૩ ગોળા રેન્ડમલી પસંદ થાય છે. ખરાબ ગોળાને D અને સારા ગોળાને N તરીકે બતાવીએ તો પ્રાપ્ત થતો નિદર્શાવકાશ S = {DDD, DDN, DND, NDD, DNN, NDN, NND, NNN}
In simple words: ત્રણ ગોળા પસંદ કરાય છે. દરેક ગોળો ખરાબ (D) કે સારો (N) હોઈ શકે છે. આ બધા સંભવિત સંયોજનોની યાદી અહીં આપેલી છે.

Exam Tip: જ્યારે દરેક પસંદગીના બે સંભવિત પરિણામો હોય અને n વસ્તુઓ પસંદ કરવામાં આવે, ત્યારે કુલ \( 2^n \) સંભવિત પરિણામો હોય છે. દરેક પસંદગીને સંયોજન તરીકે સૂચિબદ્ધ કરો.

Question 12. એક સિક્કો ઉછાળવામાં આવે છે. જો પરિણામ છાપ હોય, તો પાસો ફેંકવામાં આવે છે. જો પાસા પર યુગ્મ સંખ્યા દેખાય, તો પાસાને ફરીથી ફેંકવામાં આવે છે. આ પ્રયોગનો નિદર્શાવકાશ શું છે?
Answer: અહીં, પહેલાં એક સિક્કો ટોસ કરાય છે. જો હેડ (છાપ) આવે તો જ પાસો ફેંકવામાં આવે છે અને જો પાસા પર ઇવન નંબર (2, 4 અથવા 6) આવે તો જ પાસો ફરી રોલ કરાય છે. તેથી પ્રાપ્ત થતો નિદર્શાવકાશ S = {T, H1, H3, H5, H21, H22, H23, H24, H25, H26, H41, H42, H43, H44, H45, H46, H61, H62, H63, H64, H65, H66}
In simple words: કોઈન ઉછાળીએ છીએ. જો હેડ આવે તો પાસો ફેંકીએ છીએ. જો પાસા પર ઇવન નંબર આવે તો પાસો ફરી ફેંકીએ છીએ. આ બધા સંભવિત પરિણામોની સૂચિ અહીં આપેલી છે.

Exam Tip: આવા જટિલ શરતી પ્રયોગોમાં, દરેક શરત અને તેના અનુરૂપ પરિણામોને તબક્કાવાર સમજો. દરેક પાથને અંતિમ પરિણામ સુધી ટ્રૅક કરો.

Question 13. કાગળની ચાર ચોરસવાળી પર 1, 2, 3 અને 4 સંખ્યાઓ લખી છે. જો યાદચ્છિક રીતે એક ડબામાંથી મુકાયેલી ચબરખી પસંદ કરવામાં આવે છે. એક વ્યક્તિ કાગળની બે ચબરખીઓ એક પછી એક પાછી મુક્યા વગર પસંદ કરે છે. આ પ્રયોગનો નિદર્શાવકાશ શું છે?
Answer: અહીં, બોક્સમાંથી, પાછી ન મુકતા, એક પછી એક બે સ્લિપ પસંદ કરાય છે. તેથી પહેલી સ્લિપ પર 1, 2, 3, 4 પૈકી કોઈપણ એક સંખ્યા આવી શકે છે. પછી બીજી સ્લિપ પર તે નંબર સિવાયની બાકીની ત્રણમાંથી કોઈપણ એક સંખ્યા આવી શકે છે. આથી, પ્રાપ્ત થતો નિદર્શાવકાશ S = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}
In simple words: 1, 2, 3, 4 નંબરવાળી ચાર સ્લિપમાંથી બે સ્લિપ એક પછી એક પાછી મૂક્યા વગર પસંદ કરાય છે. કયા કયા ક્રમમાં નંબર આવી શકે છે તેની સૂચિ અહીં આપેલી છે.

Exam Tip: જ્યારે પસંદગી પાછી મૂક્યા વગર હોય અને ક્રમ મહત્વનો હોય (પર્મ્યુટેશન), ત્યારે ખાતરી કરો કે તમે કોઈ નંબરને બે વાર પસંદ કરતા નથી અને તમામ શક્ય જોડીઓનો સમાવેશ કરો છો.

Question 14. એક પ્રયોગમાં એક પાસો ફેંકવામાં આવે છે અને જો પાસા ઉપર યુગ્મ સંખ્યા મળે, તો એક સિક્કો બે વાર ઉછાળવામાં આવે છે. જો પાસા ઉપર અયુગ્મ સંખ્યા મળે, તો સિક્કાને બે વાર ઉછાળવામાં આવે છે. આ પ્રયોગનો નિદર્શાવકાશ લખો.
Answer: અહીં, એક ડાઇસ રોલ કરાય છે. જો ઇવન નંબર (2, 4, 6) આવે તો એક કોઈન એક વાર ટોસ કરાય છે. પરંતુ જો ઓડ નંબર (1, 3, 5) આવે તો એક કોઈન બે વાર ટોસ કરાય છે. આ પ્રયોગનો સંભાવના વિસ્તાર S = {1HH, 1HT, 1TH, 1TT, 2H, 2T, 3HH, 3HT, 3TH, 3TT, 4H, 4T, 5HH, 5HT, 5TH, 5TT, 6H, 6T}
In simple words: પહેલાં પાસો રોલ કરાય છે. જો ઇવન નંબર આવે તો એક સિક્કો એક વાર ઉછાળાય છે. જો ઓડ નંબર આવે તો સિક્કો બે વાર ઉછાળાય છે. આ બધા શક્ય પરિણામોની યાદી અહીં આપેલી છે.

Exam Tip: આવા શરતી પ્રયોગોમાં, દરેક પરિણામ માટે કયા નિયમો લાગુ પડે છે તે સ્પષ્ટપણે ઓળખો અને તે મુજબ નિદર્શાવકાશ બનાવો.

Question 15. એક સિક્કાને ઉછાળ્યો છે. જો તેના પર કાંટો દેખાય, તો 2 લાલ અને ૩ કાળા દડા સમાવતા એક ડબામાંથી એક દડો કાઢવામાં આવે છે. જો તે છાપ બતાવે, તો આપણે એક પાસો ફેંકીએ છીએ. આ પ્રયોગનો નિદર્શાવકાશ શોધો.
Answer: અહીં, બોક્સમાંના લાલ બોલને R અને કાળા બોલને B વડે બતાવીએ. હવે, એક કોઈન ટોસ કરાય છે. જો તેના પર ટેલ (કાંટો) આવે, તો બોક્સમાંથી પાંચમાંથી કોઈ એક બોલ કાઢવામાં આવે છે તથા જો કોઈન પર હેડ (છાપ) આવે, તો એક પાસો ફેંકવામાં આવે છે. આ પ્રયોગનો સંભાવના વિસ્તાર S = {TR1, TR2, TB, TB2, TB, H1, H2, H3, H4, H5, H6}
In simple words: કોઈન ટોસ કરો. જો ટેલ આવે તો બોક્સમાંથી એક બોલ કાઢો. જો હેડ આવે તો પાસો રોલ કરો. આ બધા સંભવિત પરિણામોની સૂચિ અહીં આપેલી છે.

Exam Tip: વિવિધ શરતો હેઠળના બહુ-સ્તરીય પ્રયોગોમાં, દરેક શરત માટેના શક્ય પરિણામોને અલગથી ધ્યાનમાં લો અને પછી તેને નિદર્શાવકાશમાં જોડો.

Question 16. એક પાસાને વારંવાર જ્યાં સુધી તેના પર 6 ન દેખાય ત્યાં સુધી ફેંકવામાં આવે છે. આ પ્રયોગનો નિદર્શાવકાશ શું છે?
Answer: જો પહેલી વારમાં જ 6 આવે, તો એક્સપેરિમેન્ટ પૂર્ણ થાય છે. અન્યથા, પાસો ફરી રોલ કરાય છે અને જો 6 આવે, તો પ્રયોગ પૂરો થાય. જો 6 ન આવે તો પાસો ફરી રોલ કરાય છે. આ પ્રક્રિયા ત્યાં સુધી ચાલુ રહે છે જ્યાં સુધી 6 ન આવે. આથી આ પ્રયોગનો સંભાવના વિસ્તાર S = {6, (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (1, 1, 6), (1, 2, 6), (1, 3, 6), (1, 4, 6), (1, 5, 6), (2, 1, 6), (2, 2, 6), (2, 5, 6), (5, 1, 6), (5, 2, 6)...}
In simple words: જ્યાં સુધી પાસા પર 6 ન આવે ત્યાં સુધી તેને રોલ કરાય છે. નિદર્શાવકાશમાં 6, અથવા 6 પહેલાં આવેલા નંબર અને પછી 6, અથવા બે નંબર અને પછી 6, વગેરેનો સમાવેશ થાય છે.

Exam Tip: જ્યાં સુધી કોઈ ચોક્કસ પરિણામ ન મળે ત્યાં સુધી પ્રયોગો ચાલુ રાખવામાં આવે તેવા કિસ્સાઓમાં, દરેક સંભવિત ક્રમને (જેમાં અંતે ઇચ્છિત પરિણામ આવે છે) કાળજીપૂર્વક સૂચિબદ્ધ કરો.