GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 15 આંકડાશાસ્ત્ર Exercise 15.1

Question 1. 4, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 17. આપેલ માહિતી માટે મધ્યકને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન શોધો.
Answer: આપેલ માહિતી માટે, સૌ પ્રથમ આપણે મધ્યક શોધીશું.

મધ્યક: \( \bar{x} = \frac{4+7+8+9+10+12+13+17}{8} \)
\( = \frac{80}{8} \)
\( = 10 \)
હવે, આપેલી માહિતી પરથી નીચે મુજબ કોષ્ટક તૈયાર કરીશું:
આથી, મધ્યકની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન,
\( M.D. (\bar{x}) = \frac{\sum_{i=1}^8|x_i-\bar{x}|}{8} \)
\( = \frac{24}{8} \)
\( = 3 \)
In simple words: પહેલાં, આપણે બધા આંકડાનો સરવાળો કરીને તેને આંકડાની સંખ્યાથી ભાગીને સરેરાશ શોધીએ છીએ. પછી, દરેક આંકડામાંથી સરેરાશ બાદ કરીને તેનો ધન તફાવત લઈએ છીએ. છેલ્લે, આ ધન તફાવતોનો સરવાળો કરીને તેને કુલ આંકડાની સંખ્યાથી ભાગીને સરેરાશ વિચલન મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે અવલોકનો ઓછી સંખ્યામાં હોય, ત્યારે મધ્યક શોધીને સરેરાશ વિચલનની ગણતરી કરવી સરળ બને છે.

Question 2. 38, 70, 48, 40, 42, 55, 63, 46, 54, 44. આપેલ માહિતી માટે મધ્યકને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન શોધો.
Answer: આપેલ માહિતી માટે, સૌ પ્રથમ આપણે મધ્યક શોધીશું.

મધ્યક:
\( \bar{x} = \frac{38+70+48+40+42+55+63+46+54+44}{10} \)
\( = \frac{500}{10} \)
\( = 50 \)
હવે, આપેલી માહિતી પરથી નીચે મુજબ કોષ્ટક તૈયાર કરીશું:
આથી, મધ્યકની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન,
\( M.D. (\bar{x}) = \frac{\sum_{i=1}^{10}|x_i-\bar{x}|}{10} \)
\( = \frac{84}{10} \)
\( = 8.4 \)
In simple words: પહેલાં, બધા આંકડાનો સરવાળો કરીને કુલ સંખ્યાથી ભાગીને સરેરાશ શોધીએ. પછી, દરેક આંકડામાંથી સરેરાશ બાદ કરીને તેનો ધન તફાવત લઈએ. છેલ્લે, આ ધન તફાવતોનો સરવાળો કરીને તેને કુલ આંકડાની સંખ્યાથી ભાગીને સરેરાશ વિચલન મેળવીએ.

Exam Tip: ખાતરી કરો કે તમે મધ્યકને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન શોધી રહ્યા છો, મધ્યસ્થને સાપેક્ષ નહીં. આ બંનેમાં તફાવત છે.

Question 3. 13, 17, 16, 14, 11, 13, 10, 16, 11, 18, 12, 17. આપેલ માહિતી માટે મધ્યસ્થને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન શોધો.
Answer: આપેલ અવલોકનોને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતાં,
10, 11, 11, 12, 13, 13, 14, 16, 16, 17, 17, 18 અને \( n = 12 \), જે યુગ્મ સંખ્યા છે.

