GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 1 ગણ Exercise 1.3

Question 1. નીચેનાં વિધાનો સત્ય બને તે રીતે \( \subset \) અથવા \( \not\subset \) પૂરોઃ
(i) \( \{2, 3, 4\} \)............ \( \{1, 2, 3, 4, 5\} \)
(ii) \( \{a, b, c\} \)............ \( \{b, c, d\} \)
(iii) \( \{x:x \) એ તમારી શાળાનો ધોરણ XIનો વિદ્યાર્થી છે.\} ............ \( \{x: x \) એ તમારી શાળાનો વિદ્યાર્થી છે.\}
(iv) \( \{x: \) એ સમતલમાં વર્તુળ છે.} ............ \( \{x: x \) એ આ જ સમતલનું 1 એકમ ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ છે.\}
(v) \( \{x: \) ૮ એ સમતલમાં ત્રિકોણ છે.\} ............ \( \{x: x \) એ સમતલમાં લંબચોરસ છે.\}
(vi) \( \{x: x \) એ સમતલમાં સમબાજુ ત્રિકોણ છે.\} ............ \( \{x: x \) એ આ જ સમતલનો ત્રિકોણ છે.\}
(vii) \( \{x:x \) એ યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.\} ............ \( \{x: x \) એ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે.\}
Answer:
(i) ધારો કે, \( A = \{2, 3, 4\} \), \( B = \{1, 2, 3, 4, 5\} \). અહીં, ગણ Aના બધા સભ્યો ગણ Bના પણ સભ્યો છે. તેથી, \( A \subset B \).
(ii) ધારો કે, \( A = \{a, b, c\} \), \( B = \{b, c, d\} \). અહીં, \( a \in A \) પરંતુ \( a \not\in B \). તેથી, \( A \not\subset B \).
(iii) ધારો કે, \( A = \{x:x \) એ તમારી શાળાનો ધોરણ XIનો વિદ્યાર્થી છે.\} અને \( B = \{x: x \) એ તમારી શાળાનો વિદ્યાર્થી છે.\}. અહીં, ગણ Aનો દરેક સભ્ય ગણ Bનો પણ સભ્ય છે. તેથી, \( A \subset B \).
(iv) ધારો કે, \( A = \{x: x \) એ સમતલમાં વર્તુળ છે.\} અને \( B = \{x: x \) એ આ જ સમતલનું 1 એકમ ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ છે.\}. અહીં, '2 ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ' ગણ Aનો સભ્ય છે, પરંતુ તે ગણ Bનો સભ્ય નથી. તેથી, \( A \not\subset B \).
(v) ધારો કે, \( A = \{x: x \) એ સમતલમાં ત્રિકોણ છે.\} અને \( B = \{x: x \) એ સમતલમાં લંબચોરસ છે.\}. અહીં, સમતલનો ત્રિકોણ એ સમતલનો લંબચોરસ ન હોઈ શકે. આમ, ગણ Aના સભ્યો એ ગણ Bના સભ્યો નથી. તેથી, \( A \not\subset B \).
(vi) ધારો કે, \( A = \{x: x \) એ સમતલમાં સમબાજુ ત્રિકોણ છે.\} અને \( B = \{x: x \) એ આ જ સમતલનો ત્રિકોણ છે.\}. સમતલનો દરેક સમબાજુ ત્રિકોણ એ એ જ સમતલનો ત્રિકોણ હોય જ. આથી, ગણ Aના બધા જ સભ્યો ગણ Bના પણ સભ્યો છે. તેથી, \( A \subset B \).
(vii) ધારો કે, \( A = \{x: x \) એ યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.\} અને \( B = \{x: x \) એ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે.\}. દરેક યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા એ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે જ. આમ, ગણ Aનો દરેક ઘટક ગણ Bનો પણ ઘટક છે. તેથી, \( A \subset B \).
In simple words: પ્રત્યેક જોડ માટે, નક્કી કરો કે પ્રથમ ગણ બીજા ગણનો ઉપગણ છે કે નહીં. જો પ્રથમ ગણના બધા ઘટકો બીજા ગણમાં હોય, તો તે ઉપગણ છે (સત્ય). જો ઓછામાં ઓછો એક ઘટક બીજા ગણમાં ન હોય, તો તે ઉપગણ નથી (અસત્ય).

Exam Tip: ઉપગણ નક્કી કરતી વખતે, ગણની વ્યાખ્યા અને તેના ઘટકોને ધ્યાનથી તપાસો. સેટ-બિલ્ડર ફોર્મમાં આપેલ ગણને પહેલા સૂચિ ફોર્મમાં લખવાનો પ્રયાસ કરો.

Question 2. નીચેનાં વિધાનો સત્ય છે કે અસત્ય તેની ચકાસણી કરી ઃ
(i) \( \{a, b\} \not\subset \{b, c, a\} \)
(ii) \( \{a, e\} \subset \{x:x \) એ અંગ્રેજી મૂળાક્ષરો પૈકીનો એક સ્વર છે.\}
(iii) \( \{1, 2, 3\} \subset \{1, 3, 5\} \)
(iv) \( \{a\} \subset \{a, b, c\} \)
(v) \( \{a\} \in \{a, b, c\} \)
(vi) \( \{x:x \) એ 6 કરતાં નાની યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.\} \( \subset \{x: x \) એ 36નો અવયવ હોય તેવી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.\}
Answer:
(i) ધારો કે, \( A = \{a, b\} \) અને \( B = \{b, c, a\} \). ગણ Aના દરેક સભ્ય ગણ Bના પણ સભ્યો છે. તેથી, \( A \subset B \). આમ, આપેલ વિધાન અસત્ય છે.
(ii) ધારો કે, \( A = \{a, e\} \) અને \( B = \{x: x \) એ અંગ્રેજી મૂળાક્ષરો પૈકી એક સ્વર છે.\}. અહીં, \( A = \{a, e\} \) અને \( B = \{a, e, i, o, u\} \). ગણ Aના દરેક સભ્ય ગણ Bના પણ સભ્ય છે. તેથી, \( A \subset B \). આમ, આપેલ વિધાન સત્ય છે.
(iii) ધારો કે, \( A = \{1, 2, 3\} \) અને \( B = \{1, 3, 5\} \). અહીં, \( 2 \in A \) પરંતુ \( 2 \not\in B \). તેથી, \( A \not\subset B \). આમ, આપેલ વિધાન અસત્ય છે.
(iv) ધારો કે, \( A = \{a\} \) અને \( B = \{a, b, c\} \). અહીં, ગણ Aમાં એક જ સભ્ય છે અને તે ગણ Bનો પણ સભ્ય છે. તેથી, \( A \subset B \). આમ, આપેલ વિધાન સત્ય છે.
(v) ધારો કે, \( A = \{a\} \) અને \( B = \{a, b, c\} \). અહીં, \( \{a\} \) એ એક ગણ છે, જ્યારે \( a \) એ \( \{a, b, c\} \) નો ઘટક છે. \( \{a\} \) એ \( \{a, b, c\} \) નો સભ્ય નથી, પરંતુ \( \{a\} \subset \{a, b, c\} \) છે. આમ, આપેલ વિધાન અસત્ય છે.
(vi) ધારો કે, \( A = \{x: x \) એ 6 કરતાં નાની યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.\} અને \( B = \{x: x \) એ 36નો અવયવ હોય તેવી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.\}. તેથી, \( A = \{2, 4\} \) અને \( B = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\} \). અહીં, ગણ Aના બધા જ સભ્યો ગણ Bના પણ સભ્યો છે. તેથી, \( A \subset B \). આમ, આપેલ વિધાન સત્ય છે.
In simple words: દરેક વિધાન વાંચો અને નક્કી કરો કે તે સાચું છે કે ખોટું. જો બધા ઘટકો યોગ્ય રીતે સમાવિષ્ટ હોય અથવા યોગ્ય રીતે સભ્ય હોય, તો તે સાચું છે. નહીંતર, તે ખોટું છે.

Exam Tip: ઉપગણ (\( \subset \)) અને સભ્ય (\( \in \)) વચ્ચેનો તફાવત બરાબર સમજો. એક ગણ બીજા ગણનો ઉપગણ ત્યારે જ હોય જ્યારે તેના બધા ઘટકો બીજા ગણમાં હોય. એક ગણ બીજા ગણનો સભ્ય ત્યારે જ હોય જ્યારે તે ગણ પોતે બીજા ગણના ઘટક તરીકે સૂચિબદ્ધ હોય.

