GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 16 સંભાવના Exercise 16.3

Question 1. નિદર્શાવકાશ \( S = \{w_1, w_2, w_3, w_4, w_5, w_6, w_7\} \) નાં પરિણામો માટે નીચે દર્શાવેલમાંથી કયું સંભાવના નિર્ધારણ માન્ય નથી:
(a) 0.1, 0.01, 0.05, 0.03, 0.01, 0.2, 0.6
(b) \( \frac { 1 }{ 7 } \), \( \frac { 1 }{ 7 } \), \( \frac { 1 }{ 7 } \), \( \frac { 1 }{ 7 } \), \( \frac { 1 }{ 7 } \), \( \frac { 1 }{ 7 } \), \( \frac { 1 }{ 7 } \)
(c) 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7
(d) -0.1, 0.2, 0.3, 0.4, -0.2, 0.1, 0.3
(e) \( \frac { 1 }{ 14 } \), \( \frac { 2 }{ 14 } \), \( \frac { 3 }{ 14 } \), \( \frac { 4 }{ 14 } \), \( \frac { 5 }{ 14 } \), \( \frac { 6 }{ 14 } \), \( \frac { 15 }{ 14 } \)
Answer: સંભાવના નિર્ધારણ માન્ય થવા માટે બે મુખ્ય શરતો છે:
(1) દરેક પરિણામ \( w_i \) ની સંભાવના \( P(w_i) \) શૂન્ય અથવા શૂન્યથી મોટી અને એક અથવા એકથી નાની હોવી જોઈએ, એટલે કે \( 0 \le P(w_i) \le 1 \).
(2) બધા પરિણામોની સંભાવનાઓનો સરવાળો \( \Sigma P(w_i) = 1 \) હોવો જોઈએ.

ચાલો દરેક વિકલ્પ તપાસીએ:
(a) (1) \( 0 \le P(w_i) \le 1 \), દરેક \( w_i \in S \) માટે આ શરત સંતોષાય છે.
(2) \( \Sigma P(w_i) = 0.1 + 0.01 + 0.05 + 0.03 + 0.01 + 0.2 + 0.6 = 1 \).
આમ, આ સંભાવના નિર્ધારણ માન્ય છે.

(b) (1) \( 0 \le P(w_i) \le 1 \), દરેક \( w_i \in S \) માટે આ શરત સંતોષાય છે, કારણ કે \( \frac { 1 }{ 7 } \) એ 0 અને 1 ની વચ્ચે છે.
(2) \( \Sigma P(w_i) = \frac { 1 }{ 7 } + \frac { 1 }{ 7 } + \frac { 1 }{ 7 } + \frac { 1 }{ 7 } + \frac { 1 }{ 7 } + \frac { 1 }{ 7 } + \frac { 1 }{ 7 } = \frac { 7 }{ 7 } = 1 \).
આમ, આ સંભાવના નિર્ધારણ પણ માન્ય છે.

(c) (1) \( 0 \le P(w_i) \le 1 \), દરેક \( w_i \in S \) માટે આ શરત સંતોષાય છે.
(2) \( \Sigma P(w_i) = 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 + 0.5 + 0.6 + 0.7 = 2.8 \ne 1 \).
આમ, આ સંભાવના નિર્ધારણ માન્ય નથી.

(d) (1) અહીં, \( P(w_1) = -0.1 \) અને \( P(w_5) = -0.2 \). સંભાવનાઓ શૂન્યથી નાની હોઈ શકતી નથી, તેથી \( 0 \le P(w_i) \le 1 \) ની શરતનું પાલન થતું નથી.
આમ, આ સંભાવના નિર્ધારણ માન્ય નથી.

(e) (1) અહીં, \( P(w_7) = \frac { 15 }{ 14 } \). આ કિંમત 1 થી મોટી છે, તેથી \( 0 \le P(w_i) \le 1 \) ની શરતનું પાલન થતું નથી.
(2) \( \Sigma P(w_i) = \frac { 1 }{ 14 } + \frac { 2 }{ 14 } + \frac { 3 }{ 14 } + \frac { 4 }{ 14 } + \frac { 5 }{ 14 } + \frac { 6 }{ 14 } + \frac { 15 }{ 14 } = \frac { 36 }{ 14 } \ne 1 \).
આમ, આ સંભાવના નિર્ધારણ માન્ય નથી.
તેથી, વિકલ્પો (c), (d) અને (e) માં સંભાવના નિર્ધારણ માન્ય નથી.
In simple words: એક સંભાવના સેટને સાચો ગણવા માટે, દરેક વ્યક્તિગત સંભાવના 0 અને 1 ની વચ્ચે હોવી જોઈએ, અને તે બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો બરાબર 1 હોવો જોઈએ. વિકલ્પો (c), (d) અને (e) આ નિયમોમાંથી કોઈ એક અથવા બંનેનું પાલન કરતા નથી, તેથી તેઓ માન્ય નથી.

Exam Tip: સંભાવનાના મૂળભૂત નિયમો યાદ રાખો: દરેક ઘટનાની સંભાવના 0 અને 1 ની વચ્ચે હોવી જોઈએ અને બધા શક્ય પરિણામોની સંભાવનાઓનો સરવાળો 1 હોવો જોઈએ. આ નિયમોનો ઉપયોગ કરીને, તમે સંભાવના નિર્ધારણની માન્યતા સરળતાથી ચકાસી શકો છો.

 

Question 2. એક સિક્કાને બે વાર ઉછાળતાં, ઓછામાં ઓછી એક વાર કાંટો મળે તેની સંભાવના શું થશે?
Answer: જ્યારે એક સિક્કાને બે વાર ઉછાળવામાં આવે છે, ત્યારે કુલ નિદર્શાવકાશ (બધા શક્ય પરિણામો) નીચે મુજબ છે:
\( S = \{HH, HT, TH, TT\} \)
નિદર્શાવકાશમાં કુલ પરિણામોની સંખ્યા \( n(S) = 4 \).
ધારો કે E એ 'ઓછામાં ઓછી એક વાર કાંટો મળે' તે ઘટના છે.
ઘટના E ના પરિણામો છે: \( E = \{HT, TH, TT\} \)
ઘટના E માં પરિણામોની સંખ્યા \( n(E) = 3 \).
ઘટના E ની સંભાવના \( P(E) \) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
\( P(E) = \frac { n(E) }{ n(S) } = \frac { 3 }{ 4 } \)
તેથી, ઓછામાં ઓછી એક વાર કાંટો મળવાની સંભાવના \( \frac { 3 }{ 4 } \) છે.
In simple words: જ્યારે સિક્કાને બે વાર ઉછાળીએ છીએ, ત્યારે કુલ 4 શક્ય પરિણામો મળે છે. તેમાંથી 3 પરિણામોમાં ઓછામાં ઓછો એક કાંટો (T) આવે છે. તેથી, ઓછામાં ઓછો એક કાંટો આવવાની શક્યતા 3 ભાગ્યા 4 છે.

Exam Tip: "ઓછામાં ઓછું એક" એટલે "એક અથવા વધુ" પરિણામોનો સમાવેશ થાય છે. સંભાવનાના પ્રશ્નો ઉકેલતી વખતે નિદર્શાવકાશ (S) અને ઘટના (E) ના ઘટકોને કાળજીપૂર્વક લખો.

 

Question 3. એક પાસાને ફેંકવામાં આવ્યો છે. નીચે આપેલ ઘટનાઓની સંભાવના શોધો :
(1) એક અવિભાજ્ય સંખ્યા આવે.
(2) પૂર્ણાંક 3 કે 3થી મોટી સંખ્યા આવે.
(3) 1 કે 1થી નાની સંખ્યા આવે.
(4) 6થી મોટી સંખ્યા આવે.
(5) 6થી નાની સંખ્યા આવે.
Answer: જ્યારે એક પાસાને એક વખત ઉછાળવામાં આવે છે, ત્યારે મળતો નિદર્શાવકાશ (બધા શક્ય પરિણામો) નીચે મુજબ છે:
\( S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
નિદર્શાવકાશમાં કુલ પરિણામોની સંખ્યા \( n(S) = 6 \).

(1) ધારો કે, A એ પાસા પર મળતી અવિભાજ્ય સંખ્યાની ઘટના છે.
અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ (જે ફક્ત 1 અને પોતાથી જ ભાગી શકાય) છે: \( A = \{2, 3, 5\} \)
ઘટના A માં પરિણામોની સંખ્યા \( n(A) = 3 \).
ઘટના A ની સંભાવના \( P(A) = \frac { n(A) }{ n(S) } = \frac { 3 }{ 6 } = \frac { 1 }{ 2 } \).

(2) ધારો કે, B એ પાસા પર મળતો પૂર્ણાંક 3 કે 3થી મોટી સંખ્યાની ઘટના છે.
આ સંખ્યાઓ છે: \( B = \{3, 4, 5, 6\} \)
ઘટના B માં પરિણામોની સંખ્યા \( n(B) = 4 \).
ઘટના B ની સંભાવના \( P(B) = \frac { n(B) }{ n(S) } = \frac { 4 }{ 6 } = \frac { 2 }{ 3 } \).

