GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 14 ગાણિતિક તર્ક Exercise 14.2

GSEB Solutions

Question 1. નીચેનાં વિધાનોનાં નિષેધ લખો:
(1) ચેન્નઈ તમિલનાડુનું પાટનગર છે.
(2) √2 સંકર સંખ્યા નથી.
(3) બધા ત્રિકોણો એ સમબાજુ ત્રિકોણ નથી.
(4) 2 એ 7 કરતાં મોટી સંખ્યા છે.
(5) દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા એ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે.
Answer:
(1) ચેન્નઈ તમિલનાડુની રાજધાની નથી.
(2) \( \sqrt{2} \) એક જટિલ સંખ્યા છે.
(3) બધા ત્રિકોણો સરખી બાજુવાળા ત્રિકોણ છે.
(4) 2 એ 7 થી મોટી સંખ્યા નથી.
(5) દરેક કુદરતી સંખ્યા એ આખી સંખ્યા નથી.
In simple words: એક વિધાનના નિષેધનો અર્થ છે તેનાથી વિરુદ્ધ વિધાન લખવું. જો મૂળ વિધાન સાચું હોય, તો તેનો નિષેધ ખોટો હશે, અને જો મૂળ વિધાન ખોટું હોય, તો તેનો નિષેધ સાચો હશે.

Exam Tip: For negation questions, always make sure to reverse the truth value of the original statement, like changing 'is' to 'is not' or 'all' to 'not all'.

Question 2. નીચેનાં વિધાનોની જોડ પરસ્પર નિષેધ દર્શાવે છે?
(1) સંખ્યા \( x \) એ સંમેય સંખ્યા નથી.
સંખ્યા \( x \) એ અસંમેય સંખ્યા નથી.
(2) સંખ્યા \( x \) એ સંમેય સંખ્યા છે.
સંખ્યા \( x \) એ અસંમેય સંખ્યા છે.
Answer:
(1) પહેલા વાક્યનો વિરોધાભાસ: 'સંખ્યા \( x \) એ સંમેય સંખ્યા છે.' આ જ બીજું વિધાન છે, કારણ કે જો કોઈ સંખ્યા અસંમેય ન ગણાય, તો તે સંમેય ગણાય. તેથી, આપેલ વિધાનની જોડી એકબીજાના નિષેધ છે.
(2) પહેલા વાક્યનો વિરોધાભાસ: 'સંખ્યા \( x \) એ અસંમેય સંખ્યા છે.' આ જ બીજું વિધાન છે. તેથી, આપેલ વિધાનોની જોડી એકબીજાના નિષેધ છે.
In simple words: બે વિધાનો એકબીજાના નિષેધ છે કે નહીં તે જાણવા માટે, પહેલા વિધાનનો વિરોધી વિચાર કરો. જો તે વિરોધી વિચાર બીજા વિધાન જેવો જ હોય, તો તે બંને પરસ્પર નિષેધ કહેવાય.

Exam Tip: To check if two statements are mutual negations, try to negate the first statement; if it matches the second statement, they are mutual negations.

Question 3. નીચેનાં સંયુક્ત વિધાનોનાં ઘટક વિધાનો શોધો અને તે સત્ય છે કે અસત્ય તે ચકાસો :
(1) 8 એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે અથવા અયુગ્મ છે.
(2) બધા પૂર્ણાંકો ધન અથવા ઋણ છે.
(3) 100 એ 8, 11 અને 5થી વિભાજ્ય છે.
Answer:
(1) તેના ઘટક વિધાનો નીચે મુજબ છે:
\( p \): 8 એક અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.
\( q \): 8 એક અયુગ્મ સંખ્યા છે.
આ બંને વિધાનો ખોટા છે અને સંયોજક 'અથવા' દ્વારા વિધાનોને જોડવામાં આવ્યા છે. તેથી, આપેલ સંયુક્ત વિધાન ખોટું છે. (કારણ કે 8 અવિભાજ્ય નથી અને અયુગ્મ પણ નથી, તેથી બંને ખોટા હોવાથી 'અથવા' પણ ખોટું).
(2) તેના ઘટક વિધાનો નીચે મુજબ છે:
\( P \): બધા પૂર્ણાંકો ધન છે.
\( Q \): બધા પૂર્ણાંકો ઋણ છે.
આ બંને વિધાનો ખોટા છે, અને સંયોજક 'અથવા' વડે વિધાનોને જોડવામાં આવ્યા છે. તેથી, આપેલ સંયુક્ત વિધાન ખોટું છે. (કારણ કે પૂર્ણાંકોમાં શૂન્ય પણ આવે છે જે ધન કે ઋણ નથી, અને બધા પૂર્ણાંકો ધન કે ઋણ નથી, તેથી બંને ખોટા હોવાથી 'અથવા' પણ ખોટું).
(3) તેના ઘટક વિધાનો નીચે મુજબ છે:
\( p \): 100 એ 3 થી વિભાજ્ય છે.
\( q \): 100 એ 11 થી વિભાજ્ય છે.
\( r \): 100 એ 5 થી વિભાજ્ય છે.
વિધાન \( p \) અને \( q \) ખોટા છે, જ્યારે વિધાન \( r \) સાચું છે. અને સંયોજક 'અને' દ્વારા વિધાનોને જોડવામાં આવ્યા છે. તેથી, સંયુક્ત વિધાન સાચું છે.
In simple words: સંયુક્ત વિધાનમાં નાના, અલગ ભાગો હોય છે જેને 'ઘટક વિધાનો' કહેવાય. પહેલા દરેક ઘટક વિધાન સાચું છે કે ખોટું તે નક્કી કરો. પછી, 'અથવા' જેવા જોડનાર શબ્દના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને આખા વિધાનનું પરિણામ શોધો. 'અથવા' માટે એક પણ ભાગ સાચો હોય તો આખું વિધાન સાચું થાય. 'અને' માટે બધા ભાગ સાચા હોય તો જ આખું વિધાન સાચું થાય.

Exam Tip: When analyzing compound statements, first identify all individual component statements, determine their truth values, and then apply the logic of the connective (e.g., 'and', 'or') to find the overall truth value.