GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 7 યામ ભૂમિતિ Exercise 7.3

Question 1. જેનાં શિરોબિંદુઓ નીચે પ્રમાણે છે તેવા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધોઃ
(i) (2, 3), (- 1, 6), (2, – 4)
(ii) (- 8, – 1), (3, – 5), (5, 2).
Answer:
(i) ધારો કે, ત્રિકોણ ABCના શિરોબિંદુઓ A \( (2, 3) \), B \( (-1, 0) \) અને C \( (2, -4) \) છે. ક્ષેત્રફળના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, ત્રિકોણ ABCનું ક્ષેત્રફળ \( = \frac{1}{2} [x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)] \)
\( = \frac{1}{2} [2(0 - (-4)) + (-1)(-4 - 3) + 2(3 - 0)] \)
\( = \frac{1}{2} [2(4) + (-1)(-7) + 2(3)] \)
\( = \frac{1}{2} [8 + 7 + 6] \)
\( = \frac{1}{2} (21) = \frac{21}{2} \) ચોરસ એકમ.
તેથી, આપેલા બિંદુઓવાળા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ \( \frac{21}{2} \) ચોરસ એકમ પ્રાપ્ત થાય છે.
(ii) આપેલા ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ \( (-5, -1) \), \( (3, -5) \) અને \( (5, 2) \) છે. ક્ષેત્રફળ સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાથી, આપેલ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ \( = \frac{1}{2} [-5(-5 - 2) + 3(2 - (-1)) + 5(-1 - (-5))] \)
\( = \frac{1}{2} [-5(-7) + 3(2 + 1) + 5(-1 + 5)] \)
\( = \frac{1}{2} [35 + 9 + 20] \)
\( = \frac{1}{2} (64) = 32 \) ચોરસ એકમ.
આમ, આપેલ શિરોબિંદુઓવાળા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ 32 ચોરસ એકમ છે.
In simple words: ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર વાપરીને, આપેલા બિંદુઓમાંથી પસાર થતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધી શકાય છે. ગણતરી કરતા, આપણને \( \frac{21}{2} \) ચોરસ એકમ અને 32 ચોરસ એકમ મળે છે.

Exam Tip: Make sure to correctly substitute the coordinates of the vertices into the area formula for a triangle. Pay close attention to the signs and perform calculations carefully to avoid arithmetic errors.

Question 2. નીચે આપેલાં બિંદુઓ સમરેખ હોય તો પ્રત્યેકમાં ‘k′ ની કિંમત શોધોઃ
(i) (7, – 2), (5, 1), (3, k)
(ii) (8, 1), (k, – 4), (2, – 3)
Answer:
(i) જો બિંદુઓ \( (7, -2) \), \( (5, 1) \) અને \( (3, k) \) એક જ રેખા પર હોય, તો તેમનાથી બનતા કાલ્પનિક ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય ગણાય.
તેથી, ક્ષેત્રફળના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને:
\( \frac{1}{2} [7 (1 - k) + 5 (k - (-2)) + 3(-2 - 1)] = 0 \)
\( \frac{1}{2} [7 - 7k + 5k + 10 - 9] = 0 \)
\( \frac{1}{2} [-2k + 8] = 0 \)
\( -2k + 8 = 0 \)
\( 2k = 8 \)
\( k = 4 \)
(ii) જો બિંદુઓ \( (8, 1) \), \( (k, -4) \) અને \( (2, -3) \) સમરેખ હોય, તો તેમના દ્વારા બનતા કાલ્પનિક ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય ગણાય.
ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર વાપરીને:
\( \frac{1}{2} [x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)] = 0 \)
\( \frac{1}{2} [8(-4 - (-3)) + k(-3 - 1) + 2(1 - (-4))] = 0 \)
\( \frac{1}{2} [8(-4 + 3) + k(-4) + 2(1 + 4)] = 0 \)
\( \frac{1}{2} [8(-1) - 4k + 2(5)] = 0 \)
\( \frac{1}{2} [-8 - 4k + 10] = 0 \)
\( \frac{1}{2} [2 - 4k] = 0 \)
\( 2 - 4k = 0 \)
\( 2 = 4k \)
\( k = \frac{2}{4} \)
\( k = \frac{1}{2} \)
આમ, kનું મૂલ્ય \( \frac{1}{2} \) છે.
In simple words: જો ત્રણ બિંદુઓ એક જ રેખા પર હોય, તો તેમનાથી બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ હંમેશા શૂન્ય હોય છે. આ નિયમનો ઉપયોગ કરીને, આપણે k નું મૂલ્ય શોધી શકીએ છીએ, જે અનુક્રમે 4 અને \( \frac{1}{2} \) આવે છે.

