GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 13 લક્ષ અને વિકલન Exercise 13.1

નીચેના લક્ષની ગણતરી કરોઃ (ક્રમાંક 1થી 22)

Question 1. \( \lim _{x \rightarrow 3} (x + 3) \)
Answer: \( \lim _{x \rightarrow 3} (x + 3) = 3 + 3 = 6 \)
In simple words: જ્યારે \(x\) 3 તરફ જાય, ત્યારે \(x+3\) ફંક્શનની કિંમત સીધી \(x\) ની જગ્યાએ 3 મૂકીને શોધી શકાય છે, જે 6 આપે છે.

Exam Tip: For polynomial functions, the limit as \(x\) approaches a value can be found by direct substitution of that value into the function.

Question 2. \( \lim _{x \rightarrow \pi} (x - \frac{22}{7}) \)
Answer: \( \lim _{x \rightarrow \pi} (x - \frac{22}{7}) = \lim _{x \rightarrow \pi} x - \lim _{x \rightarrow \pi} (\frac{22}{7}) = \pi - \frac{22}{7} \)
In simple words: જ્યારે \(x\) પાઈ (\( \pi \)) તરફ જાય, ત્યારે \(x - \frac{22}{7}\) ની કિંમત શોધવા માટે, આપણે \(x\) ની જગ્યાએ સીધું \( \pi \) મૂકી શકીએ છીએ.

Exam Tip: The limit of a difference of functions is the difference of their limits, provided each limit exists. Also, the limit of a constant is the constant itself.

Question 3. \( \lim _{r \rightarrow 1} \pi r^2 \)
Answer: \( \lim _{r \rightarrow 1} \pi r^2 = \pi \lim _{r \rightarrow 1} r^2 = \pi \cdot (1)^2 = \pi \)
In simple words: જ્યારે \(r\) 1 તરફ જાય, ત્યારે \( \pi r^2 \) ની કિંમત શોધવા માટે, \( \pi \) ને બહાર રાખીને \(r^2\) ની લિમિટ શોધી શકાય. \(r\) ની જગ્યાએ 1 મૂકવાથી આપણને \( \pi \) જવાબ મળે છે.

Exam Tip: Constants can be factored out of a limit expression. For power functions like \(r^2\), direct substitution is generally valid.

Question 4. \( \lim _{x \rightarrow 4} \frac{4x+3}{x-2} \)
Answer: \( \lim _{x \rightarrow 4} \frac{4x+3}{x-2} = \frac{\lim _{x \rightarrow 4} (4x+3)}{\lim _{x \rightarrow 4} (x-2)} = \frac{4(4)+3}{4-2} = \frac{16+3}{2} = \frac{19}{2} \)
In simple words: જ્યારે \(x\) 4 તરફ જાય, ત્યારે આ અપૂર્ણાંકની લિમિટ શોધવા માટે, આપણે ઉપરના અને નીચેના ભાગમાં સીધું 4 મૂકી શકીએ છીએ, કારણ કે નીચેનો ભાગ શૂન્ય નથી બનતો.

Exam Tip: For rational functions, direct substitution is permissible if the denominator does not become zero at the limit point. If it becomes zero, further simplification is necessary.

Question 5. \( \lim _{x \rightarrow -1} \frac{x^{10}+x^5+1}{x-1} \)
Answer: \( \lim _{x \rightarrow -1} \frac{x^{10}+x^5+1}{x-1} = \frac{\lim _{x \rightarrow -1} (x^{10}+x^5+1)}{\lim _{x \rightarrow -1} (x-1)} = \frac{(-1)^{10}+(-1)^5+1}{-1-1} = \frac{1-1+1}{-2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} \)
In simple words: \(x\) ની કિંમત -1 તરફ જતી હોય ત્યારે આ અપૂર્ણાંકની લિમિટ શોધવા માટે, આપણે \(x\) ની જગ્યાએ -1 સીધું મૂકી શકીએ છીએ, કારણ કે છેદ શૂન્ય થતો નથી.

Exam Tip: Always check the denominator first. If it's non-zero after substitution, the limit is simply the result of the substitution.

Question 6. \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(x+1)^5-1}{x} \)
Answer: \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(x+1)^5-1}{x} \)
\( = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1)-1}{x} \)
\( = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x}{x} \)
\( = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x(x^4+5x^3+10x^2+10x+5)}{x} \)
\( = \lim _{x \rightarrow 0} (x^4+5x^3+10x^2+10x+5) \) (જેમ કે \(x \rightarrow 0, x \neq 0 \))
\( = 0^4+5(0)^3+10(0)^2+10(0)+5 \)
\( = 0+0+0+0+5 \)
\( = 5 \)
બીજી રીત :
ધારો કે \(x+1=y\). જ્યારે \(x \rightarrow 0\), ત્યારે \(y \rightarrow 1\).
\( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(x+1)^5-1}{x} = \lim _{y \rightarrow 1} \frac{y^5-1}{y-1} \)
અહીં, આપણે \( \lim _{x \rightarrow a} \frac{x^n-a^n}{x-a} = na^{n-1} \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
અહીં \(n=5\) અને \(a=1\).
\( = 5 \cdot (1)^{5-1} = 5 \cdot 1^4 = 5 \cdot 1 = 5 \)
In simple words: આ લિમિટ શોધવા માટે, આપણે (x+1)⁵ ને વિસ્તૃત કરીને x વડે ભાગી શકીએ, પછી x = 0 મૂકીને જવાબ 5 મેળવી શકીએ. અથવા, એક અલગ ચલ y ધારીને જાણીતા લિમિટ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સીધો જવાબ 5 મેળવી શકાય.

Exam Tip: When direct substitution results in an indeterminate form (like 0/0), try algebraic simplification (factoring, expanding) or using standard limit formulas like \( \lim_{x \to a} \frac{x^n - a^n}{x-a} = na^{n-1} \).

Question 7. \( \lim _{x \rightarrow 2} \frac{3x^2-x-10}{x^2-4} \)
Answer: \( \lim _{x \rightarrow 2} \frac{3x^2-x-10}{x^2-4} \)
\( = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{(x-2)(3x+5)}{(x-2)(x+2)} \)
\( = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{3x+5}{x+2} \) (જેમ કે \(x \rightarrow 2, x \neq 2\), તેથી \(x-2 \neq 0\))
\( = \frac{3(2)+5}{2+2} = \frac{6+5}{4} = \frac{11}{4} \)
In simple words: જ્યારે \(x\) 2 તરફ જાય, ત્યારે આ અપૂર્ણાંકની લિમિટ શોધવા માટે, આપણે ઉપરના અને નીચેના બંને ભાગને અવયવ પાડી શકીએ છીએ. \( (x-2) \) પદને રદ કર્યા પછી, \(x\) ની જગ્યાએ 2 મૂકીને આપણે અંતિમ જવાબ મેળવી શકીએ છીએ.

Exam Tip: If direct substitution leads to \( \frac{0}{0} \), factorize the numerator and denominator to cancel out the common factor causing the zero, then substitute the limit value.

Question 8. \( \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^4-81}{2x^2-5x-3} \)
Answer: \( \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^4-81}{2x^2-5x-3} \)
\( = \lim _{x \rightarrow 3} \frac{(x^2-9)(x^2+9)}{(x-3)(2x+1)} \)
\( = \lim _{x \rightarrow 3} \frac{(x-3)(x+3)(x^2+9)}{(x-3)(2x+1)} \)
\( = \lim _{x \rightarrow 3} \frac{(x+3)(x^2+9)}{2x+1} \) (જેમ કે \(x \rightarrow 3, x \neq 3\), તેથી \(x-3 \neq 0\))
\( = \frac{(3+3)(3^2+9)}{2(3)+1} \)
\( = \frac{(6)(9+9)}{6+1} = \frac{6 \cdot 18}{7} = \frac{108}{7} \)
In simple words: આ લિમિટ મેળવવા માટે, ઉપરના ભાગને \( (x^2-9)(x^2+9) \) અને પછી \( (x-3)(x+3)(x^2+9) \) માં વિભાજીત કરો. નીચેના ભાગને \( (x-3)(2x+1) \) માં વિભાજીત કરો. \( (x-3) \) ને રદ કર્યા પછી, \(x\) ની જગ્યાએ 3 મૂકીને જવાબ શોધો.

Exam Tip: For expressions involving polynomials, look for ways to factorize using identities like \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) or quadratic factorization, especially when direct substitution gives \( \frac{0}{0} \).

Question 9. \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{ax+b}{cx+1} \)
Answer: \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{ax+b}{cx+1} = \frac{\lim _{x \rightarrow 0} (ax+b)}{\lim _{x \rightarrow 0} (cx+1)} = \frac{a(0)+b}{c(0)+1} = \frac{0+b}{0+1} = \frac{b}{1} = b \)
In simple words: જ્યારે \(x\) શૂન્ય તરફ જાય છે, ત્યારે આ અપૂર્ણાંકની લિમિટ શોધવા માટે, આપણે \(x\) ની જગ્યાએ સીધું 0 મૂકી શકીએ છીએ, કારણ કે છેદ શૂન્ય બનતો નથી.

Exam Tip: Remember that if direct substitution of the limit value into a rational function yields a non-zero denominator, that value is the limit.

Question 10. \( \lim _{z \rightarrow 1} \frac{z^{\frac{1}{3}}-1}{z^{\frac{1}{6}}-1} \)
Answer: \( \lim _{z \rightarrow 1} \frac{z^{\frac{1}{3}}-1}{z^{\frac{1}{6}}-1} \)
\( = \lim _{z \rightarrow 1} \frac{\frac{z^{\frac{1}{3}}-1}{z-1}}{\frac{z^{\frac{1}{6}}-1}{z-1}} \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \lim _{x \rightarrow a} \frac{x^n-a^n}{x-a} = na^{n-1} \).
તેથી, \( \lim _{z \rightarrow 1} \frac{z^{\frac{1}{3}}-1}{z-1} = \frac{1}{3}(1)^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3} \)
અને \( \lim _{z \rightarrow 1} \frac{z^{\frac{1}{6}}-1}{z-1} = \frac{1}{6}(1)^{\frac{1}{6}-1} = \frac{1}{6} \cdot 1 = \frac{1}{6} \)
\( = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{6}} = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2 \)
બીજી રીત :
ધારો કે \(z^{\frac{1}{6}}=y\). જ્યારે \(z \rightarrow 1\), ત્યારે \(y \rightarrow 1\).
જો \(z^{\frac{1}{6}}=y\), તો \(z^{\frac{1}{3}}=(z^{\frac{1}{6}})^2=y^2\).
\( \lim _{z \rightarrow 1} \frac{z^{\frac{1}{3}}-1}{z^{\frac{1}{6}}-1} = \lim _{y \rightarrow 1} \frac{y^2-1}{y-1} \)
\( = \lim _{y \rightarrow 1} \frac{(y-1)(y+1)}{y-1} \)
\( = \lim _{y \rightarrow 1} (y+1) \) (જેમ કે \(y \rightarrow 1, y \neq 1\), તેથી \(y-1 \neq 0\))
\( = 1+1 = 2 \)
In simple words: આ લિમિટ શોધવા માટે, આપણે અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદ બંનેને \(z-1\) વડે ભાગી શકીએ છીએ, પછી જાણીતા ઘાતાંકના લિમિટ સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ. અથવા, \(z^{1/6}\) ને \(y\) ધારીને, સમીકરણને સરળ બનાવીને અવયવ પાડીને જવાબ મેળવી શકાય છે.

Exam Tip: For limits involving fractional powers and indeterminate forms, either divide by \(x-a\) to use the standard formula or make a suitable substitution to simplify the expression, often leading to factorization.

Question 11. \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{ax^2+bx+c}{cx^2+bx+a}; a +b+c \neq 0 \)
Answer: \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{ax^2+bx+c}{cx^2+bx+a} = \frac{\lim _{x \rightarrow 1} (ax^2+bx+c)}{\lim _{x \rightarrow 1} (cx^2+bx+a)} \)
\( = \frac{a(1)^2+b(1)+c}{c(1)^2+b(1)+a} = \frac{a+b+c}{c+b+a} = 1 \) (જેમ કે \(a+b+c \neq 0\))
In simple words: \(x\) 1 તરફ જાય તેમ આ અપૂર્ણાંકની લિમિટ શોધવા માટે, આપણે \(x\) ની જગ્યાએ સીધો 1 મૂકી શકીએ છીએ. કારણ કે રકમમાં આપ્યું છે કે \(a+b+c\) શૂન્ય નથી, તેથી છેદ શૂન્ય થતો નથી અને જવાબ 1 આવે છે.

