GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 13 લક્ષ અને વિકલન Exercise 13.3

Ex 13.3

Question 1. \( x^2 - 2 \) નું \( x = 10 \) આગળનું વિકલિત મેળવો.
Answer: ધારો કે, \( f(x) = x^2 - 2 \).
તેથી, \( f'(x) = \frac{d}{dx} (x^2 - 2) \)
\( = \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(2) \)
\( = 2x - 0 = 2x \)
આમ, \( f'(10) = 2(10) = 20 \).
તેથી, \( x^2 - 2 \) નું \( x = 10 \) આગળનું વિકલિત 20 છે.
In simple words: પહેલાં, આપણે ફંક્શનને \( f(x) \) તરીકે ધારીએ છીએ. પછી, આપણે \( f(x) \) નું વિકલન શોધીએ છીએ. છેલ્લે, આપણે વિકલનમાં \( x = 10 \) મૂકીને તેનું મૂલ્ય મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: વિકલન શોધવા માટે, ઘાતાંકના નિયમોનો ઉપયોગ કરો. અચળ પદનું વિકલન હંમેશા શૂન્ય હોય છે.

Question 2. \( 99x \) નું \( x = 100 \) આગળનું વિકલિત મેળવો.
Answer: ધારો કે, \( f(x) = 99x \).
તેથી, \( f'(x) = \frac{d}{dx}(99x) \)
\( = 99\frac{d}{dx}(x) \)
\( = 99 \times 1 = 99 \)
આમ, \( f'(100) = 99 \).
તેથી, \( 99x \) નું \( x = 100 \) આગળનું વિકલિત 99 છે.
In simple words: ફંક્શન \( f(x) = 99x \) ને ધ્યાનમાં લો. આપણે તેનું વિકલન \( f'(x) \) શોધીએ છીએ. પછી, \( x = 100 \) મૂકીને વિકલિતનું મૂલ્ય મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે ફંક્શન \( cx \) સ્વરૂપનું હોય, જ્યાં \( c \) અચળ હોય, ત્યારે તેનું વિકલિત હંમેશા \( c \) હોય છે.

Question 3. \( x \) નું \( x = 1 \) આગળનું વિકલિત મેળવો.
Answer: ધારો કે, \( f(x) = x \).
તેથી, \( f'(x) = \frac{d}{dx} (x) = 1 \).
આમ, \( f'(x) = 1 \).
અને, \( f'(1) = 1 \).
તેથી, \( x \) નું \( x = 1 \) આગળનું વિકલિત 1 છે.
In simple words: પહેલાં, આપણે \( f(x) = x \) ફંક્શન લઈએ છીએ. પછી, તેનું વિકલન શોધીએ છીએ, જે 1 છે. અંતે, \( x = 1 \) આગળ વિકલિતનું મૂલ્ય પણ 1 જ રહે છે.

Exam Tip: \( x \) નું વિકલન હંમેશા 1 હોય છે, ભલે \( x \) નું કોઈ પણ મૂલ્ય હોય.

Question 4. નીચેનાં વિધેયોનાં વિકલિત પ્રથમ સિદ્ધાંતથી શોધો :
(1) \( x^3 - 27 \)
Answer: ધારો કે, \( f(x) = x^3 - 27 \).
તેથી, \( f(x + h) = (x + h)^3 - 27 \)
\( = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 27 \).
આમ, \( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 27) - (x^3 - 27)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 27 - x^3 + 27}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{h(3x^2 + 3xh + h^2)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2) \quad (h \to 0, h \neq 0) \)
\( = 3x^2 + 0 + 0 = 3x^2 \).
In simple words: પ્રથમ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને વિકલન શોધવા માટે, આપણે \( \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અહીં \( f(x) \) અને \( f(x+h) \) ના મૂલ્યો મૂકીને, આપણે \( h \) ને શૂન્ય તરફ લઈ જઈએ છીએ અને અંતિમ પરિણામ મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: પ્રથમ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતી વખતે, \( f(x+h) \) નું વિસ્તરણ અને \( h \) ને દૂર કરવાનું ખાસ ધ્યાન રાખો.

