GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 13 લક્ષ અને વિકલન Exercise 13.2

નીચેનાં લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવે તો મેળવો

Question 1. \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{4 x}-1}{x} \)
Answer:
\( \lim_{x \to 0} \frac{e^{4x}-1}{x} \)
\( = \lim_{x \to 0} \frac{e^{4x}-1}{4x} \times 4 \)
\( = 4 \lim_{x \to 0} \frac{e^{4x}-1}{4x} \)
આપણે જાણીએ છીએ કે, જ્યારે \(x\) શૂન્યની નજીક પહોંચે છે, ત્યારે \(4x\) પણ શૂન્યની નજીક જાય છે. તેથી, \( \lim_{t \to 0} \frac{e^t-1}{t} = 1 \) ના નિયમનો ઉપયોગ કરીને.
\( = 4 \times 1 \)
\( = 4 \)
In simple words: આ દાખલામાં, આપણે લિમિટના એક મૂળભૂત નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. જો \(e\) ની ઘાતમાં કોઈ પદ હોય અને તે જ પદ છેદમાં હોય, અને તે પદ શૂન્ય તરફ જતું હોય, તો આખી લિમિટનો જવાબ 1 આવે છે. અહીં આપણે \(4x\) ને \(t\) તરીકે કલ્પના કરીએ છીએ.

Exam Tip: \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{ax}-1}{x} = a \) જેવા પ્રમાણભૂત લિમિટ સૂત્રો યાદ રાખો. આનાથી ગણતરીઓ ઝડપી બનશે અને પરીક્ષામાં સમય બચશે.

Question 2. \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{2+x}-e^2}{x} \)
Answer:
\( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2+x}-e^2}{x} \)
\( = \lim_{x \to 0} \frac{e^2 \cdot e^x-e^2}{x} \)
\( = \lim_{x \to 0} \frac{e^2 (e^x-1)}{x} \)
અહીં, આપણે \(e^2\) ને લિમિટની બહાર લઈ શકીએ છીએ કારણ કે તે એક અચલ પદ છે.
\( = e^2 \lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} \)
\( = e^2 \times 1 \)
\( = e^2 \)
In simple words: સૌપ્રથમ, \(e^{2+x}\) ને \(e^2 \cdot e^x\) તરીકે અલગ કરો. પછી, \(e^2\) ને કોમન કાઢો. છેલ્લે, \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} \) ના જાણીતા નિયમનો ઉપયોગ કરો, જેનો જવાબ 1 આવે છે.

Exam Tip: જ્યારે ઘાતાંકમાં સરવાળો હોય, ત્યારે ઘાતના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને તેને અલગ કરો (\(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\)). આનાથી સમીકરણ સરળ બને છે અને લિમિટ શોધવામાં મદદ મળે છે.

Question 3. \( \lim _{x \rightarrow 5} \frac{e^x-e^5}{x-5} \)
Answer:
ધારો કે, \(x - 5 = t\).
જ્યારે \(x \to 5\), ત્યારે \(t \to 0\). અને \(x = t + 5\).
તેથી, આપણે લિમિટને \(t\) ના પદમાં ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
\( \therefore \lim_{x \to 5} \frac{e^x-e^5}{x-5} = \lim_{t \to 0} \frac{e^{t+5}-e^5}{t} \)
\( = \lim_{t \to 0} \frac{e^t \cdot e^5-e^5}{t} \)
\( = \lim_{t \to 0} \frac{e^5 (e^t-1)}{t} \)
અચલ \(e^5\) ને લિમિટની બહાર લઈએ:
\( = e^5 \lim_{t \to 0} \frac{e^t-1}{t} \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \lim_{t \to 0} \frac{e^t-1}{t} = 1 \).
\( = e^5 \times 1 = e^5 \)
In simple words: આ દાખલાને ઉકેલવા માટે, આપણે \(x-5\) ને એક નવા ચલ \(t\) તરીકે બદલીએ છીએ. જ્યારે \(x\) 5 ની નજીક જાય છે, ત્યારે \(t\) 0 ની નજીક જાય છે. આ બદલાવ કરવાથી, આપણે જાણીતા લિમિટના સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે લિમિટ \(x \to a\) હોય અને છેદમાં \(x-a\) હોય, ત્યારે \(x-a = t\) નો આદેશ વાપરવાથી દાખલો \(x \to 0\) વાળા સરળ સ્વરૂપમાં ફેરવાય છે, જે ઘણીવાર મદદરૂપ થાય છે.

