GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 8 ત્રિકોણમિતિનો પરિચય Exercise 8.2

Question 1. કિંમત શોધો :
(i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°
(ii) 2 tan² 45° + cos² 30° – sin² 60°
(iii) \( \frac{\cos 45^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\operatorname{cosec} 30^{\circ}} \)
(iv) \( \frac{\sin 30^{\circ}+\tan 45^{\circ}-\operatorname{cosec} 60^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\cos 60^{\circ}+\cot 45^{\circ}} \)
(v) \( \frac{5 \cos ^{2} 60^{\circ}+4 \sec ^{2} 30^{\circ}-\tan ^{2} 45^{\circ}}{\sin ^{2} 30^{\circ}+\cos ^{2} 30^{\circ}} \)
Answer:
(i) \( \sin 60^{\circ} \cos 30^{\circ} + \sin 30^{\circ} \cos 60^{\circ} \)
\( = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \)
\( = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \)
(ii) \( 2 \tan^2 45^{\circ} + \cos^2 30^{\circ} - \sin^2 60^{\circ} \)
\( = 2(1)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \)
\( = 2 + \frac{3}{4} - \frac{3}{4} = 2 \)
(iii) \( \frac{\cos 45^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\operatorname{cosec} 30^{\circ}} \)
\( = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}+2} \)
\( = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{2+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}} \)
\( = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2+2\sqrt{3}} \)
\( = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}(2+2\sqrt{3})} \)
\( = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}+2\sqrt{6}} \)
\( = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}(1+\sqrt{3})} \)
\( = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}(1+\sqrt{3})} \times \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} \)
\( = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{2\sqrt{2}(3-1)} \)
\( = \frac{3-\sqrt{3}}{4\sqrt{2}} \)
\( = \frac{3-\sqrt{3}}{4\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \)
\( = \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{8} \)
(iv) \( \frac{\sin 30^{\circ}+\tan 45^{\circ}-\operatorname{cosec} 60^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\cos 60^{\circ}+\cot 45^{\circ}} \)
\( = \frac{\frac{1}{2}+1-\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{1}{2}+1} \)
\( = \frac{\frac{3}{2}-\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{3}{2}+\frac{2}{\sqrt{3}}} \)
\( = \frac{\frac{3\sqrt{3}-4}{2\sqrt{3}}}{\frac{3\sqrt{3}+4}{2\sqrt{3}}} \)
\( = \frac{3\sqrt{3}-4}{3\sqrt{3}+4} \)
\( = \frac{3\sqrt{3}-4}{3\sqrt{3}+4} \times \frac{3\sqrt{3}-4}{3\sqrt{3}-4} \)
\( = \frac{(3\sqrt{3}-4)^2}{(3\sqrt{3})^2-(4)^2} \)
\( = \frac{27-24\sqrt{3}+16}{27-16} \)
\( = \frac{43-24\sqrt{3}}{11} \)
(v) \( \frac{5 \cos ^{2} 60^{\circ}+4 \sec ^{2} 30^{\circ}-\tan ^{2} 45^{\circ}}{\sin ^{2} 30^{\circ}+\cos ^{2} 30^{\circ}} \)
\( = \frac{5\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+4\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2}-(1)^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}} \)
\( = \frac{5\left(\frac{1}{4}\right)+4\left(\frac{4}{3}\right)-1}{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}} \)
\( = \frac{\frac{5}{4}+\frac{16}{3}-1}{1} \)
\( = \frac{15+64-12}{12} \)
\( = \frac{67}{12} \)
In simple words: અહીં, આપણે ત્રિકોણમિતિના વિભિન્ન ગુણોત્તરોના ચોક્કસ મૂલ્યો મૂકીને ગણતરી કરીએ છીએ. જેમ કે sin 60°નું મૂલ્ય \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) છે. આ મૂલ્યો મૂક્યા પછી, સાદી ગાણિતિક ક્રિયાઓ કરીને અંતિમ જવાબ મેળવી શકાય છે.

Exam Tip: Always remember the standard trigonometric values for angles like 0°, 30°, 45°, 60°, and 90° for quick and accurate calculations. Write down all steps to avoid calculation errors.

Question 2. સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો અને તેની યથાર્થતા ચકાસોઃ
(i) \( \frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}} = \)
(A) sin 60°
(B) cos 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°
Answer: (A) sin 60°
\( \frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}} \)
\( = \frac{2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{1+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}} \)
\( = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{3}} \)
\( = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{3+1}{3}} \)
\( = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{4}{3}} \)
\( = \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{4} \)
\( = \frac{6}{4\sqrt{3}} \)
\( = \frac{3}{2\sqrt{3}} \)
\( = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} \)
\( = \frac{3\sqrt{3}}{2 \times 3} \)
\( = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
જે \( \sin 60^{\circ} \) નું મૂલ્ય છે. આથી, સાચો વિકલ્પ (A) \( \sin 60^{\circ} \) છે.
In simple words: આ સૂત્ર \( \sin 2\theta \) ના બરાબર છે જ્યારે \( \tan \theta \) ના સ્વરૂપમાં હોય. અહીં \( \theta = 30^{\circ} \) છે, તેથી જવાબ \( \sin (2 \times 30^{\circ}) = \sin 60^{\circ} \) આવશે.

Exam Tip: Recognize the identity \( \frac{2 \tan \theta}{1+\tan^2 \theta} = \sin 2\theta \). This helps to solve the problem quickly without detailed calculation. Also, remember \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) is the value for \( \sin 60^{\circ} \) and \( \cos 30^{\circ} \).

Question 2. સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો અને તેની યથાર્થતા ચકાસોઃ
(ii) \( \frac{1-\tan ^{2} 45^{\circ}}{1+\tan ^{2} 45^{\circ}} = \)
(A) tan 90°
(B) 1
(C) sin 45°
(D) 0
Answer: (D) 0
\( \frac{1-\tan ^{2} 45^{\circ}}{1+\tan ^{2} 45^{\circ}} \)
\( = \frac{1-(1)^{2}}{1+(1)^{2}} \)
\( = \frac{1-1}{1+1} \)
\( = \frac{0}{2} = 0 \)
આથી, સાચો વિકલ્પ (D) 0 છે.
In simple words: \( \tan 45^{\circ} \) ની કિંમત 1 છે. જ્યારે તમે આને સમીકરણમાં મૂકો છો, ત્યારે ઉપરનો ભાગ 1-1=0 થાય છે. નીચેનો ભાગ 1+1=2 થાય છે. તેથી 0 ભાગ્યા 2 બરાબર 0 જવાબ આવશે.

Exam Tip: Remember that \( \tan 45^{\circ} = 1 \). This value is crucial for quickly evaluating expressions involving \( \tan 45^{\circ} \).

Question 2. સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો અને તેની યથાર્થતા ચકાસોઃ
(iii) જ્યારે A = .. . હોય ત્યારે sin 2A = 2 sin A સત્ય હોય.
(A) 0°
(B) 30°
(C) 45°
(D) 60°
Answer: (A) 0°
\( \sin 2A = 2 \sin A \)
જો A = 0° હોય, તો
\( \sin (2 \times 0^{\circ}) = \sin 0^{\circ} = 0 \)
\( 2 \sin 0^{\circ} = 2 \times 0 = 0 \)
તેથી, A = 0° માટે, \( \sin 2A = 2 \sin A \) સત્ય છે.
જો A = 30° હોય, તો
\( \sin (2 \times 30^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( 2 \sin 30^{\circ} = 2 \times \frac{1}{2} = 1 \)
અહીં, \( \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 1 \). તેથી, A = 30° માટે \( \sin 2A \neq 2 \sin A \).
જો A = 45° હોય, તો
\( \sin (2 \times 45^{\circ}) = \sin 90^{\circ} = 1 \)
\( 2 \sin 45^{\circ} = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \)
અહીં, \( 1 \neq \sqrt{2} \). તેથી, A = 45° માટે \( \sin 2A \neq 2 \sin A \).
જો A = 60° હોય, તો
\( \sin (2 \times 60^{\circ}) = \sin 120^{\circ} \)
\( 2 \sin 60^{\circ} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \)
\( \sin 120^{\circ} \) એ \( \sin 60^{\circ} \) ના બરાબર છે, પરંતુ \( \sin 120^{\circ} \neq \sqrt{3} \).
આથી, સાચો વિકલ્પ (A) 0° છે.
In simple words: આ પ્રશ્ન પૂછે છે કે કયા ખૂણા 'A' માટે \( \sin 2A \) અને \( 2 \sin A \) બંને સરખા હોય. ગણતરી કરતાં જણાય છે કે જ્યારે A શૂન્ય અંશ હોય ત્યારે જ આ બરાબર થાય છે.

Exam Tip: Test each given option by substituting the value of A into both sides of the equation \( \sin 2A = 2 \sin A \). For trigonometric identities, often only specific angles satisfy the condition.

Question 2. સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો અને તેની યથાર્થતા ચકાસોઃ
(iv) \( \frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan ^{2} 30^{\circ}} = \)
(A) cos 60°
(B) sin 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°
Answer: (C) tan 60°
\( \frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan ^{2} 30^{\circ}} \)
\( = \frac{2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{1-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}} \)
\( = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{3}} \)
\( = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{3-1}{3}} \)
\( = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} \)
\( = \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{2} \)
\( = \frac{3}{\sqrt{3}} \)
\( = \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \)
\( = \sqrt{3} \)
જે \( \tan 60^{\circ} \) નું મૂલ્ય છે. આથી, સાચો વિકલ્પ (C) \( \tan 60^{\circ} \) છે.
In simple words: આ સૂત્ર \( \tan 2\theta \) ના બરાબર છે જ્યારે \( \tan \theta \) ના સ્વરૂપમાં હોય. અહીં \( \theta = 30^{\circ} \) છે, તેથી જવાબ \( \tan (2 \times 30^{\circ}) = \tan 60^{\circ} \) આવશે.

Exam Tip: Remember the identity \( \frac{2 \tan \theta}{1-\tan^2 \theta} = \tan 2\theta \). This helps in quickly finding the correct option without extensive calculation. Also, recall that \( \tan 60^{\circ} = \sqrt{3} \).

Question 3. જો \( \tan (A + B) = \sqrt{3} \) અને \( \tan (A - B) = \frac{1}{\sqrt{3}} \); \( 0^{\circ} < A + B \leq 90^{\circ} \); \( A > B \), તો A અને B શોધો.
Answer:
આપણને આપેલું છે કે \( \tan (A + B) = \sqrt{3} \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \tan 60^{\circ} = \sqrt{3} \)
તેથી, \( \tan (A + B) = \tan 60^{\circ} \)
\( A + B = 60^{\circ} \) ..............(1)
આપણને આપેલું છે કે \( \tan (A - B) = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
તેથી, \( \tan (A - B) = \tan 30^{\circ} \)
\( A - B = 30^{\circ} \) ..............(2)
સમીકરણ (1) અને (2) નો સરવાળો કરતા,
\( (A + B) + (A - B) = 60^{\circ} + 30^{\circ} \)
\( 2A = 90^{\circ} \)
\( A = \frac{90^{\circ}}{2} \)
\( A = 45^{\circ} \)
A નું મૂલ્ય સમીકરણ (1) માં મૂકતા,
\( 45^{\circ} + B = 60^{\circ} \)
\( B = 60^{\circ} - 45^{\circ} \)
\( B = 15^{\circ} \)
આમ, A = 45° અને B = 15° મળે છે. શરતો \( 0^{\circ} < A + B \leq 90^{\circ} \) (જે \( 0^{\circ} < 60^{\circ} \leq 90^{\circ} \) છે) અને \( A > B \) (જે \( 45^{\circ} > 15^{\circ} \) છે) પણ સંતોષાય છે.
In simple words: બે અલગ સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે A + B અને A - B ના મૂલ્યો શોધીએ છીએ. પછી, આ બંને સમીકરણોને ઉકેલીને A અને B ના અલગ મૂલ્યો મેળવી શકીએ છીએ.

Exam Tip: Remember the standard tangent values for 30° and 60°. When solving simultaneous equations, check if the calculated A and B values satisfy all given conditions, such as \( 0^{\circ} < A + B \leq 90^{\circ} \) and \( A > B \).

Question 4. સત્ય છે કે અસત્ય તે જણાવો. તમારા જવાબની યથાર્થતા ચકાસોઃ
(i) sin (A + B) = sin A + sin B
Answer: આપેલ વિધાન અસત્ય છે, કારણ કે \( \sin (A + B) \) એ \( \sin A \) અને \( \sin B \) નો ગુણાકાર નથી, તે એક અલગ ત્રિકોણમિતિ ગુણોત્તર છે.
આપણે A = 30° અને B = 30° લઈને આ વિધાનને ચકાસી શકીએ છીએ:
\( \sin (A + B) = \sin (30^{\circ} + 30^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
અને \( \sin A + \sin B = \sin 30^{\circ} + \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \)
અહીં, \( \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 1 \). તેથી, વિધાન \( \sin (A + B) = \sin A + \sin B \) અસત્ય છે.
In simple words: આ વિધાન ખોટું છે. \( \sin (A+B) \) એ \( \sin A \) અને \( \sin B \) નો સરવાળો નથી. જો તમે A અને B ને 30° લો છો, તો તમને બંને બાજુ અલગ-અલગ જવાબો મળશે.

Exam Tip: Avoid the common mistake of assuming that \( \sin (A+B) = \sin A + \sin B \). This is a false identity. Always use test values or the correct sum identity \( \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \).

Question 4. સત્ય છે કે અસત્ય તે જણાવો. તમારા જવાબની યથાર્થતા ચકાસોઃ
(ii) જેમ જેમ \( \theta \) નું મૂલ્ય વધે તેમ તેમ \( \sin \theta \) નું મૂલ્ય વધે છે.
Answer: આપેલ વિધાન સત્ય છે, કારણ કે આપણે જાણીએ છીએ કે જેમ જેમ \( \theta \) નું મૂલ્ય 0° થી વધીને 90° થાય છે, તેમ તેમ \( \sin \theta \) નું મૂલ્ય 0 થી વધીને 1 થાય છે.
ઉદાહરણ તરીકે:
\( \sin 0^{\circ} = 0 \)
\( \sin 30^{\circ} = 0.5 \)
\( \sin 45^{\circ} \approx 0.707 \)
\( \sin 60^{\circ} \approx 0.866 \)
\( \sin 90^{\circ} = 1 \)
આ મૂલ્યો સ્પષ્ટપણે દર્શાવે છે કે \( \sin \theta \) નું મૂલ્ય \( \theta \) ના વધારા સાથે વધે છે.
In simple words: આ વાત સાચી છે. જેમ તમે \( \theta \) (ખૂણા) ને 0 થી 90 ડિગ્રી સુધી વધારો છો, તેમ \( \sin \theta \) ની કિંમત 0 થી 1 સુધી વધે છે.

Exam Tip: Visualize the graph of \( \sin \theta \) from 0° to 90°. It steadily increases, which confirms the statement. Remembering key values like \( \sin 0^{\circ} = 0 \) and \( \sin 90^{\circ} = 1 \) can help.

Question 4. સત્ય છે કે અસત્ય તે જણાવો. તમારા જવાબની યથાર્થતા ચકાસોઃ
(iii) જેમ જેમ \( \theta \) નું મૂલ્ય વધે તેમ તેમ \( \cos \theta \) નું મૂલ્ય વધે છે.
Answer: આપેલ વિધાન અસત્ય છે, કારણ કે આપણે જાણીએ છીએ કે જેમ જેમ \( \theta \) નું મૂલ્ય 0° થી વધીને 90° થાય છે, તેમ તેમ \( \cos \theta \) નું મૂલ્ય 1 થી ઘટીને 0 થાય છે.
ઉદાહરણ તરીકે:
\( \cos 0^{\circ} = 1 \)
\( \cos 30^{\circ} \approx 0.866 \)
\( \cos 45^{\circ} \approx 0.707 \)
\( \cos 60^{\circ} = 0.5 \)
\( \cos 90^{\circ} = 0 \)
આ મૂલ્યો સ્પષ્ટપણે દર્શાવે છે કે \( \cos \theta \) નું મૂલ્ય \( \theta \) ના વધારા સાથે ઘટે છે.
In simple words: આ વાત ખોટી છે. જેમ તમે \( \theta \) (ખૂણા) ને 0 થી 90 ડિગ્રી સુધી વધારો છો, તેમ \( \cos \theta \) ની કિંમત 1 થી 0 સુધી ઘટે છે.

Exam Tip: Visualize the graph of \( \cos \theta \) from 0° to 90°. It steadily decreases, which contradicts the statement. Remembering key values like \( \cos 0^{\circ} = 1 \) and \( \cos 90^{\circ} = 0 \) can help.

Question 4. સત્ય છે કે અસત્ય તે જણાવો. તમારા જવાબની યથાર્થતા ચકાસોઃ
(iv) \( \theta \) ના દરેક મૂલ્ય માટે \( \sin \theta = \cos \theta \) થાય.
Answer: આપેલ વિધાન અસત્ય છે, કારણ કે \( \sin \theta = \cos \theta \) માત્ર \( \theta = 45^{\circ} \) જેવા અમુક ચોક્કસ મૂલ્યો માટે જ સાચું હોય છે, બધા મૂલ્યો માટે નહીં.
ઉદાહરણ તરીકે:
જો \( \theta = 30^{\circ} \):
\( \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \)
\( \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
અહીં, \( \frac{1}{2} \neq \frac{\sqrt{3}}{2} \). તેથી, \( \sin 30^{\circ} \neq \cos 30^{\circ} \).
જો \( \theta = 45^{\circ} \):
\( \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
અહીં, \( \sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} \).
આ દર્શાવે છે કે \( \sin \theta = \cos \theta \) બધા \( \theta \) માટે સાચું નથી, પરંતુ ફક્ત ચોક્કસ \( \theta \) માટે જ સાચું છે.
In simple words: આ વાત ખોટી છે. \( \sin \theta \) અને \( \cos \theta \) ની કિંમતો ફક્ત 45 ડિગ્રી પર જ સરખી હોય છે. બીજા કોઈ ખૂણા પર તે સરખી નથી હોતી.

Exam Tip: Understand that \( \sin \theta = \cos \theta \) is a conditional identity, true only for specific angles like \( 45^{\circ} \) within the range 0° to 90°. Test with values like 30° and 60° to quickly verify its falsehood for all \( \theta \).

Question 4. સત્ય છે કે અસત્ય તે જણાવો. તમારા જવાબની યથાર્થતા ચકાસોઃ
(v) A = 0° માટે cot A અવ્યાખ્યાયિત છે.
Answer: આપેલ વિધાન સત્ય છે, કારણ કે \( \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} \).
જ્યારે \( A = 0^{\circ} \) હોય, ત્યારે
\( \sin 0^{\circ} = 0 \)
\( \cos 0^{\circ} = 1 \)
તેથી, \( \cot 0^{\circ} = \frac{\cos 0^{\circ}}{\sin 0^{\circ}} = \frac{1}{0} \)
ભાગાકાર શૂન્ય વડે શક્ય નથી, તેથી \( \frac{1}{0} \) અવ્યાખ્યાયિત છે. આમ, \( \cot A \) એ \( A = 0^{\circ} \) માટે અવ્યાખ્યાયિત છે.
In simple words: આ વાત સાચી છે. \( \cot A \) એટલે \( \frac{\cos A}{\sin A} \). જો A 0 ડિગ્રી હોય, તો \( \sin A \) પણ 0 થશે. કોઈ પણ સંખ્યાને શૂન્ય વડે ભાગી શકાય નહીં, તેથી \( \cot 0^{\circ} \) અવ્યાખ્યાયિત બને છે.

Exam Tip: Recall the definitions of trigonometric ratios, especially \( \cot A = \frac{1}{\tan A} \) or \( \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} \). Any time the denominator becomes zero, the function is undefined at that specific angle.