GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 1 ગણ Exercise 1.5

Question 1. U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} અને C = {3, 4, 5, 6} છે. નીચેના ગણ શોધો :
(1) \( A' \)
(2) \( B' \)
(3) \( A \cup C \)
(4) \( (A \cup B)' \)
(5) \( (A')' \)
(6) \( (B - C)' \)
Answer:
અહીં, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {3, 4, 5, 6}
(1) \( A' = U - A \)
\( = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{1, 2, 3, 4\} \)
\( \therefore A' = \{5, 6, 7, 8, 9\} \)
(2) \( B' = U - B \)
\( = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{2, 4, 6, 8\} \)
\( \therefore B' = \{1, 3, 5, 7, 9\} \)
(3) \( A \cup C = \{1, 2, 3, 4\} \cup \{3, 4, 5, 6\} \)
\( \therefore A \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
\( \therefore (A \cup C)' = U - (A \cup C) \)
\( = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
\( \therefore (A \cup C)' = \{7, 8, 9\} \)
(4) \( (A \cup B) = \{1, 2, 3, 4\} \cup \{2, 4, 6, 8\} \)
\( \therefore A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8\} \)
\( \therefore (A \cup B)' = U - (A \cup B) \)
\( = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{1, 2, 3, 4, 6, 8\} \)
\( \therefore (A \cup B)' = \{5, 7, 9\} \)
(5) \( (A')' = U - A' \)
\( = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{5, 6, 7, 8, 9\} \)
\( \therefore (A')' = \{1, 2, 3, 4\} \)
(6) \( B - C = \{2, 4, 6, 8\} - \{3, 4, 5, 6\} \)
\( \therefore B - C = \{2, 8\} \)
\( \therefore (B - C)' = U - (B - C) \)
\( = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{2, 8\} \)
\( \therefore (B - C)' = \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 9\} \)
In simple words: પહેલા આપેલા ગણો U, A, B અને C ને લખો. પછી દરેક પેટા-પ્રશ્ન માટે ગણ ક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીને માંગેલા ગણના ઘટકો શોધો. પૂરક ગણ (A') એટલે U માં હોય પણ A માં ન હોય તેવા ઘટકો.

Exam Tip: ગણ ક્રિયાઓ જેવી કે યોગ (union), છેદ (intersection), તફાવત (difference) અને પૂરક (complement) ના નિયમોને કાળજીપૂર્વક લાગુ કરવાથી સચોટ જવાબો મળે છે.

Question 2. જો U = {a, b, c, d, e, f, g, h} હોય, તો નીચેના ગણના પૂરક ગણ શોધો :
(1) A = {a, b, c}
(2) B = {d, e, f, g}
(3) C = {a, c, e, g}
(4) D = {f, g, h, a}
Answer:
અહીં, U = {a, b, c, d, e, f, g, h}
(1) A = {a, b, c}
\( \therefore A' = U - A = \{d, e, f, g, h\} \)
(2) B = {d, e, f, g}
\( \therefore B' = U - B = \{a, b, c, h\} \)
(3) C = {a, c, e, g}
\( \therefore C' = U - C = \{b, d, f, h\} \)
(4) D = {f, g, h, a}
\( \therefore D' = U - D = \{b, c, d, e\} \)
In simple words: આપેલા સાર્વત્રિક ગણ U માંથી દરેક ગણના ઘટકોને બાદ કરો. જે ઘટકો બાકી રહે તે તે ગણનો પૂરક ગણ બને.

Exam Tip: પૂરક ગણ શોધવા માટે, સાર્વત્રિક ગણ U માંથી આપેલા ગણના તમામ ઘટકોને દૂર કરો. બાકી રહેલા ઘટકો પૂરક ગણ બનાવે છે.

Question 3. પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણને સાર્વત્રિક ગણ તરીકે લઈ, નીચે આપેલા ગણના પૂરક ગણ શોધો :
(1) {x:x એ યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.}
(2) {x:x એ અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.}
(3) {x:x એ ૩નો ધન ગુણિત છે.}
(4) {x:x એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.}
(5) {x:x એ ૩ અને 5 વડે વિભાજ્ય પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.}
(6) {x:x એ પૂર્ણવર્ગ છે.}
(7) {x:x એ પૂર્ણઘન છે.}
(8) {x:x + 5 = 8}
(9) {x: 2x + 5 = 9}
(10) {x:x ≥ 7}
(11) {x: x ∈ N અને 2x + 1 > 10}
Answer:
અહીં, U = {x : x ∈ N}
(1) ધારો કે, A = {x:x એ યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.}
\( \therefore A' = \{x : x \in U \text{ અને } x \notin A\} \)
\( \therefore A' = \{x : x \text{ એ અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.\}} \)
(2) ધારો કે, A = {x:x એ અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.}
\( \therefore A' = \{x : x \in U \text{ અને } x \notin A\} \)
\( \therefore A' = \{x : x \text{ એ યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.\}} \)
(3) ધારો કે, A = {x:x એ ૩નો ધન ગુણિત છે.}
\( \therefore A' = \{x : x \in U \text{ અને } x \notin A\} \)
\( \therefore A' = \{x : x \text{ એ ૩નો ધન ગુણિત નથી, } x \in N\} \)
(4) ધારો કે, A = {x:x એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.}
\( \therefore A' = \{x : x \in U \text{ અને } x \notin A\} \)
\( \therefore A' = \{x : x \text{ એ ધન વિભાજ્ય સંખ્યા અથવા } x = 1\} \)
(5) ધારો કે, A = {x : x એ ૩ અને 5 વડે વિભાજ્ય પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.}
\( \therefore A' = \{x : x \in U \text{ અને } x \notin A\} \)
\( \therefore A' = \{x : x \text{ એ ૩ અથવા 5 વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.\}} \)
(6) ધારો કે, A = {x:x એ પૂર્ણવર્ગ છે.}
\( \therefore A' = \{x : x \in U \text{ અને } x \notin A\} \)
\( \therefore A' = \{x : x \in N \text{ અને } x \text{ એ પૂર્ણવર્ગ નથી.\}} \)
(7) ધારો કે, A = {x:x એ પૂર્ણઘન છે.}
\( \therefore A' = \{x : x \in U \text{ અને } x \notin A\} \)
\( \therefore A' = \{x : x \in N \text{ અને } x \text{ એ પૂર્ણઘન નથી.\}} \)
(8) ધારો કે, A = {x: x + 5 = 8}
\( \therefore x = 3 \)
\( \therefore A = \{3\} \)
\( \therefore A' = \{x : x \in U \text{ અને } x \notin A\} \)
\( \therefore A' = \{x : x \in N \text{ અને } x \neq 3\} \)
(9) ધારો કે, A = {x: 2x + 5 = 9}
\( \therefore 2x = 4 \implies x = 2 \)
\( \therefore A = \{2\} \)
\( \therefore A' = \{x : x \in U \text{ અને } x \notin A\} \)
\( \therefore A' = \{x : x \in N \text{ અને } x \neq 2\} \)
(10) ધારો કે, A = {x: x ≥ 7}
\( \therefore A' = \{x : x \in U \text{ અને } x \notin A\} \)
\( \therefore A' = \{x : x \in N \text{ અને } x < 7\} \)
(11) ધારો કે, A = {x: x ∈ N અને 2x + 1 > 10}
\( \therefore 2x + 1 > 10 \implies 2x > 9 \implies x > \frac{9}{2} \implies x \geq 5 \)
\( \therefore A = \{5, 6, 7, 8, \dots\} \)
\( \therefore A' = \{x : x \in U \text{ અને } x \notin A\} \)
\( \therefore A' = \{x : x \in N \text{ અને } x \leq \frac{9}{2}\} \)
In simple words: દરેક આપેલા ગણ માટે, પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણ U માંથી તે ગણના ઘટકોને બાદ કરો. જે ઘટકો U માં હોય પણ આપેલા ગણમાં ન હોય, તે પૂરક ગણના ઘટકો બને છે.

Exam Tip: ગણના પૂરક ગણને સમજવા માટે, આપેલા ગણની વ્યાખ્યાના વિરુદ્ધ ગુણધર્મો ધરાવતા ઘટકોને સાર્વત્રિક ગણમાંથી શોધો.

Question 4. જો U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {2, 4, 6, 8} અને B = {2, 3, 5, 7} હોય, તો
(1) \( (A \cup B)' = A' \cap B' \)
(2) \( (A \cap B)' = A' \cup B' \)
Answer:
અહીં, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A = {2, 4, 6, 8}, B = {2, 3, 5, 7}
(1) \( A \cup B = \{2, 4, 6, 8\} \cup \{2, 3, 5, 7\} \)
\( = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \)
\( \therefore (A \cup B)' = U - (A \cup B) = \{1, 9\} \)\((1)\)

હવે, \( A' = U - A = \{1, 3, 5, 7, 9\} \)
અને \( B' = U - B = \{1, 4, 6, 8, 9\} \)
\( \therefore A' \cap B' = \{1, 3, 5, 7, 9\} \cap \{1, 4, 6, 8, 9\} \)
\( = \{1, 9\} \)\((2)\)
પરિણામ (1) અને (2) પરથી,
\( (A \cup B)' = A' \cap B' \)
(2) \( A \cap B = \{2, 4, 6, 8\} \cap \{2, 3, 5, 7\} \)
\( = \{2\} \)
\( \therefore (A \cap B)' = U - (A \cap B) = \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \)\((1)\)

હવે, \( A' = U - A = \{1, 3, 5, 7, 9\} \)
અને \( B' = U - B = \{1, 4, 6, 8, 9\} \)
\( \therefore A' \cup B' = \{1, 3, 5, 7, 9\} \cup \{1, 4, 6, 8, 9\} \)
\( = \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \)\((2)\)
પરિણામ (1) અને (2) પરથી,
\( (A \cap B)' = A' \cup B' \)
In simple words: પહેલા (A યોગ B) નો પૂરક ગણ શોધો અને પછી A ના પૂરક અને B ના પૂરક ગણનો છેદ શોધો. બંનેના જવાબ સરખા આવે તો સાબિત થાય. તેવી જ રીતે (A છેદ B) નો પૂરક ગણ શોધો અને A ના પૂરક અને B ના પૂરક ગણનો યોગ શોધો. જો બંનેના જવાબ સરખા હોય, તો સાબિતી પૂર્ણ થાય.

Exam Tip: ડી-મૉર્ગનનો નિયમ (De Morgan's Laws) યાદ રાખો: \( (A \cup B)' = A' \cap B' \) અને \( (A \cap B)' = A' \cup B' \). આ નિયમોનો ઉપયોગ કરીને ચકાસણી કરો.

Question 5. નીચેના દરેક માટે યોગ્ય વેન આકૃતિ દોરો :
(1) \( (A \cup B)' \)
(2) \( A' \cap B' \)
(3) \( (A \cap B)' \)
(4) \( A' \cup B' \)
Answer:
(1) \( (A \cup B)' \)

(2) \( A' \cap B' \)

(3) \( (A \cap B)' \)

(4) \( A' \cup B' \)

In simple words: વેન આકૃતિઓ દોરતી વખતે, સાર્વત્રિક ગણ U ને લંબચોરસ તરીકે દર્શાવો. પછી ગણ A અને B ને વર્તુળો તરીકે દર્શાવો. જે વિસ્તાર દર્શાવવાનો હોય તેને રંગીન કરો. (A યોગ B)' માં A અને B ની બહારનો ભાગ રંગીન થાય. (A છેદ B)' માં A અને B ના છેદ સિવાયનો બધો ભાગ રંગીન થાય.

Exam Tip: વેન આકૃતિઓ દોરતી વખતે, હંમેશા સાર્વત્રિક ગણ U ને લંબચોરસ દ્વારા દર્શાવો અને તેના ઘટકોને નાના ટપકાંથી દર્શાવો, જ્યારે ગણ A અને B ને વર્તુળોથી દર્શાવો.

Question 6. સમતલનાં તમામ ત્રિકોણના ગણને U તરીકે લો. જો ઓછામાં ઓછો એક ખૂણો 60થી ભિન્ન હોય, તેવા ત્રિકોણનો ગણ A હોય, તો A' શું થશે?
Answer:
અહીં, U = {x: x એ ત્રિકોણ છે.}
A = {x : x એ જેનો ઓછામાં ઓછો એક ખૂણો 60થી ભિન્ન હોય તેવો ત્રિકોણ છે.}
\( \therefore A' = \{x : x \in U \text{ અને } x \notin A\} \)
\( \therefore A' = \{x : x \text{ એ જેના બધા જ ખૂણા } 60^\circ \text{ હોય તેવો ત્રિકોણ}\} \)
એટલે કે, \( A' \) એ સમભુજ ત્રિકોણોનો ગણ છે.
In simple words: બધા ત્રિકોણો U ગણ છે. ગણ A માં એવા ત્રિકોણો છે જેમાં ઓછામાં ઓછો એક ખૂણો 60 ડિગ્રી નથી. તો A' ગણમાં એવા ત્રિકોણો આવશે જેમાં બધા ખૂણા 60 ડિગ્રી હોય. આવા ત્રિકોણો સમભુજ ત્રિકોણ કહેવાય.

Exam Tip: પૂરક ગણ શોધવા માટે, આપેલા ગણ A ના ગુણધર્મનો વિરુદ્ધ ગુણધર્મ ધરાવતા ઘટકો સાર્વત્રિક ગણ U માંથી પસંદ કરો.

Question 7. નીચેના વિધાનો સત્ય થાય તે રીતે ખાલી જગ્યા પૂરો :
(1) \( A \cup A' = \dots \)
(2) \( \Phi' \cap A = \dots \)
(3) \( A \cap A' = \dots \)
(4) \( U' \cap A = \dots \)
Answer:
(1) \( A \cup A' = U \)
(2) \( \Phi' \cap A = A \)
(3) \( A \cap A' = \Phi \)
(4) \( U' \cap A = \Phi \)
In simple words: કોઈ ગણ અને તેના પૂરક ગણનો યોગ હંમેશા સાર્વત્રિક ગણ હોય છે. ખાલી ગણનો પૂરક ગણ સાર્વત્રિક ગણ છે. કોઈ ગણ અને તેના પૂરક ગણનો છેદ હંમેશા ખાલી ગણ હોય છે. સાર્વત્રિક ગણનો પૂરક ગણ ખાલી ગણ છે.

Exam Tip: ગણના મૂળભૂત નિયમો અને પૂરક ગણના ગુણધર્મો યાદ રાખવાથી આવા પ્રકારના પ્રશ્નો સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે.