GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 12 ત્રિપરિમાણીય ભૂમિતિનો પરિચય Exercise 12.3

Question 1. બિંદુઓ \( (-2, 3, 5) \) અને \( (1, -4, 6) \) ને જોડતા રેખાખંડનું
(1) 2 : 8 ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન
(2) 2 : ૩ ગુણોત્તરમાં બહિર્વિભાજન કરતાં બિંદુઓના યામ શોધો.
Answer:
(1) ધારી લો કે, નિર્ધારિત બિંદુઓ A \( (-2, 3, 5) \) અને B \( (1, -4, 6) \) છે. અને P \( (x, y, z) \) એ રેખાખંડ AB ને 2 : 3 ના ગુણોત્તરમાં અંદરથી વિભાજિત કરે છે. (નોંધ: પ્રશ્નમાં 2:8 આપેલ છે, પરંતુ ઉકેલ 2:3 ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરે છે, તેથી અમે ઉકેલને અનુસરી રહ્યા છીએ.)
\( x = \frac{2(1)+3(-2)}{2+3} = \frac{2-6}{5} = \frac{-4}{5} \)
\( y = \frac{2(-4)+3(3)}{2+3} = \frac{-8+9}{5} = \frac{1}{5} \)
\( z = \frac{2(6)+3(5)}{2+3} = \frac{12+15}{5} = \frac{27}{5} \)
આ રીતે, માગેલા બિંદુના યામ \( \left(-\frac{4}{5}, \frac{1}{5}, \frac{27}{5}\right) \) છે.
(2) ધારી લો કે, આપેલા બિંદુઓ A \( (-2, 3, 5) \) અને B \( (1, -4, 6) \) છે. અને P \( (x, y, z) \) એ રેખાખંડ AB ને 2 : 3 ના ગુણોત્તરમાં બહારથી વિભાજિત કરે છે.
\( x = \frac{2(1)-3(-2)}{2-3} = \frac{2+6}{-1} = -8 \)
\( y = \frac{2(-4)-3(3)}{2-3} = \frac{-8-9}{-1} = 17 \)
\( z = \frac{2(6)-3(5)}{2-3} = \frac{12-15}{-1} = 3 \)
આમ, માગેલા બિંદુના યામ \( (-8, 17, 3) \) છે.
In simple words: આપેલા બે બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડને જો કોઈ ત્રીજું બિંદુ અંદરથી (અંતઃવિભાજન) અથવા બહારથી (બહિર્વિભાજન) અમુક ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે, તો તે બિંદુના યામ શોધવા માટે વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે. આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આપણે \( x, y \) અને \( z \) ના મૂલ્યો શોધી શકીએ.

Exam Tip: અંતઃવિભાજન સૂત્રમાં ગુણોત્તરના સરવાળાનો ઉપયોગ થાય છે, જ્યારે બહિર્વિભાજન સૂત્રમાં ગુણોત્તરના બાદબાકીનો ઉપયોગ થાય છે. આ તફાવત યાદ રાખવો મહત્વપૂર્ણ છે.

Question 2. સમરેખ બિંદુઓ P \( (3, 2, -4) \), Q \( (5, 4, -6) \) અને R \( (9, 8, -10) \) આપેલ છે. બિંદુ Q એ PRનું કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે, તે શોધો.
Answer: ધારી લો કે, બિંદુ Q \( (5, 4, -6) \) રેખાખંડ PR ને \( k : 1 \) ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. અહીં, P \( (3, 2, -4) \) અને R \( (9, 8, -10) \) બિંદુઓ છે.
આપણે વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને \( x \)-યામ માટે ગણતરી કરીએ:
\( 5 = \frac{k(9)+1(3)}{k+1} \)
\( 5(k+1) = 9k+3 \)
\( 5k+5 = 9k+3 \)
\( 5-3 = 9k-5k \)
\( 2 = 4k \)
\( k = \frac{2}{4} \)
\( k = \frac{1}{2} \)
આ જ રીતે, આપણે \( y \)-યામ અને \( z \)-યામ માટે પણ ગણતરી કરી શકીએ:
\( 4 = \frac{k(8)+1(2)}{k+1} \)
\( 4k+4 = 8k+2 \)
\( 2 = 4k \)
\( k = \frac{1}{2} \)
અને
\( -6 = \frac{k(-10)+1(-4)}{k+1} \)
\( -6k-6 = -10k-4 \)
\( -6+4 = -10k+6k \)
\( -2 = -4k \)
\( k = \frac{1}{2} \)
આ રીતે, બિંદુ Q રેખાખંડ PR ને \( \frac{1}{2}: 1 \) એટલે કે 1:2 ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.
In simple words: જ્યારે ત્રણ બિંદુઓ એક જ રેખા પર હોય, ત્યારે એક બિંદુ બાકીના બે બિંદુઓથી બનેલા રેખાખંડને કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે તે શોધવા માટે વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. આપણે \( k \) નું મૂલ્ય શોધીને ગુણોત્તર જાણી શકીએ.

Exam Tip: સમરેખ બિંદુઓના કિસ્સામાં, વિભાજન ગુણોત્તર \( k \) નું મૂલ્ય \( x \), \( y \), અને \( z \) યામમાંથી કોઈપણ એકનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે, અને તે બધા માટે સમાન આવશે.

Question 3. બિંદુઓ \( (-2, 4, 7) \) અને \( (3, -5, 8) \) ને જોડતા રેખાખંડનું YZ-સમતલ કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે, તે શોધો.
Answer: ધારી લો કે, A \( (2, 4, 7) \) અને B \( (3, -5, 8) \) એ નિર્ધારિત બિંદુઓ છે. ધારી લો કે, YZ-સમતલ રેખાખંડ AB ને બિંદુ P \( (0, u, z) \) પર \( k:1 \) ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. (YZ-સમતલ પર, \( x \)-યામ હંમેશા શૂન્ય હોય છે, તેથી P નો \( x \)-યામ 0 છે).
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને \( x \)-યામ માટે ગણતરી કરીએ:
\( 0 = \frac{k(3)+1(-2)}{k+1} \)
\( 0 = \frac{3k-2}{k+1} \)
\( 3k - 2 = 0 \)
\( 3k = 2 \)
\( k = \frac{2}{3} \)
આ રીતે, YZ-સમતલ રેખાખંડ AB ને \( \frac{2}{3}: 1 \) એટલે કે 2:3 ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.
In simple words: જ્યારે કોઈ રેખાખંડને YZ-સમતલ જેવા કોઈ સમતલ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે, ત્યારે તે સમતલ કયા ગુણોત્તરમાં રેખાખંડને કાપે છે તે શોધવા માટે વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે. YZ-સમતલ પર, \( x \)-યામ હંમેશા શૂન્ય હોય છે, જેનો ઉપયોગ આપણે \( k \) નું મૂલ્ય શોધવા માટે કરી શકીએ.

Exam Tip: યાદ રાખો કે YZ-સમતલ માટે \( x=0 \), XZ-સમતલ માટે \( y=0 \), અને XY-સમતલ માટે \( z=0 \) હોય છે. આ શરતોનો ઉપયોગ ગુણોત્તર શોધવા માટે મદદરૂપ થાય છે.

Question 4. વિભાજન-સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે બિંદુઓ A \( (2, -3, 4) \), B \( (-1, 2, 1) \) અને C \( (0, \frac{1}{3}, 2) \) સમરેખ છે.
Answer: ધારી લો કે, નિર્ધારિત બિંદુઓ A \( (2, -3, 4) \), B \( (-1, 2, 1) \) અને C \( (0, \frac{1}{3}, 2) \) એક જ રેખા પર આવેલા છે. ધારી લો કે, બિંદુ P એ રેખાખંડ AB ને \( k : 1 \) ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, P ના યામ આ પ્રમાણે મળશે:
\( x = \frac{k(-1)+1(2)}{k+1} = \frac{-k+2}{k+1} \)
\( y = \frac{k(2)+1(-3)}{k+1} = \frac{2k-3}{k+1} \)
\( z = \frac{k(1)+1(4)}{k+1} = \frac{k+4}{k+1} \)
જો A, B અને C સમરેખ હોય, તો કોઈ ચોક્કસ \( k \) મૂલ્ય માટે P અને C બિંદુઓ સરખા હશે. તેથી, આપણે P ના યામને C ના યામ સાથે સરખાવી શકીએ:
\( \left(\frac{-k+2}{k+1}, \frac{2k-3}{k+1}, \frac{k+4}{k+1}\right) = \left(0, \frac{1}{3}, 2\right) \)
પ્રથમ યામ \( x \) ને સરખાવતા:
\( \frac{-k+2}{k+1} = 0 \)
\( -k+2 = 0 \)
\( k = 2 \)
હવે, \( k = 2 \) આ મૂલ્યને બીજા યામ \( y \) માં મુકતા:
\( \frac{2k-3}{k+1} = \frac{2(2)-3}{2+1} = \frac{4-3}{3} = \frac{1}{3} \)
અને, \( k = 2 \) આ મૂલ્યને ત્રીજા યામ \( z \) માં મુકતા:
\( \frac{k+4}{k+1} = \frac{2+4}{2+1} = \frac{6}{3} = 2 \)
કારણ કે \( k = 2 \) ના મૂલ્ય માટે ત્રણેય યામ C ના યામ સાથે સુસંગત છે, આ રીતે, બિંદુ C \( (0, \frac{1}{3}, 2) \) રેખાખંડ AB ને 2:1 ના ગુણોત્તરમાં અંદરથી વિભાજિત કરે છે. પરિણામે, A, B અને C બિંદુઓ એક જ રેખા પર છે.
In simple words: ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ છે કે નહીં તે સાબિત કરવા માટે, આપણે વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ. જો એક બિંદુ અન્ય બે બિંદુઓથી બનતા રેખાખંડને ચોક્કસ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતું હોય અને આ ગુણોત્તર માટે બધા યામ સંતોષાય, તો બિંદુઓ સમરેખ હોય છે.

Exam Tip: ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ છે તે દર્શાવવા માટે, તમારે દર્શાવવું પડશે કે તેમાંથી એક બિંદુ અન્ય બે બિંદુઓ દ્વારા રચાયેલા રેખાખંડને ચોક્કસ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. આ ગુણોત્તર બધા યામ માટે સમાન હોવો જોઈએ.

Question 5. બિંદુઓ P \( (4, 2, -6) \) અને Q \( (10, -16, 6) \) ને જોડતાં રેખાખંડનું ત્રિભાજન કરતાં બિંદુઓના યામ શોધો.
Answer: ધારી લો કે, બિંદુઓ P \( (4, 2, -6) \) અને Q \( (10, -16, 6) \) ને જોડતા રેખાખંડનું ત્રિભાજન કરતાં બિંદુઓ A \( (x_1, y_1, z_1) \) અને B \( (x_2, y_2, z_2) \) છે.
ત્રિભાજન એટલે રેખાખંડને ત્રણ સમાન ભાગમાં વહેંચવો. આ માટે, બિંદુ A રેખાખંડ PQ ને 1 : 2 ના ગુણોત્તરમાં અંદરથી વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને A ના યામ શોધીએ:
\( x_1 = \frac{1(10)+2(4)}{1+2} = \frac{10+8}{3} = \frac{18}{3} = 6 \)
\( y_1 = \frac{1(-16)+2(2)}{1+2} = \frac{-16+4}{3} = \frac{-12}{3} = -4 \)
\( z_1 = \frac{1(6)+2(-6)}{1+2} = \frac{6-12}{3} = \frac{-6}{3} = -2 \)
તેથી A ના યામ \( (6, -4, -2) \) પ્રાપ્ત થાય છે.
ત્યારબાદ, બિંદુ B રેખાખંડ PQ ને 2 : 1 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરશે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને B ના યામ શોધીએ:
\( x_2 = \frac{2(10)+1(4)}{2+1} = \frac{20+4}{3} = \frac{24}{3} = 8 \)
\( y_2 = \frac{2(-16)+1(2)}{2+1} = \frac{-32+2}{3} = \frac{-30}{3} = -10 \)
\( z_2 = \frac{2(6)+1(-6)}{2+1} = \frac{12-6}{3} = \frac{6}{3} = 2 \)
B ના યામ \( (8, -10, 2) \) મળે છે.
આમ, P \( (4, 2, -6) \) અને Q \( (10, -16, 6) \) ને જોડતા રેખાખંડનું ત્રિભાજન કરતાં બિંદુઓના યામ \( (6, -4, -2) \) અને \( (8, -10, 2) \) છે.
In simple words: ત્રિભાજન એટલે એક રેખાખંડને ત્રણ સરખા ભાગમાં વહેંચવો. આ માટે, આપણે બે બિંદુઓ શોધવા પડે જે રેખાખંડને 1:2 અને 2:1 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે આ બંને બિંદુઓના યામ શોધી શકીએ.

Exam Tip: ત્રિભાજનના પ્રશ્નોમાં, તમે એક બિંદુ શોધવા માટે 1:2 ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરશો અને બીજા બિંદુ શોધવા માટે 2:1 ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરશો. મધ્યબિંદુનો ખ્યાલ અહીં સીધો લાગુ પડતો નથી કારણ કે તે ફક્ત બે સમાન ભાગમાં વિભાજન માટે છે.