Question 4. નીચેનાં વિધેયોનાં વિકલિત પ્રથમ સિદ્ધાંતથી શોધો :
(2) \( (x - 1)(x - 2) \)
Answer: ધારો કે, \( f(x) = (x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2 \).
આથી, \( f(x + h) = (x + h - 1)(x + h - 2) \)
\( = (x + h)^2 - 3(x + h) + 2 \)
\( = x^2 + 2xh + h^2 - 3x - 3h + 2 \).
આમ, \( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{(x^2 + 2xh + h^2 - 3x - 3h + 2) - (x^2 - 3x + 2)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - 3x - 3h + 2 - x^2 + 3x - 2}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2 - 3h}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{h(2x + h - 3)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} (2x + h - 3) \quad (h \to 0, h \neq 0) \)
\( = 2x + 0 - 3 = 2x - 3 \).
In simple words: સૌપ્રથમ, આપણે ફંક્શનને વિસ્તૃત કરીએ છીએ. પછી, \( f(x+h) \) શોધીએ છીએ. છેલ્લે, પ્રથમ સિદ્ધાંતના સૂત્રમાં મૂલ્યો દાખલ કરીને \( h \) ને શૂન્ય તરફ લઈ જઈએ છીએ અને વિકલન મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા પહેલા, સમીકરણને વિસ્તૃત કરવું સરળ બની શકે છે.

Question 4. નીચેનાં વિધેયોનાં વિકલિત પ્રથમ સિદ્ધાંતથી શોધો :
(3) \( \frac{1}{x^2} \)
Answer: ધારો કે, \( f(x) = \frac{1}{x^2} \).
આથી, \( f(x + h) = \frac{1}{(x+h)^2} \).
આમ, \( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(x+h)^2} - \frac{1}{x^2}}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^2 - (x+h)^2}{x^2(x+h)^2}}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 - (x^2 + 2xh + h^2)}{h \cdot x^2(x+h)^2} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 - x^2 - 2xh - h^2}{h \cdot x^2(x+h)^2} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{-2xh - h^2}{h \cdot x^2(x+h)^2} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{h(-2x - h)}{h \cdot x^2(x+h)^2} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{-2x - h}{x^2(x+h)^2} \quad (h \to 0, h \neq 0) \)
\( = \frac{-2x - 0}{x^2(x+0)^2} \)
\( = \frac{-2x}{x^2 \cdot x^2} \)
\( = \frac{-2x}{x^4} = -\frac{2}{x^3} \).
In simple words: પ્રથમ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને, આપણે \( f(x) \) અને \( f(x+h) \) માટેના મૂલ્યો સૂત્રમાં મૂકીએ છીએ. પછી, સમીકરણને સાદું કરીને \( h \) ને શૂન્ય તરફ લઈ જઈએ છીએ. અપૂર્ણાંકના વિકલન માટે લ.સા.અ. લેવાનું પગલું નિર્ણાયક છે.

Exam Tip: અપૂર્ણાંક ફંક્શન માટે, \( f(x+h) - f(x) \) ના પદને સાદું કરવા માટે સામાન્ય છેદ લેવાનું યાદ રાખો.

Question 5. વિધેય \( f (x) = \frac{x^{100}}{100}+\frac{x^{99}}{99}+\ldots+\frac{x^2}{2} + x + 1 \) માટે સાબિત કરો કે \( f'(1) = 100 f'(0) \).
Answer: આપેલ વિધેય છે:
\( f(x) = \frac{x^{100}}{100}+\frac{x^{99}}{99}+\ldots+\frac{x^2}{2} + x + 1 \).
આનું વિકલિત કરવા પર, આપણને મળે છે:
\( f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^{100}}{100}+\frac{x^{99}}{99}+\ldots+\frac{x^2}{2} + x + 1\right) \)
\( = \frac{1}{100} \frac{d}{dx}(x^{100}) + \frac{1}{99} \frac{d}{dx}(x^{99}) + \ldots + \frac{1}{2} \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(1) \)
\( = \frac{1}{100} \times 100x^{99} + \frac{1}{99} \times 99x^{98} + \ldots + \frac{1}{2} \times 2x + 1 + 0 \)
\( = x^{99} + x^{98} + \ldots + x + 1 \).