(3) ધારો કે, C એ પાસા પર મળતી 1 કે 1થી નાની સંખ્યાની ઘટના છે.
આ સંખ્યા છે: \( C = \{1\} \)
ઘટના C માં પરિણામોની સંખ્યા \( n(C) = 1 \).
ઘટના C ની સંભાવના \( P(C) = \frac { n(C) }{ n(S) } = \frac { 1 }{ 6 } \).

(4) ધારો કે, D એ પાસા પર મળતી 6થી મોટી સંખ્યાની ઘટના છે.
પાસા પર 6થી મોટી કોઈ સંખ્યા નથી, તેથી આ એક અશક્ય ઘટના છે.
ઘટના D ના પરિણામો છે: \( D = \Phi \) (ખાલી ગણ)
ઘટના D માં પરિણામોની સંખ્યા \( n(D) = 0 \).
ઘટના D ની સંભાવના \( P(D) = \frac { n(D) }{ n(S) } = \frac { 0 }{ 6 } = 0 \).

(5) ધારો કે, E એ પાસા પર મળતી 6થી નાની સંખ્યાની ઘટના છે.
આ સંખ્યાઓ છે: \( E = \{1, 2, 3, 4, 5\} \)
ઘટના E માં પરિણામોની સંખ્યા \( n(E) = 5 \).
ઘટના E ની સંભાવના \( P(E) = \frac { n(E) }{ n(S) } = \frac { 5 }{ 6 } \).
In simple words: જ્યારે આપણે પાસો ફેંકીએ છીએ, ત્યારે 1 થી 6 સુધીના 6 જુદા જુદા પરિણામો મળી શકે છે. આપણે દરેક પ્રશ્ન માટે, કેટલી સંભાવનાઓ આપણા નિયમનું પાલન કરે છે તે ગણીએ છીએ અને તેને કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા વડે ભાગીએ છીએ.

Exam Tip: પાસાના પ્રશ્નોમાં, નિદર્શાવકાશ હંમેશાં \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) હોય છે. અશક્ય ઘટનાની સંભાવના 0 હોય છે અને ચોક્કસ ઘટનાની સંભાવના 1 હોય છે.

 

Question 4. તાસની 52 પત્તાંની થોકડીમાંથી એક પત્તું યાદચ્છિક રીતે ખેંચવામાં આવે છે.
(a) નિદર્શાવકાશમાં કેટલાં બિંદુ છે?
(b) પત્તું કાળીનો એક્કો હોય તેની સંભાવના શું છે?
(c) (1) પત્તું એક્કો હોય તેની સંભાવના શું છે?
(2) પત્તું કાળા રંગનું હોય તેની સંભાવના શું છે?
Answer: જ્યારે તાસની 52 પત્તાંની થોકડીમાંથી એક પત્તું યાદચ્છિક રીતે ખેંચવામાં આવે છે, ત્યારે:

(a) નિદર્શાવકાશમાં કુલ બિંદુઓની સંખ્યા (શક્ય પરિણામો) 52 હોય છે.
\( n(S) = 52 \)

(b) ધારો કે A એ પસંદ કરેલું પત્તું કાળીનો એક્કો હોય તે ઘટના છે.
તાસમાં ફક્ત એક જ કાળીનો એક્કો હોય છે.
ઘટના A માં પરિણામોની સંખ્યા \( n(A) = 1 \).
ઘટના A ની સંભાવના \( P(A) = \frac { n(A) }{ n(S) } = \frac { 1 }{ 52 } \).

(c) (1) ધારો કે B એ પસંદ થયેલું પત્તું એક્કો હોય તે ઘટના છે.
52 પત્તાંની થોકડીમાં કુલ ચાર એક્કા (કાળીનો એક્કો, ફલ્લીનો એક્કો, લાલનો એક્કો, ચોકડીનો એક્કો) હોય છે.
ઘટના B માં પરિણામોની સંખ્યા \( n(B) = 4 \).
ઘટના B ની સંભાવના \( P(B) = \frac { n(B) }{ n(S) } = \frac { 4 }{ 52 } = \frac { 1 }{ 13 } \).

(2) ધારો કે C એ પસંદ થયેલું પત્તું કાળા રંગનું હોય તે ઘટના છે.
52 પત્તાંની થોકડીમાં 26 કાળા રંગનાં પત્તાં (13 કાળીના અને 13 ફલ્લીના) હોય છે.
ઘટના C માં પરિણામોની સંખ્યા \( n(C) = 26 \).
ઘટના C ની સંભાવના \( P(C) = \frac { n(C) }{ n(S) } = \frac { 26 }{ 52 } = \frac { 1 }{ 2 } \).
In simple words: કુલ 52 પત્તાના ડેકમાંથી એક પત્તું ખેંચીએ છીએ. (a) તેથી, કુલ 52 શક્ય પરિણામો છે. (b) ડેકમાં ફક્ત એક જ કાળીનો એક્કો હોય છે, તેથી તેની સંભાવના \( \frac{1}{52} \) છે. (c)(1) ડેકમાં કુલ ચાર એક્કા હોય છે, તેથી એક્કો આવવાની સંભાવના \( \frac{4}{52} \) અથવા \( \frac{1}{13} \) છે. (c)(2) ડેકમાં કુલ 26 કાળા પત્તા હોય છે, તેથી કાળું પત્તું આવવાની સંભાવના \( \frac{26}{52} \) અથવા \( \frac{1}{2} \) છે.

Exam Tip: પત્તાના પ્રશ્નોમાં, 52 પત્તાના ડેકની રચના (સંખ્યા, રંગ, પ્રકાર) યાદ રાખવી ખૂબ જ મદદરૂપ થાય છે. દરેક પ્રકારના પત્તામાં 13 પત્તા હોય છે, જેમાં એક્કા, રાજા, રાણી, ગુલામ અને 2 થી 10 સુધીના અંકોનો સમાવેશ થાય છે.

 

Question 5. એક સમતોલ સિક્કો જેની એક બાજુ પર 1 અને બીજી બાજુ પર 6 અંકિત કરેલ છે. આ સિક્કો તથા એક સમતોલ પાસો બંનેને ઉછાળવામાં આવે છે. મળતી સંખ્યાઓનો સરવાળો (1) 3 હોય (2) 12 હોય, તેની સંભાવના શોધો.
Answer: એક સમતોલ સિક્કો જેની એક બાજુ પર 1 અને બીજી બાજુ પર 6 અંકિત કરેલ છે, અને એક સમતોલ પાસો ઉછાળવામાં આવે છે.
સિક્કા પર શક્ય પરિણામો: \( \{1, 6\} \)
પાસા પર શક્ય પરિણામો: \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
આ બંનેને એકસાથે ઉછાળતાં મળતો નિદર્શાવકાશ (શક્ય જોડીઓ) નીચે મુજબ છે:
\( S = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\} \)
નિદર્શાવકાશમાં કુલ પરિણામોની સંખ્યા \( n(S) = 12 \).

(1) ધારો કે A એ તેમની પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો 3 હોય તે ઘટના છે.
આવા પરિણામોની જોડી છે: \( A = \{(1, 2)\} \)
ઘટના A માં પરિણામોની સંખ્યા \( n(A) = 1 \).
ઘટના A ની સંભાવના \( P(A) = \frac { n(A) }{ n(S) } = \frac { 1 }{ 12 } \).

(2) ધારો કે B એ તેમની પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો 12 હોય તે ઘટના છે.
આવા પરિણામોની જોડી છે: \( B = \{(6, 6)\} \)
ઘટના B માં પરિણામોની સંખ્યા \( n(B) = 1 \).
ઘટના B ની સંભાવના \( P(B) = \frac { n(B) }{ n(S) } = \frac { 1 }{ 12 } \).
In simple words: જ્યારે સિક્કો (જેમાં 1 અને 6 છે) અને પાસો (જેમાં 1 થી 6 છે) એકસાથે ઉછાળીએ, ત્યારે કુલ 12 શક્ય પરિણામો મળે છે. જો સરવાળો 3 જોઇએ, તો એક જ જોડી (1, 2) મળે છે, તેથી સંભાવના \( \frac{1}{12} \) છે. જો સરવાળો 12 જોઇએ, તો પણ એક જ જોડી (6, 6) મળે છે, તેથી સંભાવના \( \frac{1}{12} \) છે.

Exam Tip: આ પ્રકારના પ્રશ્નોમાં, પહેલાં નિદર્શાવકાશના તમામ ઘટકોને કાળજીપૂર્વક લખો. પછી દરેક ઘટના માટે અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા ગણો. ભૂલો ટાળવા માટે, સરવાળાની ગણતરી કરતી વખતે ધ્યાન રાખો.

