GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 7 યામ ભૂમિતિ Exercise 7.4

આ સ્વાધ્યાય પરીક્ષા માટે ધ્યાનમાં લેવાનો નથી.

Question 1. રેખા \( 2x + y – 4 = 0 \) એ બિંદુઓ A \( (2, – 2) \) અને B \( (3, 7) \) ને જોડતા રેખાખંડનું કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરો.
Answer: ધારો કે, રેખા \( 2x + y - 4 = 0 \) બિંદુઓ A \( (2, – 2) \) અને B \( (3, 7) \) ને બિંદુ M \( (a, b) \) પર \( k : 1 \) ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, બિંદુ Mના યામ \( \left(\frac{3 k+2}{k+1}, \frac{7 k-2}{k+1}\right) = (a, b) \) મળે છે.
તેથી, \( a = \frac{3k+2}{k+1} \) અને \( b = \frac{7 k-2}{k+1} \). (1)
બિંદુ M રેખા \( 2x + y – 4 = 0 \) પર આવેલું છે. આથી \( (a, b) \) સમીકરણ \( 2x + y – 4 = 0 \) ને સંતોષે છે.
\( \implies 2a + b – 4 = 0 \)
સમીકરણ (1) માંથી \( a \) અને \( b \) ની કિંમતો મૂકતા:
\( \implies 2\left(\frac{3k+2}{k+1}\right) + \left(\frac{7k-2}{k+1}\right) – 4 = 0 \)
\( \implies 2(3k+2) + (7k-2) - 4(k+1) = 0 \)
\( \implies 6k + 4 + 7k – 2 – 4k – 4 = 0 \)
\( \implies 9k – 2 = 0 \)
\( \implies 9k = 2 \)
\( \implies k = \frac{2}{9} \)
આથી માગેલ ગુણોત્તર \( k : 1 = \frac{2}{9} : 1 = 2 : 9 \) છે.
તેથી, રેખા \( 2x + y – 4 = 0 \) એ બિંદુઓ A \( (2, – 2) \) અને B \( (3, 7) \) ને જોડતા રેખાખંડને \( 2 : 9 \) ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
In simple words: રેખા બિંદુઓ A અને B ને જોડતા ભાગને 2:9 ના ગુણોત્તરમાં વહેંચે છે.

Exam Tip: વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને k ની કિંમત શોધો અને સમીકરણમાં મૂકીને ગુણોત્તર નક્કી કરો.

Question 2. જો બિંદુઓ \( (x, y), (1, 2) \) અને \( (7, 0) \) સમરેખ હોય, તો \( x \) અને \( y \) વચ્ચેનો સંબંધ મેળવો.
Answer: ધારો કે બિંદુઓ A \( (x, y) \), B \( (1, 2) \) અને C \( (7, 0) \) સમરેખ છે.
જો બિંદુઓ સમરેખ હોય, તો △ ABC નું ક્ષેત્રફળ 0 થાય.
\( \implies \frac{1}{2} [x (2 – 0) + 1 (0 – y) + 7 (y − 2)] = 0 \)
\( \implies x (2) + 1 (– y) + 7y – 14 = 0 \)
\( \implies 2x - y + 7y – 14 = 0 \)
\( \implies 2x + 6y - 14 = 0 \)
\( \implies x + 3y - 7 = 0 \)
તેથી, \( x + 3y – 7 = 0 \) એ \( x \) અને \( y \) વચ્ચેનો જરૂરી સંબંધ છે.
In simple words: જો ત્રણ બિંદુઓ એક જ રેખા પર હોય, તો તે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય હોય છે. આ સૂત્ર વાપરીને x અને y વચ્ચેનો સંબંધ મેળવી શકાય છે.

Exam Tip: સમરેખ બિંદુઓ માટે, ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર 0 ની બરાબર સેટ કરીને સંબંધ મેળવો.

