GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 8 ત્રિકોણમિતિનો પરિચય Exercise 8.1

Question 1. A ABCમાં, \( \angle B \) કાટખૂણો છે. AB = 24 સેમી, BC = 7 સેમી, હોય, તો નીચેના ગુણોત્તરોનું મૂલ્ય શોધોઃ
(i) sin A, cos A અને
(ii) sin C, cos C
Answer: \( \triangle ABC \) માં, \( \angle B = 90^\circ \), AB = 24 સેમી અને BC = 7 સેમી.
આથી, પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,
\( AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} \)
\( = \sqrt{(24)^2 + (7)^2} \)
\( = \sqrt{576 + 49} \)
\( = \sqrt{625} \)
\( = 25 \) સેમી.
(i) હવે,
\( \sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{7}{25} \)
\( \cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{24}{25} \)
(ii) વળી,
\( \sin C = \frac{AB}{AC} = \frac{24}{25} \)
\( \cos C = \frac{BC}{AC} = \frac{7}{25} \)
In simple words: પહેલા પાયથાગોરસનો નિયમ વાપરીને ત્રિકોણની ત્રીજી બાજુ શોધો. પછી, \( \sin \) અને \( \cos \) ના સૂત્રો (સામેની બાજુ/કર્ણ અને પાસેની બાજુ/કર્ણ) વાપરીને દરેક ખૂણા માટે મૂલ્યો ગણો.

Exam Tip: Always draw a right-angled triangle and label the sides (opposite, adjacent, hypotenuse) with respect to the given angle before calculating trigonometric ratios.

Question 2. આપેલ આકૃતિમાં tanP – cot R શોધો.
Answer: \( \triangle PQR \) માં, \( \angle Q = 90^\circ \), PR = 13 સેમી અને PQ = 12 સેમી.
આથી, પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,
\( QR = \sqrt{PR^2 - PQ^2} \)
\( = \sqrt{(13)^2 - (12)^2} \)
\( = \sqrt{169 - 144} \)
\( = \sqrt{25} \)
\( = 5 \) સેમી.
તેથી,
\( \tan P = \frac{QR}{PQ} = \frac{5}{12} \)
અને
\( \cot R = \frac{QR}{PQ} = \frac{5}{12} \)
આથી
\( \tan P - \cot R = \frac{5}{12} - \frac{5}{12} = 0 \)
In simple words: પહેલા પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને અજાણી બાજુ (QR) શોધો. પછી, \( \tan P \) અને \( \cot R \) ના ગુણોત્તરની ગણતરી કરો. છેલ્લે, બંને મૂલ્યોની બાદબાકી કરો.

Exam Tip: Remember that for acute angles in a right-angled triangle, the "opposite" and "adjacent" sides change depending on which angle you are considering. Hypotenuse always remains the same.

Question 3. જો \( \sin A = \frac{3}{4} \) હોય, તો \( \cos A \) અને \( \tan A \) ની ગણતરી કરો.
Answer: આપણે એક કાટકોણ ત્રિકોણ ABC લઈએ, જેમાં \( \angle B = 90^\circ \) હોય.
જો \( \sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{4} \), તો
\( \frac{BC}{3} = \frac{AC}{4} = k \) (ધારો), જ્યાં \( k \) કોઈ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
આથી, BC = \( 3k \) અને AC = \( 4k \).
\( \triangle ABC \) માં, \( \angle B = 90^\circ \).
\( \therefore \) પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ,
\( AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} \)
\( = \sqrt{(4k)^2 - (3k)^2} \)
\( = \sqrt{16k^2 - 9k^2} \)
\( = \sqrt{7k^2} \)
\( = k\sqrt{7} \)
તેથી,
\( \cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{k\sqrt{7}}{4k} = \frac{\sqrt{7}}{4} \)
અને
\( \tan A = \frac{BC}{AB} = \frac{3k}{k\sqrt{7}} = \frac{3}{\sqrt{7}} \)
In simple words: જો \( \sin A \) નું મૂલ્ય આપેલું હોય, તો કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓને \( k \) ના ગુણાકારમાં ધારી લો. પછી, પાયથાગોરસના નિયમથી ત્રીજી બાજુ શોધી, \( \cos A \) અને \( \tan A \) ના મૂલ્યો ગણો.

Exam Tip: When given a trigonometric ratio, assign variables (like `3k` and `4k`) to the sides to handle the ratio correctly. Always simplify the final fraction after finding the side lengths.

Question 4. જો \( 15 \cot A = 8 \) હોય, તો \( \sin A \) અને \( \sec A \) શોધો.
Answer: આપણે એક કાટકોણ ત્રિકોણ ABC લઈએ, જેમાં \( \angle B = 90^\circ \) હોય.

હવે, \( 15 \cot A = 8 \)
\( \cot A = \frac{8}{15} \)
આથી, \( \cot A = \frac{AB}{BC} = \frac{8}{15} \).
જો AB = \( 8k \), તો BC = \( 15k \). જ્યાં, \( k \) કોઈ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
\( \triangle ABC \) માં, \( \angle B = 90^\circ \).
\( \therefore \) પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ,
\( AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} \)
\( = \sqrt{(8k)^2 + (15k)^2} \)
\( = \sqrt{64k^2 + 225k^2} \)
\( = \sqrt{289k^2} \)
\( = 17k \)
તેથી,
\( \sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{15k}{17k} = \frac{15}{17} \)
અને
\( \sec A = \frac{AC}{AB} = \frac{17k}{8k} = \frac{17}{8} \)
In simple words: આપેલા \( \cot A \) ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણની બાજુઓ \( (AB, BC) \) ને \( k \) ના ગુણાકારમાં દર્શાવો. પછી, પાયથાગોરસનો નિયમ વાપરીને કર્ણ \( (AC) \) શોધો. છેલ્લે, \( \sin A \) અને \( \sec A \) ના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને તેમની કિંમતો ગણો.

Exam Tip: It is crucial to set up the sides with a common multiple `k` when working with ratios to avoid errors in calculations involving squares and square roots.

Question 5. જો \( \sec \theta = \frac{13}{12} \) હોય, તો બાકીના બધા જ ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરો શોધો.
Answer: આપણે એક કાટકોણ ત્રિકોણ ABC લઈએ, જેમાં \( \angle B = 90^\circ \) હોય અને \( \angle C = \theta \).

હવે, \( \sec \theta = \frac{13}{12} \)
આથી, \( \sec \theta = \frac{AC}{BC} = \frac{13}{12} \).
જો AC = \( 13k \), તો BC = \( 12k \). જ્યાં, \( k \) કોઈ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
\( \triangle ABC \) માં, \( \angle B = 90^\circ \).
\( \therefore \) પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ,
\( AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} \)
\( = \sqrt{(13k)^2 - (12k)^2} \)
\( = \sqrt{169k^2 - 144k^2} \)
\( = \sqrt{25k^2} \)
\( = 5k \)
તેથી, બાકીના ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરો નીચે મુજબ છે:
\( \sin \theta = \frac{AB}{AC} = \frac{5k}{13k} = \frac{5}{13} \)
\( \cos \theta = \frac{BC}{AC} = \frac{12k}{13k} = \frac{12}{13} \)
\( \tan \theta = \frac{AB}{BC} = \frac{5k}{12k} = \frac{5}{12} \)
\( \cot \theta = \frac{BC}{AB} = \frac{12k}{5k} = \frac{12}{5} \)
\( \text{cosec } \theta = \frac{AC}{AB} = \frac{13k}{5k} = \frac{13}{5} \)
In simple words: \( \sec \theta \) ના આપેલા મૂલ્યનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણની બાજુઓને \( k \) ના ગુણાકારમાં લખો. પાયથાગોરસના પ્રમેયથી ખૂટતી બાજુ શોધી લો. પછી, બધા જ \( \sin, \cos, \tan, \cot, \text{cosec} \) ગુણોત્તર માટેના સૂત્રો વાપરીને તેમની કિંમતો ગણો.

Exam Tip: Remember the reciprocal relationships (e.g., `sec θ = 1/cos θ`, `cosec θ = 1/sin θ`, `cot θ = 1/tan θ`) as they can sometimes simplify calculations or serve as a cross-check for your answers.

Question 6. \( \angle A \) અને \( \angle B \) એવા લઘુકોણો છે કે જેથી \( \cos A = \cos B \) સાબિત કરો કે, \( \angle A = \angle B \).
Answer: ધારો કે, \( \triangle APQ \) માં \( \angle P = 90^\circ \) અને \( \triangle BMN \) માં \( \angle M = 90^\circ \).

હવે, \( \cos A = \frac{PA}{AQ} \) છે અને \( \cos B = \frac{BM}{BN} \).
આથી, \( \cos A = \cos B \) પરથી
\( \frac{PA}{AQ} = \frac{BM}{BN} \)
\( \implies \frac{PA}{BM} = \frac{AQ}{BN} = k \) (ધારો), જ્યાં \( k \) કોઈ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
આથી, PA = \( k \cdot BM \) અને AQ = \( k \cdot BN \).
બંને ત્રિકોણમાં પાયથાગોરસ પ્રમેય અનુસાર,
\( PQ = \sqrt{AQ^2 - PA^2} \)
અને
\( MN = \sqrt{BN^2 - BM^2} \)
હવે,
\( \frac{PQ}{MN} = \frac{\sqrt{AQ^2 - PA^2}}{\sqrt{BN^2 - BM^2}} \)
\( = \frac{\sqrt{(k \cdot BN)^2 - (k \cdot BM)^2}}{\sqrt{BN^2 - BM^2}} \)
\( = \frac{\sqrt{k^2 BN^2 - k^2 BM^2}}{\sqrt{BN^2 - BM^2}} \)
\( = \frac{\sqrt{k^2 (BN^2 - BM^2)}}{\sqrt{BN^2 - BM^2}} \)
\( = \frac{k\sqrt{BN^2 - BM^2}}{\sqrt{BN^2 - BM^2}} \)
\( = k \)
આમ, \( \triangle APQ \) અને \( \triangle BMN \) માં,
\( \frac{PA}{BM} = \frac{AQ}{BN} = \frac{PQ}{MN} = k \)
\( \therefore \) બાબાબા (SSS) શરત મુજબ, \( \triangle APQ \sim \triangle BMN \).
આથી, તેમના અનુરૂપ ખૂણા પણ સમાન હશે.
\( \therefore \angle A = \angle B \)
In simple words: જો બે લઘુકોણ માટે \( \cos \) ના મૂલ્યો સરખા હોય, તો આપણે બે કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવી શકીએ છીએ. તેમની બાજુઓના ગુણોત્તર સરખા સાબિત કરીને, આપણે બતાવી શકીએ કે તે ત્રિકોણ સમાન છે. સમાન ત્રિકોણના અનુરૂપ ખૂણા સરખા હોય છે, તેથી \( \angle A \) અને \( \angle B \) પણ સરખા થશે.

Exam Tip: When proving angle equality from equal cosine values, constructing two similar right-angled triangles using a proportionality constant 'k' is a robust method. Clearly state the similarity criterion used.

Question 7. જો \( \cot \theta = \frac{7}{8} \) હોય તો,
(i) \( \frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)} \)
(ii) \( \cot^2 \theta \) શોધો.
Answer: ધારો કે, \( \triangle ABC \) માં, \( \angle B = 90^\circ \) અને \( \angle C = \theta \).

હવે, \( \cot \theta = \frac{7}{8} \).
\( \therefore \cot \theta = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{8} \).
આથી, જો BC = \( 7k \), તો AB = \( 8k \). જ્યાં, \( k \) કોઈ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
\( \triangle ABC \) માં, \( \angle B = 90^\circ \).
\( \therefore \) પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ,
\( AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} \)
\( = \sqrt{(8k)^2 + (7k)^2} \)
\( = \sqrt{64k^2 + 49k^2} \)
\( = \sqrt{113k^2} \)
\( = k\sqrt{113} \)
હવે,
\( \sin \theta = \frac{AB}{AC} = \frac{8k}{k\sqrt{113}} = \frac{8}{\sqrt{113}} \)
અને
\( \cos \theta = \frac{BC}{AC} = \frac{7k}{k\sqrt{113}} = \frac{7}{\sqrt{113}} \)
આથી,
(i) \( \frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)} \)
\( = \frac{1 - \sin^2 \theta}{1 - \cos^2 \theta} \)
\( = \frac{1 - \left(\frac{8}{\sqrt{113}}\right)^2}{1 - \left(\frac{7}{\sqrt{113}}\right)^2} \)
\( = \frac{1 - \frac{64}{113}}{1 - \frac{49}{113}} \)
\( = \frac{\frac{113 - 64}{113}}{\frac{113 - 49}{113}} \)
\( = \frac{\frac{49}{113}}{\frac{64}{113}} \)
\( = \frac{49}{64} \)
(ii) \( \cot^2 \theta \)
\( = \left(\frac{7}{8}\right)^2 \)
\( = \frac{49}{64} \)
In simple words: \( \cot \theta \) ના આપેલા મૂલ્યથી ત્રિકોણની બાજુઓ શોધો. પછી, \( \sin \theta \) અને \( \cos \theta \) ની કિંમતો ગણો. (i) માટે, \( (a+b)(a-b) = a^2-b^2 \) ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરો. (ii) માટે, \( \cot \theta \) ના મૂલ્યનો વર્ગ કરો.

Exam Tip: Recognize the identity \( (1+\sin \theta)(1-\sin \theta) = 1-\sin^2 \theta = \cos^2 \theta \) and \( (1+\cos \theta)(1-\cos \theta) = 1-\cos^2 \theta = \sin^2 \theta \). This can directly simplify part (i) to \( \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} = \cot^2 \theta \), leading to a faster solution.

Question 8. જો \( 3 \cot A = 4 \) હોય, તો નક્કી કરો કે \( \frac{1-\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A} = \cos^2 A – \sin^2 A \) છે કે નહીં.
Answer: ધારો કે, \( \triangle ABC \) માં \( \angle B \) કાટખૂણો છે.

\( 3 \cot A = 4 \)
\( \cot A = \frac{4}{3} \)
આથી, \( \cot A = \frac{AB}{BC} = \frac{4}{3} \).
જો AB = \( 4k \), તો BC = \( 3k \). જ્યાં, \( k \) કોઈ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
\( \triangle ABC \) માં, \( \angle B = 90^\circ \).
\( \therefore \) પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ,
\( AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} \)
\( = \sqrt{(4k)^2 + (3k)^2} \)
\( = \sqrt{16k^2 + 9k^2} \)
\( = \sqrt{25k^2} \)
\( = 5k \)
હવે,
\( \sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5} \)
\( \cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5} \)
\( \tan A = \frac{BC}{AB} = \frac{3k}{4k} = \frac{3}{4} \)
હવે, ડાબી બાજુ \( (LHS) \):
\( \frac{1-\tan^2 A}{1+\tan^2 A} \)
\( = \frac{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2}{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2} \)
\( = \frac{1 - \frac{9}{16}}{1 + \frac{9}{16}} \)
\( = \frac{\frac{16-9}{16}}{\frac{16+9}{16}} \)
\( = \frac{\frac{7}{16}}{\frac{25}{16}} \)
\( = \frac{7}{25} \)
જમણી બાજુ \( (RHS) \):
\( \cos^2 A - \sin^2 A \)
\( = \left(\frac{4}{5}\right)^2 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 \)
\( = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} \)
\( = \frac{16-9}{25} \)
\( = \frac{7}{25} \)
આમ, ડાબી બાજુ \( = \) જમણી બાજુ.
\( \therefore \frac{1-\tan^2 A}{1+\tan^2 A} = \cos^2 A - \sin^2 A \) સાચું છે.
In simple words: પહેલા \( \cot A \) ના આપેલા મૂલ્યથી ત્રિકોણની બધી બાજુઓ શોધો. પછી, \( \sin A, \cos A, \tan A \) ના મૂલ્યો ગણો. ડાબી બાજુ અને જમણી બાજુ બંનેના મૂલ્યો અલગ-અલગ ગણીને સરખાવો. જો બંને સરખા આવે તો વિધાન સાચું છે.

Exam Tip: This question often uses the identity \( \cos(2A) = \frac{1-\tan^2 A}{1+\tan^2 A} = \cos^2 A - \sin^2 A \). Knowing this identity can help confirm your calculations, but showing the step-by-step evaluation is necessary for full marks.

Question 9. \( \triangle ABC \) માં, \( \angle B \) કાટખૂણો છે. જો \( \tan A = \frac{1}{\sqrt{3}} \) હોય, તો નિમ્નલિખિત મૂલ્ય શોધોઃ
(i) \( \sin A \cos C + \cos A \sin C \)
(ii) \( \cos A \cos C – \sin A \sin C \)
Answer: \( \triangle ABC \) માં, \( \angle B = 90^\circ \) અને \( \tan A = \frac{1}{\sqrt{3}} \).

\( \therefore \tan A = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{3}} \).
આથી, જો BC = \( k \), તો AB = \( k\sqrt{3} \). જ્યાં, \( k \) કોઈ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
\( \triangle ABC \) માં, \( \angle B = 90^\circ \).
\( \therefore \) પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ,
\( AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} \)
\( = \sqrt{(k\sqrt{3})^2 + k^2} \)
\( = \sqrt{3k^2 + k^2} \)
\( = \sqrt{4k^2} \)
\( = 2k \)
હવે,
\( \sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2} \)
\( \cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{k\sqrt{3}}{2k} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \sin C = \frac{AB}{AC} = \frac{k\sqrt{3}}{2k} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \cos C = \frac{BC}{AC} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2} \)
(i) \( \sin A \cos C + \cos A \sin C \)
\( = \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \)
\( = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \)
\( = \frac{4}{4} \)
\( = 1 \)
(ii) \( \cos A \cos C - \sin A \sin C \)
\( = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \)
\( = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} \)
\( = 0 \)
In simple words: \( \tan A \) ના આપેલા મૂલ્યથી ત્રિકોણની બાજુઓ \( (AB, BC) \) અને કર્ણ \( (AC) \) શોધો. પછી, \( \sin A, \cos A, \sin C, \cos C \) ના મૂલ્યો ગણો. આ મૂલ્યોને આપેલા સૂત્રોમાં મૂકીને દરેક ભાગની ગણતરી કરો.

Exam Tip: Remember standard trigonometric values for angles like 30°, 60°, 90°. Since \( \tan A = \frac{1}{\sqrt{3}} \), \( A = 30^\circ \). Then \( C = 60^\circ \). You can use these angle values to quickly verify your \( \sin \) and \( \cos \) calculations. Also, recognize these are compound angle formulas: \( \sin(A+C) \) and \( \cos(A+C) \).

Question 10. \( \triangle PQR \) માં, \( \angle Q \) કાટખૂણો છે અને \( PR + QR = 25 \) સેમી અને \( PQ = 5 \) સેમી હોય, તો \( \sin P, \cos P \) અને \( \tan P \) શોધો.
Answer: \( \triangle PQR \) માં, \( \angle Q = 90^\circ \).

આપેલ છે કે, \( PR + QR = 25 \) સેમી.
આથી, PR = \( (25 - QR) \) સેમી.
\( \triangle PQR \) માં, \( \angle Q = 90^\circ \).
પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ,
\( PQ^2 + QR^2 = PR^2 \)
\( (5)^2 + QR^2 = (25 - QR)^2 \)
\( 25 + QR^2 = 625 - 50QR + QR^2 \)
\( 25 = 625 - 50QR \)
\( 50QR = 625 - 25 \)
\( 50QR = 600 \)
\( QR = \frac{600}{50} \)
\( QR = 12 \) સેમી.
હવે, PR = \( (25 - 12) \) સેમી = \( 13 \) સેમી.
તેથી,
\( \sin P = \frac{QR}{PR} = \frac{12}{13} \)
\( \cos P = \frac{PQ}{PR} = \frac{5}{13} \)
અને
\( \tan P = \frac{QR}{PQ} = \frac{12}{5} \)
In simple words: પહેલા આપેલા સમીકરણ \( (PR + QR = 25) \) અને પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણની દરેક બાજુની લંબાઈ શોધો. પછી, \( \sin P, \cos P \) અને \( \tan P \) ના ગુણોત્તરના સૂત્રો લાગુ કરીને તેમની કિંમતો ગણો.

Exam Tip: When one side is expressed in terms of another (e.g., \( PR = 25 - QR \)), substitute this into the Pythagorean theorem to form an equation with a single unknown, and then solve for the unknown side.

Question 11. નીચેના વિધાનો સત્ય છે કે નહીં તે કારણ આપી જણાવો:
(i) \( \tan A \) નું મૂલ્ય હંમેશાં 1 કરતાં ઓછું હોય છે.
(ii) A માપવાળા કોઈક ખૂણા માટે \( \sec A = \frac{12}{5} \) સત્ય છે.
(iii) ખૂણાના cosecant ને સંક્ષિપ્તમાં \( \cos A \) તરીકે લખાય છે.
(iv) \( \cot \) અને \( A \) નો ગુણાકાર \( \cot A \) છે.
(v) \( \theta \) માપવાળા કોઈ એક ખૂણા માટે \( \sin \theta = \frac{4}{3} \) શક્ય છે.
Answer:
(i) આ વિધાન અસત્ય છે. કારણ કે \( \tan A \) એ સામેની બાજુ અને પાસેની બાજુનો ગુણોત્તર છે. સામેની બાજુ પાસેની બાજુ કરતાં મોટી અથવા સરખી અથવા નાની હોઈ શકે છે. આથી, \( \tan A \) નું મૂલ્ય 1 કરતાં વધુ, 1, અથવા 1 કરતાં ઓછું હોઈ શકે છે.
In simple words: આ ખોટું છે. \( \tan A \) એ ત્રિકોણની બે બાજુઓનો ભાગાકાર છે. તે બાજુઓ નાની-મોટી હોઈ શકે છે, તેથી \( \tan A \) 1 કરતા નાનું, મોટું કે 1 પણ હોઈ શકે છે.
(ii) આ વિધાન સત્ય છે. કારણ કે કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ એ સૌથી મોટી બાજુ છે અને \( \sec A = \frac{\text{કર્ણ}}{\text{પાસેની બાજુ}} \). આથી, \( \sec A \) નું મૂલ્ય હંમેશાં 1 થી વધુ હોય છે. (A ની અમુક વિશિષ્ટ કિંમત માટે તે મૂલ્ય 1 હોય છે.)
In simple words: આ સાચું છે. \( \sec A \) એટલે કર્ણ ભાગ્યા પાસેની બાજુ. કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ સૌથી લાંબો હોય છે, તેથી \( \sec A \) હંમેશા 1 કરતા મોટો જ આવે.
(iii) આ વિધાન અસત્ય છે. કારણ કે \( \cos A \) એ ખૂણા \( A \) ના cosine નું સંક્ષિપ્ત રૂપ છે. ખૂણા \( A \) ના cosecant ને સંક્ષિપ્તમાં \( \text{cosec } A \) તરીકે લખાય છે.
In simple words: આ ખોટું છે. \( \cos A \) એ 'cosine' માટે વપરાય છે, જ્યારે 'cosecant' માટે \( \text{cosec } A \) વપરાય છે. બંને અલગ છે.
(iv) આ વિધાન અસત્ય છે. કારણ કે \( \cot A \) એ \( \cot \) અને \( A \) નો ગુણાકાર નથી. \( \cot \) એ એકલો કોઈ અર્થ ધરાવતો નથી. તે ફક્ત ખૂણા \( A \) સાથે મળીને ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર બને છે.
In simple words: આ ખોટું છે. \( \cot A \) એ \( \cot \) અને \( A \) નો ગુણાકાર નથી. \( \cot \) એ એકલું કંઈ જ નથી, તે હંમેશા ખૂણા સાથે જ વપરાય છે.
(v) આ વિધાન અસત્ય છે. કારણ કે \( \sin \theta \) એ સામેની બાજુ અને કર્ણનો ગુણોત્તર છે અને કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ એ સૌથી મોટી બાજુ છે. આથી, \( \sin \theta \) નું મૂલ્ય કદી પણ 1 થી વધુ ન હોઈ શકે. \( \frac{4}{3} \) એ 1 થી મોટો છે.
In simple words: આ ખોટું છે. \( \sin \theta \) એ સામેની બાજુને કર્ણ વડે ભાગવાથી મળે છે. કર્ણ હંમેશા સૌથી લાંબો હોય છે, તેથી \( \sin \theta \) નું મૂલ્ય ક્યારેય 1 થી વધારે ન હોઈ શકે. \( \frac{4}{3} \) એ 1 થી મોટો છે, તેથી તે શક્ય નથી.

Exam Tip: For true/false questions, always provide a clear reason or counterexample. For trigonometric ratios, remember the ranges: \( -1 \le \sin \theta \le 1 \), \( -1 \le \cos \theta \le 1 \), \( \sec \theta \ge 1 \) or \( \sec \theta \le -1 \), \( \text{cosec } \theta \ge 1 \) or \( \text{cosec } \theta \le -1 \).