હવે, \( x = 1 \) મૂકતાં,
\( f'(1) = 1^{99} + 1^{98} + \ldots + 1 + 1 \)
\( = 1 + 1 + \ldots + \text{100 વખત} = 100 \ldots(1) \).

અને, \( x = 0 \) મૂકતાં,
\( f'(0) = 0^{99} + 0^{98} + \ldots + 0 + 1 \)
\( = 0 + 0 + \ldots + 0 + 1 = 1 \ldots(2) \).

સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
\( f'(1) = 100 \times 1 = 100f'(0) \).
આમ, સાબિત થાય છે.
In simple words: પહેલાં, આપણે આપેલ ફંક્શનનું વિકલન શોધીએ છીએ. પછી, વિકલનમાં \( x = 1 \) અને \( x = 0 \) મૂકીને અનુક્રમે \( f'(1) \) અને \( f'(0) \) ના મૂલ્યો મેળવીએ છીએ. છેલ્લે, આપણે ચકાસીએ છીએ કે \( f'(1) \) એ \( f'(0) \) ના 100 ગણા બરાબર છે કે નહીં.

Exam Tip: ઘાતાંકના નિયમ (\( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \)) નો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરો. 0 ની કોઈપણ ઘાત (0 સિવાય) 0 હોય છે, અને 1 ની કોઈપણ ઘાત 1 હોય છે. આ સાબિતીમાં આ વિષયને યાદ રાખવો ખૂબ મહત્વનો છે.

Question 6. કોઈક નિશ્ચિત વાસ્તવિક સંખ્યા \( a \) માટે \( x^n + ax^{n-1} + a^2x^{n-2} + \ldots + a^{n-1}x + a^n \) નું વિકલિત શોધો.
Answer: ધારો કે, \( f(x) = x^n + ax^{n-1} + a^2x^{n-2} + \ldots + a^{n-1}x + a^n \).
તેથી, \( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^n + ax^{n-1} + a^2x^{n-2} + \ldots + a^{n-1}x + a^n) \)
\( = \frac{d}{dx}(x^n) + a\frac{d}{dx}(x^{n-1}) + a^2\frac{d}{dx}(x^{n-2}) + \ldots + a^{n-1}\frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(a^n) \)
\( = nx^{n-1} + a(n-1)x^{n-2} + a^2(n-2)x^{n-3} + \ldots + a^{n-1}(1) + 0 \)
\( = nx^{n-1} + a(n-1)x^{n-2} + a^2(n-2)x^{n-3} + \ldots + a^{n-1} \).
આમ, આપેલ બહુપદીનું વિકલિત \( nx^{n-1} + a(n-1)x^{n-2} + a^2(n-2)x^{n-3} + \ldots + a^{n-1} \) છે.
In simple words: આપણે આપેલ બહુપદીના દરેક પદનું વિકલન કરીએ છીએ. ઘાતાંકના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, આપણે દરેક પદમાંથી \( x \) ની ઘાત ઘટાડીને અને તેને ગુણાકાર કરીને વિકલન મેળવીએ છીએ. અચળ પદનું વિકલન શૂન્ય થાય છે.

Exam Tip: વિકલન કરતી વખતે, \( a \) ને અચળ ગણો અને ઘાતાંકના નિયમનો ઉપયોગ કરો. અચળ પદનું વિકલન હંમેશા શૂન્ય હોય છે.

