GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 8 ત્રિકોણમિતિનો પરિચય Exercise 8.3

Question 1. કિંમત શોધો :
(i) \( \frac { \sin 18^{\circ} }{ \cos 72^{\circ} } \)
(ii) \( \frac { \tan 26^{\circ} }{ \cot 64^{\circ} } \)
(iii) \( \cos 48^{\circ} - \sin 42^{\circ} \)
(iv) \( \operatorname{cosec} 31^{\circ} - \sec 59^{\circ} \)
Answer:
(i) \( \frac { \sin 18^{\circ} }{ \cos 72^{\circ} } \)
આપણે જાણીએ છીએ કે, \( \cos A = \sin (90^{\circ} - A) \)
\( \therefore \cos 72^{\circ} = \sin (90^{\circ} - 72^{\circ}) = \sin 18^{\circ} \)
આથી, \( \frac { \sin 18^{\circ} }{ \cos 72^{\circ} } = \frac { \sin 18^{\circ} }{ \sin 18^{\circ} } = 1 \)
(ii) \( \frac { \tan 26^{\circ} }{ \cot 64^{\circ} } \)
આપણે જાણીએ છીએ કે, \( \cot A = \tan (90^{\circ} - A) \)
\( \therefore \cot 64^{\circ} = \tan (90^{\circ} - 64^{\circ}) = \tan 26^{\circ} \)
આથી, \( \frac { \tan 26^{\circ} }{ \cot 64^{\circ} } = \frac { \tan 26^{\circ} }{ \tan 26^{\circ} } = 1 \)
(iii) \( \cos 48^{\circ} - \sin 42^{\circ} \)
આપણે જાણીએ છીએ કે, \( \cos A = \sin (90^{\circ} - A) \)
\( \therefore \cos 48^{\circ} = \sin (90^{\circ} - 48^{\circ}) = \sin 42^{\circ} \)
આથી, \( \cos 48^{\circ} - \sin 42^{\circ} = \sin 42^{\circ} - \sin 42^{\circ} = 0 \)
(iv) \( \operatorname{cosec} 31^{\circ} - \sec 59^{\circ} \)
આપણે જાણીએ છીએ કે, \( \sec A = \operatorname{cosec} (90^{\circ} - A) \)
\( \therefore \sec 59^{\circ} = \operatorname{cosec} (90^{\circ} - 59^{\circ}) = \operatorname{cosec} 31^{\circ} \)
આથી, \( \operatorname{cosec} 31^{\circ} - \sec 59^{\circ} = \operatorname{cosec} 31^{\circ} - \operatorname{cosec} 31^{\circ} = 0 \)
In simple words: અહીં, આપણને આપેલા ત્રિકોણમિતીય પદોની કિંમત શોધવાની છે. આ કરવા માટે, આપણે પૂરક ખૂણાના ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જ્યાં \( \sin (90^{\circ} - A) = \cos A \) અને \( \tan (90^{\circ} - A) = \cot A \). આ નિયમ વાપરીને, આપણે પદોને એક જ સ્વરૂપમાં ફેરવીએ છીએ અને પછી તેમને સરળ બનાવીએ છીએ.

Exam Tip: પૂરક ખૂણાના ગુણોત્તરના સૂત્રો યાદ રાખવા અને તેમને યોગ્ય રીતે લાગુ કરવાથી આવા દાખલા સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે.

Question 2. સાબિત કરો:
(i) \( \tan 48^{\circ} \tan 23^{\circ} \tan 42^{\circ} \tan 67^{\circ} = 1 \)
(ii) \( \cos 38^{\circ} \cos 52^{\circ} - \sin 38^{\circ} \sin 52^{\circ} = 0 \)
Answer:
(i) \( \tan 48^{\circ} \tan 23^{\circ} \tan 42^{\circ} \tan 67^{\circ} \)
\( = \tan (90^{\circ} - 42^{\circ}) \tan 23^{\circ} \tan 42^{\circ} \tan (90^{\circ} - 23^{\circ}) \)
\( = \cot 42^{\circ} \tan 23^{\circ} \tan 42^{\circ} \cot 23^{\circ} \) [\( \because \tan (90^{\circ} - A) = \cot A \)]
\( = (\tan 23^{\circ} \cot 23^{\circ}) (\cot 42^{\circ} \tan 42^{\circ}) \)
\( = (1) \times (1) \) [\( \because \tan A \cot A = 1 \)]
\( = 1 \)
(ii) \( \cos 38^{\circ} \cos 52^{\circ} - \sin 38^{\circ} \sin 52^{\circ} \)
\( = \cos 38^{\circ} \cos (90^{\circ} - 38^{\circ}) - \sin 38^{\circ} \sin (90^{\circ} - 38^{\circ}) \)
\( = \cos 38^{\circ} \sin 38^{\circ} - \sin 38^{\circ} \cos 38^{\circ} \)
[ \( \because \cos (90^{\circ} - A) = \sin A \) અને \( \sin (90^{\circ} - A) = \cos A \) ]
\( = 0 \)
In simple words: આ દાખલાઓમાં આપણે ડાબી બાજુથી શરૂ કરીને તેને જમણી બાજુ જેટલી સાબિત કરીએ છીએ. આપણે પૂરક ખૂણાના ગુણોત્તરના સૂત્રો વાપરીએ છીએ જેથી બધા પદો સમાન અથવા સંબંધિત બને. પછી આપણે જાણીતા નિત્યસમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને અંતિમ પરિણામ મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: \( \tan (90^{\circ} - A) = \cot A \) અને \( \cos (90^{\circ} - A) = \sin A \) જેવા ગુણોત્તરોનો ઉપયોગ કરીને પદોને એકબીજામાં બદલવાથી ઉકેલ સરળ બને છે.

Question 3. જો 2A એ લઘુકોણનું માપ હોય તથા \( \tan 2A = \cot (A - 18^{\circ}) \) હોય, તો Aની કિંમત શોધો.
Answer:
આપેલ છે: \( \tan 2A = \cot (A - 18^{\circ}) \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \tan \theta = \cot (90^{\circ} - \theta) \).
તેથી, \( \cot (90^{\circ} - 2A) = \cot (A - 18^{\circ}) \)
[કારણ કે \( \cot (90^{\circ} - A) = \tan A \) અને \( 2A \) એ લઘુકોણનું માપ છે.]
હવે, બંને બાજુના ખૂણાઓની સરખામણી કરતા,
\( 90^{\circ} - 2A = A - 18^{\circ} \)
\( 90^{\circ} + 18^{\circ} = A + 2A \)
\( 108^{\circ} = 3A \)
\( \therefore A = \frac { 108^{\circ} }{ 3 } \)
\( \therefore A = 36^{\circ} \)
In simple words: આપણને \( \tan 2A = \cot (A - 18^{\circ}) \) આપેલું છે. આપણે જાણીએ છીએ કે \( \tan \) અને \( \cot \) પૂરક ખૂણાઓ માટે બદલી શકાય છે. આ નિયમ વાપરીને, આપણે બંને બાજુઓને \( \cot \) માં ફેરવીએ છીએ અને પછી ખૂણાઓને સરખાવીને A ની કિંમત શોધીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે \( \tan \) અને \( \cot \) અથવા \( \sin \) અને \( \cos \) જેવા પૂરક ગુણોત્તર સમાન હોય, ત્યારે તેમના ખૂણાઓનો સરવાળો \( 90^{\circ} \) થાય છે, જો ખૂણા લઘુકોણ હોય તો.

Question 4. જો \( \tan A = \cot B \) હોય, તો સાબિત કરો કે \( A + B = 90^{\circ} \).
Answer:
આપેલ છે: \( \tan A = \cot B \)
આપણે જાણીએ છીએ કે, \( \tan \theta = \cot (90^{\circ} - \theta) \)
તેથી, \( \cot (90^{\circ} - A) = \cot B \)
બંને બાજુના ખૂણાઓની સરખામણી કરતા,
\( 90^{\circ} - A = B \)
\( \therefore A + B = 90^{\circ} \)
In simple words: આપણને આપેલું છે કે \( \tan A \) અને \( \cot B \) સમાન છે. આપણે જાણીએ છીએ કે \( \tan \) અને \( \cot \) પૂરક ખૂણા માટે સંબંધિત છે. આ નિયમનો ઉપયોગ કરીને, આપણે \( \tan A \) ને \( \cot (90^{\circ} - A) \) તરીકે ફરીથી લખીએ છીએ. પછી, આપણે ખૂણાઓને સરખાવીએ છીએ, જે \( A + B = 90^{\circ} \) સાબિત કરે છે.

Exam Tip: આ પ્રકારના સાબિતીના દાખલાઓમાં, એક ગુણોત્તરને તેના પૂરક ગુણોત્તરમાં બદલવાથી અને પછી ખૂણાઓને સરખાવવાથી ઉકેલ મળે છે.

Question 5. જો 4A એ લઘુકોણનું માપ હોય તથા \( \sec 4A = \operatorname{cosec} (A - 20^{\circ}) \) હોય, તો Aની કિંમત શોધો.
Answer:
આપેલ છે: \( \sec 4A = \operatorname{cosec} (A - 20^{\circ}) \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \sec \theta = \operatorname{cosec} (90^{\circ} - \theta) \)
તેથી, \( \operatorname{cosec} (90^{\circ} - 4A) = \operatorname{cosec} (A - 20^{\circ}) \)
[કારણ કે \( \operatorname{cosec} (90^{\circ} - \theta) = \sec \theta \) અને \( 4A \) એ લઘુકોણનું માપ છે.]
હવે, બંને બાજુના ખૂણાઓની સરખામણી કરતા,
\( 90^{\circ} - 4A = A - 20^{\circ} \)
\( 90^{\circ} + 20^{\circ} = A + 4A \)
\( 110^{\circ} = 5A \)
\( \therefore A = \frac { 110^{\circ} }{ 5 } \)
\( \therefore A = 22^{\circ} \)
In simple words: અહીં, આપણને \( \sec 4A = \operatorname{cosec} (A - 20^{\circ}) \) આપેલું છે. આપણે જાણીએ છીએ કે \( \sec \) અને \( \operatorname{cosec} \) પૂરક ખૂણાઓ માટે બદલાય છે. આ નિયમ લાગુ કરીને, આપણે બંને બાજુના ખૂણાઓને સમાન કરીએ છીએ અને પછી A ની કિંમત શોધીએ છીએ.

Exam Tip: \( \sec \) અને \( \operatorname{cosec} \) જેવા સહ-ગુણોત્તરો સાથેના સમીકરણોમાં, પૂરક ખૂણાના સંબંધોનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણને સરળ બનાવવામાં આવે છે.

Question 6. જો A, B અને C એ ABCના ખૂણા હોય, તો સાબિત કરો કે \( \sin \left( \frac { B + C }{ 2 } \right) = \cos \frac { A }{ 2 } \).
Answer:
A, B અને C એ \( \triangle ABC \) ના ખૂણા છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણના ત્રણ ખૂણાઓનો સરવાળો \( 180^{\circ} \) હોય છે.
\( \therefore A + B + C = 180^{\circ} \)
\( \therefore B + C = 180^{\circ} - A \)
બંને બાજુને 2 વડે ભાગતા,
\( \frac { B + C }{ 2 } = \frac { 180^{\circ} - A }{ 2 } \)
\( \frac { B + C }{ 2 } = \frac { 180^{\circ} }{ 2 } - \frac { A }{ 2 } \)
\( \therefore \frac { B + C }{ 2 } = 90^{\circ} - \frac { A }{ 2 } \) ....... (1)
હવે, ડાબી બાજુ \( = \sin \left( \frac { B + C }{ 2 } \right) \)
સમીકરણ (1) પરથી, \( \sin \left( \frac { B + C }{ 2 } \right) = \sin \left( 90^{\circ} - \frac { A }{ 2 } \right) \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \sin (90^{\circ} - \theta) = \cos \theta \)
\( \therefore \sin \left( 90^{\circ} - \frac { A }{ 2 } \right) = \cos \frac { A }{ 2 } \)
જે જમણી બાજુ છે.
\( \therefore \sin \left( \frac { B + C }{ 2 } \right) = \cos \frac { A }{ 2 } \) સાબિત થાય છે.
In simple words: આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો \( 180^{\circ} \) હોય છે. આપણે \( B+C \) ને \( 180^{\circ}-A \) તરીકે લખી શકીએ. પછી, \( B+C \) ના અડધાને \( (90^{\circ}-A/2) \) તરીકે બતાવીએ. \( \sin \) વિધેયને આના પર લાગુ કરવાથી અને પૂરક ખૂણાના નિયમ \( \sin (90^{\circ}-\theta) = \cos \theta \) વાપરવાથી, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે તે \( \cos A/2 \) ની બરાબર છે.

Exam Tip: ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાનો ગુણધર્મ (\( A+B+C=180^{\circ} \)) અને પૂરક ખૂણાના ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરના સૂત્રો આ પ્રકારના દાખલાઓ માટે મુખ્ય છે.

Question 7. \( \sin 67^{\circ} + \cos 75^{\circ} \) ને \( 0^{\circ} \) અને \( 45^{\circ} \) વચ્ચેના માપવાળા ખૂણાના ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર તરીકે દર્શાવો.
Answer:
આપેલ છે: \( \sin 67^{\circ} + \cos 75^{\circ} \)
આપણે \( \sin 67^{\circ} \) અને \( \cos 75^{\circ} \) ને પૂરક ખૂણાના ગુણોત્તરમાં બદલીશું.
\( \sin 67^{\circ} = \sin (90^{\circ} - 23^{\circ}) \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \sin (90^{\circ} - \theta) = \cos \theta \)
\( \therefore \sin 67^{\circ} = \cos 23^{\circ} \)
અને,
\( \cos 75^{\circ} = \cos (90^{\circ} - 15^{\circ}) \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \cos (90^{\circ} - \theta) = \sin \theta \)
\( \therefore \cos 75^{\circ} = \sin 15^{\circ} \)
તેથી,
\( \sin 67^{\circ} + \cos 75^{\circ} = \cos 23^{\circ} + \sin 15^{\circ} \)
અહીં, \( 23^{\circ} \) અને \( 15^{\circ} \) બંને \( 0^{\circ} \) અને \( 45^{\circ} \) વચ્ચેના ખૂણા છે.
In simple words: આપણને \( \sin 67^{\circ} + \cos 75^{\circ} \) આપેલું છે. આપણે દરેક પદને \( 0^{\circ} \) અને \( 45^{\circ} \) વચ્ચેના ખૂણામાં ફેરવવા માટે પૂરક ખૂણાના નિયમો વાપરીએ છીએ. \( \sin 67^{\circ} \) ને \( \cos (90^{\circ} - 67^{\circ}) = \cos 23^{\circ} \) માં અને \( \cos 75^{\circ} \) ને \( \sin (90^{\circ} - 75^{\circ}) = \sin 15^{\circ} \) માં બદલીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે ખૂણાઓને \( 0^{\circ} \) અને \( 45^{\circ} \) વચ્ચે દર્શાવવાના હોય, ત્યારે હંમેશા પૂરક ખૂણાના ગુણોત્તર (\( \sin(90-\theta)=\cos\theta \), \( \cos(90-\theta)=\sin\theta \) વગેરે) નો ઉપયોગ કરો.