GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 14 ગાણિતિક તર્ક Exercise 14.4

Question 1. નીચેના વિધાનને પાંચ જુદી જુદી રીતે સમાન અર્થમાં 'જો ... તો ...'નો ઉપયોગ કરીને ફરીથી લખો : જો કોઈક પ્રાકૃતિક સંખ્યા અયુગ્મ હોય, તો તેનો વર્ગ પણ અયુગ્મ છે.
Answer: અહીં, આપેલું વિધાન: જો કોઈક પ્રાકૃતિક સંખ્યા એકી હોય, તો તેનો વર્ગ પણ એકી હોય છે. આ વિધાનને ‘જો ... તો ...'નો ઉપયોગ કરીને પાંચ અલગ અલગ રીતે સમાન અર્થમાં નીચે મુજબ લખી શકાય છે:
(1) જો કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા એકી હોય, તો તેનો વર્ગ પણ એકી હોય.
(2) કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા એકી હોય, તો જ તેનો વર્ગ એકી થાય.
(3) કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા એકી હોય તેની જરૂરી શરત તેનો વર્ગ એકી હોય તે છે.
(4) કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યાનો વર્ગ એકી હોય તે માટે તે સંખ્યા પૂરતી છે.
(5) જો કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યાનો વર્ગ એકી ન હોય, તો તે સંખ્યા એકી ન હોય.
In simple words: આપેલું વિધાન કહે છે કે જો કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા એકી હોય, તો તેનો વર્ગ પણ એકી જ હોય છે. આને 'જો-તો' વાક્યનો ઉપયોગ કરીને પાંચ અલગ રીતે કહી શકાય છે.

Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, મૂળ વિધાનનો અર્થ બદલ્યા વિના, જુદા જુદા શબ્દો અને વાક્ય રચનાઓનો ઉપયોગ કરીને 'જો ... તો ...' ફોર્મમાં લખવાનો પ્રયાસ કરો.

Question 2. નીચેનાં વિધાનોનાં સમાનાર્થી પ્રેરણ અને પ્રતીપ લખો :
(1) જો x અવિભાજ્ય સંખ્યા હોય, તો x અયુગ્મ હોય.
(2) જો બે રેખાઓ સમાંતર હોય, તો તે સમતલમાં છેદશે નહિ.
(3) કંઈક ઠંડું છે તે સૂચવે છે કે તેનું તાપમાન નીચું છે.
(4) જો તમે ભૂમિતિ સમજી શકો નહિ, તો તમે તાર્કિક સાબિતી આપવાનું જાણતા ન હો.
(5) જો x યુગ્મ સંખ્યા હોય, તો તે 4થી વિભાજ્ય છે.
Answer:
(1) સમાનાર્થી પ્રેરણ: જો સંખ્યા x એકી ન હોય, તો x અવિભાજ્ય સંખ્યા ન હોય. પ્રતીપ: જો x એકી હોય, તો તે અવિભાજ્ય સંખ્યા હોય.
(2) સમાનાર્થી પ્રેરણ: જો એક જ સમતલની બે રેખાઓ છેદે, તો તે સમાંતર ન હોય. પ્રતીપ: જો એક જ સમતલની બે રેખાઓ છેદે નહીં, તો તે સમાંતર હોય.
(3) સમાનાર્થી પ્રેરણ: જો કંઈક નીચા તાપમાને ન હોય, તો તે ઠંડું ન હોય. પ્રતીપ: જો કંઈક નીચા તાપમાને હોય, તો તે ઠંડું હોય.
(4) સમાનાર્થી પ્રેરણ: જો તમે તાર્કિક સાબિતી આપવાનું જાણતા હો, તો તમે ભૂમિતિ સમજી શકો. પ્રતીપ: જો તમે તાર્કિક સાબિતી આપવાનું ન જાણતા હો, તો તમે ભૂમિતિ સમજી શકતા નથી.
(5) આ વિધાનને 'જો-તો' સ્વરૂપમાં આમ લખી શકાય: 'જો x યુગ્મ સંખ્યા હોય, તો તે 4થી વિભાજ્ય છે.' સમાનાર્થી પ્રેરણ: જો x એ 4થી વિભાજ્ય ન હોય, તો તે x યુગ્મ સંખ્યા થશે. પ્રતીપ: જો x એ 4થી વિભાજ્ય હોય, તો તે x યુગ્મ સંખ્યા હોય.
In simple words: કોન્ટ્રાપોઝીટીવમાં, જો મૂળ વિધાન સાચું ન હોય, તો તેનું પરિણામ પણ સાચું ન હોય. કન્વર્સમાં, મૂળ વિધાનના પરિણામને પહેલા અને શરતને પછી લખવામાં આવે છે.

Exam Tip: સમાનાર્થી પ્રેરણ (contrapositive) એટલે મૂળ વિધાનના નિષેધનું ઉલટું. પ્રતીપ (converse) એટલે મૂળ વિધાનના અનુગામી અને પૂર્વગામીને બદલવું.

Question 3. નીચેના દરેક વિધાનને ‘જો ... તો ...' સ્વરૂપમાં લખો :
(1) તમને નોકરી મળી એ સૂચવે છે કે તમારાં પ્રમાણપત્રો સારાં છે.
(2) એક મહિના માટે હૂંફવાળા રહે તો કેળાનાં ઝાડ ખીલે છે.
(3) ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે તો તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
(4) વર્ગમાં A+ મેળવવા માટે તમારે પુસ્તકનાં બધાં જ સ્વાધ્યાય કરવા જરૂરી છે.
Answer:
(1) જો તમને નોકરી મળે, તો તમારાં પ્રમાણપત્રો સારાં હોય છે.
(2) જો કેળાના ઝાડ એક મહિના સુધી હૂંફવાળા રહે, તો તે ખીલે છે.
(3) જો ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે, તો તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોય છે.
(4) જો તમે વર્ગમાં A+ મેળવ્યો હોય, તો તમે પુસ્તકના બધા સ્વાધ્યાય પૂર્ણ કર્યા હોય.
In simple words: દરેક વાક્યને 'જો' અને 'તો' શબ્દો વાપરીને બદલી શકાય છે, જેમાં 'જો' શરત બતાવે છે અને 'તો' તેનું પરિણામ દર્શાવે છે.

Exam Tip: 'જો ... તો ...' સ્વરૂપમાં લખતી વખતે, હંમેશા કારણને 'જો' પછી અને પરિણામને 'તો' પછી રાખો.

Question 4. નીચે વિધાનો (a) અને (b) આપેલ છે. જે વિધાનો એકબીજાનાં સમાનાર્થી પ્રેરણ અને પ્રતીપ હોય તે ઓળખો :
(a) જો તમે દિલ્લીમાં રહેતા હોય, તો તમારી પાસે શિયાળુ કપડાં છે.
(1) જો તમારી પાસે શિયાળુ કપડાં ન હોય, તો તમે દિલ્લીમાં રહેતા નથી.
(2) જો તમારી પાસે શિયાળુ કપડાં હોય, તો તમે દિલ્લીમાં રહો છો.
(b) જો ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોય, તો તેના વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે છે.
(1) જો ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર ન દુભાગે, તો તે ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ નથી.
(2) જો ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે, તો તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
Answer:
(a) આપેલા વિધાનનું સમાનાર્થી પ્રેરણ (1) છે અને પ્રતીપ (2) છે.
(b) જો ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોય, તો તેના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે. (1) જો ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને ન દુભાગે, તો તે ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ નથી. (2) જો ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે, તો તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. આપેલા વિધાનનું સમાનાર્થી પ્રેરણ (1) છે અને પ્રતીપ (2) છે.
In simple words: પ્રશ્ન (a) માટે, વિધાન (1) એ કોન્ટ્રાપોઝીટીવ છે કારણ કે તે મૂળ વિધાનના નકારાત્મક સ્વરૂપને ઉલટાવે છે, અને વિધાન (2) એ કન્વર્સ છે કારણ કે તે મૂળ વિધાનના ભાગોને ઉલટાવે છે. પ્રશ્ન (b) માટે પણ, સમાન નિયમો લાગુ પડે છે, જ્યાં (1) કોન્ટ્રાપોઝીટીવ અને (2) કન્વર્સ છે.

Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, દરેક વિધાનને કાળજીપૂર્વક વાંચો અને તેની તાર્કિક રચનાને સમજો. સમાનાર્થી પ્રેરણ અને પ્રતીપના નિયમો સ્પષ્ટ રાખો.