GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 12 ત્રિપરિમાણીય ભૂમિતિનો પરિચય Exercise 12.2

Question 1. આપેલ બિંદુઓની જોડ વચ્ચેનું અંતર શોધો :
(1) (2, 3, 5) અને (4, 8, 1)
Answer: ધારો કે, આપેલાં બિંદુઓ \( P (2, 3, 5) \) અને \( Q(4, 8, 1) \) છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર, આપણે નીચે પ્રમાણે શોધી શકીએ છીએ:
\( PQ = \sqrt{(4-2)^2+(8-3)^2 + (1-5)^2} \)
\( PQ = \sqrt{(2)^2+(5)^2 + (-4)^2} \)
\( PQ = \sqrt{4+25+16} \)
\( PQ = \sqrt{45} \)
\( PQ = \sqrt{9 \times 5} \)
\( PQ = 3\sqrt{5} \)
In simple words: આપેલાં બે બિંદુઓ P અને Q છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર શોધવા માટે અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરો. બિંદુઓના x, y અને z નિર્દેશાંકનો તફાવત લઈ, તેનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરો અને છેલ્લે વર્ગમૂળ લો.

Exam Tip: અંતર સૂત્રનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરવો અને ગાણિતિક ક્રિયાઓ સાવધાનીપૂર્વક કરવી એ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. ખાસ કરીને વર્ગમૂળની ગણતરીમાં ભૂલ ન થાય તેનું ધ્યાન રાખો.

Question 1. આપેલ બિંદુઓની જોડ વચ્ચેનું અંતર શોધો :
(2) (– 3, 7, 2) અને (2, 4, − 1)
Answer: ધારો કે, આપેલાં બિંદુઓ \( P (– 3, 7, 2) \) અને \( Q(2, 4, -1) \) છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર, આપણે નીચે પ્રમાણે શોધી શકીએ છીએ:
\( PQ = \sqrt{(2-(-3))^2+(4-7)^2 + (-1-2)^2} \)
\( PQ = \sqrt{(2+3)^2+(-3)^2 + (-3)^2} \)
\( PQ = \sqrt{(5)^2 + 9 + 9} \)
\( PQ = \sqrt{25+9+9} \)
\( PQ = \sqrt{43} \)
In simple words: બે બિંદુઓ P અને Q નાં નિર્દેશાંક આપેલા છે. તેમના x, y અને z નિર્દેશાંકના તફાવતનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરો. પછી તે સરવાળાનું વર્ગમૂળ લઈને તેમનું અંતર મેળવો.

Exam Tip: જ્યારે નિર્દેશાંકમાં ઋણ સંખ્યાઓ હોય, ત્યારે બાદબાકી કરતી વખતે નિશાનીની ભૂલો ટાળવા માટે કાળજીપૂર્વક ગણતરી કરો.

Question 1. આપેલ બિંદુઓની જોડ વચ્ચેનું અંતર શોધો :
(3) (-1, 3, -4) અને (1, -3, 4)
Answer: ધારો કે, આપેલાં બિંદુઓ \( P (– 1, 3, – 4) \) અને \( Q(1, -3, 4) \) છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર, આપણે નીચે પ્રમાણે શોધી શકીએ છીએ:
\( PQ = \sqrt{(1-(-1))^2+(-3-3)^2 + (4-(-4))^2} \)
\( PQ = \sqrt{(1+1)^2+(-6)^2 + (4+4)^2} \)
\( PQ = \sqrt{(2)^2+36 + (8)^2} \)
\( PQ = \sqrt{4+36+64} \)
\( PQ = \sqrt{104} \)
\( PQ = \sqrt{4 \times 26} \)
\( PQ = 2\sqrt{26} \)
In simple words: આપેલાં બિંદુઓ P અને Q વચ્ચેનું અંતર શોધો. પહેલાં, તેમના x, y અને z કોઓર્ડિનેટ્સના તફાવતનો વર્ગ કરો. પછી, તે બધા વર્ગનો સરવાળો કરો અને છેલ્લે પરિણામનું વર્ગમૂળ લો.

