GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 7 યામ ભૂમિતિ Exercise 7.1

Question 1. નીચે આપેલ બિંદુઓની જોડ વચ્ચેનું અંતર શોધો:
(i) (2, 3), (4, 1)
(ii) (- 5, 7), (- 1, 3)
(iii) (a, b), (-a, -b).
Answer:
(i) ધારો કે, A (2, 3) અને B (4, 1) એ આપેલા બિંદુઓ છે. તેથી, AB શોધવા માટે અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકાય:
\( AB = \sqrt{(2-4)^{2}+(3-1)^{2}} \)
\( AB = \sqrt{(-2)^{2}+(2)^{2}} \)
\( AB = \sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2} \)
આ રીતે, આ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર \( 2\sqrt{2} \) છે.

(ii) ધારો કે, A(- 5, 7) અને B(- 1, 3) એ આપેલા બિંદુઓ છે. તેથી, AB શોધવા માટે અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકાય:
\( AB = \sqrt{(-5-(-1))^{2}+(7-3)^{2}} \)
\( AB = \sqrt{(-5+1)^{2}+(4)^{2}} \)
\( AB = \sqrt{(-4)^{2}+16} \)
\( AB = \sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4 \sqrt{2} \)
આ રીતે, આ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર \( 4\sqrt{2} \) છે.

(iii) ધારો કે, P (a, b) અને Q(- a, - b) એ આપેલા બિંદુઓ છે. તેથી, PQ શોધવા માટે અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકાય:
\( PQ = \sqrt{(a-(-a))^{2}+(b-(-b))^{2}} \)
\( PQ = \sqrt{(a+a)^{2}+(b+b)^{2}} \)
\( PQ = \sqrt{(2a)^{2}+(2b)^{2}} \)
\( PQ = \sqrt{4 a^{2}+4 b^{2}} = \sqrt{4(a^{2}+b^{2})} = 2 \sqrt{a^{2}+b^{2}} \)
આ રીતે, આ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર \( 2 \sqrt{a^{2}+b^{2}} \) છે.
In simple words: પહેલા, આપેલા બિંદુઓને A અને B નામ આપો. પછી, અંતર સૂત્ર \( \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \) નો ઉપયોગ કરીને બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો. ગણતરી કરો અને અંતિમ જવાબ મેળવો.

Exam Tip: જ્યારે અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરો, ત્યારે \( (x_1, y_1) \) અને \( (x_2, y_2) \) બિંદુઓને યોગ્ય રીતે નિર્ધારિત કરવાની ખાતરી કરો અને સંકેતની ભૂલો ટાળો, ખાસ કરીને જ્યારે નકારાત્મક સંખ્યાઓ સાથે કામ કરો છો.

Question 2. બિંદુઓ (0, 0) અને (36, 15) વચ્ચેનું અંતર શોધો. હવે તમે વિભાગ 7.2માં ચર્ચા કરેલ તે બે શહેરો A અને B વચ્ચેનું અંતર શોધી શકો.
Answer: આપેલા બિંદુઓ A (0, 0) અને B (36, 15) છે. તેથી, AB શોધવા માટે અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકાય:
\( AB = \sqrt{(36-0)^{2}+(15-0)^{2}} \)
\( AB = \sqrt{36^{2}+15^{2}} \)
\( AB = \sqrt{1296+225} \)
\( AB = \sqrt{1521} = 39 \)
આ રીતે, આપેલા બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર 39 છે. હા, હવે આપણે પાઠ્યપુસ્તકના વિભાગ 7.2માં ચર્ચા કરેલ બે શહેરો A અને B વચ્ચેનું અંતર શોધી શકીશું.

શહેર B, શહેર A થી 36 કિમી પૂર્વમાં અને 15 કિમી ઉત્તરમાં આવેલું છે. આથી, જો આપણે શહેર A ને ઉગમબિંદુ પર આવેલું ધારીએ, તો શહેર A ના યામ (0, 0) થાય અને તેથી શહેર B ના યામ (36, 15) થાય. હવે, ઉપરની ગણતરી મુજબ, બિંદુઓ A (0, 0) અને B (36, 15) વચ્ચેનું અંતર 39 છે. આથી, શહેર A અને શહેર B વચ્ચેનું અંતર 39 કિમી થાય.
In simple words: બે બિંદુઓ (0,0) અને (36,15) વચ્ચેનું અંતર શોધવા માટે, અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરો. ગણતરી કરીને તમને 39 મળશે. આનો અર્થ એ પણ થાય કે, જો બે શહેરો વચ્ચેના સ્થાનને આ બિંદુઓથી દર્શાવવામાં આવે, તો તે શહેરો વચ્ચેનું અંતર 39 કિમી છે.

Exam Tip: જ્યારે શહેરો અથવા સ્થાનોને યામો દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે, ત્યારે ભૂમિતિના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને વાસ્તવિક-વિશ્વની સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે અંતર સૂત્ર લાગુ પાડી શકાય.

Question 3. બિંદુઓ (1, 5), (2, 3) અને (- 2, – 11) સમરેખ છે કે નહીં તે નક્કી કરો.
Answer: ધારો કે, આપેલા બિંદુઓ A (1, 5), B (2, 3) અને C (- 2, - 11) છે. હવે, આપણે દરેક જોડ વચ્ચેનું અંતર શોધીશું:

\( AB = \sqrt{(1-2)^{2}+(5-3)^{2}} \)
\( AB = \sqrt{(-1)^{2}+(2)^{2}} \)
\( AB = \sqrt{1+4}=\sqrt{5} \approx 2.24 \) (આશરે)

\( BC = \sqrt{(2-(-2))^{2}+(3-(-11))^{2}} \)
\( BC = \sqrt{(2+2)^{2}+(3+11)^{2}} \)
\( BC = \sqrt{4^{2}+14^{2}} \)
\( BC = \sqrt{16+196}=\sqrt{212} \approx 14.56 \) (આશરે)

\( AC = \sqrt{(1-(-2))^{2}+(5-(-11))^{2}} \)
\( AC = \sqrt{(1+2)^{2}+(5+11)^{2}} \)
\( AC = \sqrt{3^{2}+16^{2}} \)
\( AC = \sqrt{9+256}=\sqrt{265} \approx 16.28 \) (આશરે)

અહીં, \( AB + BC = 2.24 + 14.56 = 16.80 \). આપણે જોઈએ છીએ કે \( 16.80 \neq 16.28 \), તેથી \( AB + BC \neq AC \).
તે જ રીતે, \( BC + AC \neq AB \) અને \( AC + AB \neq BC \). આથી, આપેલા બિંદુઓ સમરેખ નથી.
In simple words: ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ છે કે નહીં તે જોવા માટે, દરેક બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો. જો સૌથી મોટા અંતરનું મૂલ્ય અન્ય બે નાના અંતરના સરવાળા જેટલું હોય, તો બિંદુઓ સમરેખ છે. જો નહીં, તો તેઓ સમરેખ નથી.

Exam Tip: ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે, કોઈપણ બે અંતરનો સરવાળો ત્રીજા અંતરના બરાબર થાય છે કે નહીં તે તપાસો. જો આવું થાય, તો બિંદુઓ સમરેખ છે.

Question 4. ચકાસો કે (5, – 2), (6 4) અને (7, – 2) એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓ છે.
Answer: ધારો કે, આપેલા બિંદુઓ A (5, - 2), B (6, 4) અને C (7, - 2) એ \( \triangle ABC \) ના શિરોબિંદુઓ છે. હવે, આપણે બાજુઓની લંબાઈ શોધીશું:

\( AB = \sqrt{(5-6)^{2}+(-2-4)^{2}} \)
\( AB = \sqrt{(-1)^{2}+(-6)^{2}} \)
\( AB = \sqrt{1+36}=\sqrt{37} \)

\( BC = \sqrt{(6-7)^{2}+(4-(-2))^{2}} \)
\( BC = \sqrt{(-1)^{2}+(4+2)^{2}} \)
\( BC = \sqrt{1^{2}+6^{2}} \)
\( BC = \sqrt{1+36}=\sqrt{37} \)

\( AC = \sqrt{(5-7)^{2}+(-2-(-2))^{2}} \)
\( AC = \sqrt{(-2)^{2}+(-2+2)^{2}} \)
\( AC = \sqrt{4+0}=\sqrt{4} = 2 \)

અહીં, \( \triangle ABC \) માં \( AB = BC \neq AC \) છે. આથી, \( \triangle ABC \) એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે. આમ, આપેલા બિંદુઓ (5, - 2), (6, 4) અને (7, - 2) એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓ છે.
In simple words: ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ આપેલા હોય ત્યારે, અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણની દરેક બાજુની લંબાઈ શોધો. જો કોઈપણ બે બાજુઓની લંબાઈ સરખી હોય, તો તે ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે.

Exam Tip: સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની વ્યાખ્યા એ છે કે તેની કોઈપણ બે બાજુઓની લંબાઈ સમાન હોવી જોઈએ. આ ચકાસવા માટે અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણની ત્રણેય બાજુઓની લંબાઈની ગણતરી કરો.

Question 5. એક વર્ગખંડમાં ચાર મિત્રો આપેલ આકૃતિમાં દર્શાવેલ બિંદુઓ, A, B, C અને D દ્વારા દર્શાવેલ સ્થાન પર બેઠા છે. ચંપા અને ચમેલી વર્ગમાં આવી અને થોડી મિનિટોના અવલોકન બાદ ચંપાએ ચમેલીને પૂછ્યું કે “શું તું એવું માને છે કે ABCD ચોરસ છે?” ચમેલી અસહમત થાય છે. અંતરસૂત્રનો ઉપયોગ કરી કોણ સાચું છે તે શોધો.
Answer: અહીં, બિંદુઓ A (3, 4), B (6, 7), C (9, 4) અને D (6, 1) એ ચાર મિત્રો જે સ્થાન પર બેઠા છે તેનું નિરૂપણ કરે છે.

હવે, આપણે બાજુઓની લંબાઈ શોધીશું:

\( AB = \sqrt{(3-6)^{2}+(4-7)^{2}} \)
\( AB = \sqrt{(-3)^{2}+(-3)^{2}} \)
\( AB = \sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2} \)

\( BC =\sqrt{(6-9)^{2}+(7-4)^{2}} \)
\( BC = \sqrt{(-3)^{2}+(3)^{2}} \)
\( BC = \sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2} \)

\( CD = \sqrt{(9-6)^{2}+(4-1)^{2}} \)
\( CD = \sqrt{(3)^{2}+(3)^{2}} \)
\( CD = \sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2} \)

\( DA = \sqrt{(6-3)^{2}+(1-4)^{2}} \)
\( DA = \sqrt{(3)^{2}+(-3)^{2}} \)
\( DA = \sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2} \)

હવે, વિકર્ણની લંબાઈ શોધીશું:

\( AC = \sqrt{(3-9)^{2}+(4-4)^{2}} \)
\( AC = \sqrt{(-6)^{2}+(0)^{2}} \)
\( AC = \sqrt{36+0} = \sqrt{36} = 6 \)

\( BD = \sqrt{(6-6)^{2}+(7-1)^{2}} \)
\( BD = \sqrt{(0)^{2}+(6)^{2}} \)
\( BD = \sqrt{0+36} = \sqrt{36} = 6 \)

આમ, ચતુષ્કોણ ABCD માં, \( AB = BC = CD = DA \) અને \( AC = BD \) છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ચતુષ્કોણ ABCD ની દરેક બાજુ સમાન છે અને તેના વિકર્ણ પણ સમાન છે. આથી, ABCD એક ચોરસ છે. આમ, ચંપાનું વિધાન સાચું છે, અને ચમેલી ખોટી છે.
In simple words: ચાર બિંદુઓમાંથી બનતો આકાર ચોરસ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે, દરેક બાજુની લંબાઈ અને વિકર્ણની લંબાઈ શોધો. જો બધી બાજુઓ સરખી હોય અને વિકર્ણ પણ સરખા હોય, તો તે ચોરસ છે. આ કિસ્સામાં, બધી બાજુઓ \( 3\sqrt{2} \) અને વિકર્ણ 6 છે, તેથી ચંપા સાચી છે અને આ આકાર ચોરસ છે.

Exam Tip: કોઈ આકૃતિ ચોરસ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે, તેની ચારેય બાજુઓ અને બંને વિકર્ણોની લંબાઈ શોધવી જરૂરી છે. જો બધી બાજુઓ અને બંને વિકર્ણો સમાન હોય, તો જ તે ચોરસ હોય છે.

Question 6. નીચે દર્શાવેલાં બિંદુઓથી જો ચતુષ્કોણ રચાતો હોય, તો તેનો પ્રકાર જણાવો અને તમારા જવાબ માટે કારણ આપોઃ
(i) (- 1, – 2), (1, 0), (- 1, 2), (- 3, 0)
(ii) (- 3, 5), (3, 1), (2, 3), (- 1, – 4)
(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)
Answer:

(i) ધારો કે, A(- 1, - 2), B(1, 0), C(- 1, 2) અને D(- 3, 0) એ શક્ય હોય તો ચતુષ્કોણ ABCDનાં શિરોબિંદુઓ છે. હવે, આપણે બાજુઓની લંબાઈ શોધીશું:

\( AB = \sqrt{(-1-1)^{2}+(-2-0)^{2}} \)
\( AB = \sqrt{(-2)^{2}+(-2)^{2}} \)
\( AB = \sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2} \)

\( BC = \sqrt{(1-(-1))^{2}+(0-2)^{2}} \)
\( BC = \sqrt{(1+1)^{2}+(-2)^{2}} \)
\( BC = \sqrt{2^{2}+4} \)
\( BC = \sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2} \)

\( CD = \sqrt{(-1-(-3))^{2}+(2-0)^{2}} \)
\( CD = \sqrt{(-1+3)^{2}+2^{2}} \)
\( CD = \sqrt{2^{2}+4} \)
\( CD = \sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2} \)

\( DA = \sqrt{(-3-(-1))^{2}+(0-(-2))^{2}} \)
\( DA = \sqrt{(-3+1)^{2}+(0+2)^{2}} \)
\( DA = \sqrt{(-2)^{2}+2^{2}} \)
\( DA = \sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2} \)

હવે, વિકર્ણની લંબાઈ શોધીશું:

\( AC = \sqrt{(-1-(-1))^{2}+(-2-2)^{2}} \)
\( AC = \sqrt{(-1+1)^{2}+(-4)^{2}} \)
\( AC = \sqrt{0+16} = 4 \)

\( BD = \sqrt{(1-(-3))^{2}+(0-0)^{2}} \)
\( BD = \sqrt{(1+3)^{2}+0^{2}} \)
\( BD = \sqrt{4^{2}+0} \)
\( BD = \sqrt{16+0} = 4 \)

આમ, ચતુષ્કોણ ABCD માં, \( AB = BC = CD = DA \) અને \( AC = BD \) છે. આથી, આપેલા બિંદુઓ એક ચોરસ રચે છે.
In simple words: પહેલા, ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓને A, B, C, D નામ આપો. પછી, અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને દરેક બાજુની લંબાઈ (AB, BC, CD, DA) અને વિકર્ણની લંબાઈ (AC, BD) શોધો. જો બધી બાજુઓ સમાન હોય અને વિકર્ણ પણ સમાન હોય, તો આ ચતુષ્કોણ ચોરસ છે.

Exam Tip: ચતુષ્કોણનો પ્રકાર નક્કી કરતી વખતે, માત્ર બાજુઓની લંબાઈ જ નહીં, પરંતુ વિકર્ણોની લંબાઈ પણ તપાસવી મહત્વપૂર્ણ છે, કારણ કે આ ગુણધર્મો વિવિધ પ્રકારના ચતુષ્કોણને અલગ પાડે છે.

(ii) ધારો કે, A (- 3, 5), B (3, 1), C (0, 3) અને D (-1, -4) એ શક્ય હોય તો ચતુષ્કોણ ABCDનાં શિરોબિંદુઓ છે. હવે, આપણે બાજુઓની લંબાઈ શોધીશું:

\( AB = \sqrt{(-3-3)^{2}+(5-1)^{2}} \)
\( AB = \sqrt{(-6)^{2}+4^{2}} \)
\( AB = \sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2 \sqrt{13} \)

\( BC = \sqrt{(3-0)^{2}+(1-3)^{2}} \)
\( BC = \sqrt{3^{2}+(-2)^{2}} \)
\( BC = \sqrt{9+4}=\sqrt{13} \)

\( CD = \sqrt{(0-(-1))^{2}+(3-(-4))^{2}} \)
\( CD = \sqrt{(0+1)^{2}+(3+4)^{2}} \)
\( CD = \sqrt{1^{2}+7^{2}} \)
\( CD = \sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5 \sqrt{2} \)

\( DA = \sqrt{(-1-(-3))^{2}+(-4-5)^{2}} \)
\( DA = \sqrt{(-1+3)^{2}+(-9)^{2}} \)
\( DA = \sqrt{2^{2}+81} \)
\( DA = \sqrt{4+81}=\sqrt{85} \)

હવે, વિકર્ણની લંબાઈ શોધીશું:

\( AC = \sqrt{(-3-0)^{2}+(5-3)^{2}} \)
\( AC = \sqrt{(-3)^{2}+2^{2}} \)
\( AC = \sqrt{9+4}=\sqrt{13} \)

\( BD =\sqrt{(3-(-1))^{2}+(1-(-4))^{2}} \)
\( BD = \sqrt{(3+1)^{2}+(1+4)^{2}} \)
\( BD = \sqrt{4^{2}+5^{2}} \)
\( BD = \sqrt{16+25}=\sqrt{41} \)

અહીં, આપણે જોઈએ છીએ કે \( BC = \sqrt{13} \) અને \( AC = \sqrt{13} \) છે. તેથી, \( BC + AC = \sqrt{13}+\sqrt{13}=2 \sqrt{13} \). અને \( AB = 2\sqrt{13} \).
આમ, \( BC + AC = AB \) થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે A, B અને C બિંદુઓ સમરેખ છે, જેમાં બિંદુ C એ બિંદુઓ A અને B ની વચ્ચે આવેલું છે. આથી, આપેલા બિંદુઓ ચતુષ્કોણ રચતા નથી.
In simple words: ચાર બિંદુઓ ચતુષ્કોણ રચે છે કે નહીં તે જાણવા માટે, દરેક બાજુની લંબાઈ અને વિકર્ણની લંબાઈ ગણો. જો ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ હોય (એટલે કે, બે ટૂંકા અંતરનો સરવાળો સૌથી લાંબા અંતર જેટલો હોય), તો તે ચતુષ્કોણ બનાવી શકતા નથી. અહીં, બિંદુઓ A, B અને C સમરેખ હોવાથી, કોઈ ચતુષ્કોણ બનતો નથી.

Exam Tip: જો ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ હોય, તો તે એક જ સીધી રેખા પર આવેલા હોય છે અને ત્રિકોણ કે ચતુષ્કોણ જેવા બંધ આકાર રચી શકતા નથી. આ અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ચકાસી શકાય છે.

(iii) ધારો કે, A (4, 5), B(7, 6), C (4, 3) અને D (1, 2) એ શક્ય હોય તો ચતુષ્કોણ ABCDનાં શિરોબિંદુઓ છે. હવે, આપણે બાજુઓની લંબાઈ શોધીશું:

\( AB = \sqrt{(4-7)^{2}+(5-6)^{2}} \)
\( AB = \sqrt{(-3)^{2}+(-1)^{2}} \)
\( AB = \sqrt{9+1}=\sqrt{10} \)

\( BC = \sqrt{(7-4)^{2}+(6-3)^{2}} \)
\( BC = \sqrt{3^{2}+3^{2}} \)
\( BC = \sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2} \)

\( CD = \sqrt{(4-1)^{2}+(3-2)^{2}} \)
\( CD = \sqrt{3^{2}+1^{2}} \)
\( CD = \sqrt{9+1}=\sqrt{10} \)

\( DA = \sqrt{(1-4)^{2}+(2-5)^{2}} \)
\( DA = \sqrt{(-3)^{2}+(-3)^{2}} \)
\( DA = \sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2} \)

હવે, વિકર્ણની લંબાઈ શોધીશું:

\( AC = \sqrt{(4-4)^{2}+(5-3)^{2}} \)
\( AC = \sqrt{0^{2}+2^{2}} \)
\( AC = \sqrt{0+4}=\sqrt{4} = 2 \)

\( BD = \sqrt{(7-1)^{2}+(6-2)^{2}} \)
\( BD = \sqrt{6^{2}+4^{2}} \)
\( BD = \sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2 \sqrt{13} \)

આમ, ચતુષ્કોણ ABCD માં, \( AB = CD \) અને \( BC = DA \) છે, એટલે સામસામેની બાજુઓની બંને જોડ સમાન છે. પરંતુ \( AC \neq BD \), એટલે કે વિકર્ણો સમાન નથી. આથી, ABCD સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. આમ, આપેલા બિંદુઓ એક ચતુષ્કોણ રચે છે અને તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
In simple words: ચાર બિંદુઓ આપેલા હોય ત્યારે, ચતુષ્કોણનો પ્રકાર શોધવા માટે બધી બાજુઓ અને વિકર્ણોની લંબાઈ ગણો. જો સામસામેની બાજુઓની જોડી સમાન હોય અને વિકર્ણો અસમાન હોય, તો તે આકાર સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

Exam Tip: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં, સામસામેની બાજુઓની લંબાઈ સમાન હોય છે, પરંતુ તેના વિકર્ણોની લંબાઈ અલગ-અલગ હોય છે. જો વિકર્ણો પણ સમાન હોય, તો તે લંબચોરસ અથવા ચોરસ બની શકે છે.

Question 7. જે (2, 5) અને (- 2, 9) થી સમાન અંતરે હોય તેવું x-અક્ષ પરનું બિંદુ શોધો.
Answer: x-અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુના યામ \( (x, 0) \) સ્વરૂપના હોય છે. ધારો કે, \( P(x, 0) \) એ જરૂરી બિંદુ છે જે આપેલા બિંદુઓ \( A(2, -5) \) અને \( B(-2, 9) \) થી સમાન અંતરે છે. આથી, \( PA = PB \).
બંને બાજુનો વર્ગ કરતા, \( PA^2 = PB^2 \)
\( (x - 2)^2 + (0 - (-5))^2 = (x - (-2))^2 + (0 - 9)^2 \)
\( (x - 2)^2 + (0 + 5)^2 = (x + 2)^2 + (0 - 9)^2 \)
\( x^2 - 4x + 4 + 25 = x^2 + 4x + 4 + 81 \)
\( x^2 - 4x + 29 = x^2 + 4x + 85 \)
\( -4x - 4x = 85 - 29 \)
\( -8x = 56 \)
\( x = \frac{56}{-8} \)
\( x = -7 \)
આમ, બિંદુ \( (-7, 0) \) એ આપેલા બિંદુઓ \( (2, -5) \) અને \( (-2, 9) \) થી સમાન અંતરે આવેલું x-અક્ષ પરનું જરૂરી બિંદુ છે.
In simple words: x-અક્ષ પરનું એવું બિંદુ શોધવા માટે જે બે આપેલા બિંદુઓથી સરખા અંતરે હોય, x-અક્ષ પરના બિંદુને \( (x, 0) \) ધારો. પછી, અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને \( (x, 0) \) થી બંને આપેલા બિંદુઓ સુધીના અંતરને સમાન કરો. સમીકરણ ઉકેલીને x ની કિંમત શોધો, જે તમને જરૂરી બિંદુના યામ આપશે.

Exam Tip: જ્યારે x-અક્ષ પરના બિંદુની વાત આવે, ત્યારે તેનો y-યામ હંમેશા 0 હોય છે, તેથી તે \( (x, 0) \) સ્વરૂપનું હોય છે. તેવી જ રીતે, y-અક્ષ પરના બિંદુનો x-યામ 0 હોય છે, તેથી તે \( (0, y) \) સ્વરૂપનું હોય છે.

Question 8. બિંદુઓ P (2, 3) અને Q(10, y) વચ્ચેનું અંતર 10 એકમ હોય તો પુની કિંમત શોધો.
Answer: બિંદુઓ \( P(2, 3) \) અને \( Q(10, y) \) વચ્ચેનું અંતર 10 એકમ આપેલું છે. તેથી, \( PQ = 10 \).
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને:
\( PQ = \sqrt{(10-2)^{2}+(y-3)^{2}} \)
\( 10 = \sqrt{8^{2}+(y-3)^{2}} \)
બંને બાજુનો વર્ગ કરતા:
\( 10^2 = 8^2 + (y-3)^2 \)
\( 100 = 64 + (y-3)^2 \)
\( 100 - 64 = (y-3)^2 \)
\( 36 = (y-3)^2 \)
\( y-3 = \pm \sqrt{36} \)
\( y-3 = \pm 6 \)
જો \( y-3 = 6 \), તો \( y = 6+3 = 9 \).
જો \( y-3 = -6 \), તો \( y = -6+3 = -3 \).
આમ, y ની બે શક્ય કિંમતો 9 અને -3 છે.
In simple words: બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર અને એક બિંદુનો એક યામ આપેલો હોય ત્યારે, અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરો. આપેલા અંતરને સૂત્રમાં મૂકો અને અજ્ઞાત યામ (અહીં y) માટે સમીકરણ ઉકેલો. વર્ગમૂળ કાઢતી વખતે હંમેશા ધન અને ઋણ બંને શક્યતાઓ ધ્યાનમાં રાખો.

Exam Tip: વર્ગમૂળ સામેલ હોય તેવા સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, વર્ગમૂળ દૂર કરવા માટે બંને બાજુનો વર્ગ કરો. યાદ રાખો કે \( \sqrt{a} = b \) નો અર્થ \( a = b^2 \) થાય છે, અને \( x^2 = k \) ના બે ઉકેલો \( x = \sqrt{k} \) અને \( x = -\sqrt{k} \) હોય છે.

Question 9. જો Q(0, 1) એ P(5, – 3) અને R (x, 6) થી સમાન અંતરે હોય, તો ની કિંમત શોધો. અંતર QR અને PR પણ શોધો.
Answer: Q(0, 1) એ P(5, - 3) અને R(x, 6) થી સમાન અંતરે છે. તેથી, \( PQ = QR \).
બંને બાજુનો વર્ગ કરતા, \( PQ^2 = QR^2 \)
\( (5-0)^{2}+(-3-1)^{2} = (x-0)^{2}+(6-1)^{2} \)
\( 5^{2}+(-4)^{2} = x^{2}+5^{2} \)
\( 25+16 = x^{2}+25 \)
\( 41 = x^{2}+25 \)
\( x^{2} = 41-25 \)
\( x^{2} = 16 \)
\( x = \pm \sqrt{16} \)
\( x = \pm 4 \)
આથી, \( x = 4 \) અથવા \( x = -4 \).

હવે, આપણે QR અને PR અંતર શોધીશું:

**જો \( x = 4 \) હોય:**
\( R \) બિંદુ \( (4, 6) \) છે.
\( QR = \sqrt{(4-0)^{2}+(6-1)^{2}} \)
\( QR = \sqrt{4^{2}+5^{2}} \)
\( QR = \sqrt{16+25} \)
\( QR = \sqrt{41} \)

\( PR = \sqrt{(4-5)^{2}+(6-(-3))^{2}} \)
\( PR = \sqrt{(-1)^{2}+(6+3)^{2}} \)
\( PR = \sqrt{1^{2}+9^{2}} \)
\( PR = \sqrt{1+81} \)
\( PR = \sqrt{82} \)

**જો \( x = -4 \) હોય:**
\( R \) બિંદુ \( (-4, 6) \) છે.
\( QR = \sqrt{(-4-0)^{2}+(6-1)^{2}} \)
\( QR = \sqrt{(-4)^{2}+5^{2}} \)
\( QR = \sqrt{16+25} \)
\( QR = \sqrt{41} \)

\( PR = \sqrt{(-4-5)^{2}+(6-(-3))^{2}} \)
\( PR = \sqrt{(-9)^{2}+(6+3)^{2}} \)
\( PR = \sqrt{81+9^{2}} \)
\( PR = \sqrt{81+81} \)
\( PR = \sqrt{162} = 9 \sqrt{2} \)
આમ, \( x = \pm 4 \), અને \( QR = \sqrt{41} \). જ્યારે \( x = 4 \), ત્યારે \( PR = \sqrt{82} \) અને જ્યારે \( x = -4 \), ત્યારે \( PR = 9\sqrt{2} \) છે.
In simple words: પહેલા, Q થી P અને Q થી R વચ્ચેનું અંતર સમાન કરીને x ની કિંમત શોધો. યાદ રાખો કે \( (x,y) \) થી અંતર સમાન હોવાનો અર્થ છે કે \( PQ^2 = QR^2 \). x માટે તમને બે કિંમતો મળશે. પછી, x ની દરેક કિંમત માટે QR અને PR વચ્ચેનું અંતર ફરીથી અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણો.

Exam Tip: જ્યારે કોઈ બિંદુ અન્ય બે બિંદુઓથી સમાન અંતરે હોય, ત્યારે અંતરના વર્ગને સમાન બનાવવાથી વર્ગમૂળની ગણતરી ટાળી શકાય છે અને પ્રક્રિયા સરળ બને છે. \( x \) માટે એક કરતાં વધુ શક્ય કિંમતો મળી શકે છે, તેથી દરેક કિંમત માટે અંતિમ અંતરની ગણતરી કરવી જરૂરી છે.

Question 10. બિંદુ (x, y) એ બિંદુઓ (3, 6) અને (- 3, 4)થી સમાન અંતરે હોય, તો ૪ અને ઇ વચ્ચેનો સંબંધ મેળવો.
Answer: અહીં, બિંદુ \( P(x, y) \) એ બિંદુઓ \( A(3, 6) \) અને \( B(-3, 4) \) થી સમાન અંતરે છે. તેથી, \( PA = PB \).
બંને બાજુનો વર્ગ કરતા, \( PA^2 = PB^2 \)
\( (x-3)^2 + (y-6)^2 = (x-(-3))^2 + (y-4)^2 \)
\( (x-3)^2 + (y-6)^2 = (x+3)^2 + (y-4)^2 \)
\( x^2 - 6x + 9 + y^2 - 12y + 36 = x^2 + 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 \)
બંને બાજુથી \( x^2 \) અને \( y^2 \) દૂર કરતા:
\( -6x + 9 - 12y + 36 = 6x + 9 - 8y + 16 \)
\( -6x - 12y + 45 = 6x - 8y + 25 \)
બધા પદોને એક બાજુ લાવતા:
\( 0 = 6x + 6x - 8y + 12y + 25 - 45 \)
\( 0 = 12x + 4y - 20 \)
સમીકરણને 4 વડે ભાગતા:
\( 0 = 3x + y - 5 \)
આમ, \( 3x + y - 5 = 0 \) એ x અને y વચ્ચેનો જરૂરી સંબંધ છે.
In simple words: x અને y વચ્ચેનો સંબંધ શોધવા માટે, આપેલા બિંદુ \( (x, y) \) થી બંને અન્ય બિંદુઓ સુધીના અંતરને સમાન કરો. અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અને પછી સમીકરણને સરળ બનાવીને, તમને x અને y વચ્ચેનો એક રેખીય સંબંધ મળશે.

Exam Tip: જ્યારે બે બિંદુઓથી સમાન અંતરે હોય તેવા બિંદુ \( (x, y) \) વચ્ચેનો સંબંધ શોધવા માટે કહેવામાં આવે, ત્યારે અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરો અને બંને અંતરના વર્ગને સમાન કરો. પછી, સમીકરણને સરળ બનાવો અને \( x \) અને \( y \) વચ્ચેનો સંબંધ મેળવો.