Question 4. \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\sin x}-1}{x} \)
Answer:
\( \lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x}-1}{x} \)
અહીં, આપણે સમીકરણને \( \sin x \) વડે ગુણીને અને ભાગીને ફરીથી ગોઠવીએ છીએ:
\( = \lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x}-1}{\sin x} \times \frac{\sin x}{x} \)
આપણે જાણીએ છીએ કે જ્યારે \(x \to 0\) હોય, ત્યારે \(x \neq 0\) હોય છે, તેથી \( \sin x \neq 0 \) પણ થાય છે.
હવે, આપણે લિમિટને બે અલગ ભાગોમાં વિભાજીત કરી શકીએ છીએ:
\( = \lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x}-1}{\sin x} \times \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \).
વળી, જ્યારે \(x \to 0\), ત્યારે \( \sin x \to 0 \). તેથી, જો આપણે \( \sin x = t \) લઈએ, તો \(t \to 0\). આથી, \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x}-1}{\sin x} = \lim_{t \to 0} \frac{e^t-1}{t} = 1 \).
\( = 1 \times 1 \)
\( = 1 \)
In simple words: આ દાખલામાં, આપણે \( \frac{\sin x}{\sin x} \) વડે ગુણી અને ભાગીને લિમિટને બે જાણીતા ભાગમાં વહેંચીએ છીએ. એક ભાગ \( \frac{e^t-1}{t} \) જેવો બને છે અને બીજો ભાગ \( \frac{\sin x}{x} \) જેવો બને છે. બંનેનો જવાબ 1 આવે છે, તેથી કુલ જવાબ પણ 1 થાય છે.

Exam Tip: જ્યારે \(e^{f(x)}-1\) જેવા પદ હોય અને \(f(x) \to 0\), ત્યારે \( \frac{e^{f(x)}-1}{f(x)} = 1 \) નો ઉપયોગ કરવા માટે, \(f(x)\) વડે ગુણી અને ભાગીને ગોઠવણી કરવી તે એક સામાન્ય પદ્ધતિ છે.

Question 5. \( \lim _{x \rightarrow 3} \frac{e^x-e^3}{x-3} \)
Answer:
ધારો કે, \(x - 3 = t\).
જ્યારે \(x \to 3\), ત્યારે \(t \to 0\). અને \(x = t + 3\).
તેથી, લિમિટને \(t\) ના પદમાં રૂપાંતરિત કરીએ:
\( \therefore \lim_{x \to 3} \frac{e^x-e^3}{x-3} = \lim_{t \to 0} \frac{e^{t+3}-e^3}{t} \)
\( = \lim_{t \to 0} \frac{e^t \cdot e^3-e^3}{t} \)
\( = \lim_{t \to 0} \frac{e^3 (e^t-1)}{t} \)
અચલ \(e^3\) ને લિમિટની બહાર લઈએ:
\( = e^3 \lim_{t \to 0} \frac{e^t-1}{t} \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \lim_{t \to 0} \frac{e^t-1}{t} = 1 \).
\( = e^3 \times 1 = e^3 \)
In simple words: આ દાખલામાં, આપણે \(x-3\) ને \(t\) તરીકે ધારીએ છીએ. જ્યારે \(x\) 3 ની નજીક જાય છે, ત્યારે \(t\) 0 ની નજીક જાય છે. આ બદલાવ પછી, આપણે જાણીતા લિમિટના નિયમનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી જવાબ શોધી શકીએ છીએ.

Exam Tip: \( \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \) આ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ પણ કરી શકાય, જ્યાં \(f(x) = e^x\) અને \(a=3\). આ રીતે, \(f'(x)=e^x\) અને \(f'(3)=e^3\) સીધો જવાબ મળે.

Question 6. \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x\left(e^x-1\right)}{1-\cos x} \)
Answer:
\( \lim_{x \to 0} \frac{x(e^x-1)}{1-\cos x} \)
આપણે સમીકરણને \( (1+\cos x) \) વડે ગુણીને અને ભાગીને સરળ બનાવીએ છીએ:
\( = \lim_{x \to 0} \frac{x(e^x-1)}{1-\cos x} \times \frac{1+\cos x}{1+\cos x} \)
\( = \lim_{x \to 0} \frac{x(e^x-1)(1+\cos x)}{1-\cos^2 x} \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( 1-\cos^2 x = \sin^2 x \).
\( = \lim_{x \to 0} \frac{x(e^x-1)(1+\cos x)}{\sin^2 x} \)
હવે, પદોને ફરીથી ગોઠવીએ જેથી આપણે જાણીતા લિમિટના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરી શકીએ:
\( = \lim_{x \to 0} \left( \frac{e^x-1}{x} \right) \times \left( \frac{x^2}{\sin^2 x} \right) \times (1+\cos x) \)
\( = \lim_{x \to 0} \left( \frac{e^x-1}{x} \right) \times \left( \frac{x}{\sin x} \right)^2 \times (1+\cos x) \)
જ્યારે \(x \to 0\), ત્યારે \(x \neq 0\).
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1 \), \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \), તેથી \( \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1 \).
અને \( \lim_{x \to 0} (1+\cos x) = (1+\cos 0) = (1+1) = 2 \).
\( = 1 \times (1)^2 \times (1+1) \)
\( = 1 \times 1 \times 2 \)
\( = 2 \)
In simple words: આ દાખલામાં, આપણે પહેલાં \(1-\cos x\) ને \(1+\cos x\) વડે ગુણીને \( \sin^2 x \) માં બદલીએ છીએ. પછી, પદોને એવી રીતે ગોઠવીએ છીએ કે આપણને \( \frac{e^x-1}{x} \) અને \( \frac{x}{\sin x} \) જેવા પરિચિત લિમિટના સૂત્રો મળે, જેનો જવાબ 1 આવે છે.

Exam Tip: \(1-\cos x\) વાળા પદને દૂર કરવા માટે \(1+\cos x\) વડે ગુણવાની અને ભાગવાની પદ્ધતિ ઘણી વાર ઉપયોગી થાય છે, કારણ કે \(1-\cos^2 x = \sin^2 x\) બને છે, જે પછી \( \frac{\sin x}{x} \) સૂત્ર સાથે જોડાઈ શકે છે.

Question 7. \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log _e(1+2 x)}{x} \)
Answer:
\( \lim_{x \to 0} \frac{\log_e(1+2x)}{x} \)
આપણે સમીકરણને \(2\) વડે ગુણીને અને ભાગીને ગોઠવીએ છીએ:
\( = \lim_{x \to 0} \frac{\log_e(1+2x)}{2x} \times 2 \)
\( = 2 \lim_{x \to 0} \frac{\log_e(1+2x)}{2x} \)
અહીં, જ્યારે \(x \to 0\), ત્યારે \(2x \to 0\) પણ થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \lim_{t \to 0} \frac{\log_e(1+t)}{t} = 1 \).
તેથી, \( = 2 \times 1 \)
\( = 2 \)
In simple words: આ દાખલામાં, લોગેરિધમના એક વિશિષ્ટ લિમિટ સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે. આપણે ખાતરી કરીએ છીએ કે લોગની અંદર \(1+2x\) હોય અને છેદમાં પણ \(2x\) હોય. આ કરવા માટે, આપણે સમીકરણને 2 વડે ગુણી અને ભાગીને ગોઠવીએ છીએ.

Exam Tip: \( \lim_{x \to 0} \frac{\log_e(1+ax)}{x} = a \) જેવા લિમિટ સૂત્રો યાદ રાખો. આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સીધો જવાબ આપી શકાય છે અને ગણતરી ઝડપી બને છે.

Question 8. \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log \left(1+x^3\right)}{\sin ^3 x} \)
Answer:
\( \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x^3)}{\sin^3 x} \)
આપણે સમીકરણને \(x^3\) વડે ગુણીને અને ભાગીને ગોઠવીએ છીએ જેથી જાણીતા લિમિટના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરી શકાય:
\( = \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x^3)}{x^3} \times \frac{x^3}{\sin^3 x} \)
\( = \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x^3)}{x^3} \times \left(\frac{x}{\sin x}\right)^3 \)
જ્યારે \(x \to 0\), ત્યારે \(x \neq 0\).
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{t} = 1 \) (અહીં \(t=x^3\)).
અને \( \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1 \).
તેથી, આપણે દરેક લિમિટના ભાગને અલગથી ગણી શકીએ છીએ:
\( = 1 \times (1)^3 \)
\( = 1 \times 1 \)
\( = 1 \)
In simple words: આ દાખલાને ઉકેલવા માટે, આપણે સમીકરણમાં \(x^3\) વડે ગુણી અને ભાગીને તેને બે જાણીતા લિમિટના સ્વરૂપોમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ: એક \( \frac{\log(1+t)}{t} \) જેવું અને બીજું \( \frac{x}{\sin x} \) જેવું. બંનેનો જવાબ 1 આવે છે, તેથી કુલ જવાબ પણ 1 થાય છે.

Exam Tip: જ્યારે બહુવિધ લિમિટ સૂત્રો લાગુ પડતા હોય, ત્યારે પદોને એવી રીતે ગોઠવો કે દરેક ભાગ એક જાણીતા સૂત્રમાં બંધબેસતો હોય. \( \frac{x^n}{\sin^n x} = \left(\frac{x}{\sin x}\right)^n \) જેવા ઘાતના નિયમોનો ઉપયોગ કરો.