 

Question 6. શહેર પરિષદમાં ચાર પુરુષો અને છ સ્ત્રીઓ છે. જો એક સમિતિ માટે યાદચ્છિક રીતે એક પરિષદ-સભ્ય પસંદ કરવામાં આવ્યા છે, તો એક સ્ત્રી-સભ્યની પસંદ થવાની સંભાવના કેટલી?
Answer: શહેર પરિષદમાં કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા છે:
પુરુષોની સંખ્યા = 4
સ્ત્રીઓની સંખ્યા = 6
કુલ વ્યક્તિઓ = \( 4 + 6 = 10 \).
આ 10 વ્યક્તિઓમાંથી એક પરિષદ-સભ્યની પસંદગી 10 જુદી જુદી રીતે કરી શકાય છે.
તેથી, નિદર્શાવકાશમાં કુલ પરિણામોની સંખ્યા \( n(S) = 10 \).
ધારો કે A એ પસંદ કરેલ પરિષદ-સભ્ય સ્ત્રી હોય તે ઘટના છે.
કુલ 6 સ્ત્રીઓ છે, તેથી 6 રીતે સ્ત્રી સભ્ય પસંદ કરી શકાય છે.
ઘટના A માં પરિણામોની સંખ્યા \( n(A) = 6 \).
ઘટના A ની સંભાવના \( P(A) = \frac { n(A) }{ n(S) } = \frac { 6 }{ 10 } = \frac { 3 }{ 5 } \).
તેથી, એક સ્ત્રી-સભ્ય પસંદ થવાની સંભાવના \( \frac { 3 }{ 5 } \) છે.
In simple words: એક સમિતિમાં કુલ 10 લોકો છે (4 પુરુષો અને 6 સ્ત્રીઓ). જો તેમાંથી એક વ્યક્તિને પસંદ કરવામાં આવે, તો તે વ્યક્તિ સ્ત્રી હોવાની શક્યતા કુલ 6 સ્ત્રીઓ હોવાથી, 6 ભાગ્યા કુલ 10 લોકો એટલે કે \( \frac{6}{10} \) અથવા \( \frac{3}{5} \) છે.

Exam Tip: "કુલ પરિણામોની સંખ્યા" અને "અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા" ને કાળજીપૂર્વક ઓળખો. આ પ્રકારના પ્રશ્નોમાં સરળતાથી ભૂલ થઈ શકે છે જો તમે કુલ સંખ્યાને યોગ્ય રીતે ગણી ન હોય.

 

Question 7. એક સમતોલ સિક્કાને ચાર વાર ઉછાળવામાં આવે છે અને એક વ્યક્તિ પ્રત્યેક છાપ (H) પર Rs 1 જીતે છે અને પ્રત્યેક કાંટા (T) પર Rs 1.50 હારે છે. આ પ્રયોગના નિદર્શાવકાશ પરથી શોધો કે ચાર વાર સિક્કાને ઉછાળ્યા પછી તે કેટલી રકમ પ્રાપ્ત કરી શકે છે તથા તે રકમ મળવાની સંભાવના શોધો.
Answer: એક સમતોલ સિક્કાને ચાર વખત ઉછાળવામાં આવે છે. તેથી, નિદર્શાવકાશ (બધા શક્ય પરિણામો) નીચે મુજબ છે:
\( S = \{HHHH, HHHT, HHTH, HTHH, THHH, HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHH, HTTT, TTHT, TTTH, TTTT\} \)
નિદર્શાવકાશમાં કુલ પરિણામોની સંખ્યા \( n(S) = 16 \).
વ્યક્તિ પ્રત્યેક છાપ (H) પર Rs 1 જીતે છે અને પ્રત્યેક કાંટા (T) પર Rs 1.50 હારે છે. ચાલો દરેક પરિણામ માટે મળતી રકમ (E) ગણીએ:
\( E(HHHH) = (1 + 1 + 1 + 1) = \text{Rs } 4 \)
\( E(HHHT) = (1 + 1 + 1 - 1.50) = \text{Rs } 1.50 \)
\( E(HHTH) = (1 + 1 - 1.50 + 1) = \text{Rs } 1.50 \)
\( E(HTHH) = (1 - 1.50 + 1 + 1) = \text{Rs } 1.50 \)
\( E(THHH) = (-1.50 + 1 + 1 + 1) = \text{Rs } 1.50 \)
\( E(HHTT) = (1 + 1 - 1.50 - 1.50) = -\text{Rs } 1 \)
\( E(HTHT) = (1 - 1.50 + 1 - 1.50) = -\text{Rs } 1 \)
\( E(HTTH) = (1 - 1.50 - 1.50 + 1) = -\text{Rs } 1 \)
\( E(THHT) = (-1.50 + 1 + 1 - 1.50) = -\text{Rs } 1 \)
\( E(THTH) = (-1.50 + 1 - 1.50 + 1) = -\text{Rs } 1 \)
\( E(TTHH) = (-1.50 - 1.50 + 1 + 1) = -\text{Rs } 1 \)
\( E(HTTT) = (1 - 1.50 - 1.50 - 1.50) = -\text{Rs } 3.50 \)
\( E(TTHT) = (-1.50 - 1.50 + 1 - 1.50) = -\text{Rs } 3.50 \)
\( E(TTTH) = (-1.50 - 1.50 - 1.50 + 1) = -\text{Rs } 3.50 \)
\( E(TTTT) = (-1.50 - 1.50 - 1.50 - 1.50) = -\text{Rs } 6 \)

હવે, ચાલો વિવિધ રકમ મળવાની સંભાવના શોધીએ:

**Rs 4 જીતવાની સંભાવના:**
ઘટના: Rs 4 જીતવાની ઘટના \( \{HHHH\} \) છે.
અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = 1
\( P(\text{Rs 4 જીતે}) = P(\{HHHH\}) = \frac { 1 }{ 16 } \)

**Rs 1.50 જીતવાની સંભાવના:**
ઘટના: Rs 1.50 જીતવાની ઘટના \( \{HHHT, HHTH, HTHH, THHH\} \) છે.
અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = 4
\( P(\text{Rs 1.50 જીતે}) = \frac { 4 }{ 16 } = \frac { 1 }{ 4 } \)

**Rs 1 હારવાની સંભાવના:**
ઘટના: Rs 1 હારવાની ઘટના \( \{HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHH\} \) છે.
અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = 6
\( P(\text{Rs 1 હારે}) = \frac { 6 }{ 16 } = \frac { 3 }{ 8 } \)

**Rs 3.50 હારવાની સંભાવના:**
ઘટના: Rs 3.50 હારવાની ઘટના \( \{HTTT, TTHT, TTTH, THTT\} \) છે.
અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = 4
\( P(\text{Rs 3.50 હારે}) = \frac { 4 }{ 16 } = \frac { 1 }{ 4 } \)

**Rs 6 હારવાની સંભાવના:**
ઘટના: Rs 6 હારવાની ઘટના \( \{TTTT\} \) છે.
અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = 1
\( P(\text{Rs 6 હારે}) = \frac { 1 }{ 16 } \)
In simple words: જ્યારે સિક્કાને ચાર વાર ઉછાળીએ, ત્યારે કુલ 16 જુદા જુદા પરિણામો મળી શકે છે. દરેક પરિણામ માટે, જો H આવે તો 1 રૂપિયો જીતીએ અને જો T આવે તો 1.50 રૂપિયા હારીએ. પછી આપણે દરેક રકમ (જેમ કે 4 રૂપિયા જીતવા અથવા 1 રૂપિયો હારવા) કેટલા પરિણામોમાં આવે છે તે ગણીને તેની સંભાવના શોધીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે ઘણા સંભવિત પરિણામો હોય ત્યારે, નિદર્શાવકાશને વ્યવસ્થિત રીતે સૂચિબદ્ધ કરવું શ્રેષ્ઠ છે, દા.ત., HHHH થી TTTT. દરેક પરિણામ માટેની જીત/હારની રકમની ગણતરી કરો અને પછી સમાન રકમ સાથેના પરિણામોને એકસાથે જૂથબદ્ધ કરો.

 

Question 8. ત્રણ સિક્કા એક વાર ઉછાળવામાં આવે છે. નીચે આપેલ ઘટનાની સંભાવના શોધો :
(1) 3 છાપ મળે.
(2) 2 છાપ મળે.
(3) ઓછામાં ઓછી બે છાપ મળે.
(4) વધુમાં વધુ 2 છાપ મળે.
(5) એક પણ છાપ નહિ.
(6) 3 કાંટા મળે.
(7) માત્ર બે જ કાંટા મળે.
(8) એક પણ કાંટો નહિ.
(9) વધુમાં વધુ બે કાંટા મળે.
Answer: જ્યારે ત્રણ સિક્કાઓને એક વાર ઉછાળવામાં આવે છે, ત્યારે મળતો નિદર્શાવકાશ (બધા શક્ય પરિણામો) નીચે મુજબ છે:
\( S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\} \)
નિદર્શાવકાશમાં કુલ પરિણામોની સંખ્યા \( n(S) = 8 \).

(1) ધારો કે A એ 3 છાપ (H) મળે તે ઘટના છે.
\( A = \{HHH\} \)
ઘટના A માં પરિણામોની સંખ્યા \( n(A) = 1 \).
ઘટના A ની સંભાવના \( P(A) = \frac { n(A) }{ n(S) } = \frac { 1 }{ 8 } \).

(2) ધારો કે B એ 2 છાપ (H) મળે તે ઘટના છે.
\( B = \{HHT, HTH, THH\} \)
ઘટના B માં પરિણામોની સંખ્યા \( n(B) = 3 \).
ઘટના B ની સંભાવના \( P(B) = \frac { n(B) }{ n(S) } = \frac { 3 }{ 8 } \).

(3) ધારો કે C એ ઓછામાં ઓછી બે છાપ (H) મળે તે ઘટના છે.
("ઓછામાં ઓછી બે" એટલે 2 અથવા 3 છાપ).
\( C = \{HHT, HTH, THH, HHH\} \)
ઘટના C માં પરિણામોની સંખ્યા \( n(C) = 4 \).
ઘટના C ની સંભાવના \( P(C) = \frac { n(C) }{ n(S) } = \frac { 4 }{ 8 } = \frac { 1 }{ 2 } \).

(4) ધારો કે D એ વધુમાં વધુ બે છાપ (H) મળે તે ઘટના છે.
("વધુમાં વધુ બે" એટલે 0, 1 અથવા 2 છાપ).
\( D = \{HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH, TTT\} \)
ઘટના D માં પરિણામોની સંખ્યા \( n(D) = 7 \).
ઘટના D ની સંભાવના \( P(D) = \frac { n(D) }{ n(S) } = \frac { 7 }{ 8 } \).

(5) ધારો કે E એ એક પણ છાપ (H) ન મળે તે ઘટના છે.
(એક પણ છાપ નહિ એટલે બધી કાંટા).
\( E = \{TTT\} \)
ઘટના E માં પરિણામોની સંખ્યા \( n(E) = 1 \).
ઘટના E ની સંભાવના \( P(E) = \frac { n(E) }{ n(S) } = \frac { 1 }{ 8 } \).

(6) ધારો કે F એ 3 કાંટા (T) મળે તે ઘટના છે.
\( F = \{TTT\} \)
ઘટના F માં પરિણામોની સંખ્યા \( n(F) = 1 \).
ઘટના F ની સંભાવના \( P(F) = \frac { n(F) }{ n(S) } = \frac { 1 }{ 8 } \).

(7) ધારો કે G એ માત્ર બે જ કાંટા (T) મળે તે ઘટના છે.
\( G = \{HTT, THT, TTH\} \)
ઘટના G માં પરિણામોની સંખ્યા \( n(G) = 3 \).
ઘટના G ની સંભાવના \( P(G) = \frac { n(G) }{ n(S) } = \frac { 3 }{ 8 } \).

(8) ધારો કે H એ એક પણ કાંટો (T) ન મળે તે ઘટના છે.
(એક પણ કાંટો નહિ એટલે બધી છાપ).
\( H = \{HHH\} \)
ઘટના H માં પરિણામોની સંખ્યા \( n(H) = 1 \).
ઘટના H ની સંભાવના \( P(H) = \frac { n(H) }{ n(S) } = \frac { 1 }{ 8 } \).

(9) ધારો કે I એ વધુમાં વધુ બે કાંટા (T) મળે તે ઘટના છે.
("વધુમાં વધુ બે" એટલે 0, 1 અથવા 2 કાંટા).
\( I = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH\} \)
ઘટના I માં પરિણામોની સંખ્યા \( n(I) = 7 \).
ઘટના I ની સંભાવના \( P(I) = \frac { n(I) }{ n(S) } = \frac { 7 }{ 8 } \).
In simple words: ત્રણ સિક્કા ઉછાળીએ ત્યારે કુલ 8 અલગ અલગ પરિણામો મળે છે. દરેક પ્રશ્ન માટે, આપણે ગણીએ છીએ કે કેટલા પરિણામો તે નિયમનું પાલન કરે છે અને પછી તેને કુલ 8 વડે ભાગીને સંભાવના મેળવીએ છીએ. "ઓછામાં ઓછું" એટલે તે સંખ્યા અથવા વધુ, અને "વધુમાં વધુ" એટલે તે સંખ્યા અથવા ઓછું.

Exam Tip: "ઓછામાં ઓછા" અને "વધુમાં વધુ" જેવા શબ્દોનો અર્થ બરાબર સમજવો જરૂરી છે. નિદર્શાવકાશના તમામ ઘટકોને કાળજીપૂર્વક લખો જેથી ગણતરીમાં ભૂલ ન થાય.

 

Question 9. જો કોઈ ઘટના A ની સંભાવના \( \frac { 2 }{ 11 } \) હોય, તો ઘટના 'A – નહિ'ની સંભાવના શોધો.
Answer: અહીં, ઘટના A ની સંભાવના \( P(A) = \frac { 2 }{ 11 } \) આપેલ છે.
ઘટના 'A – નહિ' એ ઘટના A નો પૂરક ગણ (Complement) છે, જેને \( P(A') \) અથવા \( P(\bar{A}) \) તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
સંભાવનાના નિયમ મુજબ, ઘટનાની સંભાવના અને તેના પૂરક ગણની સંભાવનાનો સરવાળો હંમેશા 1 હોય છે:
\( P(A) + P(A') = 1 \)
તેથી, \( P(A') = 1 - P(A) \)
\( P(A') = 1 - \frac { 2 }{ 11 } \)
\( P(A') = \frac { 11 - 2 }{ 11 } \)
\( P(A') = \frac { 9 }{ 11 } \)
આમ, ઘટના 'A – નહિ'ની સંભાવના \( \frac { 9 }{ 11 } \) છે.
In simple words: જો કોઈ ઘટના બનવાની શક્યતા \( \frac{2}{11} \) હોય, તો તે ઘટના ન બનવાની શક્યતા શોધવા માટે આપણે 1 માંથી ઘટના બનવાની શક્યતા બાદ કરીએ છીએ. એટલે 1 ઓછા \( \frac{2}{11} \), જે \( \frac{9}{11} \) થાય.

Exam Tip: પૂરક ઘટના (Complementary event) નો ખ્યાલ સંભાવનામાં ખૂબ જ મૂળભૂત અને ઉપયોગી છે. યાદ રાખો કે \( P(A') = 1 - P(A) \), અને આ સૂત્ર ઘણા પ્રશ્નોમાં સમય બચાવવામાં મદદ કરે છે.

 

Question 10. શબ્દ 'ASSASSINATION'માંથી એક અક્ષર યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. (1) તે એક સ્વર હોય, (2) એક વ્યંજન હોય, તો પસંદ કરેલા અક્ષરની સંભાવના શોધો.
Answer: શબ્દ 'ASSASSINATION' માં કુલ અક્ષરોની સંખ્યા ગણીએ.
A - 3, S - 4, I - 2, N - 2, T - 1, O - 1
કુલ અક્ષરો = \( 3 + 4 + 2 + 2 + 1 + 1 = 13 \).
તેથી, નિદર્શાવકાશમાં કુલ પરિણામોની સંખ્યા \( n(S) = 13 \).

હવે, સ્વર અને વ્યંજનની સંખ્યા ગણીએ:
સ્વરો: A, A, A, I, I, O (કુલ 6 સ્વરો)
વ્યંજનો: S, S, S, S, N, N, T (કુલ 7 વ્યંજનો)

(1) પસંદ કરેલો અક્ષર સ્વર હોય તેની સંભાવના:
ધારો કે V એ પસંદ કરેલો અક્ષર સ્વર હોય તે ઘટના છે.
ઘટના V માં પરિણામોની સંખ્યા \( n(V) = 6 \).
ઘટના V ની સંભાવના \( P(V) = \frac { n(V) }{ n(S) } = \frac { 6 }{ 13 } \).

(2) પસંદ કરેલો અક્ષર વ્યંજન હોય તેની સંભાવના:
ધારો કે C એ પસંદ કરેલો અક્ષર વ્યંજન હોય તે ઘટના છે.
ઘટના C માં પરિણામોની સંખ્યા \( n(C) = 7 \).
ઘટના C ની સંભાવના \( P(C) = \frac { n(C) }{ n(S) } = \frac { 7 }{ 13 } \).
In simple words: 'ASSASSINATION' શબ્દમાં કુલ 13 અક્ષરો છે. તેમાંથી 6 સ્વરો (A, I, O) અને 7 વ્યંજનો (S, N, T) છે. જો આપણે તેમાંથી એક અક્ષર પસંદ કરીએ, તો તે સ્વર હોવાની શક્યતા \( \frac{6}{13} \) છે અને વ્યંજન હોવાની શક્યતા \( \frac{7}{13} \) છે.

Exam Tip: આ પ્રકારના પ્રશ્નોમાં, પહેલાં શબ્દમાં કુલ અક્ષરોની સંખ્યા અને પછી પુનરાવર્તિત અક્ષરોની ગણતરી કરીને સ્વરો અને વ્યંજનોની સંખ્યાને કાળજીપૂર્વક ગણો.

