GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 15 આંકડાશાસ્ત્ર Exercise 15.3

 

Question 1. નીચે આપેલી માહિતી પરથી બતાવો કે કયા સમૂહમાં વધારે ચલન છે?

Answer: આપેલી માહિતી પરથી, સમૂહ A અને સમૂહ Bના મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલનની ગણતરી માટે નીચે મુજબ કોષ્ટક તૈયાર કરીશું :

સમૂહ A માટે :
કોષ્ટક પરથી,
\( N = \sum_{i=1}^{7} f_i = 150 \), \( \sum_{i=1}^{7} f_i y_i = -6 \), \( \sum_{i=1}^{7} f_i y_i^2 = 342 \)
\( \therefore \bar{y} = \frac{\sum_{i=1}^{7} f_i y_i}{\sum_{i=1}^{7} f_i} = \frac{-6}{150} \)
\( \therefore \) મધ્યક \( (\bar{x}) = A + h\bar{y} \), જ્યાં \( A = 45, h = 10 \)
\( = 45 + 10 \left( \frac{-6}{150} \right) \)
\( = 45 - 0.4 = 44.6 \)
પ્રમાણિત વિચલન \( = \frac{h}{N} \sqrt{N \sum_{i=1}^{7} f_i y_i^2 - \left( \sum_{i=1}^{7} f_i y_i \right)^2} \)
\( = \frac{10}{150} \sqrt{150 \times 342 - (-6)^2} \)
\( = \frac{1}{15} \sqrt{51300 - 36} \)
\( = \frac{1}{15} \sqrt{51264} \)
\( = \frac{1}{15} \times 226.42 \)
\( = 15.09 \)
સમૂહ B માટે :
કોષ્ટક પરથી,
\( N = \sum_{i=1}^{7} f_i = 150 \), \( \sum_{i=1}^{7} f_i y_i = -6 \), \( \sum_{i=1}^{7} f_i y_i^2 = 366 \)
\( \therefore \bar{y} = \frac{\sum_{i=1}^{7} f_i y_i}{\sum_{i=1}^{7} f_i} = \frac{-6}{150} \)
\( \therefore \) મધ્યક \( (\bar{x}) = A + h\bar{y} \), જ્યાં \( A = 45, h = 10 \)
\( = 45 + 10 \left( \frac{-6}{150} \right) \)
\( = 45 - 0.4 = 44.6 \)
પ્રમાણિત વિચલન \( = \frac{h}{N} \sqrt{N \sum_{i=1}^{7} f_i y_i^2 - \left( \sum_{i=1}^{7} f_i y_i \right)^2} \)
\( = \frac{10}{150} \sqrt{150 \times 366 - (-6)^2} \)
\( = \frac{1}{15} \sqrt{54900 - 36} \)
\( = \frac{1}{15} \sqrt{54864} \)
\( = \frac{1}{15} \times 234.23 \)
\( = 15.62 \)
અહીં, બંને સમૂહોના મધ્યક સમાન છે. તેથી પ્રમાણિત વિચલનનો જ ઉપયોગ ચલન માપવામાં કરીશું. સમૂહ Bનું પ્રમાણિત વિચલન તે સમૂહ Aના પ્રમાણિત વિચલન કરતાં વધુ છે. માટે સમૂહ Bમાં વધારે ચલન છે.
In simple words: પહેલાં બંને ગ્રુપનો મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન શોધો. જો મધ્યક સરખા હોય, તો જે ગ્રુપનું પ્રમાણિત વિચલન વધારે હોય, તેમાં વધારે ચલન હોય છે. અહીં, સમૂહ Bનું પ્રમાણિત વિચલન ઊંચું છે, તેથી તેમાં વધુ વિવિધતા છે.

Exam Tip: જ્યારે મધ્યક સમાન હોય, ત્યારે ચલન (variation) નક્કી કરવા માટે પ્રમાણિત વિચલનનો ઉપયોગ કરો. ઊંચું પ્રમાણિત વિચલન વધુ ચલન દર્શાવે છે.

 

Question 2. X અને Yનાં નીચે આપેલાં શૅરનાં મૂલ્યો પરથી બતાવો કે કયા શૅરનાં મૂલ્યોમાં વધારે સ્થિરતા છે?

Answer: કયા શૅરના મૂલ્યમાં વધારે સ્થિરતા છે તે જાણવા માટે આપણે તેમનાં મૂલ્યોનો ચલનાંક શોધીશું. તે માટે નીચે મુજબ કોષ્ટક તૈયાર કરીશું :

શૅર X માટે :
મધ્યક \( (\bar{x}) = a + \frac{\sum_{i=1}^{10} Y_i}{n} \), જ્યાં, \( \sum_{i=1}^{10} Y_i = 20 \), \( n = 10 \), \( a = 49 \)
\( = 49 + \frac{20}{10} = 51 \)
પ્રમાણિત વિચલન \( (\sigma_x) = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{10} Y_i^2}{n} - \left( \frac{\sum_{i=1}^{10} Y_i}{n} \right)^2} \), જ્યાં, \( \sum_{i=1}^{10} Y_i^2 = 390 \)
\( = \sqrt{\frac{390}{10} - \left( \frac{20}{10} \right)^2} \)
\( = \sqrt{39 - 4} = \sqrt{35} = 5.92 \)
ચલનાંક \( (C.V.) = \frac{\sigma_x}{\bar{x}} \times 100 \)
\( = \frac{5.92}{51} \times 100 = 11.6 \)
શૅર Y માટે:
મધ્યક \( (\bar{x}) = a + \frac{\sum_{i=1}^{10} Y_i}{n} \), જ્યાં, \( \sum_{i=1}^{10} Y_i = 10 \), \( n = 10 \), \( a = 104 \)
\( = 104 + \frac{10}{10} = 105 \)
પ્રમાણિત વિચલન \( (\sigma_y) = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{10} Y_i^2}{n} - \left( \frac{\sum_{i=1}^{10} Y_i}{n} \right)^2} \), જ્યાં, \( \sum_{i=1}^{10} Y_i^2 = 50 \)
\( = \sqrt{\frac{50}{10} - \left( \frac{10}{10} \right)^2} \)
\( = \sqrt{5 - 1} = 2 \)
ચલનાંક \( (C.V.) = \frac{\sigma_y}{\bar{x}} \times 100 \)
\( = \frac{2}{105} \times 100 = 1.90 \)
અહીં, Yનો ચલનાંક Xના ચલનાંક કરતાં ઓછો હોવાથી, આપણે કહી શકીએ કે શૅર Yના મૂલ્યમાં વધુ સ્થિરતા છે.
In simple words: પહેલાં, બંને શેરનો મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન શોધો. પછી, બંને શેરનો ચલનાંક શોધો. જે શેરનો ચલનાંક ઓછો હોય, તે વધુ સ્થિર ગણાય. અહીં, શેર Yનો ચલનાંક ઓછો છે, તેથી તે વધુ સ્થિર છે.

Exam Tip: સ્થિરતા નક્કી કરવા માટે, ચલનાંક (Coefficient of Variation) નો ઉપયોગ કરો. નીચો ચલનાંક વધુ સ્થિરતા દર્શાવે છે કારણ કે તે સંબંધિત વિચલનનું માપ છે.

 

Question 3. એક કારખાનાની બે શાખાઓ A અને Bના કર્મીઓના આપેલા માસિક વેતન(પગાર)નું વિશ્લેષણ નીચે પ્રમાણે છે.

(1) A અને Bમાંથી કઈ શાખા પોતાના કર્મીઓને રકમ માસિક વેતનના રૂપમાં ચૂકવે છે?
(2) વ્યક્તિગત વેતનોમાં કઈ શાખા A અથવા Bમાં વધારે ચલનીયતા છે?
Answer:
(1) શાખા A દ્વારા ચૂકવેલ માસિક વેતન = વેતન મેળવનાર કર્મીઓની સંખ્યા × માસિક વેતનનો મધ્યક
\( = (586 \times 5253) = \text{Rs } 3078258 \)
શાખા B દ્વારા ચૂકવેલ માસિક વેતન = વેતન મેળવનાર કર્મીઓની સંખ્યા × માસિક વેતનનો મધ્યક
\( = (648 \times 5253) = \text{Rs } 3403944 \)
તેથી શાખા B વધારે રકમ માસિક વેતનના રૂપમાં ચૂકવે છે.
In simple words: કુલ વેતન શોધવા માટે, કર્મચારીઓની સંખ્યાને સરેરાશ માસિક વેતનથી ગુણો. જે શાખાનું કુલ વેતન વધારે હોય, તે વધુ રકમ ચૂકવે છે. અહીં, શાખા B વધારે કુલ રકમ ચૂકવે છે.
(2) બંને શાખાઓનો માસિક વેતનનો મધ્યક સમાન છે. તથા શાખા Bના વિતરણનું વિચરણ તે શાખા Aના વિતરણના વિચરણ કરતાં વધુ છે. તેથી શાખા Bમાં વધુ ચલનીયતા છે.
In simple words: જ્યારે સરેરાશ સમાન હોય, ત્યારે વિચરણ (variance) વધુ હોવું એટલે ડેટામાં વધુ ફેલાવો અથવા ચલનીયતા હોવી. અહીં, શાખા Bનું વિચરણ વધારે હોવાથી, તેમાં વ્યક્તિગત વેતનોમાં વધુ વિવિધતા છે.

Exam Tip: કુલ ચૂકવેલી રકમ શોધવા માટે, કર્મચારીઓની સંખ્યાને સરેરાશ વેતનથી ગુણો. ચલનીયતા માટે, મધ્યક સમાન હોય ત્યારે વિચરણ (variance) અથવા પ્રમાણિત વિચલન (standard deviation) ની તુલના કરો.

 

Question 4. ટીમ A દ્વારા એક સત્રમાં રમેલી ફૂટબૉલ મૅચના આંકડા નીચે આપ્યા છે:

ટીમ B દ્વારા રમવામાં આવેલી મૅચમાં બનાવેલ ગોલની સંખ્યાનો મધ્યક પ્રતિમૅચ 2 અને ગોલની સંખ્યાનું પ્રમાણિત વિચલન 1.25 હતા. કઈ ટીમને વધારે સુસંગત માની શકાય?
Answer: ટીમ Aના મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલનની ગણતરી માટે નીચે મુજબ કોષ્ટક તૈયાર કરીશું :

કોષ્ટક પરથી,
\( \sum_{i=1}^{5} f_i = 25 \), \( \sum_{i=1}^{5} f_i X_i = 50 \), \( \sum_{i=1}^{5} f_i X_i^2 = 130 \)
\( \therefore \) મધ્યક \( (\bar{x}) = \frac{\sum_{i=1}^{5} f_i X_i}{\sum_{i=1}^{5} f_i} = \frac{50}{25} = 2 \)
પ્રમાણિત વિચલન \( (\sigma_x) = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{5} f_i X_i^2}{\sum_{i=1}^{5} f_i} - \left( \frac{\sum_{i=1}^{5} f_i X_i}{\sum_{i=1}^{5} f_i} \right)^2} \)
\( = \sqrt{\frac{130}{25} - \left( \frac{50}{25} \right)^2} \)
\( = \sqrt{5.2 - 4} = \sqrt{1.2} = 1.095 \)
ટીમ Bના મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન અનુક્રમે 2 અને 1.25 છે. અહીં, બંને ટીમના ગોલનો મધ્યક સમાન હોવાથી, સુસંગતતાની સરખામણી કરવા માટે પ્રમાણિત વિચલનનો ઉપયોગ કરીશું. અહીં, ટીમ Aના ગોલનું પ્રમાણિત વિચલન તે ટીમ Bના ગોલના પ્રમાણિત વિચલન કરતાં ઓછું છે. તેથી ટીમ A વધુ સુસંગત છે.
In simple words: સુસંગતતા જોવા માટે, પહેલાં બંને ટીમોનો સરેરાશ સ્કોર અને પ્રમાણિત વિચલન શોધો. જો સરેરાશ સ્કોર સરખો હોય, તો જે ટીમનું પ્રમાણિત વિચલન ઓછું હોય, તે ટીમ વધુ સુસંગત ગણાય છે. અહીં, ટીમ Aનું પ્રમાણિત વિચલન નીચું હોવાથી, તે વધુ સુસંગત છે.

Exam Tip: સુસંગતતા (consistency) ની તુલના કરતી વખતે, જો મધ્યક સમાન હોય, તો નીચું પ્રમાણિત વિચલન ધરાવતી ટીમ અથવા ડેટાસેટ વધુ સુસંગત માનવામાં આવે છે.

 

Question 5. 50 વનસ્પતિ ઉત્પાદનોની લંબાઈ x (સેમીમાં) અને વજન y(ગ્રામમાં)નો સરવાળો અને વર્ગોનો સરવાળો નીચે આપેલ છે. શું વધારે ચલાયમાન છે, લંબાઈ કે વજન?
\( \sum_{i=1}^{50} X_i = 212 \), \( \sum_{i=1}^{50} X_i^2 = 902.8 \),
\( \sum_{i=1}^{50} Y_i = 261 \) અને \( \sum_{i=1}^{50} Y_i^2 = 1457.6 \)
Answer: લંબાઈ (x) માટે :
મધ્યક \( (\bar{X}) = \frac{\sum_{i=1}^{50} X_i}{50} \)
\( = \frac{212}{50} = 4.24 \)
પ્રમાણિત વિચલન \( (\sigma_x) = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{50} X_i^2}{50} - \left( \frac{\sum_{i=1}^{50} X_i}{50} \right)^2} \)
\( = \sqrt{\frac{902.8}{50} - \left( \frac{212}{50} \right)^2} \)
\( = \sqrt{18.06 - 17.98} \)
\( = \sqrt{0.08} = 0.28 \)
\( \therefore \) xનો ચલનાંક \( = \frac{\sigma_x}{\bar{X}} \times 100 \)
\( = \frac{0.28}{4.24} \times 100 = 6.60 \)
વજન (y) માટે :
મધ્યક \( (\bar{Y}) = \frac{\sum_{i=1}^{50} Y_i}{50} \)
\( = \frac{261}{50} = 5.22 \)
પ્રમાણિત વિચલન \( (\sigma_y) = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{50} Y_i^2}{50} - \left( \frac{\sum_{i=1}^{50} Y_i}{50} \right)^2} \)
\( = \sqrt{\frac{1457.6}{50} - \left( \frac{261}{50} \right)^2} \)
\( = \sqrt{29.15 - 27.25} \)
\( = \sqrt{1.9} = 1.38 \)
\( \therefore \) yનો ચલનાંક \( = \frac{\sigma_y}{\bar{Y}} \times 100 \)
\( = \frac{1.38}{5.22} \times 100 = 26.44 \)
અહીં, વજનનો ચલનાંક લંબાઈના ચલનાંક કરતાં વધુ હોવાથી, વજન (પ)માં વધારે ચલન છે.
In simple words: બે ડેટા સેટની ચલનીયતા સરખાવવા માટે, તેમનો ચલનાંક (Coefficient of Variation) શોધો. જેનો ચલનાંક ઊંચો હોય, તેમાં વધુ ચલન હોય છે. અહીં, વજનનો ચલનાંક લંબાઈ કરતાં વધારે છે, તેથી વજનમાં વધુ વિવિધતા છે.

Exam Tip: યાદ રાખો કે બે ભિન્ન એકમોમાં માપવામાં આવેલા ડેટા સેટની ચલનીયતાની તુલના કરવા માટે ચલનાંક (Coefficient of Variation) એ શ્રેષ્ઠ માપ છે.