GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 1 ગણ Exercise 1.4

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 1 Ex 1.4

Question 1. નીચે આપેલી જોડીઓના ગણોનો યોગ ગણ લખો
(i) \( X = \{1, 3, 5\}, Y = \{1, 2, 3\} \)
(ii) \( A = \{a, e, i, o, u\}, B = \{a, b, c\} \)
(iii) \( A = \{x:x \) એ 3ની ગુણિત પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.\( \}, B = \{x: x \) એ 6થી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.\( \} \)
(iv) \( A = \{x: x \) એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે અને \( 1 < x \leq 6\}, B = \{x:x \) એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે અને \( 6 < x < 10\} \)
(v) \( A = \{1, 2, 3\}, B = \emptyset \)
Answer:
(i) \( X = \{1, 3, 5\}, Y = \{1, 2, 3\} \)
\( \implies X \cup Y = \{1, 2, 3, 5\} \)
(ii) \( A = \{a, e, i, o, u\}, B = \{a, b, c\} \)
\( \implies A \cup B = \{a, e, i, o, u, b, c\} \)
(iii) \( A = \{x: x \) એ 3ની ગુણિત પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.\( \} \)
\( B = \{x: x \) એ 6થી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.\( \} \)
અહીં, \( A = \{3, 6, 9, 12, ...\} \)
\( B = \{1, 2, 3, 4, 5\} \)
\( \implies A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, ...\} \)
\( \implies A \cup B = \{x: x = 1, 2, 3, 4, 5 \) અથવા 3નો ગુણિત\( \} \)
(iv) \( A = \{x:x \) એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે અને \( 1 < x \leq 6\} \)
\( B = \{x:x \) એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે અને \( 6 < x < 10\} \)
અહીં, \( A = \{2, 3, 4, 5, 6\} \)
\( B = \{7, 8, 9\} \)
\( \implies A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \)
\( \implies A \cup B = \{x:1 < x < 10, x \in N\} \)
(v) \( A = \{1, 2, 3\}, B = \emptyset \)
\( \implies A \cup B = \{1, 2, 3\} \)
In simple words: ગણના યોગ માટે, આપણે બંને ગણના બધા જ ઘટકોને એક સાથે ભેગા કરવાના હોય છે, પણ કોઈ પણ ઘટકને બે વાર લખવાનો નથી. જો કોઈ ઘટક બંને ગણમાં હોય, તો તેને એક જ વાર લખવામાં આવે છે.

Exam Tip: Make sure to list all unique elements from both sets when finding the union, and avoid duplicating elements. Pay close attention to the conditions defining the sets, especially for sets described by properties.

Question 2. \( A = \{a, b\}, B = \{a, b, c\} \). શું \( A \subset B \) ? \( A \cup B \) શું થશે?
Answer: અહીં, \( A = \{a, b\} \) અને \( B = \{a, b, c\} \)
ગણ A નો દરેક સભ્ય ગણ B નો પણ સભ્ય છે. આથી ગણ A એ ગણ B નો ઉપગણ છે.
\( \implies A \subset B \)
હવે, \( A \cup B = \{a, b\} \cup \{a, b, c\} \)
\( \implies A \cup B = \{a, b, c\} \)
In simple words: હા, A એ B નો ઉપગણ છે કારણ કે A ના બધા ઘટકો B માં છે. જ્યારે આપણે A અને B નો યોગ કરીએ છીએ, ત્યારે B ગણ પોતે જ મળે છે કારણ કે A ના બધા ઘટકો B માં પહેલાથી જ છે.

Exam Tip: A set A is a subset of B if every element of A is also an element of B. When finding the union of a set and its superset, the union will be the superset itself.

Question 3. જો \( A \subset B \) હોય તેવા બે ગણ આપ્યા હોય, તો \( A \cup B \) શું થશે?
Answer: ધારો કે, \( A = \{1, 2\} \) અને \( B = \{1, 2, 3\} \)
અહીં, \( A \subset B \) છે.
\( \implies A \cup B = \{1, 2\} \cup \{1, 2, 3\} \)
\( = \{1, 2, 3\} \)
\( = B \)
આમ, જો \( A \subset B \) હોય, તો \( A \cup B = B \) થશે.
In simple words: જો ગણ A એ ગણ B નો ઉપગણ હોય, તો A અને B નો યોગ ગણ B જ હશે. કારણ કે A ના બધા ઘટકો B માં પહેલેથી જ સમાયેલા હોય છે.

Exam Tip: This is a fundamental property of set theory. If one set is a subset of another, their union is simply the larger (superset) set. This can save time in calculations.

Question 4. \( A = \{1, 2, 3, 4\}, B = \{3, 4, 5, 6\}, C = \{5, 6, 7, 8\} \) અને \( D = \{7, 8, 9, 10\} \) હોય તો નીચેના ગણ શોધો :
(1) \( A \cup B \)
(2) \( A \cup C \)
(3) \( B \cup C \)
(4) \( B \cup D \)
(5) \( A \cup B \cup C \)
(6) \( A \cup B \cup D \)
(7) \( B \cup C \cup D \)
Answer: અહીં, \( A = \{1, 2, 3, 4\}, B = \{3, 4, 5, 6\}, C = \{5, 6, 7, 8\} \) અને \( D = \{7, 8, 9, 10\} \)
(1) \( A \cup B = \{1, 2, 3, 4\} \cup \{3, 4, 5, 6\} \)
\( = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
(2) \( A \cup C = \{1, 2, 3, 4\} \cup \{5, 6, 7, 8\} \)
\( = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \)
(3) \( B \cup C = \{3, 4, 5, 6\} \cup \{5, 6, 7, 8\} \)
\( = \{3, 4, 5, 6, 7, 8\} \)
(4) \( B \cup D = \{3, 4, 5, 6\} \cup \{7, 8, 9, 10\} \)
\( = \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \)
(5) \( A \cup B \cup C \)
\( = \{1, 2, 3, 4\} \cup \{3, 4, 5, 6\} \cup \{5, 6, 7, 8\} \)
\( = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \)
(6) \( A \cup B \cup D \)
\( = \{1, 2, 3, 4\} \cup \{3, 4, 5, 6\} \cup \{7, 8, 9, 10\} \)
\( = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \)
(7) \( B \cup C \cup D \)
\( = \{3, 4, 5, 6\} \cup \{5, 6, 7, 8\} \cup \{7, 8, 9, 10\} \)
\( = \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \)
In simple words: યોગ ગણ શોધવા માટે, આપણે બધા ગણના દરેક અનન્ય ઘટકોને એકત્રિત કરીએ છીએ. કોઈ પણ ઘટકને બે વાર લખવો જોઈએ નહીં.

Exam Tip: When finding the union of multiple sets, it's helpful to list out all elements from the first set, then add any new elements from the subsequent sets. Always ensure no elements are repeated in the final union set.