 

Question 11. એક લૉટરીમાં એક વ્યક્તિ 1થી 20 સુધીની સંખ્યાઓમાંથી છ જુદી જુદી સંખ્યાઓ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરે છે અને જો એ પસંદ કરેલી છ સંખ્યાઓ લૉટરી સમિતિએ પૂર્વનિર્ધારિત કરેલ છ સંખ્યાઓ સાથે મેળ ખાતી હોય, તો એ વ્યક્તિ ઇનામ જીતી જાય છે. આ લૉટરીની રમતમાં ઇનામ જીતવાની સંભાવના શું છે? [સૂચન : સંખ્યાઓ પ્રાપ્ત થવાનો ક્રમ મહત્ત્વપૂર્ણ નથી.]
Answer: અહીં, 1 થી 20 સુધીની 20 પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાંથી 6 જુદી જુદી સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની છે, અને ક્રમ મહત્ત્વપૂર્ણ નથી.
પસંદગીના કુલ સંભવિત પ્રકારોની સંખ્યા સંચય (Combination) ના સૂત્ર દ્વારા મળશે:
\( n(S) = ^{20}C_6 \)
\( ^{20}C_6 = \frac { 20! }{ 6! (20-6)! } = \frac { 20! }{ 6! 14! } \)
\( ^{20}C_6 = \frac { 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 }{ 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 } \)
\( ^{20}C_6 = 38760 \)
તેથી, નિદર્શાવકાશમાં કુલ પરિણામોની સંખ્યા \( n(S) = 38760 \).

ઇનામ જીતવા માટે, વ્યક્તિએ પસંદ કરેલી છ સંખ્યાઓ લૉટરી સમિતિ દ્વારા પૂર્વનિર્ધારિત કરેલ છ સંખ્યાઓ સાથે બરાબર મેળ ખાવી જોઈએ. આવી ફક્ત એક જ પૂર્વનિર્ધારિત જોડી હોય છે.
તેથી, ઇનામ જીતવાની ઘટના માટે અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા \( n(E) = 1 \).

ઇનામ જીતવાની સંભાવના \( P(E) \) નીચે મુજબ છે:
\( P(E) = \frac { n(E) }{ n(S) } = \frac { 1 }{ 38760 } \)
આમ, આ લૉટરીની રમતમાં ઇનામ જીતવાની સંભાવના \( \frac { 1 }{ 38760 } \) છે.
In simple words: 1 થી 20 સુધીની સંખ્યાઓમાંથી 6 સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની છે, અને સંખ્યાઓનો ક્રમ જરૂરી નથી. 20 માંથી 6 સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ 38760 રીતો છે. ઇનામ જીતવા માટે, તમારી પસંદ કરેલી 6 સંખ્યાઓ લૉટરી કમિટી દ્વારા પહેલેથી નક્કી કરાયેલી 6 સંખ્યાઓ સાથે બરાબર મેળ ખાવી જોઈએ, જેની ફક્ત 1 રીત હોય છે. તેથી, ઇનામ જીતવાની શક્યતા 1 ભાગ્યા 38760 છે.

Exam Tip: જ્યારે ક્રમનું મહત્વ ન હોય ત્યારે સંચય (Combinations) નો ઉપયોગ કરો. સૂત્ર \( ^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!} \) ને યાદ રાખો અને ગણતરી કરતી વખતે કાળજી રાખો.

 

Question 12. ચકાસો કે, નીચેની સંભાવનાઓ P (A) અને P (B) સુસંગત રીતે વ્યાખ્યાયિત છે :
(1) \( P(A) = 0.5, P(B) = 0.7, P(A \cap B) = 0.6 \)
(2) \( P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A \cup B) = 0.8 \)
Answer: સંભાવનાઓ સુસંગત છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે, આપણે સંભાવનાના મૂળભૂત નિયમો અને ગણ સિદ્ધાંતના સંબંધોનું પાલન થાય છે કે નહીં તે તપાસીએ.

(1) \( P(A) = 0.5, P(B) = 0.7, P(A \cap B) = 0.6 \)
આપણે જાણીએ છીએ કે જો \( A \cap B \subseteq A \) હોય, તો \( P(A \cap B) \le P(A) \) હોવું જોઈએ.
અહીં, \( P(A \cap B) = 0.6 \) અને \( P(A) = 0.5 \).
જેમાં \( 0.6 > 0.5 \) છે, એટલે કે \( P(A \cap B) > P(A) \).
આ સંભાવનાના મૂળભૂત નિયમનું ઉલ્લંઘન કરે છે કે જો કોઈ ઘટના અન્ય ઘટનાનો ઉપગણ હોય, તો તેની સંભાવના ઉપગણની સંભાવનાથી ઓછી અથવા સમાન હોવી જોઈએ. અહીં, આંતરછેદની સંભાવના, એક વ્યક્તિગત ઘટનાની સંભાવના કરતાં મોટી છે, જે શક્ય નથી.
આમ, આપેલી સંભાવનાઓ સુસંગત રીતે વ્યાખ્યાયિત નથી.

(2) \( P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A \cup B) = 0.8 \)
આપણે જાણીએ છીએ કે યોગ ગણ માટેનું સૂત્ર છે:
\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
આ સૂત્રમાં આપેલી કિંમતો મૂકીને આપણે \( P(A \cap B) \) શોધી શકીએ છીએ:
\( 0.8 = 0.5 + 0.4 - P(A \cap B) \)
\( 0.8 = 0.9 - P(A \cap B) \)
\( P(A \cap B) = 0.9 - 0.8 \)
\( P(A \cap B) = 0.1 \)
હવે, આપણે ચકાસીએ કે આ કિંમતો સંભાવનાના મૂળભૂત નિયમોનું પાલન કરે છે કે નહીં:
(i) \( 0 \le P(A), P(B), P(A \cup B), P(A \cap B) \le 1 \).
બધી કિંમતો (0.5, 0.4, 0.8, 0.1) 0 અને 1 ની વચ્ચે છે, તેથી આ શરત સંતોષાય છે.
(ii) \( P(A \cap B) \le P(A) \) (એટલે કે \( 0.1 \le 0.5 \)) - આ સાચું છે.
(iii) \( P(A \cap B) \le P(B) \) (એટલે કે \( 0.1 \le 0.4 \)) - આ પણ સાચું છે.
(iv) \( P(A \cup B) \ge P(A) \) (એટલે કે \( 0.8 \ge 0.5 \)) - આ સાચું છે.
(v) \( P(A \cup B) \ge P(B) \) (એટલે કે \( 0.8 \ge 0.4 \)) - આ પણ સાચું છે.
આમ, આપેલી બધી શરતો સંતોષાય છે.
તેથી, આપેલી સંભાવનાઓ સુસંગત રીતે વ્યાખ્યાયિત છે.
In simple words: સંભાવનાઓ સુસંગત છે કે નહીં તે તપાસવા માટે, આપણે સંભાવનાના સામાન્ય નિયમોનું પાલન થાય છે કે નહીં તે જોવું પડે છે. (1) માં, ઘટના A અને B બંને બનવાની સંભાવના (A અને B નું આંતરછેદ) ફક્ત A બનવાની સંભાવના કરતાં મોટી છે, જે શક્ય નથી, તેથી તે સુસંગત નથી. (2) માં, આપણે બધા નિયમોનું પાલન થાય છે કે નહીં તે ચકાસીએ છીએ અને તે બધા સાચા હોવાથી, સંભાવનાઓ સુસંગત છે.

Exam Tip: સંભાવનાઓની સુસંગતતા ચકાસવા માટે, હંમેશાં \( P(A \cap B) \le P(A) \), \( P(A \cap B) \le P(B) \), અને \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \) જેવા મૂળભૂત નિયમોનો ઉપયોગ કરો. ખાતરી કરો કે બધી સંભાવનાઓ 0 અને 1 ની વચ્ચે હોય.

 

Question 13. નીચે આપેલા કોષ્ટકમાં ખાલી જગ્યા ભરોઃ

Answer: આપણે યોગ ગણ માટેના સંભાવનાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું: \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \).

(1) \( P(A) = \frac { 1 }{ 3 } \), \( P(B) = \frac { 1 }{ 5 } \), \( P(A \cap B) = \frac { 1 }{ 15 } \)
\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
\( P(A \cup B) = \frac { 1 }{ 3 } + \frac { 1 }{ 5 } - \frac { 1 }{ 15 } \)
સામાન્ય છેદ 15 લેતા:
\( P(A \cup B) = \frac { 5 }{ 15 } + \frac { 3 }{ 15 } - \frac { 1 }{ 15 } \)
\( P(A \cup B) = \frac { 5 + 3 - 1 }{ 15 } = \frac { 7 }{ 15 } \)

(2) \( P(A) = 0.35 \), \( P(A \cap B) = 0.25 \), \( P(A \cup B) = 0.6 \)
આપણે \( P(B) \) શોધવાનું છે.
\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
\( 0.6 = 0.35 + P(B) - 0.25 \)
\( 0.6 = 0.10 + P(B) \)
\( P(B) = 0.6 - 0.10 \)
\( P(B) = 0.5 \)

(3) \( P(A) = 0.5 \), \( P(B) = 0.35 \), \( P(A \cup B) = 0.7 \)
આપણે \( P(A \cap B) \) શોધવાનું છે.
\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
\( 0.7 = 0.5 + 0.35 - P(A \cap B) \)
\( 0.7 = 0.85 - P(A \cap B) \)
\( P(A \cap B) = 0.85 - 0.7 \)
\( P(A \cap B) = 0.15 \)

આમ, ભરેલી જગ્યાઓ સાથેનું કોષ્ટક નીચે પ્રમાણે છે:

In simple words: કોષ્ટકમાં ખાલી જગ્યાઓ ભરવા માટે, આપણે \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \) આ મુખ્ય સંભાવના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. જો કોઈ એક કિંમત ખૂટતી હોય, તો આપણે બાકીની કિંમતોનો ઉપયોગ કરીને તે શોધી શકીએ છીએ.

Exam Tip: યોગ ગણ માટેનું સંભાવના સૂત્ર (Addition Rule of Probability) \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \) યાદ રાખો. આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તમે કોઈપણ બે ઘટનાઓ A અને B માટે સંબંધિત સંભાવનાઓ શોધી શકો છો.

 

Question 14. \( P(A) = \frac { 3 }{ 5 } \) અને \( P(B) = \frac { 1 }{ 5 } \) આપેલ છે. જો A અને B પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ હોય, તો \( P(A \) અથવા \( B) \) શોધો.
Answer: અહીં, \( P(A) = \frac { 3 }{ 5 } \) અને \( P(B) = \frac { 1 }{ 5 } \) આપેલ છે.
ઘટનાઓ A અને B પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે (Mutually Exclusive Events).
પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓનો અર્થ એ થાય છે કે તેઓ એક જ સમયે બની શકતી નથી, એટલે કે તેમનું આંતરછેદ (Intersection) ખાલી ગણ હોય છે.
તેથી, \( A \cap B = \Phi \), અને \( P(A \cap B) = 0 \).
ઘટના 'A અથવા B' (A or B) નો અર્થ \( P(A \cup B) \) થાય છે.
યોગ ગણ માટેનું સંભાવના સૂત્ર છે: \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ માટે, આ સૂત્ર સરળ બનીને નીચે મુજબ થાય છે:
\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \)
આપેલી કિંમતો મૂકતા:
\( P(A \cup B) = \frac { 3 }{ 5 } + \frac { 1 }{ 5 } \)
\( P(A \cup B) = \frac { 3 + 1 }{ 5 } \)
\( P(A \cup B) = \frac { 4 }{ 5 } \)
આમ, \( P(A \) અથવા \( B) \) એટલે કે \( P(A \cup B) = \frac { 4 }{ 5 } \) છે.
In simple words: જો બે ઘટનાઓ (A અને B) એકબીજાથી અલગ હોય અને એક જ સમયે બની ન શકે, તો તેમને 'પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ' કહેવાય છે. આવી ઘટનાઓ માટે, A અથવા B બનવાની શક્યતા શોધવા માટે, આપણે ફક્ત A બનવાની શક્યતા અને B બનવાની શક્યતાનો સરવાળો કરીએ છીએ. અહીં \( \frac{3}{5} \) અને \( \frac{1}{5} \) નો સરવાળો \( \frac{4}{5} \) થાય છે.

Exam Tip: પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ માટે, આંતરછેદની સંભાવના હંમેશા 0 હોય છે \( P(A \cap B) = 0 \). આ નિયમ યાદ રાખવાથી ગણતરી સરળ બને છે: \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \).

 

Question 15. ઘટનાઓ E અને F એવા પ્રકારની છે કે \( P(E) = \frac { 1 }{ 4 } \), \( P(F) = \frac { 1 }{ 2 } \) અને \( P(E \) અને \( F) = \frac { 1 }{ 8 } \), તો (1) \( P(E \) અથવા \( F) \), (2) \( P(E - \) નહિ અને \( F - \) નહિ) શોધો.
Answer: અહીં આપેલી કિંમતો છે:
\( P(E) = \frac { 1 }{ 4 } \)
\( P(F) = \frac { 1 }{ 2 } \)
\( P(E \) અને \( F) \) એટલે \( P(E \cap F) = \frac { 1 }{ 8 } \).

(1) \( P(E \) અથવા \( F) \) એટલે \( P(E \cup F) \).
યોગ ગણ માટેનું સંભાવના સૂત્ર છે: \( P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F) \)
કિંમતો મૂકતા:
\( P(E \cup F) = \frac { 1 }{ 4 } + \frac { 1 }{ 2 } - \frac { 1 }{ 8 } \)
સામાન્ય છેદ 8 લેતા:
\( P(E \cup F) = \frac { 2 }{ 8 } + \frac { 4 }{ 8 } - \frac { 1 }{ 8 } \)
\( P(E \cup F) = \frac { 2 + 4 - 1 }{ 8 } = \frac { 5 }{ 8 } \).
આમ, \( P(E \) અથવા \( F) = \frac { 5 }{ 8 } \).

(2) \( P(E - \) નહિ અને \( F - \) નહિ) એટલે \( P(E' \cap F') \).
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ: \( E' \cap F' = (E \cup F)' \).
તેથી, \( P(E' \cap F') = P((E \cup F)') \).
પૂરક ઘટનાના નિયમ મુજબ: \( P((E \cup F)') = 1 - P(E \cup F) \).
ભાગ (1) માંથી \( P(E \cup F) = \frac { 5 }{ 8 } \) છે.
\( P(E' \cap F') = 1 - \frac { 5 }{ 8 } \)
\( P(E' \cap F') = \frac { 8 - 5 }{ 8 } = \frac { 3 }{ 8 } \).
આમ, \( P(E - \) નહિ અને \( F - \) નહિ) \( = \frac { 3 }{ 8 } \).
In simple words: આપણને E, F અને E અને F બંનેની શક્યતાઓ આપી છે. (1) E અથવા F બનવાની શક્યતા શોધવા માટે, આપણે E અને F ની શક્યતાઓને ઉમેરીએ છીએ અને E અને F બંનેની શક્યતા બાદ કરીએ છીએ. આનાથી \( \frac{5}{8} \) મળે છે. (2) E પણ નહીં અને F પણ નહીં બનવાની શક્યતા શોધવા માટે, આપણે ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જે કહે છે કે "E નહીં અને F નહીં" એટલે "E અથવા F" પણ નહીં. તેથી, આપણે 1 માંથી "E અથવા F" બનવાની શક્યતા બાદ કરીએ છીએ, જેથી \( \frac{3}{8} \) મળે છે.

Exam Tip: યોગ ગણના સૂત્ર \( P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F) \) અને ડી મોર્ગનના નિયમો \( (A \cup B)' = A' \cap B' \) અને \( (A \cap B)' = A' \cup B' \) ને યાદ રાખો. આ નિયમોનો ઉપયોગ ઘણા સંભાવના પ્રશ્નોમાં થાય છે.

 

Question 16. ઘટનાઓ E અને F એવા પ્રકારની છે કે \( P(E - \) નહિ અથવા \( F - \) નહિ) \( = 0.25 \), ચકાસો કે ‘E' અને F પરસ્પર નિવારક છે કે નહિ?
Answer: અહીં, આપેલ છે \( P(E - \) નહિ અથવા \( F - \) નહિ) \( = 0.25 \).
આને \( P(E' \cup F') \) તરીકે લખી શકાય.
તો, \( P(E' \cup F') = 0.25 \).
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ: \( E' \cup F' = (E \cap F)' \).
તેથી, \( P(E' \cup F') = P((E \cap F)') = 0.25 \).
પૂરક ઘટનાના નિયમ મુજબ: \( P((E \cap F)') = 1 - P(E \cap F) \).
તેથી,
\( 1 - P(E \cap F) = 0.25 \)
\( P(E \cap F) = 1 - 0.25 \)
\( P(E \cap F) = 0.75 \).
બે ઘટનાઓ E અને F પરસ્પર નિવારક (Mutually Exclusive) ત્યારે કહેવાય છે જો તેમનું આંતરછેદ ખાલી ગણ હોય, એટલે કે \( P(E \cap F) = 0 \).
અહીં, આપણને \( P(E \cap F) = 0.75 \) મળે છે, જે શૂન્ય નથી.
આમ, ઘટનાઓ E અને F પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ નથી.
In simple words: આપણને E નહીં અથવા F નહીં બનવાની શક્યતા 0.25 આપી છે. ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, આનો અર્થ એ થાય કે "E અને F બંને બનતા નથી" ની શક્યતા 0.25 છે. એટલે કે, E અને F બંને બનવાની શક્યતા 1 માંથી 0.25 બાદ કરતાં 0.75 છે. જો E અને F પરસ્પર નિવારક હોય, તો બંને એક સાથે બનવાની શક્યતા 0 હોવી જોઈએ. અહીં તે 0.75 છે, તેથી E અને F પરસ્પર નિવારક નથી.

Exam Tip: પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓની વ્યાખ્યા યાદ રાખો: \( P(A \cap B) = 0 \). જો \( P(A \cap B) \) શૂન્ય ન હોય, તો ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક નથી. ડી મોર્ગનના નિયમો આ પ્રકારના પ્રશ્નો ઉકેલવા માટે ઉપયોગી છે.

 

Question 17. ઘટનાઓ A અને B એવા પ્રકારની છે કે \( P(A) = 0.42 \), \( P(B) = 0.48 \) અને \( P(A \) અને \( B) = 0.16 \). (1) \( P(A - \) નહિ), (2) \( P(B - \) નહિ) અને (3) \( P(A \) અથવા \( B) \) શોધો.
Answer: અહીં આપેલી કિંમતો છે:
\( P(A) = 0.42 \)
\( P(B) = 0.48 \)
\( P(A \) અને \( B) \) એટલે \( P(A \cap B) = 0.16 \).

(1) \( P(A - \) નહિ) એટલે \( P(A') \).
પૂરક ઘટનાના નિયમ મુજબ: \( P(A') = 1 - P(A) \).
\( P(A') = 1 - 0.42 \)
\( P(A') = 0.58 \).

(2) \( P(B - \) નહિ) એટલે \( P(B') \).
પૂરક ઘટનાના નિયમ મુજબ: \( P(B') = 1 - P(B) \).
\( P(B') = 1 - 0.48 \)
\( P(B') = 0.52 \).

(3) \( P(A \) અથવા \( B) \) એટલે \( P(A \cup B) \).
યોગ ગણ માટેનું સંભાવના સૂત્ર છે: \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \).
કિંમતો મૂકતા:
\( P(A \cup B) = 0.42 + 0.48 - 0.16 \)
\( P(A \cup B) = 0.90 - 0.16 \)
\( P(A \cup B) = 0.74 \).
In simple words: આપણને A, B અને A અને B બંનેની શક્યતાઓ આપી છે. (1) A નહીં બનવાની શક્યતા શોધવા માટે, આપણે 1 માંથી A બનવાની શક્યતા બાદ કરીએ છીએ, જે 0.58 છે. (2) B નહીં બનવાની શક્યતા શોધવા માટે, આપણે 1 માંથી B બનવાની શક્યતા બાદ કરીએ છીએ, જે 0.52 છે. (3) A અથવા B બનવાની શક્યતા શોધવા માટે, આપણે A અને B ની શક્યતાઓને ઉમેરીએ છીએ અને પછી A અને B બંનેની શક્યતા બાદ કરીએ છીએ, જે 0.74 છે.

Exam Tip: પૂરક ઘટનાના નિયમ \( P(A') = 1 - P(A) \) અને યોગ ગણના સૂત્ર \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \) ને યાદ રાખો. આ બંને સૂત્રોનો ઉપયોગ સંભાવનાના ઘણા પ્રશ્નોમાં થાય છે.

 

Question 18. એક શાળાના ધોરણ XIના 40 % વિદ્યાર્થી ગણિત ભણે છે અને 30 % જીવવિજ્ઞાન ભણે છે. વર્ગના 10% વિદ્યાર્થી ગણિત અને જીવવિજ્ઞાન બંને ભણે છે. આ ધોરણનો એક વિદ્યાર્થી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે, તો આ વિદ્યાર્થી ગણિત અથવા જીવવિજ્ઞાન ભણતો હોય તેની સંભાવના શોધો.
Answer: ધારો કે,
M એ 'વિદ્યાર્થી ગણિત ભણે' તે ઘટના છે.
B એ 'વિદ્યાર્થી જીવવિજ્ઞાન ભણે' તે ઘટના છે.

આપેલી ટકાવારીને સંભાવનામાં રૂપાંતરિત કરીએ:
ગણિત ભણતા વિદ્યાર્થીઓની સંભાવના \( P(M) = 40\% = \frac { 40 }{ 100 } = 0.40 \).
જીવવિજ્ઞાન ભણતા વિદ્યાર્થીઓની સંભાવના \( P(B) = 30\% = \frac { 30 }{ 100 } = 0.30 \).
ગણિત અને જીવવિજ્ઞાન બંને ભણતા વિદ્યાર્થીઓની સંભાવના \( P(M \cap B) = 10\% = \frac { 10 }{ 100 } = 0.10 \).

આપણે 'વિદ્યાર્થી ગણિત અથવા જીવવિજ્ઞાન ભણતો હોય' તેની સંભાવના શોધવાની છે, જે \( P(M \cup B) \) છે.
યોગ ગણ માટેનું સંભાવના સૂત્ર છે: \( P(M \cup B) = P(M) + P(B) - P(M \cap B) \).
આપેલી કિંમતો મૂકતા:
\( P(M \cup B) = 0.40 + 0.30 - 0.10 \)
\( P(M \cup B) = 0.70 - 0.10 \)
\( P(M \cup B) = 0.60 \).
આમ, વિદ્યાર્થી ગણિત અથવા જીવવિજ્ઞાન ભણતો હોય તેની સંભાવના 0.60 છે (અથવા 60%).
In simple words: ધોરણ 11 માં 40% વિદ્યાર્થી ગણિત ભણે છે, 30% જીવવિજ્ઞાન ભણે છે અને 10% બંને ભણે છે. જો આપણે કોઈ એક વિદ્યાર્થીને પસંદ કરીએ, તો તે ગણિત અથવા જીવવિજ્ઞાન ભણતો હોય તેની શક્યતા શોધવા માટે, આપણે ગણિત અને જીવવિજ્ઞાનની શક્યતાઓને ઉમેરીએ છીએ અને પછી બંને વિષય ભણવાની શક્યતા બાદ કરીએ છીએ. આનાથી 0.60 અથવા 60% શક્યતા મળે છે.

Exam Tip: ટકાવારીને સંભાવનામાં દશાંશ સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરો. "અથવા" શબ્દ યોગ ગણ (Union) દર્શાવે છે અને "અને" શબ્દ આંતરછેદ (Intersection) દર્શાવે છે. યોગ ગણના સૂત્રનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરો.

 

Question 19. એક પ્રવેશ કસોટીને બે પરીક્ષાના આધાર પર શ્રેણીબદ્ધ કરવામાં આવે છે. યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલા વિદ્યાર્થીની પહેલી પરીક્ષામાં પાસ થવાની સંભાવના 0.8 છે અને બીજી પરીક્ષામાં પાસ થવાની સંભાવના 0.7 છે. બંનેમાંથી ઓછામાં ઓછી એક પરીક્ષામાં પાસ થવાની સંભાવના 0.95 છે. બંને પરીક્ષામાં પાસ થવાની સંભાવના શું છે?
Answer: ધારો કે,
A એ 'વિદ્યાર્થી પહેલી પરીક્ષામાં પાસ થાય' તે ઘટના છે.
B એ 'વિદ્યાર્થી બીજી પરીક્ષામાં પાસ થાય' તે ઘટના છે.

આપેલી સંભાવનાઓ છે:
પહેલી પરીક્ષામાં પાસ થવાની સંભાવના \( P(A) = 0.8 \).
બીજી પરીક્ષામાં પાસ થવાની સંભાવના \( P(B) = 0.7 \).
બંનેમાંથી ઓછામાં ઓછી એક પરીક્ષામાં પાસ થવાની સંભાવના \( P(A \cup B) = 0.95 \).

આપણે 'બંને પરીક્ષામાં પાસ થવાની સંભાવના' શોધવાની છે, જે \( P(A \cap B) \) છે.
યોગ ગણ માટેનું સંભાવના સૂત્ર છે: \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \).
આ સૂત્રમાં આપેલી કિંમતો મૂકતા:
\( 0.95 = 0.8 + 0.7 - P(A \cap B) \)
\( 0.95 = 1.5 - P(A \cap B) \)
હવે, \( P(A \cap B) \) ને સમીકરણના બીજા પક્ષમાં લઈ જઈએ અને કિંમતો ગોઠવીએ:
\( P(A \cap B) = 1.5 - 0.95 \)
\( P(A \cap B) = 0.55 \).
આમ, વિદ્યાર્થી બંને પરીક્ષામાં પાસ થાય તેની સંભાવના 0.55 છે.
In simple words: જો વિદ્યાર્થીની પ્રથમ પરીક્ષામાં પાસ થવાની શક્યતા 0.8, બીજીમાં 0.7 અને ઓછામાં ઓછી એકમાં પાસ થવાની શક્યતા 0.95 હોય, તો બંને પરીક્ષામાં પાસ થવાની શક્યતા શોધવા માટે, આપણે પ્રથમ અને બીજી પરીક્ષાની શક્યતાઓને ઉમેરીએ છીએ અને પછી તેમાંથી ઓછામાં ઓછી એકમાં પાસ થવાની શક્યતા બાદ કરીએ છીએ. આનાથી 0.55 મળે છે.

Exam Tip: "ઓછામાં ઓછી એક" નો અર્થ હંમેશા યોગ ગણ (Union) થાય છે \( (A \cup B) \). જ્યારે \( P(A \cup B) \) અને \( P(A) \), \( P(B) \) આપેલા હોય ત્યારે \( P(A \cap B) \) શોધવા માટે યોગ ગણના સૂત્રને ફરીથી ગોઠવો.

 

Question 20. એક વિદ્યાર્થીની અંતિમ પરીક્ષાના અંગ્રેજી અને હિંદી બંને વિષયો પાસ કરવાની સંભાવના 0.5 છે અને બંનેમાંથી કોઈ પણ વિષય પાસ ન કરવાની સંભાવના 0.1 છે. જો અંગ્રેજીની પરીક્ષા પાસ કરવાની સંભાવના 0.75 હોય, તો હિંદીની પરીક્ષા પાસ કરવાની સંભાવના શું છે?
Answer: ધારો કે,
A એ 'વિદ્યાર્થી અંગ્રેજીમાં પાસ થાય' તે ઘટના છે.
B એ 'વિદ્યાર્થી હિંદીમાં પાસ થાય' તે ઘટના છે.

આપેલી સંભાવનાઓ છે:
અંગ્રેજી અને હિંદી બંને વિષયો પાસ કરવાની સંભાવના \( P(A \cap B) = 0.5 \).
બંનેમાંથી કોઈ પણ વિષય પાસ ન કરવાની સંભાવના \( P(A' \cap B') = 0.1 \).
અંગ્રેજીની પરીક્ષા પાસ કરવાની સંભાવના \( P(A) = 0.75 \).

આપણે 'હિંદીની પરીક્ષા પાસ કરવાની સંભાવના' એટલે કે \( P(B) \) શોધવાની છે.
પહેલાં, ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરીને \( P(A' \cap B') \) ને સરળ બનાવીએ:
\( P(A' \cap B') = P((A \cup B)') \)
આથી, \( P((A \cup B)') = 0.1 \).
પૂરક ઘટનાના નિયમ મુજબ: \( P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B) \).
તેથી,
\( 1 - P(A \cup B) = 0.1 \)
\( P(A \cup B) = 1 - 0.1 \)
\( P(A \cup B) = 0.9 \).

હવે, યોગ ગણ માટેના સંભાવના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:
\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
આપણે \( P(B) \) શોધવાનું છે. આપેલી અને ગણેલી કિંમતો મૂકતા:
\( 0.9 = 0.75 + P(B) - 0.5 \)
\( 0.9 = (0.75 - 0.5) + P(B) \)
\( 0.9 = 0.25 + P(B) \)
\( P(B) = 0.9 - 0.25 \)
\( P(B) = 0.65 \).
આમ, વિદ્યાર્થી હિંદીમાં પાસ થાય તેની સંભાવના 0.65 છે.
In simple words: વિદ્યાર્થીને અંગ્રેજી અને હિંદી બંનેમાં પાસ થવાની શક્યતા 0.5 છે. બંનેમાંથી કોઈપણ વિષયમાં પાસ ન થવાની શક્યતા 0.1 છે. જો અંગ્રેજીમાં પાસ થવાની શક્યતા 0.75 હોય, તો હિંદીમાં પાસ થવાની શક્યતા કેટલી? આપણે "કોઈપણ વિષયમાં પાસ ન થવાની" શક્યતાને "કોઈપણ વિષયમાં પાસ થવાની" શક્યતામાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ (1-0.1 = 0.9). પછી, યોગ ગણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને (0.9 = 0.75 + P(હિંદી) - 0.5), આપણે P(હિંદી) ને અલગ પાડીએ છીએ, જે 0.65 મળે છે.

Exam Tip: "કોઈપણ વિષય પાસ ન કરવાની" સંભાવનાનો અર્થ \( P(A' \cap B') \) છે, જેને ડી મોર્ગનના નિયમથી \( P((A \cup B)') \) માં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. આ પછી પૂરક ઘટનાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને \( P(A \cup B) \) શોધો, અને પછી યોગ ગણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરો.

 

Question 21. એક ધોરણના 60 વિદ્યાર્થીઓમાંથી NCCને 30, NSSને 32 અને બંનેને 24 વિદ્યાર્થીઓએ પસંદ કર્યા છે. જો આ બધામાંથી એક વિદ્યાર્થી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે, તો આપેલ ઘટનાઓની સંભાવના શોધો :
(1) વિદ્યાર્થીએ NCC અથવા NSSને પસંદ કર્યા છે.
(2) વિદ્યાર્થીએ NCC અને NSSમાંથી એક પણ પસંદ કર્યા નથી.
(3) વિદ્યાર્થીએ NSSને પસંદ કર્યું છે, પરંતુ NCCને પસંદ કર્યું નથી.
Answer: એક ધોરણમાં કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા \( n(S) = 60 \).
ધારો કે,
A એ 'વિદ્યાર્થી NCC પસંદ કરે' તે ઘટના છે.
B એ 'વિદ્યાર્થી NSS પસંદ કરે' તે ઘટના છે.

આપેલી માહિતી મુજબ:
NCC પસંદ કરનારા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા = 30, તેથી \( P(A) = \frac { 30 }{ 60 } = \frac { 1 }{ 2 } \).
NSS પસંદ કરનારા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા = 32, તેથી \( P(B) = \frac { 32 }{ 60 } = \frac { 8 }{ 15 } \).
બંને (NCC અને NSS) પસંદ કરનારા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા = 24, તેથી \( P(A \cap B) = \frac { 24 }{ 60 } = \frac { 2 }{ 5 } \).

(1) વિદ્યાર્થીએ NCC અથવા NSSને પસંદ કર્યા છે (A અથવા B) તેની સંભાવના:
આપણે \( P(A \cup B) \) શોધવાનું છે.
યોગ ગણ માટેનું સંભાવના સૂત્ર છે: \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \).
કિંમતો મૂકતા:
\( P(A \cup B) = \frac { 1 }{ 2 } + \frac { 8 }{ 15 } - \frac { 2 }{ 5 } \)
સામાન્ય છેદ 30 લેતા:
\( P(A \cup B) = \frac { 15 }{ 30 } + \frac { 16 }{ 30 } - \frac { 12 }{ 30 } \)
\( P(A \cup B) = \frac { 15 + 16 - 12 }{ 30 } = \frac { 19 }{ 30 } \).
આમ, વિદ્યાર્થીએ NCC અથવા NSSને પસંદ કર્યા છે તેની સંભાવના \( \frac { 19 }{ 30 } \) છે.

(2) વિદ્યાર્થીએ NCC અને NSSમાંથી એક પણ પસંદ કર્યા નથી તેની સંભાવના:
આનો અર્થ \( P(A' \cap B') \) થાય છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ: \( P(A' \cap B') = P((A \cup B)') \).
પૂરક ઘટનાના નિયમ મુજબ: \( P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B) \).
ભાગ (1) માંથી \( P(A \cup B) = \frac { 19 }{ 30 } \) છે.
\( P(A' \cap B') = 1 - \frac { 19 }{ 30 } \)
\( P(A' \cap B') = \frac { 30 - 19 }{ 30 } = \frac { 11 }{ 30 } \).
આમ, વિદ્યાર્થીએ NCC અને NSSમાંથી એક પણ પસંદ કર્યા નથી તેની સંભાવના \( \frac { 11 }{ 30 } \) છે.

(3) વિદ્યાર્થીએ NSSને પસંદ કર્યું છે, પરંતુ NCCને પસંદ કર્યું નથી તેની સંભાવના:
આનો અર્થ \( P(B \cap A') \) થાય છે, જે \( P(B - A) \) તરીકે પણ ઓળખાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે \( P(B - A) = P(B) - P(A \cap B) \).
કિંમતો મૂકતા:
\( P(B - A) = \frac { 8 }{ 15 } - \frac { 2 }{ 5 } \)
સામાન્ય છેદ 15 લેતા:
\( P(B - A) = \frac { 8 }{ 15 } - \frac { 6 }{ 15 } \)
\( P(B - A) = \frac { 8 - 6 }{ 15 } = \frac { 2 }{ 15 } \).
આમ, વિદ્યાર્થીએ NSSને પસંદ કર્યું છે, પરંતુ NCCને પસંદ કર્યું નથી તેની સંભાવના \( \frac { 2 }{ 15 } \) છે.
In simple words: કુલ 60 વિદ્યાર્થીઓમાંથી, 30 NCC, 32 NSS અને 24 બંને પસંદ કરે છે. (1) જો આપણે NCC અથવા NSS પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીની શક્યતા શોધવી હોય, તો આપણે NCC અને NSS ની શક્યતાઓને ઉમેરીએ છીએ અને પછી બંને પસંદ કરનારની શક્યતા બાદ કરીએ છીએ, જે \( \frac{19}{30} \) મળે છે. (2) જો કોઈ પણ પસંદ ન કરનાર વિદ્યાર્થીની શક્યતા શોધવી હોય, તો આપણે 1 માંથી "કોઈપણ એક પસંદ કરનાર" ની શક્યતા બાદ કરીએ છીએ, જે \( \frac{11}{30} \) મળે છે. (3) જો NSS પસંદ કરનાર પણ NCC પસંદ ન કરનાર વિદ્યાર્થીની શક્યતા શોધવી હોય, તો આપણે NSS ની શક્યતામાંથી બંને પસંદ કરનારની શક્યતા બાદ કરીએ છીએ, જે \( \frac{2}{15} \) મળે છે.

Exam Tip: સમૂહોના પ્રશ્નોમાં, વેન આકૃતિઓ ખ્યાલોને સ્પષ્ટ કરવામાં મદદ કરી શકે છે. "અથવા" માટે યોગ ગણ, "અને" માટે આંતરછેદ, "એક પણ નહીં" માટે પૂરક ગણના આંતરછેદ અને "ફક્ત A" માટે \( P(A - B) \) નો ઉપયોગ કરો.