Exam Tip: Always observe given conditions like \(a+b+c \neq 0\), as they confirm the validity of direct substitution and prevent indeterminate forms.

Question 12. \( \lim _{x \rightarrow -2} \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{2}}{x+2} \)
Answer: \( \lim _{x \rightarrow -2} \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{2}}{x+2} \)
\( = \lim _{x \rightarrow -2} \frac{\frac{2+x}{2x}}{x+2} \)
\( = \lim _{x \rightarrow -2} \frac{2+x}{2x(x+2)} \)
\( = \lim _{x \rightarrow -2} \frac{1}{2x} \) (જેમ કે \(x \rightarrow -2, x \neq -2\), તેથી \(x+2 \neq 0\))
\( = \frac{1}{2(-2)} = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4} \)
In simple words: જ્યારે \(x\) -2 તરફ જાય, ત્યારે આ ગણિતના અપૂર્ણાંકની લિમિટ શોધવા માટે, પહેલા ઉપરના ભાગને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં બદલો. પછી \( (x+2) \) ને રદ કરી, \(x\) ની જગ્યાએ -2 મૂકીને જવાબ મેળવી શકાય છે.

Exam Tip: When faced with complex fractions, first simplify the numerator or denominator to a single fraction, then look for common factors to cancel out, especially if it's an indeterminate form.

Question 13. \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ax}{bx} \)
Answer: \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ax}{bx} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ax}{ax} \cdot \frac{ax}{bx} \)
\( = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ax}{ax} \cdot \frac{a}{b} \)
\( = \frac{a}{b} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ax}{ax} \)
જેમ કે \(x \rightarrow 0\), \(ax \rightarrow 0\) અને \( \lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1 \).
\( = \frac{a}{b} \cdot 1 = \frac{a}{b} \)
In simple words: આ લિમિટ શોધવા માટે, આપણે \( \sin ax \) ને \(ax\) વડે ગુણી અને ભાગી શકીએ છીએ. પછી જાણીતા ત્રિકોણમિતિ લિમિટ સૂત્ર (\( \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1 \)) નો ઉપયોગ કરીને જવાબ \(a/b\) મેળવી શકાય છે.

Exam Tip: When evaluating limits involving trigonometric functions, try to manipulate the expression to fit the standard limit form \( \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1 \). Remember to adjust the argument of sine to match the denominator.

Question 14. \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ax}{\sin bx}; a, b \neq 0 \)
Answer: \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ax}{\sin bx} \)
\( = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\sin ax}{ax} \cdot ax}{\frac{\sin bx}{bx} \cdot bx} \)
\( = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\sin ax}{ax}}{\frac{\sin bx}{bx}} \cdot \frac{ax}{bx} \)
\( = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\sin ax}{ax}}{\frac{\sin bx}{bx}} \cdot \frac{a}{b} \)
જેમ કે \(x \rightarrow 0, ax \rightarrow 0\) અને \(bx \rightarrow 0\) અને \( \lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1 \).
\( = \frac{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ax}{ax}}{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin bx}{bx}} \cdot \frac{a}{b} \)
\( = \frac{1}{1} \cdot \frac{a}{b} = \frac{a}{b} \)
In simple words: આ લિમિટ શોધવા માટે, આપણે \( \sin ax \) ને \(ax\) વડે ગુણી અને ભાગી શકીએ છીએ, અને \( \sin bx \) ને \(bx\) વડે ગુણી અને ભાગી શકીએ છીએ. પછી જાણીતા \( \sin\theta/\theta \) લિમિટ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને જવાબ \(a/b\) મેળવી શકાય છે.

Exam Tip: When both numerator and denominator involve sine functions tending to zero, apply the \( \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1 \) identity to both parts separately, often by multiplying and dividing by the argument of the sine function.

Question 15. \( \lim _{x \rightarrow \pi} \frac{\sin (\pi-x)}{\pi(\pi-x)} \)
Answer: ધારો કે \( \pi-x = \theta \).
જ્યારે \(x \rightarrow \pi\), ત્યારે \( \pi-x \rightarrow 0 \), તેથી \( \theta \rightarrow 0 \).
\( \lim _{x \rightarrow \pi} \frac{\sin (\pi-x)}{\pi(\pi-x)} = \lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\pi\theta} \)
\( = \frac{1}{\pi} \lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} \)
જેમ કે \( \lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1 \).
\( = \frac{1}{\pi} \cdot 1 = \frac{1}{\pi} \)
In simple words: આ લિમિટ મેળવવા માટે, આપણે \( \pi-x \) ને એક નવો ચલ (\( \theta \)) માની શકીએ. જ્યારે \(x\) પાઈ તરફ જાય છે, ત્યારે \( \theta \) શૂન્ય તરફ જાય છે. પછી \( \frac{\sin\theta}{\theta} \) ના જાણીતા લિમિટ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને જવાબ \( 1/\pi \) મળે છે.

Exam Tip: Substitution is a powerful technique for limits. Choose a substitution that transforms the limit into a recognizable standard form, especially for trigonometric limits.

Question 16. \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x}{\pi-x} \)
Answer: \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x}{\pi-x} = \frac{\lim _{x \rightarrow 0} (\cos x)}{\lim _{x \rightarrow 0} (\pi-x)} \)
\( = \frac{\cos 0}{\pi-0} = \frac{1}{\pi} \)
In simple words: જ્યારે \(x\) શૂન્ય તરફ જાય છે, ત્યારે આ અપૂર્ણાંકની લિમિટ શોધવા માટે, આપણે \(x\) ની જગ્યાએ સીધું 0 મૂકી શકીએ છીએ, કારણ કે છેદ શૂન્ય થતો નથી.

Exam Tip: For continuous functions (like cos x and polynomial functions), if the denominator is non-zero at the limit point, direct substitution is sufficient to find the limit.