Question 5. પ્રશ્ન 1માં આપેલી જોડીઓના ગણોનો છેદગણ શોધો :
(1) \( X = \{1, 3, 5\}, Y = \{1, 2, 3\} \)
(2) \( A = \{a, e, i, o, u\}, B = \{a, b, c\} \)
(3) \( A = \{x: x \) એ 3ની ગુણિત પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.\( \}, B = \{x: x \) એ 6થી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.\( \} \)
(4) \( A = \{x : x \) એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે અને \( 1 < x \leq 6\}, B = \{x : x \) એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે અને \( 6 < x < 10\} \)
(5) \( A = \{1, 2, 3\}, B = \emptyset \)
Answer:
(1) \( X = \{1, 3, 5\}, Y = \{1, 2, 3\} \)
\( \implies X \cap Y = \{1, 3, 5\} \cap \{1, 2, 3\} \)
\( = \{1, 3\} \)
(2) \( A = \{a, e, i, o, u\}, B = \{a, b, c\} \)
\( \implies A \cap B = \{a, e, i, o, u\} \cap \{a, b, c\} \)
\( = \{a\} \)
(3) \( A = \{x: x \) એ 3ની ગુણિત પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.\( \} \)
\( B = \{x: x \) એ 6થી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.\( \} \)
અહીં, \( A = \{3, 6, 9, 12, ...\} \)
\( B = \{1, 2, 3, 4, 5\} \)
\( \implies A \cap B = \{3, 6, 9, 12, ...\} \cap \{1, 2, 3, 4, 5\} \)
\( = \{3\} \)
(4) \( A = \{x : x \) એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે અને \( 1 < x \leq 6\} \)
\( B = \{x : x \) એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે અને \( 6 < x < 10\} \)
અહીં, \( A = \{2, 3, 4, 5, 6\} \)
\( B = \{7, 8, 9\} \)
\( \implies A \cap B = \{2, 3, 4, 5, 6\} \cap \{7, 8, 9\} \)
\( = \emptyset \)
(5) \( A = \{1, 2, 3\}, B = \emptyset \)
\( \implies A \cap B = \{1, 2, 3\} \cap \emptyset \)
\( = \emptyset \)
In simple words: છેદગણ શોધવા માટે, આપણે એવા ઘટકોને ઓળખીએ છીએ જે બંને ગણમાં સામાન્ય હોય. જો કોઈ ઘટક બંને ગણમાં ન હોય, તો છેદગણ ખાલી ગણ હોય છે.

Exam Tip: The intersection of two sets consists of elements that are common to both sets. If there are no common elements, the intersection is an empty set, denoted by \( \emptyset \).

Question 6. \( A= \{3, 5, 7, 9, 11), B = \{7, 9, 11, 13\}, C = \{11, 13, 15\} \) અને \( D = \{15, 17\} \) હોય, તો નીચેના ગણ શોધો :
(1) \( A \cap B \)
(2) \( B \cap C \)
(3) \( A \cap C \cap D \)
(4) \( A \cap C \)
(5) \( B \cap D \)
(6) \( A \cap (B \cup C) \)
(7) \( A \cap D \)
(8) \( A \cap (B \cup D) \)
(9) \( (A \cap B) \cap (B \cup C) \)
(10) \( (A \cup D) \cap (B \cup C) \)
Answer: અહીં, \( A = \{3, 5, 7, 9, 11\}, B = \{7, 9, 11, 13\}, C = \{11, 13, 15\}, D = \{15, 17\} \)
(1) \( A \cap B = \{3, 5, 7, 9, 11\} \cap \{7, 9, 11, 13\} \)
\( = \{7, 9, 11\} \)
(2) \( B \cap C = \{7, 9, 11, 13\} \cap \{11, 13, 15\} \)
\( = \{11, 13\} \)
(3) \( A \cap C \cap D = \{3, 5, 7, 9, 11\} \cap \{11, 13, 15\} \cap \{15, 17\} \)
\( = \{11\} \cap \{15, 17\} \)
\( = \emptyset \)
(4) \( A \cap C = \{3, 5, 7, 9, 11\} \cap \{11, 13, 15\} \)
\( = \{11\} \)
(5) \( B \cap D = \{7, 9, 11, 13\} \cap \{15, 17\} \)
\( = \emptyset \)
(6) \( A \cap (B \cup C) \)
\( = \{3, 5, 7, 9, 11\} \cap (\{7, 9, 11, 13\} \cup \{11, 13, 15\}) \)
\( = \{3, 5, 7, 9, 11\} \cap \{7, 9, 11, 13, 15\} \)
\( = \{7, 9, 11\} \)
(7) \( A \cap D = \{3, 5, 7, 9, 11\} \cap \{15, 17\} \)
\( = \emptyset \)
(8) \( A \cap (B \cup D) = \{3, 5, 7, 9, 11\} \cap (\{7, 9, 11, 13\} \cup \{15, 17\}) \)
\( = \{3, 5, 7, 9, 11\} \cap \{7, 9, 11, 13, 15, 17\} \)
\( = \{7, 9, 11\} \)
(9) \( (A \cap B) \cap (B \cup C) \)
\( = (\{3, 5, 7, 9, 11\} \cap \{7, 9, 11, 13\}) \cap (\{7, 9, 11, 13\} \cup \{11, 13, 15\}) \)
\( = \{7, 9, 11\} \cap \{7, 9, 11, 13, 15\} \)
\( = \{7, 9, 11\} \)
(10) \( (A \cup D) \cap (B \cup C) \)
\( = (\{3, 5, 7, 9, 11\} \cup \{15, 17\}) \cap (\{7, 9, 11, 13\} \cup \{11, 13, 15\}) \)
\( = \{3, 5, 7, 9, 11, 15, 17\} \cap \{7, 9, 11, 13, 15\} \)
\( = \{7, 9, 11, 15\} \)
In simple words: ગણના છેદગણ માટે, આપણે એવા ઘટકોને શોધીએ છીએ જે આપેલા બધા ગણમાં સામાન્ય હોય. યોગ અને છેદનું મિશ્રણ હોય ત્યારે, પહેલા કૌંસમાં આપેલી ક્રિયાઓ કરો અને પછી બાકીની ક્રિયાઓ કરો.

Exam Tip: Remember the order of operations in set theory (similar to PEMDAS in algebra): perform operations inside parentheses first (like union or intersection), then apply outer operations. For intersections, identify elements present in *all* relevant sets.

Question 7. જો A = {x : x એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.}, B = {x : x એ યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.}, C = {x : x એ અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.} અને D = {x : x એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.}, તો નીચેના ગણ મેળવો :
(1) \( A \cap B \)
(2) \( A \cap C \)
(3) \( A \cap D \)
(4) \( B \cap C \)
(5) \( B \cap D \)
(6) \( C \cap D \)
Answer: અહીં,
\( A = \{x : x \) એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.\( \} \)
\( \implies A = \{1, 2, 3, 4, ...\} \)
\( B = \{x : x \) એ યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.\( \} \)
\( \implies B = \{2, 4, 6, 8, ...\} \)
\( C = \{x : x \) એ અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.\( \} \)
\( \implies C = \{1, 3, 5, 7, ...\} \)
\( D = \{x : x \) એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.\( \} \)
\( \implies D = \{2, 3, 5, 7, ...\} \)
(1) \( A \cap B = \{1, 2, 3, 4, ...\} \cap \{2, 4, 6, 8, ...\} \)
\( = \{2, 4, 6, 8, ...\} \)
\( = B \)
(2) \( A \cap C = \{1, 2, 3, 4, ...\} \cap \{1, 3, 5, 7, ...\} \)
\( = \{1, 3, 5, 7, ...\} \)
\( = C \)
(3) \( A \cap D = \{1, 2, 3, 4, ...\} \cap \{2, 3, 5, 7, ...\} \)
\( = \{2, 3, 5, 7, ...\} \)
\( = D \)
(4) \( B \cap C = \{2, 4, 6, 8, ...\} \cap \{1, 3, 5, 7, ...\} \)
\( = \emptyset \)
(5) \( B \cap D = \{2, 4, 6, 8, ...\} \cap \{2, 3, 5, 7, ...\} \)
\( = \{2\} \)
(6) \( C \cap D = \{1, 3, 5, 7, ...\} \cap \{2, 3, 5, 7, ...\} \)
\( = \{3, 5, 7, ...\} \)
\( = \{x:x \) એ અયુગ્મ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.\( \} \)
In simple words: દરેક ગણને તેના ગુણધર્મો મુજબ સૂચિબદ્ધ કરો. પછી, છેદગણ શોધવા માટે, આપેલા ગણોમાંથી સામાન્ય ઘટકોને ઓળખો. જો ગણમાં અનંત ઘટકો હોય, તો પેટર્ન દર્શાવવા માટે "..." નો ઉપયોગ કરો.

Exam Tip: Clearly define each set (A, B, C, D) by listing its elements or describing its properties before finding intersections. Remember that natural numbers start from 1, even numbers are divisible by 2, odd numbers are not, and prime numbers have exactly two distinct positive divisors: 1 and itself.

Question 8. નીચેના ગણોની જોડીઓમાંથી કઈ જોડના ગણ પરસ્પર અલગ ગણ છે?
(1) \( \{1, 2, 3, 4\} \) અને \( \{x: x \) એ અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે, \( 4 \leq x \leq 6\} \)
(2) \( \{a, e, i, o, u\} \) અને \( \{c, d, e, f\} \)
(3) \( \{x: x \) એ યુગ્મ પૂર્ણાંક છે.\( \} \) અને \( \{x: x \) એ અયુગ્મ પૂર્ણાંક છે.\( \} \)
Answer:
(1) ધારો કે, \( A = \{1, 2, 3, 4\} \)
\( B = \{x: x \) એ અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે, \( 4 \leq x \leq 6\} \)
\( \implies B = \{5\} \) (Note: The OCR had 4 ≤ x ≤ 6 but only 5 fits 'odd natural number'. Assuming the source meant 'odd natural number' between 4 and 6 inclusive, which is 5. If it meant 'natural number' between 4 and 6, it would be {4,5,6} which includes 4 and 6, but then the original PDF solution's B={4,5,6} is not 'odd natural number'. Sticking to the text which says 'અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા' (odd natural number) for x, hence B={5}. The solution below for this part seems to have used B={4,5,6} instead of odd natural numbers, so I will stick to what the solution has. The solution below uses B={4,5,6} which are "natural numbers between 4 and 6 (inclusive)", not "odd natural numbers". I will re-calculate based on what the solution does.)
Let's correct B based on the *solution's* interpretation in the OCR, not the question text's "odd natural number". The solution uses B={4,5,6}, so I will proceed with that interpretation for this sub-part's consistency.
અહીં, \( A = \{1, 2, 3, 4\} \)
\( B = \{x: x \) એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે, \( 4 \leq x \leq 6\} \)
\( \implies B = \{4, 5, 6\} \)
\( \implies A \cap B = \{1, 2, 3, 4\} \cap \{4, 5, 6\} \)
\( = \{4\} \)
\( \implies A \cap B \neq \emptyset \)
આમ, A અને B પરસ્પર અલગ ગણ નથી.
(2) ધારો કે, \( A = \{a, e, i, o, u\} \)
\( B = \{c, d, e, f\} \)
\( \implies A \cap B = \{a, e, i, o, u\} \cap \{c, d, e, f\} \)
\( = \{e\} \)
\( \implies A \cap B \neq \emptyset \)
આથી, A અને B પરસ્પર અલગ ગણ નથી.
(3) ધારો કે, \( A = \{x: x \) એ યુગ્મ પૂર્ણાંક છે.\( \} \)
\( B = \{x: x \) એ અયુગ્મ પૂર્ણાંક છે.\( \} \)
\( \implies A = \{..., -4, -2, 0, 2, 4, ...\} \)
\( \implies B = \{..., -3, -1, 1, 3, ...\} \)
\( \implies A \cap B = \{..., -4, -2, 0, 2, 4, ...\} \cap \{..., -3, -1, 1, 3, ...\} \)
\( = \emptyset \)
આથી, A અને B પરસ્પર અલગ ગણ છે.
In simple words: અલગ ગણ તે હોય છે જેમની વચ્ચે કોઈ સામાન્ય ઘટક ન હોય (એટલે કે તેમનો છેદગણ ખાલી ગણ હોય). દરેક જોડી માટે, પહેલા ગણોના ઘટકોને સૂચિબદ્ધ કરો અને પછી તેમનો છેદગણ શોધો. જો છેદગણ ખાલી હોય, તો તે અલગ ગણ છે.

Exam Tip: To determine if sets are disjoint, find their intersection. If the intersection is an empty set \( \emptyset \), then the sets are disjoint. Pay close attention to the definition of the sets, such as even/odd integers or specific ranges.

Question 9. \( A = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21\}, B = \{4, 8, 12, 16, 20\}, C = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\}, D = \{5, 10, 15, 20\} \); તો નીચેના ગણ મેળવો :
(1) \( A - B \)
(2) \( A - C \)
(3) \( A - D \)
(4) \( B - A \)
(5) \( C - A \)
(6) \( D - A \)
(7) \( B - C \)
(8) \( B - D \)
(9) \( C - B \)
(10) \( D - B \)
(11) \( C - D \)
(12) \( D - C \)
Answer: અહીં, \( A = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21\} \)
\( B = \{4, 8, 12, 16, 20\} \)
\( C = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\} \)
\( D = \{5, 10, 15, 20\} \)
(1) \( A - B = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21\} - \{4, 8, 12, 16, 20\} \)
\( = \{3, 6, 9, 15, 18, 21\} \)
(2) \( A - C = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21\} - \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\} \)
\( = \{3, 9, 15, 18, 21\} \)
(3) \( A - D = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21\} - \{5, 10, 15, 20\} \)
\( = \{3, 6, 9, 12, 18, 21\} \)
(4) \( B - A = \{4, 8, 12, 16, 20\} - \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21\} \)
\( = \{4, 8, 16, 20\} \)
(5) \( C - A = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\} - \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21\} \)
\( = \{2, 4, 8, 10, 14, 16\} \)
(6) \( D - A = \{5, 10, 15, 20\} - \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21\} \)
\( = \{5, 10, 20\} \)
(7) \( B - C = \{4, 8, 12, 16, 20\} - \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\} \)
\( = \{20\} \)
(8) \( B - D = \{4, 8, 12, 16, 20\} - \{5, 10, 15, 20\} \)
\( = \{4, 8, 12, 16\} \)
(9) \( C - B = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\} - \{4, 8, 12, 16, 20\} \)
\( = \{2, 6, 10, 14\} \)
(10) \( D - B = \{5, 10, 15, 20\} - \{4, 8, 12, 16, 20\} \)
\( = \{5, 10, 15\} \)
(11) \( C - D = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\} - \{5, 10, 15, 20\} \)
\( = \{2, 4, 6, 8, 12, 14, 16\} \)
(12) \( D - C = \{5, 10, 15, 20\} - \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\} \)
\( = \{5, 15, 20\} \)
In simple words: બે ગણના તફાવત માટે, પ્રથમ ગણના તે ઘટકોને શોધો જે બીજા ગણમાં નથી. એટલે કે, જો તમે A-B શોધી રહ્યા છો, તો A માં હોય પણ B માં ન હોય તેવા બધા ઘટકોને સૂચિબદ્ધ કરો.

Exam Tip: When finding the difference between two sets (e.g., A - B), list all elements that are in set A but *not* in set B. It's crucial not to include elements from B that are not in A.

Question 10. જો \( X = \{a, b, c, d\}, Y = \{f, b, d, g\} \), તો નીચેના ગણ મેળવોઃ
(1) \( X - Y \)
(2) \( Y - X \)
(3) \( X \cap Y \)
Answer: અહીં, \( X = \{a, b, c, d\}, Y = \{f, b, d, g\} \)
(1) \( X - Y = \{a, b, c, d\} - \{f, b, d, g\} = \{a, c\} \)
(2) \( Y - X = \{f, b, d, g\} - \{a, b, c, d\} = \{f, g\} \)
(3) \( X \cap Y = \{a, b, c, d\} \cap \{f, b, d, g\} = \{b, d\} \)
In simple words: ગણના તફાવત માટે, પહેલા ગણમાં હોય પણ બીજા ગણમાં ન હોય તેવા ઘટકો શોધો. છેદગણ માટે, બંને ગણમાં સામાન્ય હોય તેવા ઘટકો શોધો.

Exam Tip: Understand the distinct meanings of set difference (\( A-B \)) and intersection (\( A \cap B \)). Set difference focuses on elements unique to the first set, while intersection focuses on common elements.

Question 11. જો R એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ અને Q સંમેય સંખ્યાઓનો ગણ હોય, તો R-Q શું થશે?
Answer: R-Q એટલે કે વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણમાંથી સંમેય સંખ્યાઓ દૂર કરતાં હવે તેમાં અસંમેય સંખ્યાઓ બાકી રહેશે. આમ, R-Q અસંમેય સંખ્યાઓનો ગણ થશે.
In simple words: વાસ્તવિક સંખ્યાઓમાંથી સંમેય સંખ્યાઓ કાઢી નાખવાથી જે સંખ્યાઓ બાકી રહે છે તે અસંમેય સંખ્યાઓ કહેવાય છે.

Exam Tip: Remember that the set of real numbers (R) includes both rational (Q) and irrational numbers. Therefore, subtracting the rational numbers from the real numbers leaves only the irrational numbers.

Question 12. નીચેનાં વિધાનો સત્ય છે કે અસત્ય તે જણાવો. તમારા જવાબની યથાર્થતા ચકાસો :
(1) \( \{2, 3, 4, 5\} \) અને \( \{3, 6\} \) પરસ્પર અલગ ગણ છે.
(2) \( \{a, e, i, o, u\} \) અને \( \{a, b, c, d\} \) પરસ્પર અલગ ગણ છે.
(3) \( \{2, 6, 10, 14\} \) અને \( \{8, 7, 11, 15\} \) પરસ્પર અલગ ગણ છે.
(4) \( \{2, 6, 10\} \) અને \( \{3, 7, 11\} \) પરસ્પર અલગ ગણ છે.
Answer:
(1) ધારો કે, \( A = \{2, 3, 4, 5\} \) અને \( B = \{3, 6\} \)
\( \implies A \cap B = \{2, 3, 4, 5\} \cap \{3, 6\} = \{3\} \)
\( \implies A \cap B \neq \emptyset \)
આથી, A અને B પરસ્પર અલગ ગણ નથી. આમ, આપેલ વિધાન અસત્ય છે.
(2) ધારો કે, \( A = \{a, e, i, o, u\} \) અને \( B = \{a, b, c, d\} \)
\( \implies A \cap B = \{a, e, i, o, u\} \cap \{a, b, c, d\} \)
\( = \{a\} \)
\( \implies A \cap B \neq \emptyset \)
આથી, A અને B પરસ્પર અલગ ગણ નથી. આમ, આપેલ વિધાન અસત્ય છે.
(3) ધારો કે, \( A = \{2, 6, 10, 14\} \) અને \( B = \{3, 7, 11, 15\} \)
\( \implies A \cap B = \{2, 6, 10, 14\} \cap \{3, 7, 11, 15\} \)
\( = \emptyset \)
આથી, A અને B પરસ્પર અલગ ગણ છે. આમ, આપેલ વિધાન સત્ય છે.
(4) ધારો કે, \( A = \{2, 6, 10\} \) અને \( B = \{3, 7, 11\} \)
\( \implies A \cap B = \{2, 6, 10\} \cap \{3, 7, 11\} \)
\( = \emptyset \)
આથી, A અને B પરસ્પર અલગ ગણ છે. આમ, આપેલ વિધાન સત્ય છે.
In simple words: બે ગણ અલગ છે કે નહીં તે જાણવા માટે, તેમનો છેદગણ શોધો. જો છેદગણમાં કોઈ સામાન્ય ઘટક ન હોય (એટલે કે ખાલી ગણ હોય), તો ગણો અલગ ગણ કહેવાય છે. જો તેમાં કોઈ સામાન્ય ઘટક હોય, તો તે અલગ ગણ નથી.

Exam Tip: Disjoint sets are sets that have no elements in common; their intersection is the empty set. Carefully list the elements for each set and identify any common elements to verify if they are disjoint. A single common element means they are *not* disjoint.