GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 15 આંકડાશાસ્ત્ર Exercise 15.2

પ્રશ્ન 1થી 5માં પ્રત્યેક આપેલી માહિતી માટે મધ્યક અને વિચરણ શોધો :

 

Question 1. 6, 7, 10, 12, 13, 4, 8, 12
Answer: મધ્યક અને વિચરણની કિંમતો શોધવા માટે આપણે નીચે મુજબ કોષ્ટક તૈયાર કરીશું:

મધ્યક \( (\bar{x}) = \frac{ \sum_{i=1}^8 x_i }{ n } \), જ્યાં \( n = 8 \)
\( \implies \bar{x} = \frac{ 72 }{ 8 } = 9 \)

વિચરણ \( (\sigma^2) = \frac{ \sum_{i=1}^8 (x_i - \bar{x})^2 }{ n } \)
\( \implies \sigma^2 = \frac{ 74 }{ 8 } = 9.25 \)
આમ, મધ્યક 9 છે અને વિચરણ 9.25 છે.

બીજી રીત :

કોષ્ટક પરથી, આપણને મળે છે કે \( \sum_{i=1}^8 x_i = 72 \), \( \sum_{i=1}^8 x_i^2 = 722 \) અને \( n = 8 \).
\( \implies \text{મધ્યક } (\bar{x}) = \frac{ \sum_{i=1}^8 x_i }{ n } = \frac{ 72 }{ 8 } = 9 \)

વિચરણ \( (\sigma^2) = \frac{ \sum_{i=1}^8 x_i^2 }{ n } - \left( \frac{ \sum_{i=1}^8 x_i }{ n } \right)^2 \)
\( \implies \sigma^2 = \frac{ 722 }{ 8 } - \left( \frac{ 72 }{ 8 } \right)^2 \)
\( \implies \sigma^2 = 90.25 - 9^2 \)
\( \implies \sigma^2 = 90.25 - 81 \)
\( \implies \sigma^2 = 9.25 \)
આમ, મધ્યક 9 છે અને વિચરણ પણ 9.25 છે.
In simple words: આપણે મધ્યક શોધવા માટે બધા અંકોનો સરવાળો કરીને તેમને સંખ્યાની કુલ સંખ્યાથી ભાગીએ છીએ. વિચરણ શોધવા માટે, આપણે દરેક અંકનો મધ્યકથી તફાવત લઈએ છીએ, તેનો વર્ગ કરીએ છીએ, અને પછી તે બધાનો સરેરાશ કાઢીએ છીએ. અહીં, મધ્યક 9 છે અને વિચરણ 9.25 છે.

Exam Tip: મધ્યક અને વિચરણ શોધવા માટે બંને પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરી શકાય છે, પરંતુ ખાતરી કરો કે તમારી ગણતરીઓ સચોટ છે અને તમે યોગ્ય સૂત્રોનો ઉપયોગ કરી રહ્યા છો. જવાબને ક્રોસ-ચેક કરવો હંમેશા સારો વિચાર છે.

 

Question 2. પ્રથમ n પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ માટે મધ્યક અને વિચરણ શોધો.
Answer: પ્રથમ \( n \) પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ 1, 2, 3, ......... \( n \) છે.

મધ્યક \( (\bar{x}) = \frac{ 1 + 2 + 3 + ... + n }{ n } \)
\( \implies \bar{x} = \frac{ \frac{ n(n+1) }{ 2 } }{ n } \)
\( \implies \bar{x} = \frac{ n+1 }{ 2 } \)