Question 17. \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos 2x-1}{\cos x-1} \)
Answer: \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos 2x-1}{\cos x-1} \)
\( = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(2\cos^2x-1)-1}{\cos x-1} \) ( \( \cos 2x = 2\cos^2x-1 \) નો ઉપયોગ કરીને)
\( = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2\cos^2x-2}{\cos x-1} \)
\( = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2(\cos^2x-1)}{\cos x-1} \)
\( = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2(\cos x-1)(\cos x+1)}{\cos x-1} \)
\( = \lim _{x \rightarrow 0} 2(\cos x+1) \) (જેમ કે \(x \rightarrow 0, \cos x \neq 1\), તેથી \( \cos x-1 \neq 0 \))
\( = 2(\cos 0+1) \)
\( = 2(1+1) = 2(2) = 4 \)
In simple words: આ લિમિટ શોધવા માટે, આપણે \( \cos 2x \) ને \( 2\cos^2x-1 \) માં બદલી શકીએ છીએ. પછી ઉપરના ભાગમાંથી 2 ને સામાન્ય કાઢી, \( (\cos^2x-1) \) ને \( (\cos x-1)(\cos x+1) \) માં અવયવ પાડી શકાય. \( (\cos x-1) \) પદને રદ કર્યા પછી, \(x\) ની જગ્યાએ 0 મૂકીને જવાબ 4 મેળવી શકાય છે.

Exam Tip: When encountering trigonometric functions that result in 0/0, use trigonometric identities (like double-angle formulas) to simplify the expression and factorize, allowing the problematic term to be cancelled.

Question 18. \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{ax+x \cos x}{b \sin x} \)
Answer: \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{ax+x \cos x}{b \sin x} \)
\( = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x(a+\cos x)}{b \sin x} \)
\( = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{a+\cos x}{b \frac{\sin x}{x}} \)
\( = \frac{\lim _{x \rightarrow 0} (a+\cos x)}{\lim _{x \rightarrow 0} (b \frac{\sin x}{x})} \)
\( = \frac{\lim _{x \rightarrow 0} (a+\cos x)}{b \lim _{x \rightarrow 0} (\frac{\sin x}{x})} \)
જેમ કે \(x \rightarrow 0\), \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \).
\( = \frac{a+\cos 0}{b \cdot 1} = \frac{a+1}{b} \)
In simple words: આ લિમિટ શોધવા માટે, ઉપરના ભાગમાંથી \(x\) ને સામાન્ય કાઢો. પછી અપૂર્ણાંકને ફરીથી ગોઠવો જેથી \( \frac{\sin x}{x} \) પદ દેખાય, જેની લિમિટ 1 છે. પછી બાકીના પદોમાં \(x\) ની જગ્યાએ 0 મૂકીને જવાબ \( (a+1)/b \) મેળવી શકાય છે.

Exam Tip: For expressions with \(x\) and \(\sin x\) terms, always try to factorize \(x\) and create the \( \frac{\sin x}{x} \) form, which is a standard limit that evaluates to 1 as \(x \rightarrow 0\).

Question 19. \( \lim _{x \rightarrow 0} x \sec x \)
Answer: \( \lim _{x \rightarrow 0} x \sec x = \lim _{x \rightarrow 0} x \cdot \lim _{x \rightarrow 0} (\sec x) \)
\( = 0 \cdot \sec 0 = 0 \cdot \frac{1}{\cos 0} = 0 \cdot \frac{1}{1} = 0 \cdot 1 = 0 \)
In simple words: જ્યારે \(x\) શૂન્ય તરફ જાય, ત્યારે \(x \sec x\) ની લિમિટ શોધવા માટે, આપણે \(x\) અને \( \sec x \) ની લિમિટ અલગથી શોધી શકીએ છીએ. \(x\) ની લિમિટ 0 છે અને \( \sec x \) ની લિમિટ 1 છે, તેથી ગુણાકાર 0 મળે છે.

Exam Tip: The limit of a product of functions is the product of their limits, provided each limit exists. Remember that \(\sec x = \frac{1}{\cos x}\).

Question 20. \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ax+bx}{ax+\sin bx}; a, b, a + b \neq 0 \)
Answer: \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ax+bx}{ax+\sin bx} \)
\( = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\sin ax}{x}+\frac{bx}{x}}{\frac{ax}{x}+\frac{\sin bx}{x}} \) (અંશ અને છેદને \(x\) વડે ભાગીને, જેમ કે \(x \rightarrow 0, x \neq 0\))
\( = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\sin ax}{x}+b}{a+\frac{\sin bx}{x}} \)
\( = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\sin ax}{ax} \cdot a + b}{a + \frac{\sin bx}{bx} \cdot b} \)
જેમ કે \(x \rightarrow 0, ax \rightarrow 0\) અને \(bx \rightarrow 0\), અને \( \lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1 \).
\( = \frac{1 \cdot a + b}{a + 1 \cdot b} = \frac{a+b}{a+b} = 1 \) (જેમ કે \(a+b \neq 0\))
In simple words: આ લિમિટ શોધવા માટે, અપૂર્ણાંકના ઉપરના અને નીચેના બંને ભાગને \(x\) વડે ભાગો. પછી \( \frac{\sin\theta}{\theta} \) ના જાણીતા લિમિટ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પદોને સરળ બનાવો. છેવટે, \(a+b\) પદ રદ થઈને જવાબ 1 મળશે.

Exam Tip: When both numerator and denominator contain sums of \(x\) and \(\sin x\) terms, divide all terms by \(x\) to apply the standard trigonometric limit, ensuring the denominator doesn't become zero.

Question 21. \( \lim_{x \rightarrow 0}(\csc x – \cot x) \)
Answer: \( \lim_{x \rightarrow 0}(\csc x – \cot x) \)
\( = \lim_{x \rightarrow 0} (\frac{1}{\sin x} - \frac{\cos x}{\sin x}) \)
\( = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x} \)
આપણે અંશ અને છેદને \( (1+\cos x) \) વડે ગુણી શકીએ છીએ:
\( = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{\sin x (1 + \cos x)} \)
\( = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos^2 x}{\sin x (1 + \cos x)} \)
\( = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin^2 x}{\sin x (1 + \cos x)} \) ( \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) નો ઉપયોગ કરીને)
\( = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{1 + \cos x} \) (જેમ કે \(x \rightarrow 0, \sin x \neq 0\))
\( = \frac{\sin 0}{1 + \cos 0} = \frac{0}{1+1} = \frac{0}{2} = 0 \)
In simple words: આ લિમિટ શોધવા માટે, પહેલા \( \csc x \) અને \( \cot x \) ને \( \sin x \) અને \( \cos x \) માં બદલો. પછી અપૂર્ણાંકને ભેગા કરીને સરળ બનાવો અને \( 1+\cos x \) વડે ગુણીને \( \sin^2 x \) બનાવો. \( \sin x \) ને રદ કર્યા પછી, \(x\) ની જગ્યાએ 0 મૂકીને અંતિમ જવાબ 0 મેળવો.

Exam Tip: For limits involving inverse trigonometric functions or differences of trigonometric functions, convert them into their sine and cosine forms. Then, use algebraic manipulation and trigonometric identities to simplify the expression before applying the limit.

Question 22. \( \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\tan 2x}{x-\frac{\pi}{2}} \)
Answer: ધારો કે \( x - \frac{\pi}{2} = \theta \).
જ્યારે \( x \rightarrow \frac{\pi}{2} \), ત્યારે \( \theta \rightarrow 0 \).
અહીં \( x = \frac{\pi}{2} + \theta \).
તેથી \( 2x = 2(\frac{\pi}{2} + \theta) = \pi + 2\theta \).
\( \tan 2x = \tan (\pi + 2\theta) = \tan (2\theta) \).
\( \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\tan 2x}{x-\frac{\pi}{2}} = \lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\tan (2\theta)}{\theta} \)
\( = \lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\tan (2\theta)}{2\theta} \cdot 2 \)
\( = 2 \lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\tan (2\theta)}{2\theta} \)
જેમ કે \( \theta \rightarrow 0 \), \( 2\theta \rightarrow 0 \) અને \( \lim _{\phi \rightarrow 0} \frac{\tan \phi}{\phi} = 1 \).
\( = 2 \cdot 1 = 2 \)
In simple words: આ લિમિટ શોધવા માટે, આપણે \( x - \frac{\pi}{2} \) ને \( \theta \) માની શકીએ છીએ. પછી \(x\) અને \( \tan 2x \) ને \( \theta \) ના સ્વરૂપમાં બદલીને સમીકરણને સરળ બનાવો. જાણીતા \( \frac{\tan\phi}{\phi} \) લિમિટ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અંતિમ જવાબ 2 મેળવી શકાય છે.

Exam Tip: When the limit approaches a non-zero value, a substitution can often simplify the expression and make it fit standard limit forms, especially for trigonometric functions. Ensure that as the original variable approaches its limit, the new variable approaches zero.

Question 23. જો \( f(x) = \begin{cases} 3, & x\leq0 \\ x-1, & x>0 \end{cases} \). \(a\) ની કંઈ કિંમત (કે કિંમતો) માટે \( \lim _{x \rightarrow a}f(x) \) નું અસ્તિત્વ છે ?
Answer: \( \lim_{x \rightarrow a} f(x) \) નું અસ્તિત્વ ત્યારે થાય છે જો ડાબી બાજુની લિમિટ (LHL) અને જમણી બાજુની લિમિટ (RHL) સમાન હોય.
\(a=0\) પર:
LHL \( = \lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^-} 3 = 3 \)
RHL \( = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} (x-1) = 0-1 = -1 \)
કારણ કે LHL \( \neq \) RHL at \(a=0\), તેથી \(a=0\) પર લિમિટનું અસ્તિત્વ નથી.
કોઈપણ \(a < 0\) માટે, \( f(x) = 3 \). તેથી, \( \lim_{x \rightarrow a} f(x) = 3 \).
કોઈપણ \(a > 0\) માટે, \( f(x) = x-1 \). તેથી, \( \lim_{x \rightarrow a} f(x) = a-1 \).
આમ, \( \lim_{x \rightarrow a}f(x) \) નું અસ્તિત્વ શૂન્ય સિવાયની તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ \(a\) માટે છે.
In simple words: જ્યારે \(f(x)\) ફંક્શનની કિંમત શૂન્ય પર ડાબી બાજુથી અને જમણી બાજુથી અલગ હોય, ત્યારે શૂન્ય પર લિમિટ નથી મળતી. શૂન્ય સિવાયના બીજા બધા આંકડા માટે લિમિટ મળે છે.

Exam Tip: For piecewise functions, check the limit at the points where the function definition changes. The limit exists at a point only if the left-hand limit equals the right-hand limit at that point.

Question 24. જો \( f(x) = \begin{cases} x^2-1, & x\leq1 \\ -x^2-1, & x>1 \end{cases} \). તો \( \lim _{x \rightarrow 1} f(x) \) શોધો.
Answer: \( \lim _{x \rightarrow 1} f(x) \) શોધવા માટે, આપણે ડાબી બાજુની અને જમણી બાજુની લિમિટ તપાસવી પડશે.
ડાબી બાજુની લિમિટ (LHL):
\( \lim _{x \rightarrow 1^-} f(x) = \lim _{x \rightarrow 1^-} (x^2-1) \)
\( = (1)^2-1 = 1-1 = 0 \)
જમણી બાજુની લિમિટ (RHL):
\( \lim _{x \rightarrow 1^+} f(x) = \lim _{x \rightarrow 1^+} (-x^2-1) \)
\( = -(1)^2-1 = -1-1 = -2 \)
અહીં, \( \lim _{x \rightarrow 1^-} f(x) \neq \lim _{x \rightarrow 1^+} f(x) \).
તેથી, \( \lim _{x \rightarrow 1} f(x) \) નું અસ્તિત્વ નથી.
In simple words: જ્યારે \(x\) 1 તરફ જાય ત્યારે ફંક્શનની લિમિટ શોધવા માટે, આપણે ડાબી બાજુથી (જ્યાં \(x \le 1\)) અને જમણી બાજુથી (જ્યાં \(x > 1\)) તેની કિંમતો તપાસીશું. જો બંને કિંમતો અલગ આવે, તો લિમિટ અસ્તિત્વમાં નથી.

Exam Tip: For piecewise functions, the limit at the point where the definition changes exists only if the left-hand and right-hand limits are equal. If they are different, the limit does not exist.

Question 25. જો \( f(x) = \begin{cases} \frac{|x|}{x}, & x\neq0 \\ 0, & x=0 \end{cases} \). તો \( \lim _{x \rightarrow 0} f(x) \) શોધો.
Answer: \( \lim _{x \rightarrow 0} f(x) \) શોધવા માટે, આપણે ડાબી બાજુની અને જમણી બાજુની લિમિટ તપાસવી પડશે.
ડાબી બાજુની લિમિટ (LHL):
જ્યારે \(x < 0\), ત્યારે \(|x| = -x\).
તેથી, \( f(x) = \frac{-x}{x} = -1 \).
\( \lim _{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim _{x \rightarrow 0^-} (-1) = -1 \)
જમણી બાજુની લિમિટ (RHL):
જ્યારે \(x > 0\), ત્યારે \(|x| = x\).
તેથી, \( f(x) = \frac{x}{x} = 1 \).
\( \lim _{x \rightarrow 0^+} f(x) = \lim _{x \rightarrow 0^+} (1) = 1 \)
અહીં, \( \lim _{x \rightarrow 0^-} f(x) \neq \lim _{x \rightarrow 0^+} f(x) \).
તેથી, \( \lim _{x \rightarrow 0} f(x) \) નું અસ્તિત્વ નથી.
In simple words: જ્યારે \(x\) શૂન્ય તરફ જાય ત્યારે આ ફંક્શનની લિમિટ શોધવા માટે, આપણે ડાબી બાજુથી (જ્યાં \(x\) નકારાત્મક છે) અને જમણી બાજુથી (જ્યાં \(x\) હકારાત્મક છે) તેની કિંમતો તપાસીશું. જો બંને કિંમતો અલગ આવે (-1 અને 1), તો લિમિટ અસ્તિત્વમાં નથી.

Exam Tip: For functions involving \(|x|\), analyze the function's definition for \(x<0\) and \(x>0\) separately. Then, calculate the left-hand and right-hand limits at \(x=0\) to determine if the overall limit exists.

Question 26. જો \( f(x) = \frac{x}{|x|} \). તો \( \lim _{x \rightarrow 1} f(x) \) શોધો.
Answer: \( \lim _{x \rightarrow 1} f(x) \) શોધવા માટે, આપણે \(x=1\) ની આસપાસ ફંક્શનની વર્તણૂક જોવી પડશે.
\(x=1\) એ શૂન્ય કરતાં મોટી કિંમત છે. જ્યારે \(x > 0\), ત્યારે મોડ્યુલસ ફંક્શન \(|x|\) એ \(x\) બરાબર હોય છે.
તેથી, \(x > 0\) માટે, \( f(x) = \frac{x}{|x|} = \frac{x}{x} = 1 \).
કારણ કે \(f(x) = 1\) જ્યારે \(x > 0\) (અને \(x=1\) એ \(x > 0\) ની રેન્જમાં આવે છે), તેથી લિમિટ સીધી 1 થશે.
આમ, \( \lim _{x \rightarrow 1} f(x) = \lim _{x \rightarrow 1} 1 = 1 \).
In simple words: જો \(x\) ધન હોય, તો \(|x|\) એ \(x\) બરાબર થાય છે. તેથી, \(f(x)\) ની કિંમત 1 બને છે. આથી, જ્યારે \(x\) 1 તરફ જાય છે, ત્યારે ફંક્શનની લિમિટ પણ 1 જ રહેશે.

Exam Tip: When evaluating limits of functions involving absolute values, first determine the sign of the expression inside the absolute value around the limit point. This helps simplify the absolute value term before computing the limit.

Question 27. જો \( f(x) = |x| – 5 \). તો \( \lim _{x \rightarrow 5} f(x) \) શોધો.
Answer: \( \lim _{x \rightarrow 5} f(x) \)
\( = \lim _{x \rightarrow 5} (|x|-5) \)
જ્યારે \(x \rightarrow 5\), ત્યારે \(x\) ધન હોય છે, તેથી \(|x|=x\).
\( = \lim _{x \rightarrow 5} (x-5) \)
\( = 5-5 = 0 \)
In simple words: જ્યારે \(x\) 5 તરફ જાય, ત્યારે \(|x|\) એ \(x\) બરાબર બને છે કારણ કે 5 એક ધન સંખ્યા છે. તેથી, ફંક્શન \(x-5\) બને છે, અને \(x\) ની જગ્યાએ 5 મૂકવાથી જવાબ 0 મળે છે.

Exam Tip: For limits involving absolute values, simplify the absolute value expression based on the sign of the argument near the limit point. If the argument is positive, \(|x|=x\); if negative, \(|x|=-x\).

Question 28. ધારો કે, \( f(x) = \begin{cases} a+bx, & x<1 \\ 4, & x=1 \\ b-ax, & x>1 \end{cases} \). અને જો \( \lim _{x \rightarrow 1}f(x) = f(1) \), તો \(a\) અને \(b\) ની શક્ય કિંમતો કઈ છે?
Answer: જો \( \lim _{x \rightarrow 1}f(x) = f(1) \) હોય, તો ફંક્શન \(x=1\) પર સતત છે. આનો અર્થ એ થાય કે ડાબી બાજુની લિમિટ, જમણી બાજુની લિમિટ અને ફંક્શનની કિંમત \(x=1\) પર સમાન હોવી જોઈએ.
\(f(1)=4\) આપેલું છે.
ડાબી બાજુની લિમિટ (LHL):
\( \lim _{x \rightarrow 1^-} f(x) = \lim _{x \rightarrow 1^-} (a+bx) \)
\( = a+b(1) = a+b \)
જમણી બાજુની લિમિટ (RHL):
\( \lim _{x \rightarrow 1^+} f(x) = \lim _{x \rightarrow 1^+} (b-ax) \)
\( = b-a(1) = b-a \)
શરત મુજબ, \( \lim _{x \rightarrow 1^-} f(x) = \lim _{x \rightarrow 1^+} f(x) = f(1) \).
તેથી, \( a+b = b-a = 4 \).
આપણને બે સમીકરણો મળે છે:
1) \( a+b = 4 \)
2) \( b-a = 4 \)
સમીકરણ (1) અને (2) નો સરવાળો કરતા:
\( (a+b)+(b-a) = 4+4 \)
\( 2b = 8 \)
\( b = 4 \)
\(b=4\) ને સમીકરણ (1) માં મૂકતા:
\( a+4 = 4 \)
\( a = 0 \)
આમ, \(a=0\) અને \(b=4\).
In simple words: જો લિમિટ અને ફંક્શનની કિંમત 1 પર સમાન હોય, તો તેનો અર્થ છે કે ફંક્શન 1 પર અવિરત છે. આપણે ડાબી બાજુની અને જમણી બાજુની લિમિટને ફંક્શનની કિંમત (જે 4 છે) સાથે સરખાવીને બે સમીકરણો બનાવીએ છીએ. આ સમીકરણોને ઉકેલવાથી \(a=0\) અને \(b=4\) મળે છે.

Exam Tip: For a function to be continuous at a point \(x=c\), the left-hand limit, the right-hand limit, and the function value at \(c\) must all be equal. Set up a system of equations using these conditions to solve for unknown constants like \(a\) and \(b\).

Question 29. ધારો કે, \(a_1, a_2, \dots, a_n\) એ નિશ્ચિત વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને \(f(x) = (x - a_1)(x - a_2)\dots(x - a_n)\) વ્યાખ્યાયિત કરો. \( \lim _{x \rightarrow a_1} f(x) \) શું થાય? જો \(a \neq a_1, a_2, \dots, a_n\) હોય, તો \( \lim _{x \rightarrow a} f(x) \) શોધો.
Answer: \(f(x) = (x - a_1)(x - a_2)\dots(x - a_n)\)
\( \lim _{x \rightarrow a_1} f(x) = \lim _{x \rightarrow a_1} (x - a_1)(x - a_2)\dots(x - a_n) \)
\( = (a_1 - a_1)(a_1 - a_2)\dots(a_1 - a_n) \)
\( = 0 \cdot (a_1 - a_2)\dots(a_1 - a_n) = 0 \)
હવે, જો \(a \neq a_1, a_2, \dots, a_n\) હોય, તો:
\( \lim _{x \rightarrow a} f(x) = \lim _{x \rightarrow a} (x - a_1)(x - a_2)\dots(x - a_n) \)
\( = (a - a_1)(a - a_2)\dots(a - a_n) \)
\( = f(a) \)
કારણ કે \(a\) એ \(a_i\) પૈકી કોઈ નથી, તેથી \(f(a) \neq 0\).
In simple words: જ્યારે \(x\) \(a_1\) તરફ જાય, ત્યારે \(f(x)\) ની લિમિટ શૂન્ય થશે કારણ કે \(x - a_1\) પદ શૂન્ય બને છે. જો \(x\) કોઈ બીજા \(a\) તરફ જાય જે કોઈ પણ \(a_i\) નથી, તો લિમિટ સીધી \(f(a)\) બરાબર થશે, અને તે શૂન્ય નહીં હોય.

Exam Tip: For polynomial functions, the limit at any point can be found by direct substitution. If the point of evaluation is a root of the polynomial, the limit will be zero. If it's not a root, the limit will be the function's value at that point, which will be non-zero.

Question 30. જો \( f(x) \) is defined as:
\( |x|+1 \), if \( x<0 \)
\( 0 \), if \( x=0 \)
\( x-1 \), if \( x>0 \)
a ની કંઈ કિંમત (કે કિંમતો) માટે \( \lim_{x \rightarrow a} f(x) \) નું અસ્તિત્વ છે ?
Answer: આપણે \( f(x) \) ની મર્યાદા (limit) નું અસ્તિત્વ જુદા જુદા \( a \) ના મૂલ્યો માટે તપાસીશું.
**વિકલ્પ 1: \( a > 0 \) હોય, ત્યારે**
જ્યારે \( a > 0 \) હોય, ત્યારે \( x \rightarrow a \) માટે \( x \) પણ ધન હોય છે, તેથી \( |x| = x \).
\( \lim_{x \rightarrow a} f (x) = \lim_{x \rightarrow a} (x-1) = a-1 \)
આ કિસ્સામાં, મર્યાદા (limit) અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
**વિકલ્પ 2: \( a < 0 \) હોય, ત્યારે**
જ્યારે \( a < 0 \) હોય, ત્યારે \( x \rightarrow a \) માટે \( x \) પણ ઋણ હોય છે, તેથી \( |x| = -x \).
\( \lim_{x \rightarrow a} f (x) = \lim_{x \rightarrow a} (-x+1) = -a+1 \)
આ કિસ્સામાં પણ, મર્યાદા (limit) અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
**વિકલ્પ 3: \( a = 0 \) હોય, ત્યારે**
આપણે ડાબી બાજુની મર્યાદા (LHL) અને જમણી બાજુની મર્યાદા (RHL) ચકાસીએ છીએ.
\( \lim_{x \rightarrow 0^-} f (x) = \lim_{x \rightarrow 0^-} (|x|+1) \) (કારણ કે \( x<0 \) માટે \( f(x) = |x|+1 \))
\( = \lim_{x \rightarrow 0^-} (-x+1) \) (કારણ કે \( x<0 \) માટે \( |x| = -x \))
\( = -0+1=1 \)
અને
\( \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} (x-1) \) (કારણ કે \( x>0 \) માટે \( f(x) = x-1 \))
\( = 0-1 = -1 \)
અહીં, ડાબી બાજુની મર્યાદા \( \lim_{x \rightarrow 0^-} f (x) \neq \lim_{x \rightarrow 0^+} f (x) \) જમણી બાજુની મર્યાદા છે.
તેથી, \( a = 0 \) હોય, તો \( \lim_{x \rightarrow 0} f(x) \) નું અસ્તિત્વ નથી.
આમ, \( a=0 \) સિવાયના પ્રત્યેક \( a \in R \) માટે \( \lim_{x \rightarrow a} f(x) \) નું અસ્તિત્વ છે.
In simple words: આપણે જુદી જુદી શરતો માટે \( a \) ની મર્યાદાની તપાસ કરીએ છીએ. જ્યારે \( a \) શૂન્ય કરતાં મોટો કે નાનો હોય છે, ત્યારે મર્યાદા મળે છે. પરંતુ જ્યારે \( a \) શૂન્ય હોય છે, ત્યારે ડાબી અને જમણી બાજુની મર્યાદા સરખી હોતી નથી, તેથી મર્યાદા અસ્તિત્વ ધરાવતી નથી.

Exam Tip: વિધેયની મર્યાદા (limit) અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે કેમ તે ચકાસવા માટે, હંમેશા ડાબી બાજુની મર્યાદા અને જમણી બાજુની મર્યાદા શોધો અને તપાસો કે તે સમાન છે કે નહીં.

Question 31. જો વિધેય \( f(x) \) \( \frac{f(x)-2}{x^2-1} = \pi \) ને સંતોષે, તો \( \lim_{x \rightarrow 1} f(x) \) શોધો.
Answer: અહીં, આપણને \( \lim_{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-2}{x^2-1} = \pi \) આપવામાં આવ્યું છે.
હવે, આપણે છેદની મર્યાદા શોધીએ છીએ: \( \lim_{x \rightarrow 1} (x^2-1) = 1^2-1 = 0 \).
આથી, જો ભિન્ન મર્યાદા (fractional limit) \( \lim_{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-2}{x^2-1} \) અસ્તિત્વ ધરાવતી હોય (અહીં તે \( \pi \) છે), તો અંશની મર્યાદા (numerator limit) પણ શૂન્ય થવી જોઈએ.
તેથી, \( \lim_{x \rightarrow 1} (f(x)-2) = 0 \) થવું જોઈએ.
જો \( \lim_{x \rightarrow 1} (f(x)-2) \neq 0 \) હોય, તો આખી ભિન્ન મર્યાદા (fractional limit) અસ્તિત્વ ધરાવતી નથી, જે શક્ય નથી કારણ કે તે \( \pi \) છે.
\( \implies \lim_{x \rightarrow 1} f(x) - \lim_{x \rightarrow 1} 2 = 0 \)
\( \implies \lim_{x \rightarrow 1} f(x) - 2 = 0 \)
\( \implies \lim_{x \rightarrow 1} f(x) = 2 \)
In simple words: જો એક ભાગાકારવાળી મર્યાદા \( \pi \) જેટલી હોય અને તેનો નીચેનો ભાગ શૂન્ય પર પહોંચતો હોય, તો ઉપરનો ભાગ પણ શૂન્ય પર પહોંચવો જ જોઈએ. આના આધારે, આપણે ગણીને શોધી શકીએ કે \( f(x) \) ની મર્યાદા જ્યારે \( x \) 1 પર પહોંચે છે ત્યારે 2 થાય છે.

Exam Tip: જ્યારે \( \lim_{x \rightarrow c} \frac{g(x)}{h(x)} \) અસ્તિત્વમાં હોય અને \( \lim_{x \rightarrow c} h(x) = 0 \) હોય, ત્યારે \( \lim_{x \rightarrow c} g(x) \) પણ 0 હોવું જોઈએ.

Question 32. જો \( f(x) \) is defined as:
\( mx^2+n \), if \( x<0 \)
\( nx+m \), if \( 0 \le x \le 1 \)
\( nx^3+m \), if \( x>1 \)
તો ક્રયા પૂર્ણાંકો m અને n મટિ \( \lim_{x \rightarrow 0} f(x) \) અને \( \lim_{x \rightarrow 1} f(x) \) ઐ ઘંને લક્ષનાં અસ્તિત્વ હોય?
Answer: આપણે \( \lim_{x \rightarrow 0} f(x) \) અને \( \lim_{x \rightarrow 1} f(x) \) બંને અસ્તિત્વ ધરાવે તે માટેના પૂર્ણાંક \( m \) અને \( n \) શોધવા પડશે.
**1. \( \lim_{x \rightarrow 0} f(x) \) અસ્તિત્વ ધરાવે તે માટે:**
ડાબી બાજુની મર્યાદા (LHL):
\( \lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^-} (mx^2+n) \) (કારણ કે \( x<0 \) માટે \( f(x) = mx^2+n \))
\( = m(0)^2+n = n \)
જમણી બાજુની મર્યાદા (RHL):
\( \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} (nx+m) \) (કારણ કે \( 0 \le x \le 1 \) માટે \( f(x) = nx+m \))
\( = n(0)+m = m \)
મર્યાદા અસ્તિત્વ ધરાવવા માટે, LHL = RHL હોવું જોઈએ. તેથી, \( n=m \) હોવું જરૂરી છે.
**2. \( \lim_{x \rightarrow 1} f(x) \) અસ્તિત્વ ધરાવે તે માટે:**
ડાબી બાજુની મર્યાદા (LHL):
\( \lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^-} (nx+m) \) (કારણ કે \( 0 \le x \le 1 \) માટે \( f(x) = nx+m \))
\( = n(1)+m = n+m \)
જમણી બાજુની મર્યાદા (RHL):
\( \lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^+} (nx^3+m) \) (કારણ કે \( x>1 \) માટે \( f(x) = nx^3+m \))
\( = n(1)^3+m = n+m \)
મર્યાદા અસ્તિત્વ ધરાવવા માટે, LHL = RHL હોવું જોઈએ. તેથી, \( n+m = n+m \). આ શરત \( n \) અને \( m \) ના કોઈપણ મૂલ્યો માટે હંમેશા સંતોષાય છે.
આમ, \( \lim_{x \rightarrow 0} f(x) \) અસ્તિત્વ ધરાવે તે માટે \( m=n \) હોવું જરૂરી છે. \( \lim_{x \rightarrow 1} f(x) \) કોઈપણ પૂર્ણાંક \( m \) અને \( n \) માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
તેથી, બંને મર્યાદા અસ્તિત્વ ધરાવે તે માટે, \( m \) અને \( n \) સમાન પૂર્ણાંકો હોવા જોઈએ (એટલે કે \( m=n \)).
In simple words: બંને મર્યાદા અસ્તિત્વ ધરાવે તે માટે, \( m \) અને \( n \) ની કિંમત સરખી હોવી જોઈએ. જો \( m \) અને \( n \) સરખા હોય, તો \( x=0 \) અને \( x=1 \) બંને બિંદુઓ પર મર્યાદા (limit) મળશે.

Exam Tip: જ્યારે બહુ-કાર્યકારી વિધેય (piecewise function) આપવામાં આવે, ત્યારે કોઈપણ બિંદુ પર મર્યાદા અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે કેમ તે ચકાસવા માટે ડાબી બાજુની મર્યાદા અને જમણી બાજુની મર્યાદાની તુલના કરવી ખૂબ મહત્વપૂર્ણ છે.