Exam Tip: Remember that if three points are collinear (lie on the same straight line), the area of the triangle formed by them must be zero. Set up the area formula equal to zero and solve for the unknown variable 'k'.

Question 3. જેનાં શિરોબિંદુઓ (0,- 1), (2, 1) અને (0, 3) હોય, તેવા ત્રિકોણની બાજુઓનાં મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો. આ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ અને આપેલ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર શોધો.
Answer: ધારો કે, આપેલા ત્રિકોણ ABCના શિરોબિંદુઓ A \( (0, -1) \), B \( (2, 1) \) અને C \( (0, 3) \) છે. D, E અને F એ અનુક્રમે BC, CA અને AB બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ D ના યામ: \( (\frac{2+0}{2}, \frac{1+3}{2}) = (1, 2) \)
મધ્યબિંદુ E ના યામ: \( (\frac{0+0}{2}, \frac{3+(-1)}{2}) = (0, 1) \)
મધ્યબિંદુ F ના યામ: \( (\frac{0+2}{2}, \frac{-1+1}{2}) = (1, 0) \)
હવે, ત્રિકોણ DEF નું ક્ષેત્રફળ શોધીએ:
ક્ષેત્રફળ \( = \frac{1}{2} [1(1-0) + 0(0-2) + 1(2-1)] \)
\( = \frac{1}{2} [1 + 0 + 1] = \frac{1}{2} (2) = 1 \) ચોરસ એકમ.
અને ત્રિકોણ ABC નું ક્ષેત્રફળ શોધીએ:
ક્ષેત્રફળ \( = \frac{1}{2} [0(1-3) + 2(3 - (-1)) + 0(-1-1)] \)
\( = \frac{1}{2} [0 + 2(4) + 0] = \frac{1}{2} (8) = 4 \) ચોરસ એકમ.
આમ, ત્રિકોણ DEF ના ક્ષેત્રફળ અને ત્રિકોણ ABC ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર \( 1 : 4 \) છે.
In simple words: સૌ પ્રથમ, આપેલા ત્રિકોણના મધ્યબિંદુઓ શોધીએ. પછી, તે મધ્યબિંદુઓથી બનતા નાના ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ ગણીએ. અંતે, બંને ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની સરખામણી કરીને ગુણોત્તર \( 1 : 4 \) મેળવી શકાય છે.

Exam Tip: When dealing with midpoints, first calculate the coordinates of each midpoint using the midpoint formula. Then, compute the areas of both the original triangle and the triangle formed by the midpoints before finding their ratio.

Question 4. એક ચતુષ્કોણનાં ક્રમિક શિરોબિંદુઓ (- 4, – 2), (- 3, – 5), (3, – 2) અને (2, 3) હોય, તો તેનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: આપણે ચતુષ્કોણ ABCD ના શિરોબિંદુઓ A \( (-4, -2) \), B \( (-3, -5) \), C \( (3, -2) \) અને D \( (2, 3) \) ધારી લઈએ. વિકર્ણ AC દોરવાથી, આ ચતુષ્કોણ બે ત્રિકોણ ABC અને ADC માં વિભાજિત થાય છે.
પ્રથમ, ત્રિકોણ ABC ના શિરોબિંદુઓ A \( (-4, -2) \), B \( (-3, -5) \) અને C \( (3, -2) \) માટે ક્ષેત્રફળ શોધીએ:
ક્ષેત્રફળ \( = \frac{1}{2} [-4(-5 - (-2)) + (-3)(-2 - (-2)) + 3(-2 - (-5))] \)
\( = \frac{1}{2} [-4(-3) + (-3)(0) + 3(3)] \)
\( = \frac{1}{2} [12 + 0 + 9] = \frac{21}{2} \) ચોરસ એકમ.
બીજું, ત્રિકોણ ADC ના શિરોબિંદુઓ A \( (-4, -2) \), D \( (2, 3) \) અને C \( (3, -2) \) માટે ક્ષેત્રફળ શોધીએ:
ક્ષેત્રફળ \( = \frac{1}{2} [-4(3 - (-2)) + 2(-2 - (-2)) + 3(-2 - 3)] \)
\( = \frac{1}{2} [-4(5) + 2(0) + 3(-5)] \)
\( = \frac{1}{2} [-20 + 0 - 15] = \frac{1}{2} (-35) \).
ક્ષેત્રફળ ક્યારેય ઋણ હોતું નથી, તેથી આપણે તેની સંખ્યાત્મક કિંમત \( \frac{35}{2} \) ચોરસ એકમ લઈએ છીએ.
છેલ્લે, ચતુષ્કોણ ABCD નું કુલ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે બંને ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો કરીએ:
કુલ ક્ષેત્રફળ \( = \frac{21}{2} + \frac{35}{2} = \frac{56}{2} = 28 \) ચોરસ એકમ.
આમ, આપેલા ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ 28 ચોરસ એકમ છે.
In simple words: ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, તેને એક વિકર્ણ દ્વારા બે ત્રિકોણમાં વહેંચો. પછી, દરેક ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ અલગથી ગણો અને તેનો સરવાળો કરો. ગણતરી કરતા, આપણને 28 ચોરસ એકમનું કુલ ક્ષેત્રફળ મળે છે.

Exam Tip: To find the area of a quadrilateral, divide it into two non-overlapping triangles by drawing a diagonal. Calculate the area of each triangle separately, taking the absolute value for any negative area, and then sum them up for the total quadrilateral area.

Question 5. તમે ધોરણ IX(પ્રકરણ 9, પ્રશ્ન નં. ૩)માં શીખ્યા છો કે ત્રિકોણની મધ્યગા ત્રિકોણનું બે સમાન ક્ષેત્રફળવાળા ત્રિકોણમાં વિભાજન કરે છે. જેનાં શિરોબિંદુઓ A (4, – 6), B (3, – 2) અને C (5, 2) હોય તેવ A ABC માટે આ પરિણામ ચકાસો.
Answer: ધારો કે, ત્રિકોણ ABC ના શિરોબિંદુઓ A \( (4, -6) \), B \( (3, -2) \) અને C \( (5, 2) \) છે. AD એ મધ્યગા છે, તેથી D એ BC નું મધ્યબિંદુ છે.
D ના યામ: \( (\frac{3+5}{2}, \frac{-2+2}{2}) = (\frac{8}{2}, \frac{0}{2}) = (4, 0) \).
પ્રથમ, ત્રિકોણ ABC નું ક્ષેત્રફળ શોધીએ:
ક્ષેત્રફળ \( = \frac{1}{2} [4(-2 - 2) + 3(2 - (-6)) + 5(-6 - (-2))] \)
\( = \frac{1}{2} [4(-4) + 3(8) + 5(-4)] \)
\( = \frac{1}{2} [-16 + 24 - 20] = \frac{1}{2} (-12) = 6 \) ચોરસ એકમ (ઋણ મૂલ્યનું માનાંક લેતા).
હવે, મધ્યગા AD દ્વારા બનતા બે ત્રિકોણ ADB અને ADC ના ક્ષેત્રફળ શોધીએ:
ત્રિકોણ ADB ના શિરોબિંદુઓ A \( (4, -6) \), D \( (4, 0) \) અને B \( (3, -2) \) છે.
ક્ષેત્રફળ \( = \frac{1}{2} [4(0 - (-2)) + 4(-2 - (-6)) + 3(-6 - 0)] \)
\( = \frac{1}{2} [4(2) + 4(4) + 3(-6)] \)
\( = \frac{1}{2} [8 + 16 - 18] = \frac{1}{2} (6) = 3 \) ચોરસ એકમ.
ત્રિકોણ ADC ના શિરોબિંદુઓ A \( (4, -6) \), D \( (4, 0) \) અને C \( (5, 2) \) છે.
ક્ષેત્રફળ \( = \frac{1}{2} [4(0 - 2) + 4(2 - (-6)) + 5(-6 - 0)] \)
\( = \frac{1}{2} [4(-2) + 4(8) + 5(-6)] \)
\( = \frac{1}{2} [-8 + 32 - 30] = \frac{1}{2} (-6) = 3 \) ચોરસ એકમ (ઋણ મૂલ્યનું માનાંક લેતા).
આથી, ત્રિકોણ ADB નું ક્ષેત્રફળ = ત્રિકોણ ADC નું ક્ષેત્રફળ = \( \frac{1}{2} \) ત્રિકોણ ABC નું ક્ષેત્રફળ.
આમ, ત્રિકોણની મધ્યગા તેને બે સમાન ક્ષેત્રફળવાળા ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે તે પરિણામ ચકાસાઈ ગયું.
In simple words: એક ત્રિકોણની મધ્યગા તેને બે નાના ત્રિકોણમાં વિભાજન કરે છે. આ નાના ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ મૂળ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળથી અડધું હોય છે અને બંને નાના ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ સરખું હોય છે. આ રીતે, આપણે આ ગુણધર્મને ચકાસી શકીએ છીએ.

Exam Tip: When verifying properties involving medians, first determine the coordinates of the midpoint that forms the median. Then, calculate the area of the original triangle and the areas of the two smaller triangles formed by the median. Ensure the sum of the smaller areas equals the original, and that the smaller areas are equal to each other.