GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 1 ગણ Exercise 1.6

Question 1. જો બે ગણ \( X \) અને \( Y \) માટે, \( n (X) = 17 \), \( n (Y) = 23 \) અને \( n (X \cup Y) = 38 \) હોય, તો \( n (X \cap Y) \) શોધો.
Answer: અહીં, \( n (X) = 17 \), \( n (Y) = 23 \) અને \( n (X \cup Y) = 38 \) આપેલા છે. આપણે ગણો માટેના યોગ અને છેદ ગણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું:
\( n (X \cup Y) = n (X) + n (Y) - n (X \cap Y) \)
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
\( 38 = 17 + 23 - n (X \cap Y) \)
\( 38 = 40 - n (X \cap Y) \)
\( n (X \cap Y) = 40 - 38 \)
\( \implies n (X \cap Y) = 2 \).
આમ, \( n (X \cap Y) \) ની કિંમત 2 છે.
In simple words: અહીં, X અને Y બે ગણ છે. X માં 17 ઘટકો, Y માં 23 ઘટકો અને X અથવા Y માં કુલ 38 ઘટકો છે. આથી, બંને ગણમાં સામાન્ય હોય તેવા ઘટકોની સંખ્યા 2 હશે.

Exam Tip: જ્યારે આવા પ્રશ્નો આવે, ત્યારે હંમેશાં ગણના યોગ અને છેદ ગણના મૂળભૂત સૂત્રનો ઉપયોગ કરો. કિંમતો યોગ્ય રીતે મૂકીને ગણતરી કરો.

Question 2. જો બે ગણ \( X \) અને \( Y \) માટે \( X \cup Y \) માં 18 ઘટકો, \( X \) માં 8 ઘટકો અને \( Y \) માં 15 ઘટકો હોય, તો \( X \cap Y \) માં કેટલા ઘટકો હશે?
Answer: અહીં, \( n (X \cup Y) = 18 \), \( n (X) = 8 \), અને \( n (Y) = 15 \) આપેલા છે. આપણે યોગ અને છેદ ગણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું:
\( n (X \cup Y) = n (X) + n (Y) - n (X \cap Y) \)
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
\( 18 = 8 + 15 - n (X \cap Y) \)
\( 18 = 23 - n (X \cap Y) \)
\( n (X \cap Y) = 23 - 18 \)
\( \implies n (X \cap Y) = 5 \).
તેથી, \( X \cap Y \) માં 5 ઘટકો હશે.
In simple words: અહીં, બે ગણ X અને Y માટે, કુલ 18 ઘટકો X અથવા Y માં છે. X માં 8 ઘટકો અને Y માં 15 ઘટકો છે. આથી, બંને ગણમાં સામાન્ય રીતે 5 ઘટકો હશે.

Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, સૂત્રમાં કઈ કિંમત શોધવાની છે તે ધ્યાનપૂર્વક જુઓ અને પછી તેને અલગ પાડીને ગણતરી કરો.

Question 3. 400 વ્યક્તિઓના સમૂહમાં, 250 હિન્દી બોલી શકે છે અને 200 અંગ્રેજી બોલી શકે છે, તો કેટલી વ્યક્તિઓ હિન્દી અને અંગ્રેજી બંને બોલી શકે? 400 પૈકી દરેક વ્યક્તિ આ બે પૈકી ઓછામાં ઓછી એક ભાષા બોલી શકે છે.
Answer: ધારો કે, હિન્દી બોલતી વ્યક્તિઓનો ગણ \( X \) છે અને અંગ્રેજી બોલતી વ્યક્તિઓનો ગણ \( Y \) છે. બંને ભાષાઓ બોલતી વ્યક્તિઓનો ગણ \( X \cap Y \) થશે.
આપેલી માહિતી અનુસાર, \( n (X \cup Y) = 400 \), \( n (X) = 250 \), \( n (Y) = 200 \). આપણે \( n (X \cap Y) \) શોધવાનું છે.
સૂત્ર \( n (X \cup Y) = n (X) + n (Y) - n (X \cap Y) \) નો ઉપયોગ કરતાં,
\( 400 = 250 + 200 - n (X \cap Y) \)
\( 400 = 450 - n (X \cap Y) \)
\( n (X \cap Y) = 450 - 400 \)
\( \implies n (X \cap Y) = 50 \).
આમ, હિન્દી અને અંગ્રેજી બંને બોલી શકતી વ્યક્તિઓની સંખ્યા આ જૂથમાં 50 છે.
In simple words: 400 લોકોના જૂથમાં, 250 હિન્દી બોલે છે અને 200 અંગ્રેજી બોલે છે. જો દરેક વ્યક્તિ ઓછામાં ઓછી એક ભાષા બોલે, તો 50 લોકો હિન્દી અને અંગ્રેજી બંને બોલી શકે છે.

Exam Tip: જ્યારે કુલ સંખ્યા અને વ્યક્તિઓ કેટલી ભાષાઓ બોલી શકે તેવું આપેલ હોય, ત્યારે હંમેશાં યોગ અને છેદ ગણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરો. દરેક વ્યક્તિ ઓછામાં ઓછી એક ભાષા બોલે છે તેનો અર્થ છે કે \( n(X \cup Y) \) કુલ વ્યક્તિઓ જેટલો છે.

Question 4. જો બે ગણો \( S \) અને \( T \) માટે \( S \) માં 21 ઘટકો, \( T \) માં 32 ઘટકો અને \( S \cap T \) માં 11 ઘટકો હોય, તો \( S \cup T \) માં કેટલા ઘટકો હશે? અહીં, \( n (S) = 21 \); \( n (T) = 32 \); \( n (S \cap T) = 11 \); \( n (S \cup T) = ? \)
Answer: અહીં, \( n (S) = 21 \), \( n (T) = 32 \), અને \( n (S \cap T) = 11 \) આપેલા છે. આપણે \( n (S \cup T) \) શોધવાનું છે.
સૂત્ર \( n (S \cup T) = n (S) + n (T) - n (S \cap T) \) નો ઉપયોગ કરતાં,
\( n (S \cup T) = 21 + 32 - 11 \)
\( n (S \cup T) = 53 - 11 \)
\( \implies n (S \cup T) = 42 \).
આમ, \( S \cup T \) માં 42 ઘટકો હશે.
In simple words: જો ગણ S માં 21, ગણ T માં 32 અને બંનેમાં 11 ઘટકો સામાન્ય હોય, તો S અથવા T માં કુલ 42 ઘટકો હશે.

Exam Tip: આ પ્રકારના પ્રશ્નોમાં, આપેલી કિંમતોને સૂત્રમાં સીધી રીતે મુકીને ગણતરી કરો. સૂત્રને બરાબર યાદ રાખો.

Question 5. બે ગણ \( X \) અને \( Y \) એવા છે કે ગણ \( X \) માં 40 ઘટકો, \( X \cup Y \) માં 60 ઘટકો અને \( X \cap Y \) માં 10 ઘટકો હોય, તો \( Y \) માં કેટલા ઘટકો હશે?
Answer: અહીં, \( n (X) = 40 \), \( n (X \cup Y) = 60 \), અને \( n (X \cap Y) = 10 \) આપેલા છે. આપણે \( n (Y) \) શોધવાનું છે.
સૂત્ર \( n (X \cup Y) = n (X) + n (Y) - n (X \cap Y) \) નો ઉપયોગ કરતાં,
\( 60 = 40 + n (Y) - 10 \)
\( 60 = 30 + n (Y) \)
\( n (Y) = 60 - 30 \)
\( \implies n (Y) = 30 \).
તેથી, ગણ \( Y \) માં 30 ઘટકો હશે.
In simple words: X માં 40, X અથવા Y માં 60, અને X અને Y બંનેમાં 10 ઘટકો છે. આ માહિતીનો ઉપયોગ કરીને, આપણે જાણી શકીએ છીએ કે ગણ Y માં 30 ઘટકો છે.

Exam Tip: જ્યારે એક ગણના ઘટકોની સંખ્યા શોધવાની હોય, ત્યારે બધા જાણીતા મૂલ્યોને સૂત્રમાં દાખલ કરો અને અજાણી કિંમત માટે ઉકેલ મેળવો.

Question 6. 70 વ્યક્તિઓના જૂથમાં 37 કૉફી પસંદ કરે છે અને 52 વ્યક્તિઓ ચા પસંદ કરે છે તથા દરેક વ્યક્તિ આ બે પીણાંમાંથી ઓછામાં ઓછું એક પીણું પસંદ કરે છે, તો કેટલી વ્યક્તિઓ કૉફી અને ચા બંને પસંદ કરે છે?
Answer: ધારો કે, કૉફી પસંદ કરતી વ્યક્તિઓનો ગણ \( X \) છે અને ચા પસંદ કરતી વ્યક્તિઓનો ગણ \( Y \) છે. \( X \cup Y \) એ ઓછામાં ઓછું એક પીણું પસંદ કરતી વ્યક્તિઓનો ગણ થશે. \( X \cap Y \) એ કૉફી અને ચા બંને પસંદ કરતી વ્યક્તિઓનો ગણ થશે.
આપેલી માહિતી અનુસાર, \( n (X) = 37 \), \( n (Y) = 52 \), અને \( n (X \cup Y) = 70 \). આપણે \( n (X \cap Y) \) શોધવાનું છે.
સૂત્ર \( n (X \cup Y) = n (X) + n (Y) - n (X \cap Y) \) નો ઉપયોગ કરતાં,
\( 70 = 37 + 52 - n (X \cap Y) \)
\( 70 = 89 - n (X \cap Y) \)
\( n (X \cap Y) = 89 - 70 \)
\( \implies n (X \cap Y) = 19 \).
તેથી, 19 વ્યક્તિઓ કૉફી અને ચા બંને પસંદ કરે છે.
In simple words: 70 લોકોના સમૂહમાં 37 કૉફી અને 52 ચા પીવે છે. જો બધા ઓછામાં ઓછું એક પીણું પસંદ કરે, તો 19 લોકો કૉફી અને ચા બંને પસંદ કરે છે.

Exam Tip: જ્યારે 'ઓછામાં ઓછું એક' શબ્દો આવે, ત્યારે તે યુનિયન (યોગ ગણ) સૂચવે છે. 'બંને' શબ્દો ઇન્ટરસેક્શન (છેદ ગણ) સૂચવે છે.

Question 7. 65 વ્યક્તિઓના જૂથમાં 40 ક્રિકેટ પસંદ કરે છે, 10 ક્રિકેટ અને ટેનિસ બંને પસંદ કરે છે. કેટલી વ્યક્તિઓ માત્ર ટેનિસ પસંદ કરે છે પરંતુ ક્રિકેટ પસંદ કરતી નથી? કેટલા ટેનિસ પસંદ કરે છે? 65 પૈકી દરેક વ્યક્તિ આ બે પૈકી ઓછામાં ઓછી એક રમત પસંદ કરે છે.
Answer: ધારો કે, ક્રિકેટ પસંદ કરતી વ્યક્તિઓનો ગણ \( X \) છે અને ટેનિસ પસંદ કરતી વ્યક્તિઓનો ગણ \( Y \) છે. બંને રમતો પસંદ કરતી વ્યક્તિઓનો ગણ \( X \cap Y \) થશે. ટેનિસ પસંદ કરે પરંતુ ક્રિકેટ પસંદ ન કરે તેવી વ્યક્તિઓનો ગણ \( Y - X \) થશે.
આપેલી માહિતી અનુસાર, \( n (X \cup Y) = 65 \), \( n (X) = 40 \), \( n (X \cap Y) = 10 \). આપણે \( n (Y) \) અને \( n (Y - X) \) શોધવાનું છે.
સૂત્ર \( n (X \cup Y) = n (X) + n (Y) - n (X \cap Y) \) નો ઉપયોગ કરતાં,
\( 65 = 40 + n (Y) - 10 \)
\( 65 = 30 + n (Y) \)
\( n (Y) = 65 - 30 \)
\( \implies n (Y) = 35 \).
આમ, 35 વ્યક્તિઓ ટેનિસ પસંદ કરે છે.
હવે, \( n (Y - X) = n (Y) - n (X \cap Y) \)
\( n (Y - X) = 35 - 10 \)
\( \implies n (Y - X) = 25 \).
આમ, ટેનિસ પસંદ કરે પરંતુ ક્રિકેટ પસંદ ન કરે તેવી વ્યક્તિઓની સંખ્યા 25 છે તથા ટેનિસ પસંદ કરનારી કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા 35 છે.
In simple words: 65 લોકોના સમૂહમાં 40 ક્રિકેટ પસંદ કરે છે અને 10 બંને રમત પસંદ કરે છે. આથી, 35 લોકો ટેનિસ પસંદ કરે છે અને તેમાંથી 25 લોકો ફક્ત ટેનિસ પસંદ કરે છે.

Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, સૌ પ્રથમ બધા ગણ અને તેમની કિંમતોને સ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરો. પછી, યુનિયન-ઇન્ટરસેક્શન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને દરેક અજાણી કિંમત શોધો.

Question 8. એક સમિતિમાં 50 વ્યક્તિઓ ફ્રેંચ બોલે છે, 20 સ્પેનિશ બોલે છે અને 10 વ્યક્તિઓ સ્પેનિશ અને ફ્રેંચ બંને બોલે છે, તો કેટલી વ્યક્તિઓ આ બે ભાષાઓમાંથી ઓછામાં ઓછી એક ભાષા બોલી શકે?
Answer: ધારો કે, ફ્રેંચ બોલતી વ્યક્તિઓનો ગણ \( X \) છે અને સ્પેનિશ બોલતી વ્યક્તિઓનો ગણ \( Y \) છે. બંને ભાષાઓ બોલી શકતી વ્યક્તિઓનો ગણ \( X \cap Y \) થશે. ઓછામાં ઓછી એક ભાષા બોલતી વ્યક્તિઓનો ગણ \( X \cup Y \) થશે.
આપેલી માહિતી અનુસાર, \( n (X) = 50 \), \( n (Y) = 20 \), અને \( n (X \cap Y) = 10 \). આપણે \( n (X \cup Y) \) શોધવાનું છે.
સૂત્ર \( n (X \cup Y) = n (X) + n (Y) - n (X \cap Y) \) નો ઉપયોગ કરતાં,
\( n (X \cup Y) = 50 + 20 - 10 \)
\( n (X \cup Y) = 70 - 10 \)
\( \implies n (X \cup Y) = 60 \).
આમ, 60 વ્યક્તિઓ આ બે ભાષાઓમાંથી ઓછામાં ઓછી એક ભાષા બોલી શકે છે.
In simple words: એક સમિતિમાં 50 લોકો ફ્રેંચ અને 20 લોકો સ્પેનિશ બોલે છે, જ્યારે 10 લોકો બંને ભાષાઓ બોલે છે. આથી, ઓછામાં ઓછી એક ભાષા બોલનારા લોકોની કુલ સંખ્યા 60 છે.

Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, ગણના સભ્યોની સંખ્યાને સ્પષ્ટપણે વ્યાખ્યાયિત કરો અને પછી ગણના સિદ્ધાંતના મૂળભૂત સૂત્રનો ઉપયોગ કરો. 'ઓછામાં ઓછી એક' નો અર્થ છે યોગ ગણ.