GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 14 ગાણિતિક તર્ક Exercise 14.5

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 14 ગાણિતિક તર્ક Ex 14.5

Question 1. નીચેનું વિધાન સત્ય છે તેમ
(1) પ્રત્યક્ષ પદ્ધતિ.
(2) અનિષ્ટાપત્તિની રીત અને
(3) સમાનાર્થી પ્રેરણની રીતથી બતાવો :
P : જો કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા x માટે \( x^3 + 4x = 0 \), તો \( x = 0 \).
Answer: આપેલું વિધાન p: જો કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા \( x \) માટે \( x^3 + 4x = 0 \), તો \( x = 0 \).
(1) પ્રત્યક્ષ પદ્ધતિ :
ધારો કે, \( x^3 + 4x = 0 \), \( x \in R \)
\( \implies x(x^2 + 4) = 0 \), \( x \in R \)
\( \implies x = 0 \) અથવા \( x^2 + 4 = 0 \)
પરંતુ \( x \in R \) માટે \( x^2 + 4 \ge 0 \). તેથી \( x^2 + 4 \ne 0 \).
\( \implies x = 0 \)
આથી, જો \( x^3 + 4x = 0 \), \( x \in R \) હોય, તો \( x = 0 \).
આમ, આપેલું વિધાન સાચું છે.

(2) અનિષ્ટાપત્તિની રીત :
ધારો કે, વિધાન \( p \) સાચું નથી. (એટલે કે \( p \) અસત્ય છે).
ધારો કે, \( x^3 + 4x = 0 \), \( x \in R \) પરંતુ \( x \ne 0 \).
હવે, \( x \in R \), \( x \ne 0 \) માટે \( x^2 > 0 \).
\( \implies x^2 + 4 > 4 \)
\( \implies x^2 + 4 \ne 0 \)
\( \implies x(x^2 + 4) \ne 0 \) (કારણ કે \( x \ne 0 \), અને \( x^2 + 4 \ne 0 \))
\( \implies x^3 + 4x \ne 0 \)
જે આપણી કલ્પનાથી વિરુદ્ધ છે.
આથી આપણી કલ્પના કે વિધાન \( p \) અસત્ય છે તે ખોટી છે. આમ, વિધાન \( p \) સાચું છે.

(3) સમાનાર્થી પ્રેરણની રીતઃ
ધારો કે, \( q: x \) એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે અને \( x^3 + 4x = 0 \).
ધારો કે, \( r: x = 0 \).
આથી આપેલું વિધાન \( p \) એ \( q \to r \) છે.
તેનું સમાનાર્થી પ્રેરણ \( \sim r \to \sim q \) છે.
એટલે કે જો \( x \) એ શૂન્યેતર વાસ્તવિક સંખ્યા હોય, તો \( x^3 + 4x \ne 0 \).
ધારો કે, \( x \ne 0 \), \( x \in R \).
\( \implies x^2 > 0 \)
\( \implies x^2 + 4 > 4 \)
\( \implies x^2 + 4 \ne 0 \)
\( \implies x(x^2 + 4) \ne 0 \)
\( \implies x^3 + 4x \ne 0 \)
આમ, \( \sim r \to \sim q \) સાચું છે.
\( \implies q \to r \) સાચું છે.
આમ, વિધાન \( p \) સાચું છે.
In simple words: વિધાનને ત્રણ અલગ-અલગ પદ્ધતિઓ દ્વારા સાચું બતાવ્યું છે: પ્રત્યક્ષ પદ્ધતિ, જેમાં સીધું પરિણામ બતાવાય છે; અનિષ્ટાપત્તિની રીત, જેમાં ખોટી ધારણાથી વિરોધાભાસ આવે છે; અને સમાનાર્થી પ્રેરણની રીત, જેમાં મૂળ વિધાનના વિપરીત અને વિરુદ્ધ પક્ષનો ઉપયોગ થાય છે.

Exam Tip: જ્યારે કોઈ વિધાનને સાબિત કરવાનું હોય, ત્યારે જુદી જુદી પદ્ધતિઓ (જેમ કે પ્રત્યક્ષ, પરોક્ષ, અથવા વિરોધાભાસ) નો ઉપયોગ કરીને પુરાવો રજૂ કરવો તે વધુ અસરકારક હોય છે.

Question 2. પ્રતિઉદાહરણની રીતે બતાવો કે નીચેનું વિધાન અસત્ય છેઃ
કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ \( a \) અને \( b \) માટે \( a^2 = b^2 \) સૂચિત કરે છે કે \( a = b \).
Answer: ધારો કે, \( a = 2 \) અને \( b = -2 \). અહીં, \( a \) અને \( b \) વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે તથા \( a^2 = b^2 = 4 \). પરંતુ \( a \ne b \).
તેથી, વાસ્તવિક સંખ્યાઓ \( a \) અને \( b \) માટે જો \( a^2 = b^2 \) હોય, તો \( a = b \) હોય તેવું સૂચિત થતું નથી.
આમ, આપેલું વિધાન ખોટું છે.
In simple words: એક ઉદાહરણ દ્વારા બતાવ્યું છે કે, જો \( a \) બે હોય અને \( b \) માઇનસ બે હોય, તો તેમનો વર્ગ સરખો હોય છે, પણ \( a \) અને \( b \) પોતે સરખા હોતા નથી. તેથી, \( a^2 = b^2 \) નો અર્થ હંમેશા \( a = b \) થતો નથી.

Exam Tip: પ્રતિઉદાહરણ આપતી વખતે, એવી કિંમતો પસંદ કરો જે વિધાનની શરતને પૂર્ણ કરે, પરંતુ તેના નિષ્કર્ષને ખોટો સાબિત કરે.

Question 3. સમાનાર્થી પ્રેરણની રીતથી નીચેનું વિધાન સત્ય છે તેમ સાબિત કરોઃ
p: જો x પૂર્ણાંક હોય તથા \( x^2 \) યુગ્મ હોય, તો \( x \) પણ યુગ્મ છે.
Answer: અહીં, \( p \): જો \( x \) પૂર્ણાંક હોય તથા \( x^2 \) યુગ્મ હોય, તો \( x \) પણ યુગ્મ છે.
ધારો કે, \( q: x \) પૂર્ણાંક છે અને \( x^2 \) યુગ્મ છે.
ધારો કે, \( r: x \) યુગ્મ પૂર્ણાંક છે.
આથી આપેલું વિધાન \( p \) એ \( q \to r \) થશે.
તેનું સમાનાર્થી પ્રેરણ \( \sim r \to \sim q \) છે.
એટલે કે જો \( x \) એ યુગ્મ પૂર્ણાંક ન હોય, તો \( x^2 \) એ યુગ્મ નથી.
હવે, \( x \) એ યુગ્મ પૂર્ણાંક નથી.
\( \implies x \) એ અયુગ્મ પૂર્ણાંક છે.
\( \implies x = 2m + 1 \); જ્યાં, \( m \) કોઈક પૂર્ણાંક છે.
\( \implies x^2 = (2m + 1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 \)
\( \implies x^2 = 2(2m^2 + 2m) + 1 \); જ્યાં, \( 2m^2 + 2m \) એ પૂર્ણાંક છે.
\( \implies x^2 \) એ અયુગ્મ પૂર્ણાંક છે.
\( \implies x^2 \) એ યુગ્મ પૂર્ણાંક નથી.
આમ, \( \sim r \to \sim q \) સાચું છે.
\( \implies q \to r \) સાચું છે.
તેથી, વિધાન \( p \) સાચું છે.
In simple words: આ વિધાનને સમાનાર્થી પ્રેરણની રીતથી સાબિત કરવામાં આવ્યું છે. તેમાં બતાવ્યું છે કે જો \( x \) યુગ્મ ન હોય (એટલે કે અયુગ્મ હોય), તો તેનો વર્ગ (\( x^2 \)) પણ યુગ્મ નથી. આ રીતથી સાબિત થાય છે કે જો \( x^2 \) યુગ્મ હોય, તો \( x \) પણ યુગ્મ જ હોય છે.

Exam Tip: સમાનાર્થી પ્રેરણની રીતમાં, મૂળ વિધાન \( p \to q \) ને સાબિત કરવા માટે તેના સમકક્ષ વિધાન \( \sim q \to \sim p \) ને સાબિત કરવું પડે છે.

Question 4. પ્રતિઉદાહરણની રીતથી બતાવો કે નીચેનાં વિધાન અસત્ય છેઃ :
(1) p : જો ત્રિકોણના બધા જ ખૂણાનાં માપ સમાન હોય, તો તે ગુરુકોણ ત્રિકોણ છે.
(2) q : સમીકરણ \( x^2 – 1 = 0 \) ને \( 0 \) અને \( 2 \) ની વચ્ચે કોઈ બીજ નથી.
Answer: અહીં, \( p \): જો ત્રિકોણનાં બધા જ ખૂણાનાં માપ સમાન હોય, તો તે ગુરુકોણ ત્રિકોણ છે.
(1) \( \Delta ABC \) માં \( A = 60^\circ \), \( B = 60^\circ \) અને \( C = 60^\circ \) લેતાં
\( \Delta ABC \) નાં બધા જ ખૂણાનાં માપ સરખાં છે, પરંતુ તે ગુરુકોણ ત્રિકોણ નથી (કારણ કે બધા ખૂણા \( 90^\circ \) કરતાં નાના છે).
આમ, આપેલું વિધાન \( p \) અસત્ય છે.
બીજી રીત :
ધારો કે, ત્રિકોણ ગુરુકોણ ત્રિકોણ છે. આથી ત્રિકોણનાં એક ખૂણાનું માપ \( 90^\circ \) કરતાં વધુ છે. હવે જો બધા ખૂણાનાં માપ સમાન હોય, તો તેનાં ત્રણેય ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો \( 270^\circ \) કરતાં વધુ થશે. જે સાચું નથી, કારણ કે ત્રિકોણનાં ત્રણેય ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો \( 180^\circ \) છે. આમ, આપેલું વિધાન \( p \) અસત્ય છે.

(2) અહીં, \( q \): સમીકરણ \( x^2 – 1 = 0 \) ને \( 0 \) અને \( 2 \) ની વચ્ચે કોઈ બીજ નથી.
જોઈ શકાય છે કે \( x = 1 \) એ \( 0 \) અને \( 2 \) ની વચ્ચે છે. તે \( x^2 – 1 = 0 \) નું સમાધાન કરે છે.
\( \implies x = 1 \) એ સમીકરણ \( x^2 – 1 = 0 \) નું એક બીજ છે, જે \( 0 \) અને \( 2 \) ની વચ્ચે આવેલું છે.
આમ, આપેલું વિધાન \( q \) અસત્ય છે.
In simple words: પહેલા વિધાનમાં, જો ત્રિકોણના બધા ખૂણા સરખા હોય, તો તે કાટકોણ ત્રિકોણ હોય છે, ગુરુકોણ નહીં. બીજા વિધાનમાં, સમીકરણ \( x^2 – 1 = 0 \) માટે \( x = 1 \) એ \( 0 \) અને \( 2 \) ની વચ્ચેનું એક બીજ છે. આથી બંને વિધાન ખોટા છે.

Exam Tip: ભૌમિતિક વિધાનોમાં, આપેલા ગુણધર્મોને ચકાસવા માટે જાણીતા ત્રિકોણના પ્રકારોનો ઉપયોગ કરો. બીજ શોધવા માટે, સમીકરણ ઉકેલો અને પછી શરતોને ચકાસો.

Question 5. નીચેનાં પૈકી ક્યા વિધાન સત્ય છે અને કયા અસત્ય છે? દરેકના જવાબ માટે યોગ્ય કારણ આપો ઃ
(1) p : વર્તુળની દરેક ત્રિજ્યા એ વર્તુળની જીવા છે.
(2) q : વર્તુળનું કેન્દ્ર એ વર્તુળની દરેક જીવાને દુભાગે છે.
(3) r : વર્તુળ એ ઉપવલયનું એક ખાસ ઉદાહરણ છે.
(4) s : જો \( x \) અને \( y \) પૂર્ણાંકો હોય તથા \( x > y \) તો \( -x < – y \).
(5) t: \( \sqrt{11} \) એ સંમેય સંખ્યા છે.
Answer:
(1) અસત્ય, કારણ કે વર્તુળની જીવાનાં બંને અંત્યબિંદુઓ વર્તુળ પર હોય છે, જ્યારે ત્રિજ્યાનું એક અંત્યબિંદુ વર્તુળ પર હોય છે અને બીજું કેન્દ્ર પર હોય છે. તેથી ત્રિજ્યા જીવા નથી.
(2) અસત્ય, કારણ કે વર્તુળનું કેન્દ્ર એ વર્તુળનાં વ્યાસને દુભાગે છે. પરંતુ વ્યાસ સિવાયની વર્તુળની જીવાને વર્તુળનું કેન્દ્ર દુભાગતું નથી.
(3) સત્ય, કારણ કે ઉપવલયનાં સમીકરણ \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) માં \( a = b \) લેતાં હવે સમીકરણ \( x^2 + y^2 = a^2 \) બનશે, જે વર્તુળનું સમીકરણ છે. આમ, વર્તુળ એ ઉપવલયનું એક ખાસ ઉદાહરણ છે.
(4) સત્ય, કારણ કે, \( x > y \)
\( \implies x - y > 0 \)
\( \implies -y > -x \)
\( \implies -x < -y \)
(5) અસત્ય. કારણ કે \( 11 \) અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાથી \( \sqrt{11} \) અસંમેય સંખ્યા છે.
In simple words: વર્તુળની ત્રિજ્યા જીવા નથી. કેન્દ્ર માત્ર વ્યાસને દુભાગે છે, બધી જીવાને નહીં. વર્તુળ એ ઉપવલયનું એક ખાસ સ્વરૂપ છે જ્યારે તેની અક્ષો સરખી હોય. જો એક સંખ્યા બીજીથી મોટી હોય, તો તેમની નકારાત્મક કિંમતો માટે વિપરીત સંબંધ લાગુ પડે છે. \( \sqrt{11} \) એ અસંમેય સંખ્યા છે કારણ કે \( 11 \) એ પૂર્ણ વર્ગ નથી.

Exam Tip: ગણિતના મૂળભૂત સિદ્ધાંતો અને વ્યાખ્યાઓનું જ્ઞાન આવા પ્રશ્નોના જવાબ આપવા માટે જરૂરી છે. ભૂમિતિમાં, દરેક શબ્દનો ચોક્કસ અર્થ હોય છે, તેથી શબ્દોની વ્યાખ્યાને સમજવી અગત્યની છે.