વિચરણ \( (\sigma^2) = \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2 }{ n } - \left( \frac{ \sum_{i=1}^n x_i }{ n } \right)^2 \)
\( \implies \sigma^2 = \frac{ 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 }{ n } - \left( \frac{ 1 + 2 + 3 + ... + n }{ n } \right)^2 \)
\( \implies \sigma^2 = \frac{ n(n+1)(2n+1) }{ 6n } - \left[ \frac{ n(n+1) }{ 2n } \right]^2 \)
\( \implies \sigma^2 = \frac{ (n+1)(2n+1) }{ 6 } - \left( \frac{ n+1 }{ 2 } \right)^2 \)
\( \implies \sigma^2 = \frac{ n+1 }{ 2 } \left[ \frac{ 2n+1 }{ 3 } - \frac{ n+1 }{ 2 } \right] \)
\( \implies \sigma^2 = \frac{ n+1 }{ 2 } \left[ \frac{ 2(2n+1) - 3(n+1) }{ 6 } \right] \)
\( \implies \sigma^2 = \frac{ n+1 }{ 2 } \left[ \frac{ 4n+2-3n-3 }{ 6 } \right] \)
\( \implies \sigma^2 = \left( \frac{ n+1 }{ 2 } \right) \left( \frac{ n-1 }{ 6 } \right) \)
\( \implies \sigma^2 = \frac{ n^2-1 }{ 12 } \)
આમ, પ્રથમ \( n \) પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ માટે મધ્યક \( \frac{ n+1 }{ 2 } \) છે અને વિચરણ \( \frac{ n^2-1 }{ 12 } \) છે.
In simple words: જો આપણે 1, 2, 3... જેવા ક્રમમાં કોઈ પણ n જેટલી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ લઈએ, તો તેનો સરેરાશ શોધવા માટે આપણે છેલ્લી સંખ્યામાં 1 ઉમેરીને તેને 2 વડે ભાગી શકીએ છીએ. અને તેની કેટલી વિવિધતા છે તે જાણવા માટે, આપણે n નો વર્ગ કરીને 1 બાદ કરીને તેને 12 વડે ભાગી શકીએ છીએ.

Exam Tip: પ્રથમ \( n \) પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ માટે મધ્યક અને વિચરણના સૂત્રો સીધા યાદ રાખવાથી સમય બચાવી શકાય છે. આ સૂત્રોનો ઉપયોગ ઘણા ગણિતીય પ્રશ્નોમાં થાય છે.

 

Question 3. ત્રણના પ્રથમ 10 ગુણિત.
Answer: ત્રણના પ્રથમ 10 ગુણિત 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 છે.

મધ્યક \( (\bar{x}) = \frac{ 3+6+9+...+30 }{ 10 } \)
\( \implies \bar{x} = \frac{ 3(1+2+3+...+10) }{ 10 } \)
\( \implies \bar{x} = \frac{ 3 \times \frac{ 10 \times 11 }{ 2 } }{ 10 } \quad \left[ \text{કારણ કે } \sum_{r=1}^n r = \frac{ n(n+1) }{ 2 } \right] \)
\( \implies \bar{x} = \frac{ 3 \times 10 \times 11 }{ 2 \times 10 } \)
\( \implies \bar{x} = \frac{ 33 }{ 2 } = 16.5 \)

વિચરણ \( (\sigma^2) = \frac{ \sum_{i=1}^{10} x_i^2 }{ n } - \left( \frac{ \sum_{i=1}^{10} x_i }{ n } \right)^2 \)
\( \implies \sigma^2 = \frac{ 3^2 + 6^2 + 9^2 + ... + 30^2 }{ 10 } - \left( \frac{ 3+6+9+...+30 }{ 10 } \right)^2 \)
\( \implies \sigma^2 = \frac{ 3^2 (1^2+2^2+3^2 + ... +10^2) }{ 10 } - (16.5)^2 \quad \left[ \text{સમીકરણ (1) પરથી} \right] \)
\( \implies \sigma^2 = 9 \times \frac{ 10 \times 11 \times 21 }{ 6 \times 10 } - \left( \frac{ 33 }{ 2 } \right)^2 \quad \left[ \text{કારણ કે } \sum_{r=1}^n r^2 = \frac{ n(n+1)(2n+1) }{ 6 } \right] \)
\( \implies \sigma^2 = 9 \times \frac{ 2310 }{ 60 } - \frac{ 1089 }{ 4 } \)
\( \implies \sigma^2 = 9 \times 38.5 - 272.25 \)
\( \implies \sigma^2 = 346.5 - 272.25 \)
\( \implies \sigma^2 = 74.25 \)
આમ, મધ્યક 16.5 છે અને વિચરણ 74.25 છે.
In simple words: આપણે ત્રણના પ્રથમ દસ ગુણાકાર લખીએ છીએ, જે 3, 6, 9... થી 30 સુધીના છે. પછી આપણે આ સંખ્યાઓનો સરેરાશ (મધ્યક) અને તે સંખ્યાઓ કેટલી ફેલાયેલી છે તે (વિચરણ) શોધીએ છીએ. મધ્યક 16.5 છે અને વિચરણ 74.25 છે.

Exam Tip: ગુણિતોના પ્રશ્નોમાં, તમે સામાન્ય અવયવ બહાર કાઢીને ગણતરીને સરળ બનાવી શકો છો. પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળા અને વર્ગોના સરવાળાના સૂત્રો યાદ રાખો.

 

Question 4.

Answer: મધ્યક અને વિચરણની કિંમતો શોધવા માટે નીચે મુજબ કોષ્ટક તૈયાર કરીશું:

કોષ્ટક પરથી, આપણે જોઈએ છીએ કે \( \sum_{i=1}^7 f_i = 40 \) અને \( \sum_{i=1}^7 f_i x_i = 760 \).
\( \implies \text{મધ્યક } (\bar{x}) = \frac{ \sum_{i=1}^7 f_i x_i }{ \sum_{i=1}^7 f_i } \)
\( \implies \bar{x} = \frac{ 760 }{ 40 } = 19 \)

કોષ્ટક પરથી, આપણને \( \sum_{i=1}^7 f_i (x_i - \bar{x})^2 = 1736 \) પણ મળે છે.
\( \implies \text{વિચરણ } (\sigma^2) = \frac{ \sum_{i=1}^7 f_i (x_i - \bar{x})^2 }{ \sum_{i=1}^7 f_i } \)
\( \implies \sigma^2 = \frac{ 1736 }{ 40 } = 43.4 \)
આમ, મધ્યક 19 છે અને વિચરણ 43.4 છે.
In simple words: આપણે આપેલા ડેટા માટે મધ્યક (સરેરાશ) અને વિચરણ (કેટલો ફેલાવો છે) શોધી રહ્યા છીએ. પ્રથમ, આપણે બધા \( f_i x_i \) નો સરવાળો કરીને તેને કુલ આવર્તન \( (\sum f_i) \) વડે ભાગીએ છીએ જેથી મધ્યક 19 મળે છે. પછી, આપણે વિચરણ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને \( f_i (x_i - \bar{x})^2 \) ના સરવાળાને કુલ આવર્તનથી ભાગીએ છીએ, જેનાથી આપણને 43.4 મળે છે.

Exam Tip: આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક બનાવતી વખતે ગણતરીમાં ભૂલો ટાળવા માટે દરેક પગલું કાળજીપૂર્વક કરો. \( x_i - \bar{x} \) ના કોલમનો સરવાળો હંમેશા શૂન્ય થવો જોઈએ, જે ગણતરી ચકાસવામાં મદદ કરે છે.

 

Question 5.

Answer: મધ્યક અને વિચરણની કિંમતો શોધવા માટે નીચે મુજબ કોષ્ટક તૈયાર કરીશું:

કોષ્ટક પરથી, આપણે મેળવીએ છીએ કે \( \sum_{i=1}^7 f_i = 22 \), \( \sum_{i=1}^7 f_i y_i = 66 \) અને \( \sum_{i=1}^7 f_i y_i^2 = 838 \).
\( \implies \bar{y} = \frac{ \sum_{i=1}^7 f_i y_i }{ \sum_{i=1}^7 f_i } = \frac{ 66 }{ 22 } = 3 \)

મધ્યક \( (\bar{x}) = A + h\bar{y} \), જ્યાં \( A = 97 \), \( h = 1 \) છે.
\( \implies \bar{x} = 97 + 1 \times 3 = 100 \)

વિચરણ \( (\sigma_x^2) = h^2 \times \sigma_y^2 \quad [\text{અહીં } h=1] \)
\( \implies \sigma_x^2 = \frac{ \sum_{i=1}^7 f_i y_i^2 }{ \sum_{i=1}^7 f_i } - \left( \frac{ \sum_{i=1}^7 f_i y_i }{ \sum_{i=1}^7 f_i } \right)^2 \)
\( \implies \sigma_x^2 = \frac{ 838 }{ 22 } - \left( \frac{ 66 }{ 22 } \right)^2 \)
\( \implies \sigma_x^2 = 38.09 - (3)^2 \)
\( \implies \sigma_x^2 = 38.09 - 9 \)
\( \implies \sigma_x^2 = 29.09 \)
આમ, મધ્યક 100 છે અને વિચરણ 29.09 છે.
In simple words: આપણે મધ્યક અને વિચરણ શોધવા માટે ટૂંકી રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. પ્રથમ, આપણે \( y_i \) મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ અને પછી \( \bar{y} \) શોધીએ છીએ. પછી, આ \( \bar{y} \) નો ઉપયોગ કરીને આપણે વાસ્તવિક મધ્યક \( \bar{x} \) મેળવીએ છીએ. વિચરણ શોધવા માટે, આપણે \( \sum f_i y_i^2 \) અને \( \sum f_i y_i \) નો ઉપયોગ કરીને સૂત્ર લાગુ પાડીએ છીએ.

Exam Tip: ટૂંકી રીતમાં, \( A \) (ધારેલો મધ્યક) અને \( h \) (વર્ગ લંબાઈ) યોગ્ય રીતે પસંદ કરવાથી ગણતરીઓ ખૂબ સરળ બની શકે છે. \( y_i \) કોલમની ગણતરીમાં સાવચેતી રાખો.

 

Question 6. ટૂંકી રીતનો ઉપયોગ કરીને મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન શોધો.

Answer: મધ્યક અને વિચરણની કિંમતો શોધવા માટે નીચે મુજબ કોષ્ટક તૈયાર કરીશું:

કોષ્ટક પરથી, આપણે જોઈએ છીએ કે \( N = \sum_{i=1}^9 f_i = 100 \), \( \sum_{i=1}^9 f_i y_i = 0 \) અને \( \sum_{i=1}^9 f_i y_i^2 = 286 \).
\( \implies \bar{y} = \frac{ \sum_{i=1}^9 f_i y_i }{ \sum_{i=1}^9 f_i } = \frac{ 0 }{ 100 } = 0 \)

મધ્યક \( (\bar{x}) = A + h\bar{y} \), જ્યાં \( A = 64 \), \( h = 1 \) છે.
\( \implies \bar{x} = 64 + 1 \times 0 = 64 \)

પ્રમાણિત વિચલન \( (\sigma_x) = \frac{ h }{ N } \sqrt{ N \sum_{i=1}^9 f_i y_i^2 - \left( \sum_{i=1}^9 f_i y_i \right)^2 } \)
\( \implies \sigma_x = \frac{ 1 }{ 100 } \sqrt{ 100 \times 286 - (0)^2 } \)
\( \implies \sigma_x = \frac{ 1 }{ 100 } \sqrt{ 28600 - 0 } \)
\( \implies \sigma_x = \frac{ 1 }{ 100 } \sqrt{ 28600 } \)
\( \implies \sigma_x = \frac{ 169.115 }{ 100 } = 1.69 \)
આમ, મધ્યક 64 છે અને પ્રમાણિત વિચલન 1.69 છે.
In simple words: આપણે મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન મેળવવા માટે ટૂંકી રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. કોષ્ટક બનાવ્યા પછી, આપણે ધારેલો મધ્યક A અને વર્ગ લંબાઈ h નો ઉપયોગ કરીને \( \bar{y} \) શોધીએ છીએ. પછી, આ \( \bar{y} \) નો ઉપયોગ કરીને આપણે વાસ્તવિક મધ્યક \( \bar{x} \) અને પ્રમાણિત વિચલન \( \sigma_x \) ની ગણતરી કરીએ છીએ.

