GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 7 યામ ભૂમિતિ Exercise 7.2

Question 1. બિંદુઓ (- 1, 7) અને (4, – 3) ને જોડતા રેખાખંડનું 2 : 3 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુના યામ શોધો.
Answer: માની લઈએ કે, \( P (x, y) \) એ \( (- 1, 7) \) અને \( (4, – 3) \) ને જોડતા રેખાખંડનું \( 2 : 3 \) ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું બિંદુ છે. તો વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાથી,
\( x = \frac{2(4)+3(-1)}{2+3} = \frac{8-3}{5} = \frac{5}{5} = 1 \)
અને
\( y = \frac{2(-3)+3(7)}{2+3} = \frac{-6+21}{5} = \frac{15}{5} = 3 \)
તેથી, \( (- 1, 7) \) અને \( (4, – 3) \) ને જોડતા રેખાખંડનું \( 2 : 3 \) ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુના યામ \( (1, 3) \) મળે છે.
In simple words: પહેલા, આપેલ બિંદુઓ અને ગુણોત્તર માટે વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરો. પછી x અને y ના મૂલ્યો શોધવા માટે ગણતરી કરો. આ તમને ગુણોત્તરમાં રેખાખંડને વિભાજીત કરતા બિંદુના યામ આપશે.

Exam Tip: વિભાજન સૂત્રને કાળજીપૂર્વક લાગુ કરો, ખાસ કરીને ગુણોત્તર \( m_1 : m_2 \) ને યોગ્ય રીતે ગોઠવીને અને નિર્દેશાંકની ગણતરીમાં ભૂલો ટાળવા માટે. જો બિંદુઓ અને ગુણોત્તર યોગ્ય રીતે દાખલ કરવામાં આવે, તો તમને સાચો જવાબ મળશે.

Question 2. બિંદુઓ (4, – 1) અને (- 2, – 3)ને જોડતા રેખાખંડના ત્રિભાગ બિંદુઓના કામ મેળવો.
Answer: માની લઈએ કે, \( A (4, – 1) \) અને \( B (- 2, – 3) \) આપેલા બિંદુઓ છે તથા \( P \) અને \( Q \) એ રેખાખંડ \( AB \) ના ત્રિભાગ બિંદુઓ છે.
આનો અર્થ એ થાય કે \( AP = PQ = QB \).
તેથી, \( P \) એ \( AB \) નું \( 1 : 2 \) ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
આથી વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાથી, બિંદુ \( P \) ના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
\( P = \left(\frac{1(-2)+2(4)}{1+2}, \frac{1(-3)+2(-1)}{1+2}\right) = \left(\frac{-2+8}{3}, \frac{-3-2}{3}\right) = \left(\frac{6}{3}, -\frac{5}{3}\right) = \left(2,-\frac{5}{3}\right) \)
તે જ રીતે, \( Q \) એ \( AB \) નું \( 2 : 1 \) ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
આથી વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાથી, બિંદુ \( Q \) ના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
\( Q = \left(\frac{2(-2)+1(4)}{2+1}, \frac{2(-3)+1(-1)}{2+1}\right) = \left(\frac{-4+4}{3}, \frac{-6-1}{3}\right) = \left(\frac{0}{3}, -\frac{7}{3}\right) = \left(0,-\frac{7}{3}\right) \)
તેથી, બિંદુઓ \( (4, – 1) \) અને \( (- 2, – 3) \) ને જોડતા રેખાખંડના ત્રિભાગ બિંદુઓના યામ \( (2, – \frac{5}{3}) \) અને \( (0, - \frac{7}{3}) \) છે.
\( Q \) માટેની વૈકલ્પિક રીત:
અહીં, \( Q \) એ બિંદુઓ \( P (2, -\frac{5}{3}) \) અને \( B(- 2, – 3) \) ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ થાય.
આથી મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાથી, બિંદુ \( Q \) ના યામ = \( \left(\frac{2+(-2)}{2}, \frac{-\frac{5}{3}+(-3)}{2}\right) = \left(\frac{0}{2}, \frac{-\frac{5}{3}-\frac{9}{3}}{2}\right) = \left(0, \frac{-\frac{14}{3}}{2}\right) = \left(0,-\frac{7}{3}\right) \)
In simple words: ત્રિભાગ બિંદુઓ એટલે એવા બિંદુઓ જે રેખાને ત્રણ સમાન ભાગમાં વહેંચે છે. તમારે વિભાજન સૂત્રનો બે વાર ઉપયોગ કરીને બે બિંદુઓ શોધવાના છે: એક માટે 1:2 ગુણોત્તર અને બીજા માટે 2:1 ગુણોત્તર. વૈકલ્પિક રીતે, બીજું બિંદુ પ્રથમ બિંદુ અને અંતિમ બિંદુનું મધ્યબિંદુ હોઈ શકે છે.

Exam Tip: ત્રિભાગ બિંદુઓ શોધવા માટે, રેખાખંડને \(1:2\) અને \(2:1\) ના ગુણોત્તરમાં વિભાજીત કરતા બિંદુઓ શોધો. જો તમે એક બિંદુ શોધી લો, તો બીજું બિંદુ શોધવા માટે મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકાય છે, જે ગણતરીને સરળ બનાવે છે.

Question 3. તમારી શાળાના લંબચોરસ આકારના મેદાન ABCDમાં રમતગમત દિવસની પ્રવૃત્તિઓ યોજેલ છે. ચોક પાઉડરની મદદથી એક-એક મીટરના અંતરે રેખાઓ દોરેલી છે. આપેલ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર AD પર પ્રત્યેક 1 મીટરના અંતરે હોય તેવા 100 ફૂલનાં કૂંડાં મૂક્યા છે. નિહારિકા બીજી હરોળમાં દોડે છે અને તેણે ADનું \( \frac{1}{4} \) ભાગનું અંતર કાપ્યું છે અને ત્યાં લીલો ધ્વજ ફરકાવે છે. પ્રિત આઠમી હરોળમાં દોડે છે અને તેણે ADનું \( \frac{1}{5} \) ભાગ અંતર કાપ્યું છે અને ત્યાં લાલ ધ્વજ ફરકાવે છે. આ બંને ધ્વજ વચ્ચેનું અંતર કેટલું થશે? જો રશ્મિએ આ બંને ધ્વજને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુ પર વાદળી ધ્વજ ફરકાવવાનો હોય, તો તે ધ્વજને ક્યાં ફરકાવશે?
Answer: આપણે લંબચોરસ ABCD ને યામ-સમતલ તરીકે લઈએ, જેમાં બિંદુ \( A \) ઉગમબિંદુ થાય.
તો, \( AD = 100 \) મીટર છે અને દરેક મીટરના અંતરે દોરેલી રેખાઓ તેમનું x-અક્ષ પરનું અંતર દર્શાવે છે. નિહારિકા \( AD \) ના \( \frac{1}{4} \) ભાગનું અંતર કાપે છે.
તેથી, નિહારિકાએ કાપેલું અંતર = \( \frac{1}{4} \times 100 \) મી = \( 25 \) મી
નિહારિકા બીજી રેખા પર દોડે છે.
આથી નિહારિકાએ જે જગ્યાએ લીલો ધ્વજ ફરકાવ્યો છે તે બિંદુ \( N \) ના યામ \( (2, 25) \) થાય.
તે જ પ્રમાણે, બિંદુ \( P \) કે જ્યાં પ્રિતે લાલ ધ્વજ ફરકાવ્યો છે તે બિંદુના યામ \( (8, 20) \) થાય.
બે ધ્વજ વચ્ચેનું અંતર (મીટરમાં) શોધવા માટે આપણે \( N (2, 25) \) અને \( P (8, 20) \) ને જોડતા રેખાખંડની લંબાઈ શોધવી પડે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાથી,
\( NP = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}} \)
\( = \sqrt{(8-2)^{2}+(20-25)^{2}} \)
\( = \sqrt{(6)^{2}+(-5)^{2}} \)
\( = \sqrt{36+25} = \sqrt{61} \) મી
હવે, રશ્મિએ લીલા ધ્વજ અને લાલ ધ્વજનાં સ્થાનોને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુ પર વાદળી ધ્વજ ફરકાવવાનો છે.
આથી આપણે \( N (2, 25) \) અને \( P (8, 20) \) ને જોડતા રેખાખંડ \( NP \) ના મધ્યબિંદુ \( R \) ના યામ મેળવવા જોઈએ.
મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાથી, બિંદુ \( R \) ના યામ નીચે પ્રમાણે મળે છે:
\( R = \left(\frac{2+8}{2}, \frac{25+20}{2}\right) = \left(\frac{10}{2}, \frac{45}{2}\right) = (5, 22.5) \)
આ દર્શાવે છે કે રશ્મિએ પાંચમી રેખા પર \( 22.5 \) મીટર દૂર તેનો વાદળી ધ્વજ ફરકાવવો જોઈએ.
તેથી, લીલા ધ્વજ અને લાલ ધ્વજ વચ્ચેનું અંતર \( \sqrt{61} \) મીટર થાય અને રશ્મિએ તેનો વાદળી ધ્વજ પાંચમી રેખા પર \( 22.5 \) મીટર દૂર ફરકાવવો જોઈએ.
In simple words: પહેલા નિહારિકા અને પ્રિતના ધ્વજ ક્યાં છે તે શોધો. પછી, અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બંને ધ્વજ વચ્ચેનું અંતર શોધો. છેલ્લે, રશ્મિનો ધ્વજ ક્યાં હશે તે શોધવા માટે મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરો.

Exam Tip: ભૂમિતિના આવા પ્રશ્નોમાં, બિંદુઓના યામ નક્કી કરવા અને પછી અંતર સૂત્ર અને મધ્યબિંદુ સૂત્રનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરવો મહત્વપૂર્ણ છે. દરેક પગલાની સ્પષ્ટપણે ગણતરી કરો અને એકમોને યાદ રાખો.

Question 4. બિંદુ (-1, 6) બિંદુઓ (-3, 10) અને (6, -8)ને જોડતા રેખાખંડનું કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરશે?
Answer: ધારો કે, બિંદુ \( P(- 1, 6) \) એ બિંદુઓ \( A(- 3, 10) \) અને \( B (6, – 8) \) ને જોડતા રેખાખંડનું \( m_1 : m_2 \) ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાથી,
\( (-1, 6) = \left(\frac{m_1(6)+m_2(-3)}{m_1+m_2}, \frac{m_1(-8)+m_2(10)}{m_1+m_2}\right) \)
\( (-1, 6) = \left(\frac{6 m_1-3 m_2}{m_1+m_2}, \frac{-8 m_1+10 m_2}{m_1+m_2}\right) \)
બંને બાજુના યામ સરખાવતાં, આપણે x-નિર્દેશાંકનો ઉપયોગ કરીશું:
\( - 1 = \frac{6 m_1-3 m_2}{m_1+m_2} \)
\( - (m_1+m_2) = 6 m_1-3 m_2 \)
\( - m_1 - m_2 = 6 m_1 - 3 m_2 \)
\( - m_2 + 3 m_2 = 6 m_1 + m_1 \)
\( 2 m_2 = 7 m_1 \)
\( \frac{m_1}{m_2} = \frac{2}{7} \)
હવે, y-નિર્દેશાંકની ચકાસણી કરતાં,
\( \frac{-8 m_1+10 m_2}{m_1+m_2} = \frac{-8 \frac{m_1}{m_2}+10}{\frac{m_1}{m_2}+1} \) ( \( m_2 \) વડે ભાગતાં)
\( = \frac{-8\left(\frac{2}{7}\right)+10}{\frac{2}{7}+1} \)
\( = \frac{-\frac{16}{7}+10}{\frac{2+7}{7}} \)
\( = \frac{\frac{-16+70}{7}}{\frac{9}{7}} \)
\( = \frac{54}{9} = 6 \)
આ y-નિર્દેશાંક આપેલ બિંદુ \( P(-1, 6) \) ના y-નિર્દેશાંક સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી, બિંદુ \( (- 1, 6) \) એ બિંદુઓ \( (- 3, 10) \) અને \( (6, – 8) \) ને જોડતા રેખાખંડનું \( 2 : 7 \) ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરશે.
In simple words: બે આપેલા બિંદુઓ અને એક રેખાખંડ પરના બિંદુને ધ્યાનમાં લઈને, તમે વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગુણોત્તર શોધી શકો છો. x અથવા y નિર્દેશાંકમાંથી કોઈપણ એકનો ઉપયોગ કરીને ગુણોત્તર \( m_1:m_2 \) શોધો.

Exam Tip: ગુણોત્તર શોધવા માટે, આપેલ બિંદુને \( (x, y) \) અને અન્ય બે બિંદુઓને \( (x_1, y_1) \) અને \( (x_2, y_2) \) તરીકે લો. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને x અથવા y નિર્દેશાંકનો સમીકરણ બનાવો. કોઈપણ એક સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને ગુણોત્તર \( m_1:m_2 \) માટે ઉકેલ મેળવો.

Question 5. (1, – 5) અને B (- 4, 5)ને જોડતા રેખાખંડનું કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે તે શોધો. વિભાજન બિંદુના યામ પણ શોધો.
Answer: ધારો કે, x-અક્ષ બિંદુઓ \( A (1, – 5) \) અને \( B (- 4, 5) \) ને જોડતા રેખાખંડનું \( k: 1 \) ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
તો, વિભાજન સૂત્ર મુજબ, રેખાખંડ \( AB \) નું \( k : 1 \) ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુના યામ નીચે પ્રમાણે મળે છે:
\( \left(\frac{k(-4)+1(1)}{k+1}, \frac{k(5)+1(-5)}{k+1}\right) = \left(\frac{-4k+1}{k+1}, \frac{5k-5}{k+1}\right) \)
હવે, વિભાજન બિંદુ x-અક્ષ પર હોવાથી તેનો y-નિર્દેશાંક શૂન્ય હોય.
તેથી, \( \frac{5k-5}{k+1} = 0 \)
\( 5k-5 = 0 \)
\( 5k = 5 \)
\( k = 1 \)
આમ, માગેલ ગુણોત્તર = \( k : 1 = 1 : 1 \)
હવે, વિભાજન બિંદુના યામ શોધવા માટે \( k=1 \) ને ઉપરના સૂત્રમાં મુકતા,
\( = \left(\frac{1-4(1)}{1+1}, \frac{5(1)-5}{1+1}\right) \)
\( = \left(\frac{1-4}{2}, \frac{5-5}{2}\right) \)
\( = \left(\frac{-3}{2}, \frac{0}{2}\right) \)
\( = (-\frac{3}{2}, 0) \)
તેથી, x-અક્ષ બિંદુઓ \( A(1, – 5) \) અને \( B(- 4, 5) \) ને જોડતા રેખાખંડનું \( 1 : 1 \) ગુણોત્તરમાં બિંદુ \( (-\frac{3}{2}, 0) \) પર વિભાજન કરે છે.
In simple words: રેખાખંડ પર x-અક્ષ દ્વારા બનતા ગુણોત્તરને શોધવા માટે, વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરો અને y-નિર્દેશાંકને શૂન્ય તરીકે લો. k ની કિંમત શોધો, જે તમને ગુણોત્તર આપશે. પછી, k ની આ કિંમતનો ઉપયોગ કરીને વિભાજન બિંદુના યામ શોધો.

Exam Tip: જ્યારે x-અક્ષ દ્વારા વિભાજનનો પ્રશ્ન હોય, ત્યારે યાદ રાખો કે y-નિર્દેશાંક હંમેશા શૂન્ય હોય છે. તેવી જ રીતે, જો y-અક્ષ દ્વારા વિભાજન હોય, તો x-નિર્દેશાંક શૂન્ય હોય છે. આ કન્સેપ્ટ ગુણોત્તર k શોધવામાં મદદ કરે છે.

Question 6. જો (1, 2), (4, y), (x, 6) અને (3, 5) એ એક સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણનાં ક્રમિક શિરોબિંદુઓ હોય, તો x અને y શોધો.
Answer: ધારો કે, \( A(1, 2) \), \( B (4, y) \), \( C (x, 6) \) અને \( D (3, 5) \) એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ \( ABCD \) નાં શિરોબિંદુઓ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે, એટલે કે \( AC \) અને \( BD \) પરસ્પર દુભાગે છે.
તેથી, \( AC \) નું મધ્યબિંદુ = \( BD \) નું મધ્યબિંદુ.
મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાથી,
\( \left(\frac{1+x}{2}, \frac{2+6}{2}\right) = \left(\frac{4+3}{2}, \frac{y+5}{2}\right) \)
\( \left(\frac{1+x}{2}, \frac{8}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}, \frac{y+5}{2}\right) \)
\( \left(\frac{1+x}{2}, 4\right) = \left(\frac{7}{2}, \frac{y+5}{2}\right) \)
હવે, x-નિર્દેશાંક અને y-નિર્દેશાંકને સરખાવતાં,
\( \frac{1+x}{2} = \frac{7}{2} \)
\( 1+x = 7 \)
\( x = 7-1 \)
\( x = 6 \)
અને
\( 4 = \frac{y+5}{2} \)
\( 4 \times 2 = y+5 \)
\( 8 = y+5 \)
\( y = 8-5 \)
\( y = 3 \)
તેથી, \( x = 6 \) અને \( y = 3 \) છે.
In simple words: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે. આનો અર્થ એ કે બંને વિકર્ણોનું મધ્યબિંદુ એક જ હશે. મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, x અને y ના મૂલ્યો શોધવા માટે સમીકરણો બનાવો.

Exam Tip: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ગુણધર્મને યાદ રાખો કે તેના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે. આનો અર્થ એ છે કે બંને વિકર્ણોના મધ્યબિંદુના યામ સમાન હોય છે. આનો ઉપયોગ કરીને તમે અજાણ્યા યામ શોધી શકો છો.

Question 7. AB વર્તુળનો વ્યાસ છે. તેનું કેન્દ્ર (2, – 3) અને B (1, 4) છે, તો બિંદુ Aના યામ શોધો.
Answer: ધારો કે, બિંદુ \( A \) ના યામ \( (x, y) \) છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર તેના દરેક વ્યાસનું મધ્યબિંદુ હોય છે.
અહીં, \( AB \) વ્યાસ છે અને \( (2, – 3) \) એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.
તેથી, \( AB \) નું મધ્યબિંદુ = \( (2, – 3) \)
મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાથી,
\( \left(\frac{x+1}{2}, \frac{y+4}{2}\right) = (2, -3) \)
હવે, x-નિર્દેશાંક અને y-નિર્દેશાંકને સરખાવતાં,
\( \frac{x+1}{2} = 2 \)
\( x+1 = 2 \times 2 \)
\( x+1 = 4 \)
\( x = 4-1 \)
\( x = 3 \)
અને
\( \frac{y+4}{2} = -3 \)
\( y+4 = -3 \times 2 \)
\( y+4 = -6 \)
\( y = -6-4 \)
\( y = -10 \)
તેથી, બિંદુ \( A \) ના યામ \( (3, – 10) \) થાય છે.
In simple words: જ્યારે વર્તુળનું કેન્દ્ર અને એક છેડાનું બિંદુ આપેલું હોય, ત્યારે યાદ રાખો કે કેન્દ્ર એ વ્યાસનું મધ્યબિંદુ છે. મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, તમે વ્યાસના બીજા છેડાના બિંદુના યામ શોધી શકો છો.

Exam Tip: આ પ્રકારના પ્રશ્નોમાં, વર્તુળના કેન્દ્ર અને વ્યાસ વચ્ચેના સંબંધને સમજવો મહત્વપૂર્ણ છે. કેન્દ્ર એ વ્યાસના બે અંત્યબિંદુઓનું મધ્યબિંદુ હોય છે, જે તમને અજાણ્યા બિંદુના યામ શોધવામાં મદદ કરે છે.

Question 8. જો A અને B અનુક્રમે (- 2, – 2) અને (2, – 4) હોય, \( AP = \frac{3}{7} AB \) થાય અને બિંદુ P રેખાખંડ AB પર આવેલ હોય, તો તે બિંદુ Pના યામ શોધો.
Answer: \( A(- 2, – 2) \) અને \( B (2, – 4) \) આપેલા બિંદુઓ છે. તથા બિંદુ \( P (x, y) \) એ \( AB \) પર આવેલ એવું બિંદુ છે કે જ્યાં \( AP = \frac{3}{7} AB \) થાય.
હવે, \( PB = AB - AP \)
\( PB = AB - \frac{3}{7} AB \)
\( PB = \frac{7AB-3AB}{7} = \frac{4}{7} AB \)
તેથી, \( \frac{AP}{PB} = \frac{\frac{3}{7} AB}{\frac{4}{7} AB} = \frac{3}{4} \)
આનો અર્થ થાય કે, \( P (x, y) \) એ \( AB \) નું \( 3 : 4 \) ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાથી,
\( (x, y) = \left(\frac{3(2)+4(-2)}{3+4}, \frac{3(-4)+4(-2)}{3+4}\right) \)
\( (x, y) = \left(\frac{6-8}{7}, \frac{-12-8}{7}\right) \)
\( (x, y) = \left(\frac{-2}{7}, \frac{-20}{7}\right) \)
તેથી, બિંદુ \( P \) ના યામ \( (-\frac{2}{7}, - \frac{20}{7}) \) છે.
In simple words: જો એક બિંદુ રેખાખંડ પર હોય અને તેનો સંબંધ \( AP = \frac{3}{7} AB \) આપેલો હોય, તો તેનો અર્થ એ કે P એ રેખાખંડને 3:4 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજીત કરે છે. આ ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરીને વિભાજન સૂત્ર દ્વારા બિંદુ P ના યામ શોધી શકાય છે.

Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, પહેલા ગુણોત્તર \( AP : PB \) શોધો. જો \( AP = \frac{3}{7} AB \) હોય, તો \( PB = AB - AP = \frac{4}{7} AB \) થાય, જેથી ગુણોત્તર \( 3:4 \) મળે. પછી આ ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરીને વિભાજન સૂત્ર લાગુ કરો.

Question 9. A (- 2, 2) અને B (2, 8) ને જોડતા રેખાખંડનું ચાર સમાન ભાગમાં વિભાજન કરતા બિંદુઓના યામ શોધો.
Answer: ધારો કે, \( P \), \( Q \) અને \( R \) એ \( A(- 2, 2) \) અને \( B (2, 8) \) ને જોડતા રેખાખંડનું ચાર સમાન ભાગમાં વિભાજન કરતા બિંદુઓ છે.
આથી \( Q \) એ \( AB \) નું મધ્યબિંદુ થાય.
મધ્યબિંદુ સૂત્ર મુજબ બિંદુ \( Q \) ના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
\( Q = \left(\frac{-2+2}{2}, \frac{2+8}{2}\right) = \left(\frac{0}{2}, \frac{10}{2}\right) = (0, 5) \)
હવે, \( P \) એ \( AQ \) નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુ સૂત્ર મુજબ બિંદુ \( P \) ના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
\( P = \left(\frac{-2+0}{2}, \frac{2+5}{2}\right) = \left(\frac{-2}{2}, \frac{7}{2}\right) = (-1, \frac{7}{2}) \)
તે જ રીતે, \( R \) એ \( QB \) નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુ સૂત્ર મુજબ બિંદુ \( R \) ના યામ નીચે મુજબ છે:
\( R = \left(\frac{0+2}{2}, \frac{5+8}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}, \frac{13}{2}\right) = (1, \frac{13}{2}) \)
તેથી, \( A(-2, 2) \) અને \( B (2, 8) \) ને જોડતા રેખાખંડનું ચાર સમાન ભાગમાં વિભાજન કરતા બિંદુઓના યામ \( (-1, \frac{7}{2}) \), \( (0, 5) \) અને \( (1, \frac{13}{2}) \) છે.
In simple words: રેખાખંડને ચાર સમાન ભાગમાં વિભાજીત કરવા માટે, પહેલા મધ્યબિંદુ શોધો. પછી, તે મધ્યબિંદુ અને મૂળ અંત્યબિંદુઓ વચ્ચેના મધ્યબિંદુઓ શોધો. આ રીતે, તમે રેખાખંડને ચાર સમાન ટુકડાઓમાં વહેંચતા ત્રણ બિંદુઓ મેળવી શકો છો.

Exam Tip: જ્યારે કોઈ રેખાખંડને \( n \) સમાન ભાગમાં વિભાજીત કરવાનું કહેવામાં આવે, ત્યારે મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ ઘણી વાર સરળ રહે છે. પહેલા મધ્યબિંદુ શોધો, પછી દરેક અર્ધભાગના મધ્યબિંદુ શોધો, આ રીતે તમે ગણતરીને સરળ બનાવી શકો છો.

Question 10. સમબાજુ ચતુષ્કોણનાં ક્રમિક શિરોબિંદુઓ (3, 0), (4, 5), (-1, 4) અને (- 2, – 1) હોય, તો તેનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: ધારો કે, \( A (3, 0) \), \( B (4, 5) \), \( C (- 1, 4) \) અને \( D (- 2, – 1) \) એ સમબાજુ ચતુષ્કોણ \( ABCD \) નાં શિરોબિંદુઓ છે.
સૂચન: સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ = \( \frac{1}{2} \) (તેના વિકર્ણોનો ગુણાકાર).
પહેલા વિકર્ણ \( AC \) ની લંબાઈ અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધીશું:
\( AC = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \)
\( AC = \sqrt{(-1-3)^{2}+(4-0)^{2}} \)
\( AC = \sqrt{(-4)^{2}+(4)^{2}} \)
\( AC = \sqrt{16+16} \)
\( AC = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \) એકમ
હવે, વિકર્ણ \( BD \) ની લંબાઈ શોધીશું:
\( BD = \sqrt{(-2-4)^{2}+(-1-5)^{2}} \)
\( BD = \sqrt{(-6)^{2}+(-6)^{2}} \)
\( BD = \sqrt{36+36} \)
\( BD = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \) એકમ
હવે, સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ = \( \frac{1}{2} \) (વિકર્ણ \( AC \times \) વિકર્ણ \( BD \))
સમબાજુ ચતુષ્કોણ \( ABCD \) નું ક્ષેત્રફળ = \( \frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times 6\sqrt{2} \)
\( = \frac{1}{2} \times (4 \times 6) \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) \)
\( = \frac{1}{2} \times 24 \times 2 \)
\( = 24 \) ચોરસ એકમ
તેથી, ક્રમિક શિરોબિંદુઓ \( (3, 0), (4, 5), (- 1, 4) \) અને \( (- 2, – 1) \) ધરાવતા સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ \( 24 \) ચોરસ એકમ થાય.
In simple words: સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, પહેલા અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બંને વિકર્ણોની લંબાઈ શોધો. પછી, બંને વિકર્ણોની લંબાઈનો ગુણાકાર કરો અને તેને \( \frac{1}{2} \) વડે ગુણો. આ તમને સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ આપશે.

Exam Tip: સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, વિકર્ણોની લંબાઈ શોધવી એ મુખ્ય પગલું છે. અંતર સૂત્રનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરો અને પછી \( \frac{1}{2} d_1 d_2 \) સૂત્રમાં કિંમતો મૂકો, જ્યાં \( d_1 \) અને \( d_2 \) વિકર્ણોની લંબાઈ છે.