Question 7. કોઈક અચળ \( a \) અને \( b \) માટે વિકલિત શોધો :
(1) \( (x - a)(x - b) \)
Answer: ધારો કે, \( f(x) = (x - a)(x - b) \).
આપણે તેને વિસ્તૃત કરીને લખી શકીએ છીએ:
\( = x^2 - (a + b)x + ab \).
તેથી, \( f'(x) = \frac{d}{dx}[x^2 - (a + b)x + ab] \)
\( = \frac{d}{dx}(x^2) - (a + b)\frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(ab) \)
\( = 2x - (a + b) \times 1 + 0 \)
\( = 2x - (a + b) \)
\( = 2x - a - b \).
In simple words: પહેલાં, આપણે ફંક્શનને વિસ્તૃત કરીને સરળ બનાવીએ છીએ. પછી, વિસ્તૃત કરેલા ફંક્શનના દરેક પદનું વિકલન કરીએ છીએ. અહીં \( a \) અને \( b \) ને અચળ ગણીને, આપણે અંતિમ વિકલન મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: ગુણાકારનો નિયમ વાપરવાને બદલે, પદાવલિને વિસ્તૃત કરીને વિકલન કરવું વધુ સરળ બની શકે છે.

Question 7. કોઈક અચળ \( a \) અને \( b \) માટે વિકલિત શોધો :
(2) \( (ax^2 + b)^2 \)
Answer: ધારો કે, \( f(x) = (ax^2 + b)^2 \).
આપણે તેને વિસ્તૃત કરીને લખી શકીએ છીએ:
\( = a^2(x^2)^2 + 2ax^2b + b^2 \)
\( = a^2x^4 + 2abx^2 + b^2 \).
તેથી, \( f'(x) = \frac{d}{dx}(a^2x^4 + 2abx^2 + b^2) \)
\( = a^2\frac{d}{dx}(x^4) + 2ab\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(b^2) \)
\( = a^2 \times 4x^3 + 2ab \times 2x + 0 \)
\( = 4a^2x^3 + 4abx \)
\( = 4ax(ax^2 + b) \).
In simple words: સૌપ્રથમ, આપણે ફંક્શનને પૂર્ણ વર્ગના સૂત્રથી વિસ્તૃત કરીએ છીએ. પછી, વિસ્તૃત કરેલી પદાવલિના દરેક પદનું વિકલન શોધીએ છીએ. અહીં \( a \) અને \( b \) ને અચળ ગણીને, આપણે અંતિમ વિકલન મેળવીએ છીએ અને સામાન્ય પદને બહાર કાઢીએ છીએ.

Exam Tip: વિકલન શોધતા પહેલાં, પદાવલિને વિસ્તૃત કરીને તેને સરળ સ્વરૂપમાં લાવવું ઘણીવાર ફાયદાકારક હોય છે. સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરવાને બદલે આ રીત સરળ છે.

Question 7. કોઈક અચળ \( a \) અને \( b \) માટે વિકલિત શોધો :
(3) \( \frac{x-a}{x-b} \)
Answer: ધારો કે, \( f(x) = \frac{x-a}{x-b} \).
તેથી, ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
\( f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x-a}{x-b}\right) \)
\( = \frac{(x-b)\frac{d}{dx}(x-a) - (x-a)\frac{d}{dx}(x-b)}{(x-b)^2} \)
\( = \frac{(x-b)(1-0) - (x-a)(1-0)}{(x-b)^2} \)
\( = \frac{(x-b) - (x-a)}{(x-b)^2} \)
\( = \frac{x-b-x+a}{(x-b)^2} \)
\( = \frac{a-b}{(x-b)^2} \).
In simple words: આ ફંક્શનનું વિકલન કરવા માટે આપણે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. નિયમ મુજબ, છેદના વર્ગ પર અંશનું વિકલન ગુણ્યા છેદ, બાદ અંશ ગુણ્યા છેદનું વિકલન આવે છે. પછી, આપણે સમીકરણને સરળ બનાવીએ છીએ.

Exam Tip: ભાગાકારનો નિયમ લાગુ કરતી વખતે, ગુણ્યા અને બાદબાકીના ક્રમનું ખાસ ધ્યાન રાખો, જેથી ભૂલ ન થાય.

Question 8. કોઈક અચળ \( a \) માટે \( \frac{x^n-a^n}{x-a} \) નું વિકલિત શોધો.
Answer: ધારો કે, \( f(x) = \frac{x^n-a^n}{x-a} \).
તેથી, ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
\( f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^n-a^n}{x-a}\right) \)
\( = \frac{(x-a)\frac{d}{dx}(x^n-a^n) - (x^n-a^n)\frac{d}{dx}(x-a)}{(x-a)^2} \)
\( = \frac{(x-a)(nx^{n-1}-0) - (x^n-a^n)(1-0)}{(x-a)^2} \)
\( = \frac{nx^{n}(x-a) - (x^n-a^n)}{(x-a)^2} \)
\( = \frac{nx^n - anx^{n-1} - x^n + a^n}{(x-a)^2} \).
In simple words: આ પ્રશ્નમાં, આપણે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન શોધીએ છીએ. અંશ અને છેદ બંનેના વિકલન શોધીને, આપણે સૂત્રમાં મૂલ્યો મૂકીએ છીએ. છેલ્લે, પદાવલિને સાદી બનાવીને અંતિમ વિકલન મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતી વખતે \( a \) ને અચળ ગણીને \( a^n \) નું વિકલન શૂન્ય લેવાનું યાદ રાખો.

Question 9. વિકલિત શોધો :
(1) \( 2x - \frac{3}{4} \)
Answer: ધારો કે, \( f(x) = 2x - \frac{3}{4} \).
તેથી, \( f'(x) = \frac{d}{dx}\left(2x - \frac{3}{4}\right) \)
\( = 2\frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{4}\right) \)
\( = 2 \times 1 - 0 \)
\( = 2 \).
In simple words: આપણે ફંક્શનના દરેક પદનું અલગ-અલગ વિકલન કરીએ છીએ. \( 2x \) નું વિકલન 2 થાય છે અને અચળ પદ \( \frac{3}{4} \) નું વિકલન 0 થાય છે. તેથી, અંતિમ જવાબ 2 છે.

Exam Tip: સરવાળા-બાદબાકીમાં દરેક પદનું વિકલન અલગ-અલગ કરો અને અચળ પદનું વિકલન શૂન્ય ગણો.

Question 9. વિકલિત શોધો :
(2) \( (5x^3 + 3x - 1)(x - 1) \)
Answer: **પદ્ધતિ 1: ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને**
ધારો કે, \( f(x) = (5x^3 + 3x - 1)(x - 1) \).
ગુણાકારના નિયમ મુજબ, \( \frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx} \).
તેથી, \( f'(x) = (5x^3 + 3x - 1)\frac{d}{dx}(x - 1) + (x - 1)\frac{d}{dx}(5x^3 + 3x - 1) \)
\( = (5x^3 + 3x - 1)(1 - 0) + (x - 1)(5 \times 3x^2 + 3 \times 1 - 0) \)
\( = (5x^3 + 3x - 1) + (x - 1)(15x^2 + 3) \)
\( = 5x^3 + 3x - 1 + 15x^3 + 3x - 15x^2 - 3 \)
\( = 20x^3 - 15x^2 + 6x - 4 \).

**પદ્ધતિ 2: વિસ્તૃત કરીને**
ધારો કે, \( f(x) = (5x^3 + 3x - 1)(x - 1) \).
આપણે તેને વિસ્તૃત કરીએ છીએ:
\( = 5x^4 - 5x^3 + 3x^2 - 3x - x + 1 \)
\( = 5x^4 - 5x^3 + 3x^2 - 4x + 1 \).
તેથી, \( f'(x) = \frac{d}{dx}(5x^4 - 5x^3 + 3x^2 - 4x + 1) \)
\( = 5\frac{d}{dx}(x^4) - 5\frac{d}{dx}(x^3) + 3\frac{d}{dx}(x^2) - 4\frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(1) \)
\( = 5 \times 4x^3 - 5 \times 3x^2 + 3 \times 2x - 4 \times 1 + 0 \)
\( = 20x^3 - 15x^2 + 6x - 4 \).
In simple words: આપણે આ પ્રશ્ન બે રીતે ઉકેલી શકીએ છીએ. એક છે ગુણાકારનો નિયમ વાપરવો, જ્યાં આપણે બંને ભાગોને અલગ-અલગ વિકલિત કરીને ગુણીએ છીએ. બીજી રીત છે પહેલાં આખા ફંક્શનને વિસ્તૃત કરીને પછી દરેક પદનું વિકલન કરવું. બંને રીતથી સમાન જવાબ મળે છે.

Exam Tip: ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરો અથવા પહેલાં પદાવલિને વિસ્તૃત કરીને વિકલન કરો. બંને પદ્ધતિઓ સાચી છે અને તમે જે તમને વધુ અનુકૂળ લાગે તેનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

Question 9. વિકલિત શોધો :
(3) \( x^{-3}(5 + 3x) \)
Answer: ધારો કે, \( f(x) = x^{-3}(5 + 3x) \).
આપણે તેને વિસ્તૃત કરીએ છીએ:
\( = 5x^{-3} + 3x^{-3}x^1 \)
\( = 5x^{-3} + 3x^{-2} \).
તેથી, \( f'(x) = \frac{d}{dx}(5x^{-3} + 3x^{-2}) \)
\( = 5\frac{d}{dx}(x^{-3}) + 3\frac{d}{dx}(x^{-2}) \)
\( = 5 \times (-3x^{-3-1}) + 3 \times (-2x^{-2-1}) \)
\( = 5 \times (-3x^{-4}) + 3 \times (-2x^{-3}) \)
\( = -15x^{-4} - 6x^{-3} \).
In simple words: સૌપ્રથમ, આપણે \( x^{-3} \) ને કૌંસની અંદરના દરેક પદ સાથે ગુણીને ફંક્શનને સરળ બનાવીએ છીએ. પછી, દરેક પદનું ઘાતાંકના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન કરીએ છીએ. છેલ્લે, સમાન પદોને ભેગા કરીને અંતિમ જવાબ મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: ઋણ ઘાતાંકનું વિકલન કરતી વખતે, ઘાતાંકના નિયમમાં નિશાનીનું ખાસ ધ્યાન રાખો. (\( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \)).

Question 9. વિકલિત શોધો :
(4) \( x^5(3 - 6x^{-9}) \)
Answer: ધારો કે, \( f(x) = x^5(3 - 6x^{-9}) \).
આપણે તેને વિસ્તૃત કરીએ છીએ:
\( = 3x^5 - 6x^{5-9} \)
\( = 3x^5 - 6x^{-4} \).
તેથી, \( f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^5 - 6x^{-4}) \)
\( = 3\frac{d}{dx}(x^5) - 6\frac{d}{dx}(x^{-4}) \)
\( = 3 \times 5x^{5-1} - 6 \times (-4x^{-4-1}) \)
\( = 3 \times 5x^4 - 6 \times (-4x^{-5}) \)
\( = 15x^4 + 24x^{-5} \)
\( = 15x^4 + \frac{24}{x^5} \).
In simple words: પહેલાં, આપણે ફંક્શનને વિસ્તૃત કરીને \( x \) ની શક્તિઓને યોગ્ય રીતે ગુણીએ છીએ. પછી, દરેક પદનું અલગ-અલગ વિકલન કરીએ છીએ. અહીં ઘાતાંકના નિયમોનો કાળજીપૂર્વક ઉપયોગ કરવામાં આવે છે અને ઋણ ઘાતાંકને પણ ધ્યાનમાં લેવાય છે.

Exam Tip: ઘાતાંકોના ગુણાકારના નિયમોને યાદ રાખો (\( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \)) અને ઋણ ઘાતાંકનું વિકલન કરતી વખતે ભૂલ ન કરો.

Question 9. વિકલિત શોધો :
(5) \( x^4(3 - 4x^{-5}) \)
Answer: ધારો કે, \( f(x) = x^4(3 - 4x^{-5}) \).
આપણે તેને વિસ્તૃત કરીએ છીએ:
\( = 3x^4 - 4x^{4-5} \)
\( = 3x^4 - 4x^{-1} \).
તેથી, \( f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^4 - 4x^{-1}) \)
\( = 3\frac{d}{dx}(x^4) - 4\frac{d}{dx}(x^{-1}) \)
\( = 3 \times 4x^{4-1} - 4 \times (-1x^{-1-1}) \)
\( = 12x^3 + 4x^{-2} \)
\( = 12x^3 + \frac{4}{x^2} \).
In simple words: આપણે \( x^4 \) ને કૌંસમાંના દરેક પદ સાથે ગુણીને ફંક્શનને સરળ સ્વરૂપમાં લાવીએ છીએ. પછી, દરેક પદનું ઘાતાંકના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન કરીએ છીએ. છેલ્લે, \( x^{-2} \) ને \( \frac{1}{x^2} \) તરીકે લખીને અંતિમ જવાબ મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: વિસ્તરણ કરતી વખતે અને વિકલન કરતી વખતે ઘાતાંકોના નિયમોનું યોગ્ય રીતે પાલન કરવું જરૂરી છે, ખાસ કરીને ઋણ ઘાતાંક સાથે.

Question 9. વિકલિત શોધો :
(6) \( \frac{2}{x+1}-\frac{x^2}{3 x-1} \)
Answer: ધારો કે, \( f(x) = \frac{2}{x+1} - \frac{x^2}{3x-1} \).
તેથી, \( f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{2}{x+1}\right) - \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{3x-1}\right) \).
પ્રથમ પદ માટે ભાગાકારનો નિયમ:
\( \frac{d}{dx}\left(\frac{2}{x+1}\right) = \frac{(x+1)\frac{d}{dx}(2) - 2\frac{d}{dx}(x+1)}{(x+1)^2} \)
\( = \frac{(x+1)(0) - 2(1+0)}{(x+1)^2} \)
\( = \frac{0 - 2}{(x+1)^2} = \frac{-2}{(x+1)^2} \).

બીજા પદ માટે ભાગાકારનો નિયમ:
\( \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{3x-1}\right) = \frac{(3x-1)\frac{d}{dx}(x^2) - x^2\frac{d}{dx}(3x-1)}{(3x-1)^2} \)
\( = \frac{(3x-1)(2x) - x^2(3-0)}{(3x-1)^2} \)
\( = \frac{6x^2 - 2x - 3x^2}{(3x-1)^2} \)
\( = \frac{3x^2 - 2x}{(3x-1)^2} = \frac{x(3x-2)}{(3x-1)^2} \).

આમ, \( f'(x) = \frac{-2}{(x+1)^2} - \frac{x(3x-2)}{(3x-1)^2} \).
In simple words: આ ફંક્શન બે અપૂર્ણાંકની બાદબાકી છે, તેથી આપણે દરેક અપૂર્ણાંક માટે ભાગાકારનો નિયમ અલગ-અલગ લાગુ પાડીએ છીએ. દરેક પદનું વિકલન કર્યા પછી, આપણે પરિણામોને એકબીજામાંથી બાદ કરીને અંતિમ વિકલન મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: બે અલગ-અલગ પદોના વિકલન કરતી વખતે, દરેક પદ માટે યોગ્ય નિયમનો ઉપયોગ કરો અને છેલ્લે તેમને ભેગા કરો. ભાગાકારના નિયમમાં \( u \) અને \( v \) ની ભૂમિકા બદલવાની ભૂલ ન કરો.