મધ્યસ્થ \( (M) = \frac{(\frac{n}{2})\text{મા અને } (\frac{n}{2}+1)\text{મા અવલોકનોની સરેરાશ}}{2} \)
\( = \text{છઠ્ઠા અને સાતમા અવલોકનોની સરેરાશ} \)
\( = \frac{13+14}{2} \)
\( = 13.5 \)
હવે, આપેલી માહિતી પરથી નીચે મુજબ કોષ્ટક તૈયાર કરીશું:
આથી, મધ્યસ્થને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન,
\( M.D. (M) = \frac{\sum_{i=1}^{12}|x_i-M|}{n} \)
\( = \frac{28}{12} \)
\( = 2.33 \)
In simple words: પહેલાં, બધા આંકડાને નાનાથી મોટા ક્રમમાં ગોઠવીએ. પછી, વચ્ચેનો આંકડો (મધ્યસ્થ) શોધીએ. જો બે આંકડા વચ્ચે હોય, તો તેમની સરેરાશ લઈએ. પછી, દરેક આંકડામાંથી મધ્યસ્થ બાદ કરીને તેનો ધન તફાવત લઈએ. છેલ્લે, આ ધન તફાવતોનો સરવાળો કરીને તેને કુલ આંકડાની સંખ્યાથી ભાગીને સરેરાશ વિચલન મેળવીએ.

Exam Tip: મધ્યસ્થની ગણતરી કરતી વખતે અવલોકનોને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવવાનું ભૂલશો નહીં, કારણ કે આ તેના વિના શક્ય નથી.

Question 4. 36, 72, 46, 42, 60, 45, 53, 46, 51, 49. આપેલ માહિતી માટે મધ્યસ્થને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન શોધો.
Answer: આપેલ અવલોકનોને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતાં,
36, 42, 45, 46, 46, 49, 51, 53, 60, 72 અને \( n = 10 \), જે યુગ્મ છે.

મધ્યસ્થ \( (M) = \frac{(\frac{n}{2})\text{મા અને } (\frac{n}{2}+1)\text{મા અવલોકનોની સરેરાશ}}{2} \)
\( = \text{પાંચમા અને છઠ્ઠા અવલોકનોની સરેરાશ} \)
\( = \frac{46+49}{2} \)
\( = \frac{95}{2} \)
\( = 47.5 \)
હવે, આપેલી માહિતી પરથી નીચે મુજબ કોષ્ટક તૈયાર કરીશું:
આથી, મધ્યસ્થને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન,
\( M.D. (M) = \frac{\sum_{i=1}^{10}|x_i-M|}{n} \)
\( = \frac{70}{10} \)
\( = 7 \)
In simple words: પહેલાં, બધા આંકડાને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવીએ. પછી, મધ્યસ્થ શોધીએ, જે વચ્ચેનો આંકડો છે. જો બે આંકડા વચ્ચે હોય, તો તેમની સરેરાશ લઈએ. પછી, દરેક આંકડામાંથી મધ્યસ્થ બાદ કરીને તેનો ધન તફાવત લઈએ. છેલ્લે, આ ધન તફાવતોનો સરવાળો કરીને તેને કુલ આંકડાની સંખ્યાથી ભાગીને સરેરાશ વિચલન મેળવીએ.

Exam Tip: અવલોકનોને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવ્યા પછી મધ્યસ્થ શોધવા માટે, યુગ્મ સંખ્યાના અવલોકનો માટે મધ્યના બે અવલોકનોની સરેરાશ લો.

Question 5. આપેલ માહિતી માટે મધ્યકને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન શોધો :

Answer: આપેલ માહિતી પરથી નીચે મુજબ કોષ્ટક તૈયાર કરીશું:

મધ્યક:
\( \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^5 f_i x_i}{\sum_{i=1}^5 f_i} \)
\( = \frac{350}{25} \)
\( = 14 \)
મધ્યકને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન,
\( M.D. (\bar{x}) = \frac{\sum_{i=1}^5 f_i|x_i-\bar{x}|}{\sum_{i=1}^5 f_i} \)
\( = \frac{158}{25} \)
\( = 6.32 \)
In simple words: પહેલાં, દરેક \( x_i \) ને તેના \( f_i \) સાથે ગુણીને \( f_i x_i \) શોધીએ. પછી, બધા \( f_i x_i \) નો સરવાળો કરીને કુલ \( f_i \) ના સરવાળાથી ભાગીને સરેરાશ શોધીએ. પછી, દરેક \( x_i \) માંથી સરેરાશ બાદ કરીને તેનો ધન તફાવત લઈએ. આ તફાવતને તેના \( f_i \) સાથે ગુણીને તેનો સરવાળો કરીએ. છેલ્લે, આ સરવાળાને કુલ \( f_i \) ના સરવાળાથી ભાગીને સરેરાશ વિચલન મેળવીએ.

Exam Tip: જ્યારે આવૃત્તિ વિતરણ આપેલું હોય ત્યારે, મધ્યક અને સરેરાશ વિચલન માટેના સૂત્રો યાદ રાખવા અને તેનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરવો મહત્વપૂર્ણ છે.

Question 6. આપેલ માહિતી માટે મધ્યકને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન શોધો :

Answer: આપેલ માહિતી પરથી નીચે મુજબ કોષ્ટક તૈયાર કરીશું:

મધ્યક:
\( \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^5 f_i x_i}{\sum_{i=1}^5 f_i} \)
\( = \frac{4000}{80} \)
\( = 50 \)
મધ્યકને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન,
\( M.D. (\bar{x}) = \frac{\sum_{i=1}^5 f_i|x_i-\bar{x}|}{\sum_{i=1}^5 f_i} \)
\( = \frac{1280}{80} \)
\( = 16 \)
In simple words: પહેલાં, દરેક \( x_i \) ને તેના \( f_i \) સાથે ગુણીને \( f_i x_i \) શોધીએ. પછી, બધા \( f_i x_i \) નો સરવાળો કરીને કુલ \( f_i \) ના સરવાળાથી ભાગીને સરેરાશ શોધીએ. પછી, દરેક \( x_i \) માંથી સરેરાશ બાદ કરીને તેનો ધન તફાવત લઈએ. આ તફાવતને તેના \( f_i \) સાથે ગુણીને તેનો સરવાળો કરીએ. છેલ્લે, આ સરવાળાને કુલ \( f_i \) ના સરવાળાથી ભાગીને સરેરાશ વિચલન મેળવીએ.

Exam Tip: જ્યારે માહિતી વર્ગીકૃત ન હોય ત્યારે પણ આવૃત્તિ વિતરણ માટે મધ્યકની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન આ જ પદ્ધતિથી શોધવામાં આવે છે.

Question 7. આપેલ માહિતી માટે મધ્યસ્થને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન શોધો :

Answer: આપેલ માહિતી પરથી નીચે મુજબ કોષ્ટક તૈયાર કરીશું:

મધ્યસ્થ: \( N = 26 \), જે યુગ્મ છે.
\( \implies M = \frac{(\frac{n}{2})\text{મા અને } (\frac{n}{2} + 1)\text{મા અવલોકનોની સરેરાશ}}{2} \)
\( = \text{13મા અને 14મા અવલોકનોની સરેરાશ} \)
આ બંને અવલોકનો સંચયી આવૃત્તિ 14ને સંગત છે.
\( \implies \) તેને અનુરૂપ અવલોકન 13 છે.
\( \implies \) મધ્યસ્થ \( (M) = \frac{\text{13મું અવલોકન + 14મું અવલોકન}}{2} \)
\( = \frac{7+7}{2} \)
\( = 7 \)
આથી, મધ્યસ્થને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન,
\( M.D. (M) = \frac{\sum_{i=1}^6 f_i|x_i-M|}{N} \)
\( = \frac{84}{26} \)
\( = 3.23 \)
In simple words: પહેલાં, આપણે આવૃત્તિઓનો ઉપયોગ કરીને સંચયી આવૃત્તિ બનાવીએ છીએ. પછી, કુલ અવલોકનોની સંખ્યા \( N \) ના આધારે મધ્યસ્થ શોધીએ છીએ. જો \( N \) યુગ્મ હોય, તો મધ્યના બે અવલોકનોની સરેરાશ લઈએ. પછી, દરેક \( x_i \) માંથી મધ્યસ્થ બાદ કરીને તેનો ધન તફાવત લઈએ. આ તફાવતને તેના \( f_i \) સાથે ગુણીને તેનો સરવાળો કરીએ. છેલ્લે, આ સરવાળાને \( N \) થી ભાગીને સરેરાશ વિચલન મેળવીએ.

Exam Tip: વિચ્છિન્ન આવૃત્તિ વિતરણમાં મધ્યસ્થ શોધવા માટે, સૌપ્રથમ સંચયી આવૃત્તિ શોધો અને પછી \( N/2 \) અથવા \( (N+1)/2 \) ને અનુરૂપ અવલોકન શોધો.

Question 8. આપેલ માહિતી માટે મધ્યસ્થને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન શોધો :

Answer: આપેલ માહિતી પરથી નીચે મુજબ કોષ્ટક તૈયાર કરીશું:

મધ્યસ્થ: \( N = 29 \), જે યુગ્મ છે.
\( \implies M = (\frac{N+1}{2})\text{મું અવલોકન} \)
\( = \text{15મું અવલોકન} \)
આ અવલોકનો સંચયી આવૃત્તિ 21ને સંગત છે.
\( \implies \) તેને અનુરૂપ અવલોકન 30 છે.
\( \implies M = 30 \)
આથી, મધ્યસ્થને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન,
\( M.D. (M) = \frac{\sum_{i=1}^5 f_i|x_i-M|}{N} \)
\( = \frac{148}{29} \)
\( = 5.1 \)
In simple words: પહેલાં, આપણે આવૃત્તિનો ઉપયોગ કરીને સંચયી આવૃત્તિ શોધીએ. પછી, કુલ અવલોકનોની સંખ્યા \( N \) ના આધારે મધ્યસ્થ નક્કી કરીએ. જો \( N \) એકી હોય, તો વચ્ચેનો આંકડો મધ્યસ્થ હોય છે. પછી, દરેક \( x_i \) માંથી મધ્યસ્થ બાદ કરીને તેનો ધન તફાવત લઈએ. આ તફાવતને તેના \( f_i \) સાથે ગુણીને તેનો સરવાળો કરીએ. છેલ્લે, આ સરવાળાને \( N \) થી ભાગીને સરેરાશ વિચલન મેળવીએ.

Exam Tip: એકી સંખ્યાના અવલોકનો માટે મધ્યસ્થ એ \( \frac{(N+1)}{2} \)-મું અવલોકન હોય છે, તેથી આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવી સરળ બને છે.

Question 9. આપેલ માહિતી માટે મધ્યકને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન શોધો :

Answer: અહીં, નવો ચલ \( d_i = \frac{x_i-350}{100} \) લઈ નીચે મુજબ કોષ્ટક તૈયાર કરીશું:

હવે, કોષ્ટક પરથી,
\( \sum_{i=1}^8 f_i d_i = 4 \) અને \( \sum_{i=1}^8 f_i = 50 \)
\( \implies \bar{d} = \frac{\sum_{i=1}^8 f_i d_i}{\sum_{i=1}^8 f_i} \)
\( = \frac{4}{50} \)
\( \implies \bar{x} = a + h \bar{d} \) જ્યાં, \( a = 350 \) અને \( h = 100 \)
\( = 350 + 100 \times \frac{4}{50} \)
\( = 358 \)
હવે, કોષ્ટક પરથી,
\( \sum_{i=1}^8 f_i|x_i - \bar{x}| = 7896 \)
આથી, મધ્યકને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન,
\( M.D. (\bar{x}) = \frac{\sum_{i=1}^8 f_i|x_i-\bar{x}|}{\sum_{i=1}^8 f_i} \)
\( = \frac{7896}{50} \)
\( = 157.92 \)
In simple words: પહેલાં, આપણે વર્ગની મધ્યકિંમત શોધીએ. પછી, એક ધારેલો મધ્યક લઈને \( d_i \) શોધીએ અને તેનો ઉપયોગ કરીને સરેરાશ શોધીએ. પછી, દરેક વર્ગની મધ્યકિંમતમાંથી સરેરાશ બાદ કરીને તેનો ધન તફાવત લઈએ. આ તફાવતને આવૃત્તિ સાથે ગુણીને તેનો સરવાળો કરીએ. છેલ્લે, આ સરવાળાને કુલ આવૃત્તિથી ભાગીને સરેરાશ વિચલન મેળવીએ.

Exam Tip: વર્ગીકૃત માહિતીમાં મધ્યકને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન શોધવા માટે, મધ્યકિંમત \( x_i \) ને કાળજીપૂર્વક ગણતરી કરો અને પછી યોગ્ય સૂત્રોનો ઉપયોગ કરો.

Question 10. આપેલ માહિતી માટે મધ્યકને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન શોધો :

Answer: અહીં, નવો ચલ \( d_i = \frac{x_i-120}{10} \) લઈ નીચે મુજબ કોષ્ટક તૈયાર કરીશું:

હવે, કોષ્ટક પરથી,
\( \sum_{i=1}^6 f_i d_i = 53 \) અને \( \sum_{i=1}^6 f_i = 100 \)
\( \implies \bar{d} = \frac{\sum_{i=1}^6 f_i d_i}{\sum_{i=1}^6 f_i} \)
\( = \frac{53}{100} \)
\( \implies \bar{x} = a + h \bar{d} \) જ્યાં, \( a = 120 \) અને \( h = 10 \)
\( = 120 + 10 \times \frac{53}{100} \)
\( = 125.3 \)
હવે, કોષ્ટક પરથી,
\( \sum_{i=1}^6 f_i|x_i - \bar{x}| = 1128.8 \)
આથી, મધ્યકને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન,
\( M.D. (\bar{x}) = \frac{\sum_{i=1}^6 f_i|x_i-\bar{x}|}{\sum_{i=1}^6 f_i} \)
\( = \frac{1128.8}{100} \)
\( = 11.28 \)
In simple words: પહેલાં, આપણે વર્ગની મધ્યકિંમત શોધીએ. પછી, એક ધારેલો મધ્યક લઈને \( d_i \) શોધીએ અને તેનો ઉપયોગ કરીને સરેરાશ શોધીએ. પછી, દરેક વર્ગની મધ્યકિંમતમાંથી સરેરાશ બાદ કરીને તેનો ધન તફાવત લઈએ. આ તફાવતને આવૃત્તિ સાથે ગુણીને તેનો સરવાળો કરીએ. છેલ્લે, આ સરવાળાને કુલ આવૃત્તિથી ભાગીને સરેરાશ વિચલન મેળવીએ.

Exam Tip: પદ વિચલનની રીત (Step Deviation Method)નો ઉપયોગ કરીને ગણતરીઓ સરળ બનાવી શકાય છે, ખાસ કરીને જ્યારે વર્ગ અંતરાલ સમાન હોય.

Question 11. આપેલ માહિતી માટે મધ્યસ્થને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન શોધો :

Answer: આપેલ માહિતી પરથી નીચે મુજબ કોષ્ટક તૈયાર કરીશું:

અહીં, \( N = 50 \)
\( \implies \) મધ્યસ્થ વર્ગ \( = (\frac{N}{2})\text{મું અવલોકન અર્થાત્ 25મું અવલોકન જે વર્ગમાં હોય તે વર્ગ} \)
ઉપરના કોષ્ટકમાં સંચયી આવૃત્તિ પરથી,
મધ્યસ્થ વર્ગ \( = 20 - 30 \)
હવે, મધ્યસ્થ \( (M) = l + \frac{\frac{N}{2}-C}{f} \times h \)
જ્યાં \( l = 20, C = 14, f = 14, h = 10 \) અને \( N = 50 \)
\( \implies M = 20 + \frac{25-14}{14} \times 10 \)
\( = 20 + \frac{110}{14} \)
\( = 20 + 7.86 \)
\( = 27.86 \)
હવે, કોષ્ટક પરથી, \( \sum_{i=1}^6 f_i|x_i - M| = 517.16 \)
આથી, મધ્યસ્થને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન,
\( M.D. (M) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^6 f_i|x_i - M| \)
\( = \frac{1}{50} \times 517.16 \)
\( = 10.34 \)
In simple words: પહેલાં, આપણે સંચયી આવૃત્તિ શોધીએ. પછી, \( N/2 \) નો ઉપયોગ કરીને મધ્યસ્થ વર્ગ નક્કી કરીએ. પછી, મધ્યસ્થનું સૂત્ર વાપરીને મધ્યસ્થ \( M \) શોધીએ. પછી, દરેક વર્ગની મધ્યકિંમતમાંથી મધ્યસ્થ બાદ કરીને તેનો ધન તફાવત લઈએ. આ તફાવતને આવૃત્તિ સાથે ગુણીને તેનો સરવાળો કરીએ. છેલ્લે, આ સરવાળાને કુલ આવૃત્તિથી ભાગીને સરેરાશ વિચલન મેળવીએ.

Exam Tip: વર્ગીકૃત માહિતી માટે મધ્યસ્થ શોધતી વખતે \( N/2 \) નો ઉપયોગ કરીને મધ્યસ્થ વર્ગ ઓળખવો અને પછી સૂત્રમાં યોગ્ય મૂલ્યો દાખલ કરવા નિર્ણાયક છે.

Question 12. 100 વ્યક્તિઓનું વય વિતરણ નીચે આપેલ છે, મધ્યસ્થ વયની સાપેક્ષે સરેરાશ વિચલનની ગણતરી કરો:

Answer: અહીં, પ્રત્યેક વર્ગની અધઃસીમામાંથી 0.5 ઘટાડીને અને ઊર્ધ્વસીમામાં 0.5 ઉમેરીને આપેલ માહિતીને સતત આવૃત્તિ-વિતરણમાં ફેરવીને નીચે મુજબ કોષ્ટક તૈયાર કરીશું:

અહીં, \( N = 100 \)
\( \implies \) મધ્યસ્થ વર્ગ \( = (\frac{N}{2})\text{નું અવલોકન અર્થાત્ 50મું અવલોકન જે વર્ગમાં હોય તે વર્ગ} \)
ઉપરના કોષ્ટકમાં સંચયી આવૃત્તિ પરથી,
મધ્યસ્થ વર્ગ \( = 35.5 - 40.5 \)
\( M = l + \frac{\frac{N}{2}-C}{f} \times h \)
જ્યાં \( l = 35.5, C = 37, f = 26, h = 5 \) અને \( N = 100 \)
\( \implies M = 35.5 + \frac{50-37}{26} \times 5 \)
\( = 35.5 + \frac{13 \times 5}{26} \)
\( = 35.5 + 2.5 \)
\( = 38 \)
હવે, કોષ્ટક પરથી, \( \sum_{i=1}^8 f_i|x_i - M| = 735 \)
આથી, મધ્યસ્થને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન,
\( M.D. (M) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^8 f_i|x_i - M| \)
\( = \frac{1}{100} \times 735 \)
\( = 7.35 \)
In simple words: પહેલાં, આપણે વર્ગને સુધારીને સતત બનાવીએ છીએ. પછી, સંચયી આવૃત્તિ શોધીને મધ્યસ્થ વર્ગ ઓળખીએ. પછી, મધ્યસ્થનું સૂત્ર વાપરીને મધ્યસ્થ \( M \) શોધીએ. પછી, દરેક વર્ગની મધ્યકિંમતમાંથી મધ્યસ્થ બાદ કરીને તેનો ધન તફાવત લઈએ. આ તફાવતને આવૃત્તિ સાથે ગુણીને તેનો સરવાળો કરીએ. છેલ્લે, આ સરવાળાને કુલ આવૃત્તિથી ભાગીને સરેરાશ વિચલન મેળવીએ.

Exam Tip: વર્ગીકૃત માહિતીમાં મધ્યસ્થ શોધતી વખતે, જો વર્ગો સતત ન હોય તો તેને સતત વર્ગોમાં રૂપાંતરિત કરવું ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે.