GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 8 ત્રિકોણમિતિનો પરિચય Exercise 8.4

Question 1. ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર sin A, sec A અને tan A ને cot Aના પદોમાં દર્શાવો.
Answer:
\( \sin A = \frac { 1 }{ \mathrm{cosec A} } = \frac { 1 }{ \sqrt{1+\cot ^{2} A} } \)
(કારણ કે \( \mathrm{cosec}^{2} A = 1 + \cot^{2} A \) હોય છે)
\( \sec A = \sqrt{1+\tan ^{2} A} = \sqrt{1+\frac { 1 }{ \cot^{2} A }} = \frac { \sqrt{\cot ^{2} A+1} }{ \cot A } \)
\( \tan A = \frac { 1 }{ \cot A } \)
આમ, \( \sin A = \frac { 1 }{ \sqrt{1+\cot ^{2} A} } \), \( \sec A = \frac { \sqrt{\cot ^{2} A+1} }{ \cot A } \) અને \( \tan A = \frac { 1 }{ \cot A } \) છે.
In simple words: પ્રશ્ન પૂછે છે કે sin A, sec A અને tan A ને cot A નો ઉપયોગ કરીને કેવી રીતે લખી શકાય. આપણે જાણીતા ત્રિકોણમિતિ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને દરેક ગુણોત્તરને cot A ના સ્વરૂપમાં બદલીએ છીએ.

Exam Tip: ત્રિકોણમિતિ ગુણોત્તરોને બીજા ગુણોત્તરના પદોમાં વ્યક્ત કરવા માટે, તમારે બધા મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ સૂત્રો અને ઓળખ યાદ રાખવા જોઈએ.

Question 3. કિંમત શોધો.
(i) \( \frac{\sin ^{2} 63^{\circ}+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\cos ^{2} 17^{\circ}+\cos ^{2} 73^{\circ}} \)
(ii) \( \sin 25^{\circ} \cos 65^{\circ} + \cos 25^{\circ} \sin 65^{\circ} \)
Answer:
(i) \( \frac{\sin ^{2} 63^{\circ}+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\cos ^{2} 17^{\circ}+\cos ^{2} 73^{\circ}} \)
\( = \frac{\cos ^{2}\left(90^{\circ}-63^{\circ}\right)+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\cos ^{2} 17^{\circ}+\sin ^{2}\left(90^{\circ}-73^{\circ}\right)} \)
\( = \frac{\cos ^{2} 27^{\circ}+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\cos ^{2} 17^{\circ}+\sin ^{2} 17^{\circ}} \)
\( = \frac{1}{1} \) (કારણ કે \( \sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1 \) છે)
\( = 1 \)
(ii) \( \sin 25^{\circ} \cos 65^{\circ} + \cos 25^{\circ} \sin 65^{\circ} \)
\( = \sin 25^{\circ} \sin (90^{\circ} - 65^{\circ}) + \cos 25^{\circ} \cos (90^{\circ} - 65^{\circ}) \)
\( = \sin 25^{\circ} \sin 25^{\circ} + \cos 25^{\circ} \cos 25^{\circ} \)
\( = \sin^{2} 25^{\circ} + \cos^{2} 25^{\circ} \)
\( = 1 \) (કારણ કે \( \sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1 \) છે)
In simple words: આ દાખલાઓ ઉકેલવા માટે આપણે જાણીએ છીએ કે \( \sin (90^\circ - \theta) = \cos \theta \) અને \( \cos (90^\circ - \theta) = \sin \theta \) હોય છે. આ નિયમોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે સમીકરણોને સરળ બનાવીએ છીએ અને પછી \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને જવાબ 1 મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: પૂરક કોણના ત્રિકોણમિતિ ગુણોત્તરને યાદ રાખો અને તેનો ઉપયોગ આવા પ્રશ્નોને ઝડપથી હલ કરવા માટે કરો.

Question 4. સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો અને તમારી પસંદગીની યથાર્થતા ચકાસો.
(i) \( 9 \sec^{2} A – 9 \tan^{2} A = \)........
(a) 1
(b) 9
(c) 8
(d) None of the options
Answer: (b) 9
\( 9 \sec^{2} A – 9 \tan^{2} A = 9 (\sec^{2} A – \tan^{2} A) \)
\( = 9 (1) \)
\( = 9 \)
આથી, સાચો વિકલ્પ (b) 9 છે.
In simple words: આપણે 9 ને સામાન્ય કાઢીએ છીએ, અને પછી જાણીતા સૂત્ર \( \sec^{2} A – \tan^{2} A = 1 \) નો ઉપયોગ કરીને જવાબ 9 મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: આવા બહુવિકલ્પ પ્રશ્નો માટે, સામાન્ય અવયવો બહાર કાઢો અને પછી મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ ઓળખ લાગુ પાડો.

Question 4. (ii) \( (1 + \tan \theta + \sec \theta) (1 + \cot \theta – \operatorname{cosec} \theta) = \)........
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) -1
Answer: (c) 2
\( (1 + \tan \theta + \sec \theta) (1 + \cot \theta – \operatorname{cosec} \theta) \)
\( = \left(1 + \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{1}{\cos \theta}\right) \left(1 + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} - \frac{1}{\sin \theta}\right) \)
\( = \left(\frac{\cos \theta + \sin \theta + 1}{\cos \theta}\right) \left(\frac{\sin \theta + \cos \theta - 1}{\sin \theta}\right) \)
\( = \frac{(\sin \theta + \cos \theta)^{2} – (1)^{2}}{\sin \theta \cos \theta} \)
\( = \frac{\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta + 2 \sin \theta \cos \theta - 1}{\sin \theta \cos \theta} \)
\( = \frac{1 + 2 \sin \theta \cos \theta - 1}{\sin \theta \cos \theta} \)
\( = \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} \)
\( = 2 \)
આથી, સાચો વિકલ્પ (c) 2 છે.
In simple words: આ દાખલાને ઉકેલવા માટે, આપણે \( \tan \theta, \sec \theta, \cot \theta \) અને \( \operatorname{cosec} \theta \) ને \( \sin \theta \) અને \( \cos \theta \) માં બદલીએ છીએ. પછી સામાન્ય છેદ લઈને કૌંસને ગુણીએ છીએ અને \( (a+b)(a-b) = a^2-b^2 \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સાદુરૂપ આપીએ છીએ. અંતે, \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) નો ઉપયોગ કરીને જવાબ 2 મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે આવા જટિલ અભિવ્યક્તિઓ હોય, ત્યારે હંમેશા \( \sin \theta \) અને \( \cos \theta \) માં રૂપાંતરિત કરીને ગણતરી શરૂ કરો. આથી સાદુરૂપ આપવું સરળ બને છે.

Question 5. નીચેના નિત્યસમોમાં જેમના માટે પદાવલિ વ્યાખ્યાયિત કરી છે, તે ખૂણા લઘુકોણ છે. આ નિત્યસમો સાબિત કરો:
(i) \( (\operatorname{cosec} \theta – \cot \theta)^{2} = \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta} \)
Answer:
ડાબી બાજુ \( = (\operatorname{cosec} \theta – \cot \theta)^{2} \)
\( = \left(\frac{1}{\sin \theta} - \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)^{2} \)
\( = \left(\frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}\right)^{2} \)
\( = \frac{(1-\cos \theta)^{2}}{\sin^{2} \theta} \)
\( = \frac{(1-\cos \theta)^{2}}{1-\cos^{2} \theta} \)
\( = \frac{(1-\cos \theta)(1-\cos \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)} \)
\( = \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta} \)
\( = \) જમણી બાજુ
In simple words: ડાબી બાજુને ઉકેલવા માટે, આપણે \( \operatorname{cosec} \theta \) અને \( \cot \theta \) ને \( \sin \theta \) અને \( \cos \theta \) માં બદલીએ છીએ. પછી વર્ગ કરીને અને \( \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે ઉપર અને નીચેના પદોને રદ કરીએ છીએ જેથી જમણી બાજુ મળે.

Exam Tip: જ્યારે \( \operatorname{cosec} \theta \) અને \( \cot \theta \) ને લગતી ઓળખ સાબિત કરતા હોઈએ, ત્યારે તેમને \( \sin \theta \) અને \( \cos \theta \) માં બદલીને પ્રારંભ કરવો ઘણીવાર સરળ હોય છે.

Question 5. (ii) \( \frac{\cos A}{1+\sin A}+\frac{1+\sin A}{\cos A} = 2 \sec A \)
Answer:
ડાબી બાજુ \( = \frac{\cos A}{1+\sin A}+\frac{1+\sin A}{\cos A} \)
\( = \frac{\cos^{2} A + (1+\sin A)^{2}}{\cos A (1+\sin A)} \)
\( = \frac{\cos^{2} A + \sin^{2} A + 1 + 2 \sin A}{\cos A (1+\sin A)} \)
\( = \frac{1 + 1 + 2 \sin A}{\cos A (1+\sin A)} \)
\( = \frac{2 + 2 \sin A}{\cos A (1+\sin A)} \)
\( = \frac{2(1+\sin A)}{\cos A (1+\sin A)} \)
\( = \frac{2}{\cos A} \)
\( = 2 \sec A \)
\( = \) જમણી બાજુ
In simple words: ડાબી બાજુને સરળીકરણ કરવા માટે, આપણે અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરવા માટે સામાન્ય છેદ લઈએ છીએ. પછી \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અને સામાન્ય અવયવ બહાર કાઢીને, આપણે છેદને રદ કરીએ છીએ. આનાથી આપણને \( 2/\cos A \) મળે છે, જે \( 2 \sec A \) બરાબર છે, જે જમણી બાજુ છે.

Exam Tip: ઓળખ સાબિત કરવા માટે, અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરતી વખતે યોગ્ય સામાન્ય છેદ લેવાનું યાદ રાખો. આ ઘણીવાર \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) જેવા સૂત્રોના ઉપયોગ તરફ દોરી જાય છે.

Question 5. (iii) \( \frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta} = 1 + \sec \theta \operatorname{cosec} \theta \)
[સૂચન: પદાવલિને \( \sin \theta \) અને \( \cos \theta \) નાં સ્વરૂપે લખો.]
Answer:
ડાબી બાજુ \( = \frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta} \)
\( = \frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{1-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}} + \frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{1-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}} \)
\( = \frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\frac{\sin \theta - \cos \theta}{\sin \theta}} + \frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{\frac{\cos \theta - \sin \theta}{\cos \theta}} \)
\( = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \times \frac{\sin \theta}{\sin \theta - \cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \times \frac{\cos \theta}{\cos \theta - \sin \theta} \)
\( = \frac{\sin^{2} \theta}{\cos \theta (\sin \theta - \cos \theta)} + \frac{\cos^{2} \theta}{\sin \theta (\cos \theta - \sin \theta)} \)
\( = \frac{\sin^{2} \theta}{\cos \theta (\sin \theta - \cos \theta)} - \frac{\cos^{2} \theta}{\sin \theta (\sin \theta - \cos \theta)} \)
\( = \frac{\sin^{3} \theta - \cos^{3} \theta}{\sin \theta \cos \theta (\sin \theta - \cos \theta)} \)
\( = \frac{(\sin \theta - \cos \theta)(\sin^{2} \theta + \sin \theta \cos \theta + \cos^{2} \theta)}{\sin \theta \cos \theta (\sin \theta - \cos \theta)} \)
\( = \frac{1 + \sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} \)
\( = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} + \frac{\sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} \)
\( = \operatorname{cosec} \theta \sec \theta + 1 \)
\( = 1 + \sec \theta \operatorname{cosec} \theta \)
\( = \) જમણી બાજુ
In simple words: આ દાખલાને ઉકેલવા માટે, આપણે \( \tan \theta \) અને \( \cot \theta \) ને \( \sin \theta \) અને \( \cos \theta \) માં બદલીએ છીએ. પછી છેદને સમાન બનાવવા માટે સાદુરૂપ આપીએ છીએ. \( a^3 - b^3 \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે \( (\sin \theta - \cos \theta) \) પદને રદ કરીએ છીએ. અંતે, બાકીના પદોને અલગ પાડીને \( 1 + \sec \theta \operatorname{cosec} \theta \) મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે \( \tan \theta \) અને \( \cot \theta \) શામેલ હોય તેવી ઓળખને સાબિત કરતા હોઈએ, ત્યારે તેને \( \sin \theta \) અને \( \cos \theta \) માં બદલીને શરૂ કરો અને પછી \( a^3 - b^3 \) જેવા બીજગણિત સૂત્રો લાગુ કરો.

Question 5. (iv) \( \frac{1+\sec A}{\sec A}=\frac{\sin ^{2} A}{1-\cos A} \)
[સૂચન: ડાબી બાજુ અને જમણી બાજુનું અલગ અલગ સાદું રૂપ આપો.]
Answer:
ડાબી બાજુ \( = \frac{1+\sec A}{\sec A} \)
\( = \frac{1}{\sec A} + \frac{\sec A}{\sec A} \)
\( = \cos A + 1 \)
\( = 1 + \cos A \)

જમણી બાજુ \( = \frac{\sin^{2} A}{1-\cos A} \)
\( = \frac{1-\cos^{2} A}{1-\cos A} \)
\( = \frac{(1+\cos A)(1-\cos A)}{1-\cos A} \)
\( = 1+\cos A \)
આથી, ડાબી બાજુ \( = \) જમણી બાજુ
In simple words: આ ઓળખ સાબિત કરવા માટે, આપણે ડાબી બાજુ અને જમણી બાજુને અલગથી સરળ બનાવીએ છીએ. ડાબી બાજુને \( \cos A \) માં બદલીએ છીએ અને જમણી બાજુને \( \sin^2 A = 1 - \cos^2 A \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અવયવીકરણ કરીએ છીએ. બંને બાજુઓ \( 1 + \cos A \) બરાબર હોવાથી, ઓળખ સાબિત થાય છે.

Exam Tip: જો ડાબી અને જમણી બંને બાજુઓ જટિલ હોય, તો તેમને અલગથી સરળ બનાવવું ઘણીવાર અસરકારક હોય છે અને પછી તેમની સમાનતા ચકાસો.

Question 5. (v) નિત્યસમ \( \operatorname{cosec}^{2} A = 1 + \cot^{2} A \) નો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો: \( \frac{\cos A-\sin A+1}{\cos A+\sin A-1} = \operatorname{cosec} A + \cot A \)
Answer:
ડાબી બાજુ \( = \frac{\cos A-\sin A+1}{\cos A+\sin A-1} \)
(અંશ અને છેદ બંનેને \( \sin A \) વડે ભાગતાં)
\( = \frac{\frac{\cos A}{\sin A}-\frac{\sin A}{\sin A}+\frac{1}{\sin A}}{\frac{\cos A}{\sin A}+\frac{\sin A}{\sin A}-\frac{1}{\sin A}} \)
\( = \frac{\cot A-1+\operatorname{cosec} A}{\cot A+1-\operatorname{cosec} A} \)
\( = \frac{(\cot A+\operatorname{cosec} A)-1}{(\cot A-\operatorname{cosec} A)+1} \)
\( = \frac{(\cot A+\operatorname{cosec} A)-(\operatorname{cosec}^{2} A-\cot^{2} A)}{(\cot A-\operatorname{cosec} A)+1} \) (કારણ કે \( 1 = \operatorname{cosec}^{2} A - \cot^{2} A \))
\( = \frac{(\cot A+\operatorname{cosec} A)-(\operatorname{cosec} A-\cot A)(\operatorname{cosec} A+\cot A)}{(\cot A-\operatorname{cosec} A)+1} \)
\( = \frac{(\cot A+\operatorname{cosec} A)[1-(\operatorname{cosec} A-\cot A)]}{(\cot A-\operatorname{cosec} A)+1} \)
\( = \frac{(\cot A+\operatorname{cosec} A)(1-\operatorname{cosec} A+\cot A)}{(1-\operatorname{cosec} A+\cot A)} \)
\( = \cot A+\operatorname{cosec} A \)
\( = \operatorname{cosec} A+\cot A \)
\( = \) જમણી બાજુ
In simple words: આ ઓળખ સાબિત કરવા માટે, આપણે અંશ અને છેદને \( \sin A \) વડે ભાગીએ છીએ જેથી પદો \( \cot A \) અને \( \operatorname{cosec} A \) માં ફેરવાય. પછી, \( 1 \) ને \( \operatorname{cosec}^2 A - \cot^2 A \) તરીકે લખીએ છીએ અને તેને અવયવીકરણ કરીએ છીએ. સામાન્ય પદોને રદ કરવાથી આપણને \( \operatorname{cosec} A + \cot A \) મળે છે.

Exam Tip: જ્યારે \( \cot \theta \) અને \( \operatorname{cosec} \theta \) ને લગતી ઓળખ સાબિત કરતા હોઈએ, ત્યારે \( 1 = \operatorname{cosec}^{2} \theta - \cot^{2} \theta \) ઓળખનો ઉપયોગ કરવો ઘણીવાર ફાયદાકારક હોય છે.

Question 5. (vi) \( \sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}} = \sec A + \tan A \)
Answer:
ડાબી બાજુ \( = \sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}} \)
\( = \sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A} \times \frac{1+\sin A}{1+\sin A}} \)
\( = \sqrt{\frac{(1+\sin A)^{2}}{1-\sin^{2} A}} \)
\( = \sqrt{\frac{(1+\sin A)^{2}}{\cos^{2} A}} \)
\( = \frac{1+\sin A}{\cos A} \)
\( = \frac{1}{\cos A} + \frac{\sin A}{\cos A} \)
\( = \sec A + \tan A \)
\( = \) જમણી બાજુ
In simple words: ડાબી બાજુને ઉકેલવા માટે, આપણે છેદના વિરોધી પદ \( (1+\sin A) \) વડે અંશ અને છેદને ગુણીએ છીએ. આનાથી વર્ગમૂળ દૂર થાય છે અને \( \cos^2 A \) મળે છે. પછી પદને અલગ પાડીને \( \sec A + \tan A \) મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે વર્ગમૂળમાં ત્રિકોણમિતિ પદો હોય, ત્યારે ઘણીવાર છેદના વિરોધી પદ વડે ગુણીને વર્ગમૂળ દૂર કરવું અને પછી સૂત્રો લાગુ કરવા એ શ્રેષ્ઠ રીત છે.

Question 5. (vii) \( \frac{\sin \theta-2 \sin ^{3} \theta}{2 \cos ^{3} \theta-\cos \theta} = \tan \theta \)
Answer:
ડાબી બાજુ \( = \frac{\sin \theta-2 \sin ^{3} \theta}{2 \cos ^{3} \theta-\cos \theta} \)
\( = \frac{\sin \theta(1-2 \sin^{2} \theta)}{\cos \theta (2 \cos^{2} \theta-1)} \)
\( = \frac{\sin \theta(\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta-2 \sin^{2} \theta)}{\cos \theta (2 \cos^{2} \theta-(\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta))} \) (કારણ કે \( \sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1 \))
\( = \frac{\sin \theta(\cos^{2} \theta-\sin^{2} \theta)}{\cos \theta (\cos^{2} \theta-\sin^{2} \theta)} \)
\( = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \)
\( = \tan \theta \)
\( = \) જમણી બાજુ
In simple words: ડાબી બાજુને સરળ બનાવવા માટે, આપણે અંશમાંથી \( \sin \theta \) અને છેદમાંથી \( \cos \theta \) ને સામાન્ય કાઢીએ છીએ. પછી, કૌંસમાં \( 1 \) ને \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta \) માં બદલીએ છીએ. આનાથી કૌંસના પદો સમાન બને છે અને રદ થઈ જાય છે, અને \( \sin \theta / \cos \theta \), એટલે કે \( \tan \theta \) બાકી રહે છે.

Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, \( \sin \theta \) અને \( \cos \theta \) ને સામાન્ય કાઢવાથી ઘણીવાર \( \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \) જેવા પદો મળે છે, જે પછી રદ થઈ શકે છે.

Question 5. (viii) \( (\sin A + \operatorname{cosec} A)^{2} + (\cos A + \sec A)^{2} = 7 + \tan^{2} A + \cot^{2} A \)
Answer:
ડાબી બાજુ \( = (\sin A + \operatorname{cosec} A)^{2} + (\cos A + \sec A)^{2} \)
\( = (\sin^{2} A + 2 \sin A \operatorname{cosec} A + \operatorname{cosec}^{2} A) + (\cos^{2} A + 2 \cos A \sec A + \sec^{2} A) \)
\( = \sin^{2} A + 2(1) + \operatorname{cosec}^{2} A + \cos^{2} A + 2(1) + \sec^{2} A \) (કારણ કે \( \sin A \operatorname{cosec} A = 1 \) અને \( \cos A \sec A = 1 \))
\( = (\sin^{2} A + \cos^{2} A) + 2 + 2 + \operatorname{cosec}^{2} A + \sec^{2} A \)
\( = 1 + 4 + (1 + \cot^{2} A) + (1 + \tan^{2} A) \) (કારણ કે \( \sin^{2} A + \cos^{2} A = 1 \), \( \operatorname{cosec}^{2} A = 1 + \cot^{2} A \), \( \sec^{2} A = 1 + \tan^{2} A \))
\( = 5 + 1 + \cot^{2} A + 1 + \tan^{2} A \)
\( = 7 + \tan^{2} A + \cot^{2} A \)
\( = \) જમણી બાજુ
In simple words: ડાબી બાજુને ઉકેલવા માટે, આપણે \( (a+b)^2 \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બંને કૌંસ ખોલીએ છીએ. પછી \( \sin A \operatorname{cosec} A = 1 \) અને \( \cos A \sec A = 1 \) સૂત્રો લાગુ પાડીએ છીએ. \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \), \( \operatorname{cosec}^2 A = 1 + \cot^2 A \) અને \( \sec^2 A = 1 + \tan^2 A \) સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે બધા પદોનો સરવાળો કરીએ છીએ અને 7 + \( \tan^2 A \) + \( \cot^2 A \) મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: આ પ્રકારના પ્રશ્નોમાં, વર્ગના વિસ્તરણ પછી, મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ ઓળખને યાદ રાખવી મહત્વપૂર્ણ છે જેમ કે \( \sin \theta \operatorname{cosec} \theta = 1 \) અને \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \).

Question 5. (ix) \( (\operatorname{cosec} A – \sin A) (\sec A – \cos A) = \frac{1}{\tan A+\cot A} \)
Answer:
ડાબી બાજુ \( = (\operatorname{cosec} A – \sin A) (\sec A – \cos A) \)
\( = \left(\frac{1}{\sin A} - \sin A\right) \left(\frac{1}{\cos A} - \cos A\right) \)
\( = \left(\frac{1-\sin^{2} A}{\sin A}\right) \left(\frac{1-\cos^{2} A}{\cos A}\right) \)
\( = \left(\frac{\cos^{2} A}{\sin A}\right) \left(\frac{\sin^{2} A}{\cos A}\right) \)
\( = \frac{\cos^{2} A \sin^{2} A}{\sin A \cos A} \)
\( = \sin A \cos A \)

જમણી બાજુ \( = \frac{1}{\tan A + \cot A} \)
\( = \frac{1}{\frac{\sin A}{\cos A} + \frac{\cos A}{\sin A}} \)
\( = \frac{1}{\frac{\sin^{2} A + \cos^{2} A}{\sin A \cos A}} \)
\( = \frac{1}{\frac{1}{\sin A \cos A}} \)
\( = \sin A \cos A \)
આથી, ડાબી બાજુ \( = \) જમણી બાજુ
In simple words: આ દાખલાને ઉકેલવા માટે, આપણે ડાબી બાજુને \( \sin A \) અને \( \cos A \) માં બદલીએ છીએ અને પછી ગુણાકાર કરીને \( \sin A \cos A \) મેળવીએ છીએ. જમણી બાજુને પણ \( \sin A \) અને \( \cos A \) માં બદલીએ છીએ અને છેદનો વ્યસ્ત કરીને \( \sin A \cos A \) મેળવીએ છીએ. બંને બાજુઓ સમાન હોવાથી, ઓળખ સાબિત થાય છે.

Exam Tip: જ્યારે \( \operatorname{cosec} A, \sec A, \tan A, \cot A \) જેવા પદો મિશ્રિત હોય, ત્યારે તેમને \( \sin A \) અને \( \cos A \) માં રૂપાંતરિત કરવું એ ઓળખ સાબિત કરવાનો સારો પ્રારંભિક બિંદુ છે.

Question 5. (x) \( \left(\frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}\right)=\left(\frac{1-\tan A}{1-\cot A}\right)^{2} = \tan ^{2} A \)
Answer:
પહેલો ભાગ \( = \left(\frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}\right) \)
\( = \frac{\sec^{2} A}{\operatorname{cosec}^{2} A} \)
\( = \frac{\frac{1}{\cos^{2} A}}{\frac{1}{\sin^{2} A}} \)
\( = \frac{\sin^{2} A}{\cos^{2} A} \)
\( = \tan^{2} A \)

બીજો ભાગ \( = \left(\frac{1-\tan A}{1-\cot A}\right)^{2} \)
\( = \left(\frac{1-\tan A}{1-\frac{1}{\tan A}}\right)^{2} \)
\( = \left(\frac{1-\tan A}{\frac{\tan A-1}{\tan A}}\right)^{2} \)
\( = \left(\frac{-( \tan A-1)}{\frac{\tan A-1}{\tan A}}\right)^{2} \)
\( = (-\tan A)^{2} \)
\( = \tan^{2} A \)
આમ, \( \left(\frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}\right)=\left(\frac{1-\tan A}{1-\cot A}\right)^{2} = \tan ^{2} A \) છે.
In simple words: આ દાખલાને ઉકેલવા માટે, આપણે બે અલગ ભાગોને \( \tan^2 A \) બરાબર સાબિત કરીએ છીએ. પ્રથમ ભાગમાં, આપણે \( 1+\tan^2 A = \sec^2 A \) અને \( 1+\cot^2 A = \operatorname{cosec}^2 A \) સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, અને પછી તેમને \( \sin A \) અને \( \cos A \) માં બદલીને \( \tan^2 A \) મેળવીએ છીએ. બીજા ભાગમાં, આપણે \( \cot A \) ને \( 1/\tan A \) માં બદલીએ છીએ, છેદને સરળ બનાવીએ છીએ અને પછી કૌંસને વર્ગ કરીને \( \tan^2 A \) મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: જટિલ ઓળખ સાબિત કરતી વખતે, દરેક ભાગને અલગથી સરળ બનાવવું અને પછી તેમની સમાનતા ચકાસવી એ સારી વ્યૂહરચના છે. \( \sec^{2} A = 1+\tan^{2} A \) અને \( \operatorname{cosec}^{2} A = 1+\cot^{2} A \) નો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે.