GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 14 ગાણિતિક તર્ક Exercise 14.3

Chapter 14 ગાણિતિક તર્ક Ex 14.3

Question 1. નીચેના પૈકી દરેક સંયુક્ત વિધાનમાં પ્રથમ સંયોજકો ઓળખો અને પછી તેને ઘટક વિધાનોમાં છૂટું પાડો :
(1) બધી સંમેય સંખ્યાઓ વાસ્તવિક છે અને બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ સંકર સંખ્યાઓ નથી.
(2) પૂર્ણાંકનો વર્ગ ધન અથવા ઋણ છે.
(3) રેતી સૂર્યના પ્રકાશમાં ઝડપથી ગરમ થાય છે અને રાત્રિના સમયે ઝડપથી ઠંડી થતી નથી.
(4) x = 2 અને x = 3 એ સમીકરણ \( 3x² - x - 10 = 0 \)નાં બીજ છે.
Answer:
(1) અહીં, સંયોજક 'અને' છે.
ઘટક વિધાનો નીચે પ્રમાણે છે :
p : બધી સંમેય સંખ્યાઓ વાસ્તવિક છે.
q: બધી સંમેય સંખ્યાઓ સંકર સંખ્યાઓ નથી.

(2) અહીં, સંયોજક 'અથવા' છે.
ઘટક વિધાનો નીચે પ્રમાણે છે :
p : કોઈ પણ પૂર્ણાંકનો વર્ગ ધન છે.
q: કોઈ પણ પૂર્ણાંકનો વર્ગ ઋણ છે.

(3) અહીં, સંયોજક 'અને' છે.
ઘટક વિધાનો નીચે પ્રમાણે છે :
p : રેતી સૂર્યના પ્રકાશમાં ઝડપથી ગરમ થાય છે.
q: રેતી રાત્રિના સમયે ઝડપથી ઠંડી થતી નથી.

(4) અહીં, સંયોજક 'અને' છે.
ઘટક વિધાનો નીચે પ્રમાણે છે :
p : \( x = 2 \) એ સમીકરણ \( 3x² - x - 10 = 0 \)નું બીજ છે.
q : \( x = 3 \) એ સમીકરણ \( 3x² - x - 10 = 0 \)નું બીજ છે.
In simple words: પહેલાં, વાક્યમાં મુખ્ય જોડતો શબ્દ શોધો. પછી, એ મોટા વાક્યને નાના, સરળ ભાગોમાં વિભાજીત કરો. દરેક નાના ભાગને 'p' અથવા 'q' જેવા નામ આપો.

Exam Tip: સંયુક્ત વિધાનમાં મુખ્ય સંયોજકને ઓળખો અને પછી તેને બે કે તેથી વધુ સરળ ઘટક વિધાનોમાં વિભાજિત કરો.

Question 2. નીચેનાં વિધાનોમાં કારક ઓળખો અને વિધાનોનાં નિષેધ લખો :
(1) કોઈક સંખ્યાનો વર્ગ તે સંખ્યા જેટલો જ હોય તેવી સંખ્યા અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
(2) પ્રત્યેક વાસ્તવિક સંખ્યા \( x \) માટે \( x \) એ \( x + 1 \) કરતાં નાની સંખ્યા છે.
(3) ભારતમાં દરેક રાજ્યને એક રાજધાની હોય છે.
Answer:
(1) અહીં, કારક 'કોઈક અસ્તિત્વ ધરાવે છે.' છે.
નિષેધઃ કોઈક સંખ્યાઓનો વર્ગ તે સંખ્યા જેટલો જ હોય તેવી કોઈ સંખ્યા અસ્તિત્વ ધરાવતી નથી.

(2) અહીં, કારક 'પ્રત્યેક માટે' છે.
નિષેધઃ કોઇક વાસ્તવિક સંખ્યા \( x \) એવી અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી \( x \) એ \( x + 1 \) કરતાં નાની ન હોય.

(3) અહીં, કારક 'કોઈક અસ્તિત્વ ધરાવે છે.' છે.
નિષેધઃ ભારતમાં એવું રાજ્ય અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેને રાજધાની નથી.
In simple words: પહેલાં, દરેક વાક્યમાં વપરાયેલો મુખ્ય શબ્દ (જેમ કે 'કોઈક' કે 'દરેક') શોધો. પછી, વાક્યનો અર્થ બદલાય તે રીતે તેને વિરુદ્ધ અર્થમાં ફરીથી લખો.

Exam Tip: નિષેધ લખતી વખતે, 'દરેક' (For all) ને 'કોઈક નથી' (There exists not) માં અને 'કોઈક' (There exists) ને 'દરેક નથી' (For all not) માં બદલવાનું યાદ રાખો.

Question 3. નીચેનાં વિધાનયુગ્મ એકબીજાના નિષેધ છે કે નહિ તે ચકાસો. તમારા જવાબ માટેનાં કારણો આપો.
(1) બધી જ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ \( x \) અને \( y \) માટે \( x + y = y + x \) એ સત્ય છે.
(2) \( x + y = y + x \) થાય તેવી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ \( x \) અને \( y \) અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
Answer:
વિધાન (1)નું નિષેધ : 'એવી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ \( x \) અને \( y \) અસ્તિત્વ ધરાવે છે. જેથી \( x + y \neq y + x \).
આ વિધાન (2)થી ભિન્ન છે.
આમ, આપેલ વિધાનયુગ્મ એકબીજાના નિષેધ નથી.
In simple words: પહેલાં, પહેલાં વાક્યનો વિરુદ્ધ અર્થ લખો. પછી, જુઓ કે આ વિરુદ્ધ અર્થ બીજા વાક્ય જેવો જ છે કે નહીં. જો અલગ હોય, તો તે એકબીજાના વિરુદ્ધ નથી.

Exam Tip: બે વિધાનો એકબીજાના નિષેધ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે, એક વિધાનનો નિષેધ લખો અને જુઓ કે તે બીજા વિધાન સાથે સુસંગત છે કે નહીં.

Question 4. નીચેનાં વિધાનોમાં ‘અથવા'નો ઉપયોગ સમાવેશ વિકલ્પ તરીકે થયો છે કે નિવારક વિકલ્પ તરીકે તે જણાવો. તમારા જવાબ માટેનાં કારણો આપો.
(1) સૂર્ય ઊગે છે અથવા ચંદ્ર આથમે છે.
(2) ડ્રાઇવિંગ લાયસન્સ મેળવવા માટેની અરજી કરવા માટે તમારી પાસે રેશનકાર્ડ અથવા પાસપૉર્ટ હોવા જોઈએ.
(3) બધી જ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ ધન અથવા ઋણ છે.
Answer:
(1) અહીં, 'અથવા' નિવારક વિકલ્પ છે.
કારણઃ સૂર્ય ઊગે અને ચંદ્ર આથમે બંને એકસાથે બની શકે નહિ.

(2) અહીં, 'અથવા' સમાવેશ વિકલ્પના અર્થમાં છે.
કારણઃ ડ્રાઇવિંગ લાયસન્સ મેળવવા માટેની અરજી કરવા માટે કોઈ વ્યક્તિ પાસે રેશનકાર્ડ અને પાસપૉર્ટ બંને હોઈ શકે.

(3) અહીં, 'અથવા' નિવારક વિકલ્પ છે.
કારણ : બધી જ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ ધન હોય અને ઋણ હોય તેવું એકસાથે બની ન શકે.
In simple words: 'અથવા' શબ્દનો ઉપયોગ ક્યારેક બંને વસ્તુઓ એકસાથે સાચી હોય ત્યારે થાય છે (સમાવેશ વિકલ્પ). ક્યારેક તે ફક્ત એક જ વસ્તુ સાચી હોઈ શકે ત્યારે થાય છે (નિવારક વિકલ્પ).

Exam Tip: 'અથવા' નો ઉપયોગ સમાવેશક છે કે નિવારક તે નક્કી કરવા માટે, વાસ્તવિક દુનિયામાં બંને શરતો એકસાથે બની શકે છે કે નહીં તે વિચારો.