Question 3. બિંદુઓ \( (6, – 6), (3, – 7) \) અને \( (3, 3) \) માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર શોધો.
Answer: ધારો કે P \( (x, y) \) એ A \( (6, – 6) \), B \( (3, – 7) \) અને C \( (3, 3) \) માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. આથી, બિંદુ P એ A, B અને C થી સમાન અંતરે છે.
\( \implies PA = PB = PC \)
તેથી, \( PA^2 = PB^2 = PC^2 \)
હવે, \( PA^2 = PB^2 \) લેતા,
\( (x − 6)^2 + (y + 6)^2 = (x − 3)^2 + (y + 7)^2 \)
\( x^2 – 12x + 36 + y^2 + 12y + 36 = x^2 – 6x + 9 + y^2 + 14y + 49 \)
\( \implies - 12x + 12y + 72 = - 6x + 14y + 58 \)
\( \implies - 12x + 6x + 12y - 14y = 58 - 72 \)
\( \implies - 6x – 2y = - 14 \)
\( \implies 6x + 2y = 14 \)
\( \implies 3x + y = 7 \) ....... (1)
આગળ, \( PA^2 = PC^2 \) લેતા,
\( (x − 6)^2 + (y + 6)^2 = (x − 3)^2 + (y − 3)^2 \)
\( x^2 - 12x + 36 + y^2 + 12y + 36 = x^2 – 6x + 9 + y^2 – 6y + 9 \)
\( \implies - 12x + 12y + 72 = - 6x - 6y + 18 \)
\( \implies - 12x + 6x + 12y + 6y = 18 - 72 \)
\( \implies - 6x + 18y = - 54 \)
\( \implies 6x - 18y = 54 \)
\( \implies x - 3y = 9 \) ..... (2)
સમીકરણ (1)ને 3 વડે ગુણવાથી,
\( \implies 9x + 3y = 21 \) ........ (3)
સમીકરણ (2) અને (3)નો સરવાળો કરતા,
\( \implies (x - 3y) + (9x + 3y) = 9 + 21 \)
\( \implies 10x = 30 \)
\( \implies x = 3 \)
સમીકરણ (1) માં \( x = 3 \) મૂકતા,
\( \implies 3(3) + y = 7 \)
\( \implies 9 + y = 7 \), જેનો અર્થ છે \( y = – 2 \).
તેથી, P ના યામ \( (3, – 2) \) છે.
આમ, આપેલા બિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર \( (3, – 2) \) છે.
In simple words: આપણે બે સમીકરણો મેળવીએ છીએ. તે સમીકરણોને ઉકેલવાથી x અને y ની કિંમતો મળે છે. આ x અને y કિંમતો જ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.

Exam Tip: ત્રણ બિંદુઓથી સમાન અંતરે આવેલું બિંદુ વર્તુળનું કેન્દ્ર હોય છે. અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો બનાવો અને તેમને ઉકેલો.

Question 4. ચોરસનાં બે સામસામેનાં શિરોબિંદુઓ \( (-1, 2) \) અને \( (3, 2) \) છે, તો બાકીનાં બે શિરોબિંદુઓના યામ શોધો.
Answer:

ધારો કે ABCD એ આપેલ ચોરસ છે, જેના સામસામેના શિરોબિંદુઓ A \( (- 1, 2) \) અને C \( (3, 2) \) છે. આપણે બાકીના શિરોબિંદુઓ B અને D ના યામ શોધવાના છે. ધારો કે B ના યામ \( (x, y) \) છે.
△ ABC માં, ∠B \( = 90° \) અને \( AB = BC \) હોય છે. તેથી, \( AB^2 = BC^2 \).
\( \implies (x + 1)^2 + (y − 2)^2 = (x − 3)^2 + (y − 2)^2 \)
\( \implies x^2 + 2x + 1 + y^2 – 4y + 4 = x^2 – 6x + 9 + y^2 – 4y + 4 \)
\( \implies 2x + 1 = - 6x + 9 \)
\( \implies 8x = 8 \)
\( \implies x = 1 \)
△ ABC માં, ∠B \( = 90° \) હોવાથી, પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ,
\( AB^2 + BC^2 = AC^2 \)
\( \implies (x + 1)^2 + (y − 2)^2 + (x − 3)^2 + (y − 2)^2 = (3 - (-1))^2 + (2 – 2)^2 \)
\( \implies (1 + 1)^2 + (y − 2)^2 + (1 − 3)^2 + (y − 2)^2 = (4)^2 + (0)^2 \)
\( \implies 4 + (y − 2)^2 + 4 + (y − 2)^2 = 16 \)
\( \implies 8 + 2(y − 2)^2 = 16 \)
\( \implies 2(y − 2)^2 = 8 \)
\( \implies (y − 2)^2 = 4 \)
\( \implies y – 2 = \pm 2 \)
\( \implies y = 2 + 2 \) અથવા \( y = 2 - 2 \)
\( \implies y = 4 \) અથવા \( y = 0 \)
અહીં, આપણને \( x \) નું એક જ મૂલ્ય મળે છે, પરંતુ \( y \) ના બે મૂલ્યો મળે છે. આ સૂચવે છે કે B અને D ના \( x \)-યામ સરખા છે પરંતુ \( y \)-યામ અલગ છે.
તેથી, બાકીના બે શિરોબિંદુઓના યામ \( (1, 0) \) અને \( (1, 4) \) છે.
In simple words: ચોરસના બાકીના બે ખૂણા શોધવા માટે, આપણે જાણીએ છીએ કે તેની બાજુઓ સમાન લંબાઈની હોય છે અને ખૂણા 90 ડિગ્રીના હોય છે. આ નિયમોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે બાકીના બે બિંદુઓના x અને y સ્થાન શોધી શકીએ છીએ.

Exam Tip: ચોરસના ગુણધર્મો (બાજુઓ સમાન, કર્ણ એકબીજાને દુભાગે, 90° ખૂણા) નો ઉપયોગ કરીને ખૂટતા શિરોબિંદુઓ શોધો. પાઇથાગોરસનો પ્રમેય અહીં ઉપયોગી થશે.

Question 5. કૃષિનગરની માધ્યમિક શાળાના ધોરણ ના વિદ્યાર્થીઓને બાગાયત પ્રવૃત્તિ માટે એક લંબચોરસ મેદાન ફાળવવામાં આવ્યું છે. તેની ફરતી બાજુએ ગુલમહોરના રોપા એક-એક મીટરના અંતરે વાવેલા છે. આપેલ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે આ મેદાનમાં ઘાસની એક ત્રિકોણીય લોન છે. વિદ્યાર્થીઓને ભાગ પર ફૂલોના છોડના બીજ વાવવાનાં છે.
(i) Aને ઉગમબિંદુ લઈ ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓના યામ શોધો.
(ii) જો C ને ઉગમબિંદુ હોય, તો A PQRનાં શિરોબિંદુઓના યામ શું થાય? આ બંને કિસ્સાઓમાં ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો. તમે શું અવલોકન કર્યું?
Answer:
(i) A ને ઉગમબિંદુ તરીકે અને AB ને y-અક્ષ તથા AD ને x-અક્ષ તરીકે લેતા, લંબચોરસ મેદાનના શિરોબિંદુઓના યામ A \( (0, 0) \), B \( (0, 8) \), D \( (16, 0) \) અને C \( (16, 8) \) મળે છે. તેવી જ રીતે, યામ-સમતલ પરથી △ PQR ના શિરોબિંદુઓ P \( (4, 8) \), Q \( (9, 3) \) અને R \( (6, 5) \) મળે છે.
△ PQR નું ક્ષેત્રફળ ગણવા માટે, સૂત્ર \( \frac{1}{2} [x_1 (y_2 – y_3) + x_2 (y_3 – y_1) + x_3 (y_1 – y_2)] \) નો ઉપયોગ કરી શકાય.
\( = \frac{1}{2} [4 (3 – 5) + 9 (5 – 8) + 6 (8 – 3)] \)
\( = \frac{1}{2} [4 (– 2) + 9 (– 3) + 6 (5)] \)
\( = \frac{1}{2} [– 8 – 27 + 30] \)
\( = \frac{1}{2} [– 5] \)
\( = \frac{5}{2} \) ચોરસ એકમ.
(ii) C ને ઉગમબિંદુ અને CB ને ધન x-અક્ષ, તેમજ CD ને ધન y-અક્ષ તરીકે લેતા, લંબચોરસ મેદાનના શિરોબિંદુઓના યામ C \( (0, 0) \), B \( (16, 0) \), D \( (0, 8) \) અને A \( (16, 8) \) મળે છે. તેવી જ રીતે, યામ-સમતલ પરથી PQR ના શિરોબિંદુઓ P \( (12, 2) \), Q \( (13, 6) \) અને R \( (10, 3) \) મળે છે.
△ PQR નું ક્ષેત્રફળ ગણવા માટે,
\( = \frac{1}{2} [12 (6 – 3) + 13(3 – 2) + 10 (2 – 6)] \)
\( = \frac{1}{2} [36 + 13 - 40] \)
\( = \frac{1}{2} [9] \)
\( = \frac{9}{2} \) ચોરસ એકમ.
આપણે સ્પષ્ટપણે જોઈ શકીએ છીએ કે બંને કિસ્સાઓમાં △ PQR નું ક્ષેત્રફળ એકસરખું છે.
[નોંધ: જો બીજા કિસ્સામાં આપણે CB અને CD ને અનુક્રમે ઋણ x-અક્ષ અને ઋણ y-અક્ષ તરીકે લઈએ, તો △ PQR ના શિરોબિંદુઓના યામ P \( (- 12, – 2) \), Q \( (- 13, – 6) \) અને R \( (- 10, – 30) \) થશે. આમ છતાં, △ PQR નું ક્ષેત્રફળ બદલાતું નથી.]
In simple words: પહેલા કિસ્સામાં A ને ઉગમબિંદુ લેવાથી અને બીજા કિસ્સામાં C ને ઉગમબિંદુ લેવાથી, ત્રિકોણ PQR ના શિરોબિંદુઓના યામ બદલાય છે. જોકે, બંને પરિસ્થિતિઓમાં ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ સમાન રહે છે, જે દર્શાવે છે કે ક્ષેત્રફળ ઉગમબિંદુની પસંદગી પર આધારિત નથી.

Exam Tip: ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે યોગ્ય સૂત્રનો ઉપયોગ કરો. ધ્યાન રાખો કે ઉગમબિંદુ બદલવાથી શિરોબિંદુઓના યામ બદલાય છે, પરંતુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ સમાન રહે છે.

Question 6. A ABCનાં શિરોબિંદુઓ A \( (4, 6) \), B \( (1, 5) \) અને C \( (7, 2) \) છે. બાજુઓ AB અને AC ને અનુક્રમે D અને E માં એવી રીતે છેદે છે જેથી \( \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}=\frac{1}{4} \), તો △ ADE નું ક્ષેત્રફળ મેળવો અને △ ABC ના ક્ષેત્રફળ સાથે તેની તુલના કરો. (પ્રમેય 6.2 અને પ્રમેય 6.6 યાદ કરો.)
Answer:

અહીં, \( \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{1}{4} \) આપેલ છે.
આથી, \( \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}=\frac{4}{1} \) થાય.
\( \implies \frac{\mathrm{AD}+\mathrm{DB}}{\mathrm{AD}}=\frac{4}{1} \)
\( \implies 1 + \frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{AD}} = 4 \)
\( \implies \frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{AD}}=\frac{3}{1} \)
\( \implies \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{1}{3} \)
તેવી જ રીતે, \( \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}=\frac{1}{3} \).
આથી, બિંદુ D એ AB ને \( 1:3 \) ગુણોત્તરમાં વહેંચે છે.
આથી, વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બિંદુ D ના યામ \( \left(\frac{1(1)+3(4)}{1+3}, \frac{1(5)+3(6)}{1+3}\right) \), જે \( \left(\frac{13}{4}, \frac{23}{4}\right) \) થાય છે.
તેવી જ રીતે, બિંદુ E ના યામ \( \left(\frac{1(7)+3(4)}{1+3}, \frac{1(2)+3(6)}{1+3}\right) \), જે \( \left(\frac{19}{4}, 5\right) \) થાય છે.
હવે, △ ADE નું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે:
\( = \frac{1}{2}\left[4\left(\frac{23}{4}-5\right)+\frac{13}{4}(5-6)+\frac{19}{4}\left(6-\frac{23}{4}\right)\right] \)
\( = \frac{1}{2}\left[4\left(\frac{23-20}{4}\right)+\frac{13}{4}(-1)+\frac{19}{4}\left(\frac{24-23}{4}\right)\right] \)
\( = \frac{1}{2}\left[4\left(\frac{3}{4}\right)-\frac{13}{4}+\frac{19}{4}\left(\frac{1}{4}\right)\right] \)
\( = \frac{1}{2}\left[3-\frac{13}{4}+\frac{19}{16}\right] \)
\( = \frac{1}{2}\left[\frac{48-52+19}{16}\right] \)
\( = \frac{1}{2}\left[\frac{15}{16}\right] \)
\( = \frac{15}{32} \) ચોરસ એકમ.
હવે, △ ABC નું ક્ષેત્રફળ ગણીએ:
\( = \frac{1}{2} [4 (5 – 2) + 1(2 – 6) + 7 (6 – 5)] \)
\( = \frac{1}{2} [4 (3) + 1(-4) + 7 (1)] \)
\( = \frac{1}{2} [12 -4 + 7] \)
\( = \frac{1}{2} [15] \)
\( = \frac{15}{2} \) ચોરસ એકમ.
હવે, બંને ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર:
\( \implies \frac{\text{△ ADE નું ક્ષેત્રફળ}}{\text{△ ABC નું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{15/32}{15/2} = \frac{15}{32} \times \frac{2}{15} = \frac{2}{32} = \frac{1}{16} \)
તેથી, △ ADE નું ક્ષેત્રફળ : △ ABC નું ક્ષેત્રફળ = \( 1 : 16 \).
આમ, △ ADE નું ક્ષેત્રફળ \( \frac{15}{32} \) ચોરસ એકમ છે અને △ ADE અને △ ABC ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર \( 1 : 16 \) છે.
In simple words: પહેલા, D અને E ના યામ શોધીએ છીએ. પછી, બંને ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર વાપરીને ગણતરી કરીએ છીએ. છેલ્લે, બંનેના ક્ષેત્રફળની તુલના કરીને ગુણોત્તર શોધીએ છીએ. અહીં ગુણોત્તર 1:16 મળે છે.

Exam Tip: આ પ્રકારના પ્રશ્નોમાં વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બિંદુઓના યામ શોધો અને પછી ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરો.

નોંધ: ત્રણેય મધ્યગાઓના છેદબિંદુને મધ્યકેન્દ્ર કહે છે અને તે દરેક મધ્યગાનું \( 2 : 1 \) ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

Question 7. A \( (4, 2) \), B \( (6, 5) \) અને C \( (1, 4) \) એ △ ABCનાં શિરોબિંદુઓ છે.
(i) Aમાંથી દોરેલ મધ્યગા BCને Dમાં મળે છે. બિંદુ D ના યામ શોધો.
(ii) AP:PD \( = 2 : 1 \) થાય એવું બિંદુ P એ AD પર છે, તો Pના યામ શોધો.
(iii) BQ : QE \( = 2 : 1 \) અને CR : RE \( = 2 : 1 \) હોય તેવાં બિંદુઓ Q અને R અનુક્રમે મધ્યગા BE અને CE પર છે, તો Q અને Rના યામ શોધો.
(iv) તમે શું અવલોકન કર્યું?
(v) જો A \( (x_1, y_1) \), B \( (x_2, y_2) \) અને C \( (x_3, y_3) \) એ △ ABCનાં શિરોબિંદુઓ હોય તો આપેલ ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્રના યામ શોધો.
Answer:

(i) AD એ મધ્યગા હોવાથી, D એ BC નું મધ્યબિંદુ બને છે. મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, D ના યામ \( \left(\frac{6+1}{2}, \frac{5+4}{2}\right)=\left(\frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right) \) મળે છે.
(ii) બિંદુ P એ AD ને \( 2 : 1 \) ગુણોત્તરમાં વહેંચે છે. આથી, વિભાજન સૂત્ર મુજબ, બિંદુ P ના યામ \( \left(\frac{2\left(\frac{7}{2}\right)+1(4)}{2+1}, \frac{2\left(\frac{9}{2}\right)+1(2)}{2+1}\right)=\left(\frac{7+4}{3}, \frac{9+2}{3}\right) = \left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right) \) મળે છે.
(iii) BE એ મધ્યગા છે, તેથી E એ AC નું મધ્યબિંદુ છે. મધ્યબિંદુ સૂત્ર દ્વારા, E ના યામ \( \left(\frac{4+1}{2}, \frac{2+4}{2}\right)=\left(\frac{5}{2}, 3\right) \) મળે છે.
બિંદુ Q એ BE ને \( 2 : 1 \) ગુણોત્તરમાં વહેંચે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, Q ના યામ \( \left(\frac{2\left(\frac{5}{2}\right)+1(6)}{2+1}, \frac{2(3)+1(5)}{2+1}\right)=\left(\frac{5+6}{3}, \frac{6+5}{3}\right)=\left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right) \) મળે છે.
CF એ મધ્યગા છે, તેથી F એ AB નું મધ્યબિંદુ છે. મધ્યબિંદુ સૂત્ર દ્વારા, F ના યામ \( \left(\frac{4+6}{2}, \frac{2+5}{2}\right)=\left(5, \frac{7}{2}\right) \) મળે છે.
બિંદુ R એ CF ને \( 2 : 1 \) ગુણોત્તરમાં વહેંચે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, R ના યામ \( \left(\frac{2(5)+1(1)}{2+1}, \frac{2\left(\frac{7}{2}\right)+1(4)}{2+1}\right)=\left(\frac{10+1}{3}, \frac{7+4}{3}\right)=\left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right) \) મળે છે.
(iv) અહીં, સ્પષ્ટપણે દેખાય છે કે P \( \left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right) \), Q \( \left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right) \) અને R \( \left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right) \) એક જ બિંદુ બતાવે છે, જેનો અર્થ છે કે \( P = Q = R \).
આ સૂચવે છે કે ત્રણેય મધ્યગાઓ એક જ બિંદુ P (અથવા Q અથવા R) પર મળે છે.
આ બિંદુને ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર કહેવાય છે અને તેને સામાન્ય રીતે G સંકેત વડે બતાવાય છે. ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર દરેક મધ્યગાને શિરોબિંદુ તરફથી \( 2 : 1 \) ગુણોત્તરમાં વહેંચે છે.
(v) A \( (x_1, y_1) \), B \( (x_2, y_2) \) અને C \( (x_3, y_3) \) એ △ ABC ના શિરોબિંદુઓ છે. ધારો કે AD, BE અને CF એ △ ABC ની મધ્યગાઓ છે. તેથી, D, E અને F અનુક્રમે BC, AC અને AB ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ સૂત્ર મુજબ, D, E અને F ના યામ અનુક્રમે \( \left(\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2}\right) \), \( \left(\frac{x_1+x_3}{2}, \frac{y_1+y_3}{2}\right) \) અને \( \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right) \) છે.
હવે, મધ્યકેન્દ્ર G એ AD ને \( 2 : 1 \) ગુણોત્તરમાં વહેંચે છે. A ના યામ \( (x_1, y_1) \) અને D ના યામ \( \left(\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2}\right) \) છે.
આથી, વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, બિંદુ G ના યામ \( \left(\frac{2\left(\frac{x_2+x_3}{2}\right)+1\left(x_1\right)}{2+1}, \frac{2\left(\frac{y_2+y_3}{2}\right)+1\left(y_1\right)}{2+1}\right) \), જે \( \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right) \) થાય છે.
તેથી, જો △ ABC ના શિરોબિંદુઓ A \( (x_1, y_1) \), B \( (x_2, y_2) \) અને C \( (x_3, y_3) \) આપેલા હોય, તો તેના મધ્યકેન્દ્રના યામ \( \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right) \) મળે છે.
In simple words: આ પ્રશ્ન દ્વારા, આપણે શોધીએ છીએ કે કોઈપણ ત્રિકોણની ત્રણેય મધ્યગાઓ એક જ બિંદુએ મળે છે, જેને મધ્યકેન્દ્ર કહેવાય છે. મધ્યકેન્દ્ર દરેક મધ્યગાને 2:1 ના ગુણોત્તરમાં વહેંચે છે, અને તેના યામ શિરોબિંદુઓના સરેરાશ યામ હોય છે.

Exam Tip: ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્રના યામ શોધવા માટે, શિરોબિંદુઓના x-યામનો સરવાળો કરીને 3 વડે ભાગો અને y-યામનો સરવાળો કરીને 3 વડે ભાગો.

નોંધ: હવે, આ સૂત્ર મુજબ, વિભાગ (ii) અને (iii) માં મેળવેલ જવાબો સહેલાઈથી ચકાસી શકાય છે: \( \left(\frac{4+6+1}{3}, \frac{2+5+4}{3}\right)=\left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right) \).

Question 8. બિંદુઓ A \( (- 1, – 1) \), B \( (- 1, 4) \), C \( (5, 4) \) અને D \( (5, – 1) \) થી લંબચોરસ ABCD રચાય છે. P, Q, R અને S અનુક્રમે AB, BC, CD અને DAનાં મધ્યબિંદુઓ છે. ચતુષ્કોણ PQRS ચોરસ છે? લંબચોરસ છે? કે સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે? તમારો જવાબ ચકાસો.
Answer:

લંબચોરસ ABCD માં P, Q, R અને S અનુક્રમે AB, BC, CD અને DA ના મધ્યબિંદુઓ છે. મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને P, Q, R અને S ના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
P ના યામ: \( \left(\frac{(-1)+(-1)}{2}, \frac{(-1)+4}{2}\right) = \left(- 1, \frac{3}{2}\right) \)
Q ના યામ: \( \left(\frac{(-1)+5}{2}, \frac{4+4}{2}\right) = (2, 4) \)
R ના યામ: \( \left(\frac{5+5}{2}, \frac{4+(-1)}{2}\right) = \left(5, \frac{3}{2}\right) \)
S ના યામ: \( \left(\frac{5+(-1)}{2}, \frac{(-1)+(-1)}{2}\right) = (2, – 1) \)
હવે, બાજુઓની લંબાઈ ગણીએ:
\( PQ^2 = (- 1 – 2)^2 + \left(\frac{3}{2} – 4\right)^2 = (-3)^2 + \left(\frac{3-8}{2}\right)^2 = 9 + \left(-\frac{5}{2}\right)^2 = 9 + \frac{25}{4} = \frac{36+25}{4} = \frac{61}{4} \)
\( QR^2 = (2 – 5)^2 + \left(4 – \frac{3}{2}\right)^2 = (-3)^2 + \left(\frac{8-3}{2}\right)^2 = 9 + \left(\frac{5}{2}\right)^2 = 9 + \frac{25}{4} = \frac{61}{4} \)
\( RS^2 = (5 – 2)^2 + \left(\frac{3}{2} – (-1)\right)^2 = (3)^2 + \left(\frac{3+2}{2}\right)^2 = 9 + \frac{25}{4} = \frac{61}{4} \)
\( SP^2 = (2 – (-1))^2 + \left(- 1 – \frac{3}{2}\right)^2 = (3)^2 + \left(\frac{-2-3}{2}\right)^2 = 9 + \frac{25}{4} = \frac{61}{4} \)
વિકર્ણની લંબાઈ ગણીએ:
\( PR^2 = (- 1 – 5)^2 + \left(\frac{3}{2} - \frac{3}{2}\right)^2 = (-6)^2 + 0^2 = 36 \)
\( QS^2 = (2-2)^2 + (4 – (-1))^2 = 0^2 + (5)^2 = 25 \)
આમ, ચતુષ્કોણ PQRS માં,
\( PQ^2 = QR^2 = RS^2 = SP^2 \) છે, પરંતુ \( PR^2 \neq QS^2 \) છે.
આનો અર્થ છે કે \( PQ = QR = RS = SP \) છે પરંતુ \( PR \neq QS \).
તેથી, ચતુષ્કોણ PQRS માં બધી બાજુઓ સમાન છે, પરંતુ તેના વિકર્ણ સમાન નથી. આથી PQRS એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
In simple words: આપણે લંબચોરસ ABCD ના મધ્યબિંદુઓ P, Q, R, S શોધીએ છીએ. પછી, અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ચતુષ્કોણ PQRS ની બધી બાજુઓની લંબાઈ અને વિકર્ણોની લંબાઈ ગણીએ છીએ. જો બધી બાજુઓ સમાન હોય અને વિકર્ણો સમાન ન હોય, તો તે સમબાજુ ચતુષ્કોણ હોય છે.

Exam Tip: ચતુષ્કોણનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે, તેની બાજુઓ અને વિકર્ણોની લંબાઈ ગણો. અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને દરેક લંબાઈ શોધો અને પછી ચતુષ્કોણના ગુણધર્મો સાથે સરખામણી કરો.