Exam Tip: પ્રમાણિત વિચલનનું સૂત્ર કાળજીપૂર્વક લાગુ કરો. \( N \) અને \( h \) ના મૂલ્યોને યોગ્ય રીતે મૂકવું અને ગણતરીમાં વર્ગમૂળ લેવાનું ભૂલશો નહીં.

 

Question 7. નીચે આપેલ આવૃત્તિ-વિતરણ માટે મધ્યક અને વિચરણ શોધો :

Answer: મધ્યક અને વિચરણની કિંમતો શોધવા માટે નીચે મુજબ કોષ્ટક તૈયાર કરીશું:

કોષ્ટક પરથી, આપણે જોઈએ છીએ કે \( N = \sum_{i=1}^7 f_i = 30 \), \( \sum_{i=1}^7 f_i y_i = 2 \) અને \( \sum_{i=1}^7 f_i y_i^2 = 76 \).
\( \implies \bar{y} = \frac{ \sum_{i=1}^7 f_i y_i }{ \sum_{i=1}^7 f_i } = \frac{ 2 }{ 30 } \)

મધ્યક \( (\bar{x}) = A + h\bar{y} \), જ્યાં \( A = 105 \), \( h = 30 \) છે.
\( \implies \bar{x} = 105 + 30 \times \frac{ 2 }{ 30 } \)
\( \implies \bar{x} = 105 + 2 = 107 \)

વિચરણ \( (\sigma_x^2) = h^2 \times \sigma_y^2 \)
\( \implies \sigma_x^2 = h^2 \left[ \frac{ N \sum_{i=1}^7 f_i y_i^2 - \left( \sum_{i=1}^7 f_i y_i \right)^2 }{ N^2 } \right] \)
\( \implies \sigma_x^2 = \frac{ (30)^2 }{ (30)^2 } \left[ \frac{ 30 \times 76 - (2)^2 }{ 30 } \right] \)
\( \implies \sigma_x^2 = \frac{ 30 \times 76 - 4 }{ 1 } \)
\( \implies \sigma_x^2 = 2280 - 4 \)
\( \implies \sigma_x^2 = 2276 \)
આમ, મધ્યક 107 છે અને વિચરણ 2276 છે.
In simple words: આપણે આ આવૃત્તિ-વિતરણ માટે સરેરાશ (મધ્યક) અને વિચરણ (ફેલાવો) શોધવાના છે. આપણે વર્ગ, આવૃત્તિ અને મધ્યકિંમતનો ઉપયોગ કરીને એક મોટું કોષ્ટક બનાવીએ છીએ. પછી, ધારેલા મધ્યક અને વર્ગ લંબાઈનો ઉપયોગ કરીને \( y_i \) ની ગણતરી કરીએ છીએ. આના આધારે, આપણે ગણતરી કરેલા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને મધ્યક 107 અને વિચરણ 2276 મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: વર્ગીકૃત ડેટા માટે મધ્યક અને વિચરણ શોધતી વખતે, \( y_i \) ની ગણતરીમાં મધ્યકિંમત અને વર્ગ લંબાઈનો યોગ્ય ઉપયોગ કરવો મહત્વપૂર્ણ છે. \( h^2 \) ને સૂત્રમાં યોગ્ય રીતે ગુણવાનું ભૂલશો નહીં.

 

Question 8. નીચે આપેલ આવૃત્તિ-વિતરણ માટે મધ્યક અને વિચરણ શોધો :

Answer: મધ્યક અને વિચરણની કિંમતો શોધવા માટે નીચે મુજબ કોષ્ટક તૈયાર કરીશું:

કોષ્ટક પરથી, આપણે જોઈએ છીએ કે \( N = \sum_{i=1}^5 f_i = 50 \), \( \sum_{i=1}^5 f_i y_i = 10 \) અને \( \sum_{i=1}^5 f_i y_i^2 = 68 \).
\( \implies \bar{y} = \frac{ \sum_{i=1}^5 f_i y_i }{ \sum_{i=1}^5 f_i } = \frac{ 10 }{ 50 } = \frac{ 1 }{ 5 } \)

મધ્યક \( (\bar{x}) = A + h\bar{y} \), જ્યાં \( A = 25 \), \( h = 10 \) છે.
\( \implies \bar{x} = 25 + 10 \times \frac{ 1 }{ 5 } \)
\( \implies \bar{x} = 25 + 2 = 27 \)

વિચરણ \( (\sigma_x^2) = h^2 \times \sigma_y^2 \)
\( \implies \sigma_x^2 = h^2 \left[ \frac{ N \sum_{i=1}^5 f_i y_i^2 - \left( \sum_{i=1}^5 f_i y_i \right)^2 }{ N^2 } \right] \)
\( \implies \sigma_x^2 = \frac{ (10)^2 }{ (50)^2 } \left[ 50 \times 68 - (10)^2 \right] \)
\( \implies \sigma_x^2 = \frac{ 100 }{ 2500 } (3400 - 100) \)
\( \implies \sigma_x^2 = \frac{ 1 }{ 25 } \times 3300 \)
\( \implies \sigma_x^2 = 132 \)
આમ, મધ્યક 27 છે અને વિચરણ 132 છે.
In simple words: આપણે મધ્યક અને વિચરણ શોધવા માટે વર્ગ, આવૃત્તિ અને મધ્યકિંમતનો ઉપયોગ કરીને એક મોટું કોષ્ટક બનાવીએ છીએ. પછી, આપણે \( y_i \) મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ અને તેનો ઉપયોગ કરીને \( \bar{y} \) શોધીએ છીએ. અંતે, આના આધારે આપણે મધ્યક 27 અને વિચરણ 132 મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: વર્ગ-આવૃત્તિ વિતરણમાં ગણતરી કરતી વખતે, \( h^2 \) ના ગુણાકાર અને ભાગાકારમાં ખાસ ધ્યાન આપો. મોટા આંકડાઓ સાથે વ્યવહાર કરતી વખતે કેલ્ક્યુલેટરનો સમજદારીપૂર્વક ઉપયોગ કરો.

 

Question 9. ટૂંકી રીતનો ઉપયોગ કરીને મધ્યક, વિચરણ અને પ્રમાણિત વિચલન શોધો.

Answer: મધ્યક અને વિચરણની કિંમતો શોધવા માટે નીચે મુજબ કોષ્ટક તૈયાર કરીશું:

કોષ્ટક પરથી, આપણે જોઈએ છીએ કે \( N = \sum_{i=1}^9 f_i = 60 \), \( \sum_{i=1}^9 f_i y_i = 6 \) અને \( \sum_{i=1}^9 f_i y_i^2 = 254 \).
\( \implies \bar{y} = \frac{ \sum_{i=1}^9 f_i y_i }{ \sum_{i=1}^9 f_i } = \frac{ 6 }{ 60 } = \frac{ 1 }{ 10 } \)

મધ્યક \( (\bar{x}) = A + h\bar{y} \), જ્યાં \( A = 92.5 \), \( h = 5 \) છે.
\( \implies \bar{x} = 92.5 + 5 \times \frac{ 1 }{ 10 } \)
\( \implies \bar{x} = 92.5 + 0.5 = 93 \)

વિચરણ \( (\sigma_x^2) = h^2 \times \sigma_y^2 \)
\( \implies \sigma_x^2 = h^2 \left[ \frac{ N \sum_{i=1}^9 f_i y_i^2 - \left( \sum_{i=1}^9 f_i y_i \right)^2 }{ N^2 } \right] \)
\( \implies \sigma_x^2 = \frac{ (5)^2 }{ (60)^2 } \left[ 60 \times 254 - (6)^2 \right] \)
\( \implies \sigma_x^2 = \frac{ 25 }{ 3600 } (15240 - 36) \)
\( \implies \sigma_x^2 = \frac{ 1 }{ 144 } \times 15204 \)
\( \implies \sigma_x^2 = 105.58 \)

પ્રમાણિત વિચલન \( (\sigma_x) = \sqrt{ \text{વિચરણ} } \)
\( \implies \sigma_x = \sqrt{ 105.58 } \)
\( \implies \sigma_x = 10.27 \)
આમ, મધ્યક 93 છે, વિચરણ 105.58 છે અને S.D. 10.27 છે.
In simple words: આપણે મધ્યક, વિચરણ અને પ્રમાણિત વિચલન શોધવા માટે ટૂંકી રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. કોષ્ટકમાં, આપણે મધ્યકિંમત અને ધારેલા મધ્યકનો ઉપયોગ કરીને \( y_i \) ની ગણતરી કરીએ છીએ. પછી, સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મધ્યક 93, વિચરણ 105.58, અને પ્રમાણિત વિચલન 10.27 મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: પ્રમાણિત વિચલન શોધવા માટે વિચરણનું વર્ગમૂળ લેવાનું ભૂલશો નહીં. \( h^2 \) ને સૂત્રમાં યોગ્ય રીતે ગુણવાનું ધ્યાન રાખો, ખાસ કરીને જ્યારે વર્ગ લંબાઈ 1 સિવાયની હોય.

 

Question 10. એક ડિઝાઇનમાં બનાવેલાં વર્તુળોના વ્યાસ મિમીમાં નીચે આપ્યા છે

વર્તુળોના વ્યાસનું પ્રમાણિત વિચલન અને મધ્યક વ્યાસ શોધો.
Answer: મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલનની કિંમતો શોધવા માટે નીચે મુજબ કોષ્ટક તૈયાર કરીશું:

કોષ્ટક પરથી, આપણે જોઈએ છીએ કે \( N = \sum_{i=1}^5 f_i = 100 \), \( \sum_{i=1}^5 f_i y_i = 25 \) અને \( \sum_{i=1}^5 f_i y_i^2 = 199 \).
\( \implies \bar{y} = \frac{ \sum_{i=1}^5 f_i y_i }{ \sum_{i=1}^5 f_i } = \frac{ 25 }{ 100 } = \frac{ 1 }{ 4 } \)

મધ્યક \( (\bar{x}) = A + h\bar{y} \), જ્યાં \( A = 42.5 \), \( h = 4 \) છે.
\( \implies \bar{x} = 42.5 + 4 \times \frac{ 1 }{ 4 } \)
\( \implies \bar{x} = 42.5 + 1 = 43.5 \)

પ્રમાણિત વિચલન \( \sigma_x = \frac{ h }{ N } \sqrt{ N \sum_{i=1}^5 f_i y_i^2 - \left( \sum_{i=1}^5 f_i y_i \right)^2 } \)
\( \implies \sigma_x = \frac{ 4 }{ 100 } \sqrt{ 100 \times 199 - (25)^2 } \)
\( \implies \sigma_x = \frac{ 4 }{ 100 } \sqrt{ 19900 - 625 } \)
\( \implies \sigma_x = \frac{ 4 }{ 100 } \sqrt{ 19275 } \)
\( \implies \sigma_x = \frac{ 1 }{ 25 } \times 138.83 \)
\( \implies \sigma_x = 5.55 \)
આમ, પ્રમાણિત વિચલન 5.55 છે અને મધ્યક 43.5 મિમી છે.
In simple words: આપણે વર્તુળના વ્યાસ માટે સરેરાશ (મધ્યક) અને કેટલો વ્યાસ અલગ પડે છે (પ્રમાણિત વિચલન) તે શોધી રહ્યા છીએ. આ માટે, આપણે આપેલા વર્ગને સુધારીએ છીએ, મધ્યકિંમત શોધીએ છીએ, અને પછી \( y_i \) ની ગણતરી કરીએ છીએ. આ મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મધ્યક 43.5 મિમી અને પ્રમાણિત વિચલન 5.55 મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે વર્ગ સતત ન હોય (જેમ કે 33-36, 37-40), ત્યારે તેને સુધારેલા સતત વર્ગમાં (જેમ કે 32.5-36.5, 36.5-40.5) રૂપાંતરિત કરવું આવશ્યક છે. આ પગલું સચોટ મધ્યકિંમત અને ગણતરી માટે મહત્વપૂર્ણ છે.