Question 3. \( A = \{1, 2, \{3, 4\}, 5\} \) છે. નીચેનાં વિધાનો પૈકી કયાં વિધાનો અસત્ય છે અને શા માટે?
(i) \( \{3, 4\} \subset A \)
(ii) \( \{3, 4\} \in A \)
(iii) \( \{\{3, 4\}\} \subset A \)
(iv) \( 1 \in A \)
(v) \( 1 \subset A \)
(vi) \( \{1, 2, 5\} \subset A \)
(vii) \( \{1, 2, 5\} \in A \)
(viii) \( \{1, 2, 3\} \subset A \)
(ix) \( \Phi \in A \)
(x) \( \Phi \subset A \)
(xi) \( \{\Phi\} \subset A \)
Answer:
(i) આ વિધાન અસત્ય છે, કારણ કે \( \{3, 4\} \in A \) છે. ગણ Aમાં ચાર જ સભ્યો છે: \( 1, 2, \{3, 4\} \) અને \( 5 \).
(ii) આ વિધાન સત્ય છે, કારણ કે \( \{3, 4\} \) એ ગણ Aનો સભ્ય છે.
(iii) આ વિધાન સત્ય છે, કારણ કે \( \{3, 4\} \in A \) છે. તેથી, \( \{\{3, 4\}\} \subset A \) થાય.
(iv) આ વિધાન સત્ય છે, કારણ કે \( 1 \) એ ગણ Aનો સભ્ય છે.
(v) આ વિધાન અસત્ય છે, કારણ કે \( 1 \) એ ગણ Aનો સભ્ય છે, ઉપગણ નહીં. \( 1 \in A \) છે.
(vi) આ વિધાન સત્ય છે, કારણ કે \( 1, 2, 5 \) ગણ Aનાં સભ્યો છે. તેથી, \( \{1, 2, 5\} \) ગણ Aનો ઉપગણ થાય.
(vii) આ વિધાન અસત્ય છે, કારણ કે \( \{1, 2, 5\} \subset A \) છે, સભ્ય નથી.
(viii) આ વિધાન અસત્ય છે, કારણ કે \( 1 \in A \), \( 2 \in A \) પરંતુ \( 3 \not\in A \) છે. તેથી, \( \{1, 2, 3\} \not\subset A \) થાય.
(ix) આ વિધાન અસત્ય છે. ખાલી ગણ એ દરેક ગણનો ઉપગણ હોય છે, સભ્ય નહીં. તેથી, \( \Phi \subset A \) થાય.
(x) આ વિધાન સત્ય છે, કારણ કે ખાલી ગણ એ દરેક ગણનો ઉપગણ હોય છે.
(xi) આ વિધાન અસત્ય છે, કારણ કે \( \Phi \) એ ગણ Aનો સભ્ય નથી. તેથી, \( \{\Phi\} \not\subset A \) થાય.
In simple words: ગણ Aના ઘટકોને કાળજીપૂર્વક જુઓ. જો ઘટક ગણમાં હોય, તો \( \in \) સાચું છે. જો એક ગણના બધા ઘટકો બીજા ગણમાં હોય, તો \( \subset \) સાચું છે. જો કોઈ ગણ તેના ઘટકોને બદલે પોતે બીજા ગણના ઘટક તરીકે હોય, તો તે \( \in \) હોય.

Exam Tip: ગણના ઘટકો જ્યારે બીજા ગણ હોય ત્યારે ખાસ ધ્યાન રાખો. જેમ કે, \( \{3, 4\} \) એ Aનો એક ઘટક છે, જ્યારે \( 3 \) અને \( 4 \) Aના ઘટકો નથી.

Question 4. નીચે આપેલા ગણના તમામ ઉપગણો લખો :
(i) \( \{a\} \)
(ii) \( \{a, b\} \)
(iii) \( \{1, 2, 3\} \)
(iv) \( \Phi \)
Answer:
(i) ધારો કે, \( A = \{a\} \). અહીં, ગણ Aમાં એક જ સભ્ય છે. તેથી, ગણ Aના ઉપગણોની સંખ્યા \( = 2^1 = 2 \). Aના ઉપગણો \( \Phi \) અને \( \{a\} \) થશે.
(ii) ધારો કે, \( B = \{a, b\} \). અહીં, ગણ Bમાં સભ્યોની સંખ્યા બે છે. તેથી, ગણ Bના ઉપગણોની સંખ્યા \( = 2^2 = 4 \). Bના ઉપગણો \( \Phi, \{a\}, \{b\}, \{a, b\} \) થશે.
(iii) ધારો કે, \( C = \{1, 2, 3\} \). અહીં, ગણ Cમાં સભ્યોની સંખ્યા ત્રણ છે. તેથી, ગણ Cના ઉપગણોની સંખ્યા \( = 2^3 = 8 \). Cના ઉપગણો \( \Phi, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\} \) છે.
(iv) ધારો કે, ગણ P એ \( \Phi \) છે. \( \Phi \) માં કોઈ સભ્યો નથી. તેથી, \( P(\Phi) \) ને એક જ ઉપગણ છે અને તે \( \Phi \) છે.
In simple words: ગણના બધા ઉપગણો શોધવા માટે, યાદ રાખો કે ખાલી ગણ હંમેશા ઉપગણ હોય છે, અને ગણ પોતે પણ પોતાનો ઉપગણ હોય છે. બાકીના ઉપગણો ગણના ઘટકોના વિવિધ સંયોજનોમાંથી બને છે.

Exam Tip: \( n \) ઘટકો ધરાવતા ગણના ઉપગણોની સંખ્યા \( 2^n \) હોય છે. ખાલી ગણ (\( \Phi \)) હંમેશા દરેક ગણનો ઉપગણ હોય છે, અને ગણ પોતે પણ પોતાનો ઉપગણ હોય છે.

Question 5. જો \( A = \Phi \) હોય, તો \( P (A) \) ને કેટલા ઘટકો હશે?
Answer: અહીં, \( A = \Phi \) આથી ગણ Aમાં સભ્યોની સંખ્યા \( = 0 \). તેથી, \( P (A) \) ના ઘટકોની સંખ્યા \( = 2^0 = 1 \).
In simple words: જ્યારે કોઈ ગણમાં કોઈ ઘટક ન હોય, ત્યારે તેના પાવર સેટમાં ફક્ત એક જ ઘટક હોય છે, જે ખાલી ગણ પોતે હોય છે.

Exam Tip: પાવર સેટ \( P(A) \) એ ગણ Aના તમામ ઉપગણોનો ગણ છે. જો ગણ Aમાં \( n \) ઘટકો હોય, તો \( P(A) \) માં \( 2^n \) ઘટકો હોય છે. ખાલી ગણમાં \( 0 \) ઘટકો હોવાથી, \( P(\Phi) \) માં \( 2^0 = 1 \) ઘટક હોય છે.

Question 6. નીચેનાને અંતરાલ સ્વરૂપે લખો :
(i) \( \{x: x \in R, -4 < x \leq 6\} \)
(ii) \( \{x: x \in R, -12 < x < -10\} \)
(iii) \( \{x: x \in R, 0 \leq x < 7\} \)
(iv) \( \{x: x \in R, 3 \leq x \leq 4\} \)
Answer:
(i) \( \{x: x \in R, -4 < x \leq 6\} = (-4, 6] \)
(ii) \( \{x: x \in R, -12 < x < -10\} = (-12, -10) \)
(iii) \( \{x: x \in R, 0 \leq x < 7\} = [0, 7) \)
(iv) \( \{x: x \in R, 3 \leq x \leq 4\} = [3, 4] \)
In simple words: સંખ્યાઓનો સમૂહ જે \( R \) માં છે અને ચોક્કસ મર્યાદાઓ વચ્ચે છે તેને અંતરાલ તરીકે લખી શકાય છે.

Exam Tip: ધ્યાન રાખો કે 'ઓછું' (<) અને 'વધુ' (>) માટે ગોળ કૌંસ () નો ઉપયોગ થાય છે, જ્યારે 'ઓછું અથવા બરાબર' (\( \leq \)) અને 'વધુ અથવા બરાબર' (\( \geq \)) માટે ચોરસ કૌંસ [] નો ઉપયોગ થાય છે.

Question 7. નીચે આપેલા અંતરાલોને ગુણધર્મની રીતે લખો :
(i) \( (-3, 0) \)
(ii) \( [6, 12] \)
(iii) \( (6, 12] \)
(iv) \( [-23, 5) \)
Answer:
(i) \( (-3, 0) = \{x: x \in R, -3 < x < 0\} \)
(ii) \( [6, 12] = \{x: x \in R, 6 \leq x \leq 12\} \)
(iii) \( (6, 12] = \{x: x \in R, 6 < x \leq 12\} \)
(iv) \( [-23, 5) = \{x: x \in R, -23 \leq x < 5\} \)
In simple words: અંતરાલને સમૂહ નિર્માતા સ્વરૂપમાં બદલવા માટે, ચલ \( x \) ને વાસ્તવિક સંખ્યા ગણીને તેની મર્યાદાઓને દર્શાવો.

Exam Tip: ગોળ કૌંસ () નો અર્થ છે કે અંતિમ બિંદુઓનો સમાવેશ થતો નથી (< અથવા >), જ્યારે ચોરસ કૌંસ [] નો અર્થ છે કે અંતિમ બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે (\( \leq \) અથવા \( \geq \)).

Question 8. નીચેનાં વિધાનો માટે તમે કયા ગણને સાર્વત્રિક ગણ તરીકે પસંદ કરશો?
(i) કાટકોણ ત્રિકોણોનો ગણ
(ii) સમઢિભુજ ત્રિકોણોનો ગણ
Answer:
(i) કાટકોણ ત્રિકોણ એ ત્રિકોણનો એક પ્રકાર છે. આથી, સમતલના બધા ત્રિકોણોના ગણને સાર્વત્રિક ગણ તરીકે લઈ શકાય. આમ, \( U = \{x:x \) એ સમતલના ત્રિકોણો છે.\}.
(ii) સમદ્વિભુજ ત્રિકોણ એ ત્રિકોણનો એક પ્રકાર છે. આથી, સમતલના બધા ત્રિકોણોના ગણને સાર્વત્રિક ગણ તરીકે લઈ શકાય. આમ, \( U = \{x:x \) એ સમતલના ત્રિકોણો છે.\}.
In simple words: કાટકોણ ત્રિકોણો અને સમદ્વિભુજ ત્રિકોણો બંને ત્રિકોણના પ્રકારો છે. તેથી, આ બધા ત્રિકોણોને સમાવી શકે તેવો સાર્વત્રિક ગણ 'સમતલના બધા ત્રિકોણોનો ગણ' છે.

Exam Tip: સાર્વત્રિક ગણ (U) એ એક એવો ગણ છે જે આપેલા તમામ ગણોના દરેક ઘટકને સમાવી લે છે. તેને આપેલા સંદર્ભમાં સૌથી મોટો ગણ ગણી શકાય છે.

Question 9. \( A = \{1, 3, 5\}, B = \{2, 4, 6\}, C = \{0, 2, 4, 6, 8\} \) આપેલ ગણ છે. આ ત્રણ ગણ A, B અને C માટે નીચેનામાંથી કયા ગણને સાર્વત્રિક ગણ તરીકે લઈ શકાય :
(i) \( \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
(ii) \( \Phi \)
(iii) \( \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \)
(iv) \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \)
Answer:
(i) \( \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) ને સાર્વત્રિક ગણ તરીકે ન લઈ શકાય, કારણ કે \( 8 \in C \) પરંતુ \( 8 \not\in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} \).
(ii) \( \Phi \) માં કોઈ સભ્ય નથી. આથી, તે ગણ A, B, Cના સાર્વત્રિક ગણ તરીકે ન લઈ શકાય.
(iii) \( \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \) ને સાર્વત્રિક ગણ તરીકે લઈ શકાય, કારણ કે ત્રણેય ગણ A, B, C એ \( \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \) ના ઉપગણો છે.
(iv) \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \) ને સાર્વત્રિક ગણ તરીકે ન લઈ શકાય, કારણ કે \( 0 \in C \) પરંતુ \( 0 \not\in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \).
In simple words: સાર્વત્રિક ગણ એવો હોવો જોઈએ કે જેમાં આપેલા બધા ગણના દરેક ઘટક સમાયેલ હોય. વિકલ્પોમાંથી, ફક્ત એક જ ગણ બધા ઘટકોને સમાવે છે.

Exam Tip: સાર્વત્રિક ગણ પસંદ કરતી વખતે, ખાતરી કરો કે તેમાં આપેલા દરેક ગણના તમામ ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે. જો એક પણ ઘટક ખૂટે, તો તે સાર્વત્રિક ગણ બની શકતો નથી.