Exam Tip: મોટી સંખ્યાઓના વર્ગમૂળને સરળ બનાવતી વખતે, તેને નાના પૂર્ણવર્ગ અવયવોમાં વિભાજીત કરો જેથી ગણતરી સહેલી બને.

Question 1. આપેલ બિંદુઓની જોડ વચ્ચેનું અંતર શોધો :
(4) (2, -1, 3) અને (-2, 1, 3)
Answer: ધારો કે, આપેલાં બિંદુઓ \( P (2, – 1, 3) \) અને \( Q(-2, 1, 3) \) છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર, આપણે નીચે પ્રમાણે શોધી શકીએ છીએ:
\( PQ = \sqrt{(-2-2)^2+(1-(-1))^2 + (3-3)^2} \)
\( PQ = \sqrt{(-4)^2+(1+1)^2 + (0)^2} \)
\( PQ = \sqrt{16+4+0} \)
\( PQ = \sqrt{20} \)
\( PQ = \sqrt{4 \times 5} \)
\( PQ = 2\sqrt{5} \)
In simple words: આપેલાં બે બિંદુઓ P અને Q વચ્ચેનું અંતર શોધવા માટે અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરો. x, y અને z નિર્દેશાંકનો તફાવત લઈ, દરેકનો વર્ગ કરો અને તેમનો સરવાળો કરો. પછી, આ સરવાળાનું વર્ગમૂળ શોધો.

Exam Tip: જ્યારે કેટલાક નિર્દેશાંક સમાન હોય (જેમ કે અહીં z-નિર્દેશાંક), ત્યારે તેમનો તફાવત શૂન્ય થશે અને તે ગણતરીને સરળ બનાવે છે.

Question 2. સાબિત કરો કે, બિંદુઓ \( (– 2, 3, 5) \), \( (1, 2, 3) \) અને \( (7, 0, – 1) \) સમરેખ છે.
Answer: ધારો કે, આપેલાં બિંદુઓ \( P (– 2, 3, 5) \), \( Q(1, 2, 3) \) અને \( R (7, 0, – 1) \) છે. આપણે આ બિંદુઓ વચ્ચેના અંતરો શોધીશું:
અંતર \( PQ \):
\( PQ = \sqrt{(1-(-2))^2+(2-3)^2 + (3-5)^2} \)
\( PQ = \sqrt{(3)^2+(-1)^2 + (-2)^2} \)
\( PQ = \sqrt{9+1+4} \)
\( PQ = \sqrt{14} \)

અંતર \( QR \):
\( QR = \sqrt{(7-1)^2+(0-2)^2 + (-1-3)^2} \)
\( QR = \sqrt{(6)^2+(-2)^2 + (-4)^2} \)
\( QR = \sqrt{36+4+16} \)
\( QR = \sqrt{56} \)
\( QR = \sqrt{4 \times 14} \)
\( QR = 2\sqrt{14} \)

અંતર \( PR \):
\( PR = \sqrt{(7-(-2))^2+(0-3)^2 + (-1-5)^2} \)
\( PR = \sqrt{(7+2)^2+(-3)^2 + (-6)^2} \)
\( PR = \sqrt{(9)^2+9+36} \)
\( PR = \sqrt{81+9+36} \)
\( PR = \sqrt{126} \)
\( PR = \sqrt{9 \times 14} \)
\( PR = 3\sqrt{14} \)

હવે, આપણે ચકાસીએ કે શું \( PQ + QR = PR \) છે:
\( \sqrt{14} + 2\sqrt{14} = 3\sqrt{14} \)
આથી, \( PQ + QR = PR \) છે.
તેથી, બિંદુઓ \( P, Q, R \) સમરેખ બિંદુઓ છે.
In simple words: ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ છે કે નહીં તે જોવા માટે, દરેક બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો. જો બે નાના અંતરનો સરવાળો સૌથી મોટા અંતર જેટલો થાય, તો તે બિંદુઓ એક જ સીધી રેખા પર આવેલા છે.

Exam Tip: ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ છે તે સાબિત કરવા માટે, અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ત્રણેય બિંદુઓ વચ્ચેના અંતરો શોધો. પછી, બે નાના અંતરનો સરવાળો ત્રીજા (સૌથી મોટા) અંતર જેટલો થાય છે કે નહીં તે તપાસો. જો સરવાળો સમાન હોય, તો બિંદુઓ સમરેખ છે.

Question 3. નીચે આપેલાં વિધાનો ચકાસો :
(1) \( (0, 7, 10) \), \( (1, 6, -6) \) અને \( (4, 9, -6) \) એ સમદ્વિભુજ ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓ છે.
Answer: ધારો કે, આપેલાં બિંદુઓ \( P (0, 7, 10) \), \( Q(1, 6, -6) \) અને \( R(4, 9, -6) \) છે. આપણે તેમની વચ્ચેના અંતરો શોધીએ:
અંતર \( PQ \):
\( PQ = \sqrt{(1-0)^2+(6-7)^2 + (-6-10)^2} \)
\( PQ = \sqrt{(1)^2+(-1)^2 + (-16)^2} \)
\( PQ = \sqrt{1+1+256} \)
\( PQ = \sqrt{258} \)

અંતર \( QR \):
\( QR = \sqrt{(4-1)^2+(9-6)^2 + (-6-(-6))^2} \)
\( QR = \sqrt{(3)^2+(3)^2 + (0)^2} \)
\( QR = \sqrt{9+9+0} \)
\( QR = \sqrt{18} \)

અંતર \( PR \):
\( PR = \sqrt{(4-0)^2+(9-7)^2 + (-6-10)^2} \)
\( PR = \sqrt{(4)^2+(2)^2 + (-16)^2} \)
\( PR = \sqrt{16+4+256} \)
\( PR = \sqrt{276} \)

આ ગણતરી પરથી, કોઈ પણ બે બાજુની લંબાઈ સરખી નથી (\( PQ \ne QR \ne PR \)). તેથી, આપેલા બિંદુઓ સમદ્વિભુજ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ નથી.
In simple words: જો ત્રિકોણના બે શિરોબિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર સમાન હોય, તો તે ત્રિકોણ સમદ્વિભુજ કહેવાય. અહીં, આપણે ત્રણ અંતરો શોધીએ છીએ, અને જો તેમાંથી કોઈપણ બે સમાન ન હોય, તો તે સમદ્વિભુજ ત્રિકોણ નથી.

Exam Tip: સમદ્વિભુજ ત્રિકોણ સાબિત કરવા માટે, અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણની ત્રણેય બાજુઓની લંબાઈ શોધો. જો તેમાંથી કોઈપણ બે બાજુઓની લંબાઈ સમાન હોય, તો તે સમદ્વિભુજ ત્રિકોણ છે.

Question 3. નીચે આપેલાં વિધાનો ચકાસો :
(2) \( (0, 7, 10) \), \( (-1, 6, 6) \) અને \( (-4, 9, 6) \) એ કાટકોણ ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓ છે.
Answer: ધારો કે, આપેલાં બિંદુઓ \( P (0, 7, 10) \), \( Q(-1, 6, 6) \) અને \( R(-4, 9, 6) \) છે. આપણે તેમની વચ્ચેના અંતરો શોધીએ અને તેમના વર્ગ કરીએ:
\( PQ^2 = (-1-0)^2 + (6-7)^2 + (6-10)^2 \)
\( PQ^2 = (-1)^2 + (-1)^2 + (-4)^2 \)
\( PQ^2 = 1 + 1 + 16 \)
\( PQ^2 = 18 \)

\( QR^2 = (-4-(-1))^2 + (9-6)^2 + (6-6)^2 \)
\( QR^2 = (-4+1)^2 + (3)^2 + (0)^2 \)
\( QR^2 = (-3)^2 + 9 + 0 \)
\( QR^2 = 9 + 9 + 0 \)
\( QR^2 = 18 \)

\( PR^2 = (-4-0)^2 + (9-7)^2 + (6-10)^2 \)
\( PR^2 = (-4)^2 + (2)^2 + (-4)^2 \)
\( PR^2 = 16 + 4 + 16 \)
\( PR^2 = 36 \)

હવે, આપણે પાયથાગોરસ પ્રમેય લાગુ પાડીએ, એટલે કે \( PQ^2 + QR^2 = PR^2 \) છે કે નહીં તે ચકાસીએ.
\( 18 + 18 = 36 \)
\( 36 = 36 \)
આથી, \( PQ^2 + QR^2 = PR^2 \) છે. તેથી, આપેલા બિંદુઓ કાટકોણ ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓ છે.
In simple words: ત્રણ બિંદુઓ કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે કે નહીં તે જોવા માટે, દરેક બે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતરનો વર્ગ શોધો. જો બે નાના વર્ગનો સરવાળો સૌથી મોટા વર્ગ જેટલો થાય, તો તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે. આ પાયથાગોરસના નિયમ પર આધારિત છે.

Exam Tip: કાટકોણ ત્રિકોણ સાબિત કરવા માટે, અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણની ત્રણેય બાજુઓની લંબાઈના વર્ગ શોધો. પછી, પાયથાગોરસ પ્રમેય લાગુ પડે છે કે નહીં તે ચકાસો, એટલે કે બે બાજુના વર્ગનો સરવાળો ત્રીજી બાજુના વર્ગ જેટલો થાય છે કે નહીં.

Question 3. નીચે આપેલાં વિધાનો ચકાસો :
(3) \( (-1, 2, 1) \), \( (1, -2, 5) \), \( (4, -7, 8) \) અને \( (2, -3, 4) \) એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનાં શિરોબિંદુઓ છે.
Answer: ધારો કે, આપેલાં બિંદુઓ \( P (– 1, 2, 1) \), \( Q(1, – 2, 5) \), \( R (4, – 7, 8) \) અને \( S (2, – 3, 4) \) છે. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ માટે, સામસામેની બાજુઓની લંબાઈ સમાન હોવી જોઈએ. આપણે દરેક બાજુની લંબાઈ શોધીએ:
બાજુ \( PQ \):
\( PQ = \sqrt{(1-(-1))^2+(-2-2)^2+(5-1)^2} \)
\( PQ = \sqrt{(2)^2+(-4)^2+(4)^2} \)
\( PQ = \sqrt{4+16+16} \)
\( PQ = \sqrt{36} \)
\( PQ = 6 \)

બાજુ \( QR \):
\( QR = \sqrt{(4-1)^2+(-7-(-2))^2+(8-5)^2} \)
\( QR = \sqrt{(3)^2+(-5)^2+(3)^2} \)
\( QR = \sqrt{9+25+9} \)
\( QR = \sqrt{43} \)

બાજુ \( RS \):
\( RS = \sqrt{(2-4)^2+(-3-(-7))^2+(4-8)^2} \)
\( RS = \sqrt{(-2)^2+(-3+7)^2+(-4)^2} \)
\( RS = \sqrt{(-2)^2+(4)^2+(-4)^2} \)
\( RS = \sqrt{4+16+16} \)
\( RS = \sqrt{36} \)
\( RS = 6 \)

બાજુ \( PS \):
\( PS = \sqrt{(2-(-1))^2+(-3-2)^2+(4-1)^2} \)
\( PS = \sqrt{(3)^2+(-5)^2+(3)^2} \)
\( PS = \sqrt{9+25+9} \)
\( PS = \sqrt{43} \)

અહીં, \( PQ = RS = 6 \) અને \( QR = PS = \sqrt{43} \) છે. સામસામેની બાજુઓની લંબાઈ સમાન હોવાથી, આપેલા બિંદુઓ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનાં શિરોબિંદુઓ છે.
In simple words: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બનવા માટે, તેની સામસામેની બાજુઓની લંબાઈ સરખી હોવી જોઈએ. આપણે દરેક બાજુની લંબાઈ શોધીએ છીએ, અને જો સામસામેની બાજુઓ સમાન લંબાઈની હોય, તો તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

Exam Tip: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ સાબિત કરવા માટે, અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ચારેય બાજુઓની લંબાઈ શોધો. જો સામસામેની બાજુઓની લંબાઈ સમાન હોય, તો બિંદુઓ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનાં શિરોબિંદુઓ છે.

Question 4. બિંદુઓ \( (1, 2, 3) \) અને \( (3, 2, –1) \)થી સમાન અંતરે આવેલાં બિંદુઓના ગણનું સમીકરણ મેળવો.
Answer: ધારો કે, આપેલાં બિંદુઓ \( A (1, 2, 3) \) અને \( B (3, 2, – 1) \) છે. ધારો કે, બિંદુ \( P (x, y, z) \) આ બંને બિંદુઓથી સમાન અંતરે આવેલું છે. આનો અર્થ છે કે \( PA = PB \).
આપણને ખબર છે કે:
\( PA = \sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2} \)
\( PB = \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2+(z-(-1))^2} \)
\( PB = \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2+(z+1)^2} \)

હવે, \( PA = PB \) હોવાથી, આપણે બંને બાજુનો વર્ગ કરી શકીએ છીએ:
\( PA^2 = PB^2 \)
\( (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2 = (x-3)^2+(y-2)^2+(z+1)^2 \)

આ સમીકરણને વિસ્તૃત કરીએ:
\( x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 + z^2 - 6z + 9 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 4y + 4 + z^2 + 2z + 1 \)

સમાન પદોને બંને બાજુએથી રદ કરીએ (જેમ કે \( x^2, y^2, z^2, -4y, 1, 4, 9 \)):
\( -2x - 6z = -6x + 2z \)

x અને z વાળા પદોને એક બાજુ ભેગા કરીએ:
\( -2x + 6x = 2z + 6z \)
\( 4x = 8z \)
\( x = 2z \)
અથવા
\( x - 2z = 0 \)
આ માંગેલ બિંદુગણનું સમીકરણ છે.
In simple words: એક એવું બિંદુ શોધો જે આપેલા બે બિંદુઓથી સરખા અંતરે હોય. આ કરવા માટે, બે અંતરોને સરખા માનો અને પછી તેમને સૂત્રમાં મૂકીને વર્ગ કરો. બધા સરખા પદો રદ કરો અને પછી x, y અને z ના પદોને એક બાજુ લાવીને સરળ સમીકરણ મેળવો.

Exam Tip: જ્યારે બે બિંદુઓથી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુગણનું સમીકરણ શોધવાનું હોય, ત્યારે \( PA = PB \) સંબંધનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુનો વર્ગ કરો. આનાથી વર્ગમૂળ દૂર થાય છે અને ગણતરી સરળ બને છે. સમાન પદોને કાળજીપૂર્વક રદ કરવાનું યાદ રાખો.

Question 5. બિંદુઓ \( A (4, 0, 0) \) અને \( B (– 4, 0, 0) \)થી જેમનાં અંતરોનો સરવાળો 10 થતો હોય તેવા બિંદુગણ Pનું સમીકરણ મેળવો.
Answer: ધારો કે, બિંદુ \( P (x, y, z) \) છે. આપણને આપેલું છે કે \( PA + PB = 10 \).
પહેલાં, આપણે \( PA \) અને \( PB \) માટેના સૂત્રો લખીએ:
\( PA = \sqrt{(x-4)^2+(y-0)^2+(z-0)^2} = \sqrt{x^2 - 8x + 16 + y^2 + z^2} \)
\( PB = \sqrt{(x-(-4))^2+(y-0)^2+(z-0)^2} = \sqrt{(x+4)^2+y^2+z^2} = \sqrt{x^2 + 8x + 16 + y^2 + z^2} \)

હવે, આપેલ શરત \( PA + PB = 10 \) માં આ કિંમતો મૂકીએ:
\( \sqrt{x^2 - 8x + 16 + y^2 + z^2} + \sqrt{x^2 + 8x + 16 + y^2 + z^2} = 10 \)

એક વર્ગમૂળ પદને બીજી બાજુ લઈ જઈએ:
\( \sqrt{x^2 - 8x + 16 + y^2 + z^2} = 10 - \sqrt{x^2 + 8x + 16 + y^2 + z^2} \)

બંને બાજુનો વર્ગ કરીએ:
\( (\sqrt{x^2 - 8x + 16 + y^2 + z^2})^2 = (10 - \sqrt{x^2 + 8x + 16 + y^2 + z^2})^2 \)
\( x^2 - 8x + 16 + y^2 + z^2 = 100 - 20\sqrt{x^2 + 8x + 16 + y^2 + z^2} + (x^2 + 8x + 16 + y^2 + z^2) \)

સમાન પદોને બંને બાજુએથી રદ કરીએ (\( x^2, 16, y^2, z^2 \)):
\( -8x = 100 - 20\sqrt{x^2 + 8x + 16 + y^2 + z^2} + 8x \)

વર્ગમૂળ પદને એક બાજુ અને બાકીના પદોને બીજી બાજુ લાવીએ:
\( -8x - 8x - 100 = -20\sqrt{x^2 + 8x + 16 + y^2 + z^2} \)
\( -16x - 100 = -20\sqrt{x^2 + 8x + 16 + y^2 + z^2} \)

સમીકરણને સરળ બનાવવા માટે, બંને બાજુને -4 વડે ભાગીએ:
\( \frac{-16x - 100}{-4} = \frac{-20\sqrt{x^2 + 8x + 16 + y^2 + z^2}}{-4} \)
\( 4x + 25 = 5\sqrt{x^2 + 8x + 16 + y^2 + z^2} \)

ફરીથી બંને બાજુનો વર્ગ કરીએ:
\( (4x + 25)^2 = (5\sqrt{x^2 + 8x + 16 + y^2 + z^2})^2 \)
\( 16x^2 + 2(4x)(25) + 625 = 25(x^2 + 8x + 16 + y^2 + z^2) \)
\( 16x^2 + 200x + 625 = 25x^2 + 200x + 400 + 25y^2 + 25z^2 \)

બધા પદોને એક બાજુ લાવીએ:
\( 16x^2 - 25x^2 + 200x - 200x - 25y^2 - 25z^2 + 625 - 400 = 0 \)
\( -9x^2 - 25y^2 - 25z^2 + 225 = 0 \)

સમગ્ર સમીકરણને -1 વડે ગુણીએ જેથી \( x^2 \) પદ ધન બને:
\( 9x^2 + 25y^2 + 25z^2 - 225 = 0 \)
આ માંગેલ બિંદુગણનું સમીકરણ છે.
In simple words: એક બિંદુ P શોધો, જેના બે આપેલા બિંદુઓથી અંતરનો સરવાળો 10 થાય. પહેલાં, અંતરના સૂત્રો લખો અને પછી તેમને 10 ની બરાબર મૂકો. એક વર્ગમૂળને અલગ પાડો અને બંને બાજુ વર્ગ કરો. પછી સરળ કરીને ફરીથી વર્ગમૂળને અલગ પાડો અને ફરીથી વર્ગ કરો. આ રીતે તમને એક ચોક્કસ સમીકરણ મળશે.

Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, એક વર્ગમૂળ પદને સમીકરણની એક બાજુએ અલગ કરો અને પછી વર્ગ કરો. આનાથી એક વર્ગમૂળ દૂર થશે. પછી, જો બીજું વર્ગમૂળ પદ રહે, તો તેને ફરીથી અલગ કરો અને ફરીથી વર્ગ કરો. ગાણિતિક ક્રિયાઓ કાળજીપૂર્વક કરવી ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે.