GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 6 ત્રિકોણ Exercise 6.2

 

Question 1. આપેલ આકૃતિ (1) અને (2)માં, જો \( \mathrm{DE} \parallel \mathrm{BC} \) હોય, તો:
(i) માં EC શોધો.

Answer:

આ આપેલી આકૃતિમાં, રેખા \( \mathrm{DE} \) એ \( \triangle \mathrm{ABC} \) ની બાજુઓ \( \mathrm{AB} \) અને \( \mathrm{AC} \) ને ક્રમ પ્રમાણે \( \mathrm{D} \) અને \( \mathrm{E} \) માં છેદે છે, અને \( \mathrm{DE} \parallel \mathrm{BC} \).
\( \therefore \frac { \mathrm{AD} }{ \mathrm{DB} } = \frac { \mathrm{AE} }{ \mathrm{EC} } \)
\( \frac { 1.5 }{ 3 } = \frac { 1 }{ \mathrm{EC} } \)
\( \mathrm{EC} = \frac { 1 \times 3 }{ 1.5 } \)
\( \mathrm{EC} = 2 \) સેમી
In simple words: આપેલ ત્રિકોણમાં, DE રેખા BC ને સમાંતર છે. તેથી, બાજુઓના ગુણોત્તર AD/DB અને AE/EC સરખા હશે. આપેલા માપનો ઉપયોગ કરીને, આપણે EC નું મૂલ્ય 2 સેમી શોધી શકીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે રેખા ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર હોય અને અન્ય બે બાજુઓને છેદે, ત્યારે તે બે બાજુઓને સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે (આ મૂળભૂત પ્રમાણસરતા પ્રમેય છે). આ સૂત્રને યોગ્ય રીતે લાગુ કરો.

 

Question 1. (ii) માં AD શોધો.

Answer:

આ આપેલી આકૃતિમાં, રેખા \( \mathrm{DE} \) એ \( \triangle \mathrm{ABC} \) ની બાજુઓ \( \mathrm{AB} \) અને \( \mathrm{AC} \) ને ક્રમ પ્રમાણે \( \mathrm{D} \) અને \( \mathrm{E} \) માં છેદે છે, અને \( \mathrm{DE} \parallel \mathrm{BC} \).
\( \therefore \frac { \mathrm{AD} }{ \mathrm{DB} } = \frac { \mathrm{AE} }{ \mathrm{EC} } \)
\( \frac { \mathrm{AD} }{ 7.2 } = \frac { 1.8 }{ 5.4 } \)
\( \mathrm{AD} = \frac { 1.8 \times 7.2 }{ 5.4 } \)
\( \mathrm{AD} = 2.4 \) સેમી
In simple words: અહીં પણ, DE રેખા BC ને સમાંતર છે. તેથી, બાજુઓના ગુણોત્તર સરખા રહેશે. આપેલા માપનો ઉપયોગ કરીને, આપણે AD નું મૂલ્ય 2.4 સેમી શોધી શકીએ છીએ.

Exam Tip: પ્રમાણસરતા પ્રમેયમાં, ખાતરી કરો કે તમે અનુરૂપ બાજુઓના ભાગોનો સાચો ગુણોત્તર સેટ કરો છો, એટલે કે \( \mathrm{AD/DB} \) અને \( \mathrm{AE/EC} \). આ ભૂલો ટાળવામાં મદદ કરશે.

 

Question 2. બિંદુઓ E અને F એ \( \triangle \mathrm{PQR} \) ની બાજુઓ ક્રમશઃ \( \mathrm{PQ} \) અને \( \mathrm{PR} \) પર રહેલાં છે. નીચેના દરેક વિકલ્પમાં \( \mathrm{EF} \parallel \mathrm{QR} \) છે કે કેમ તે જણાવો?
(i) \( \mathrm{PE} = 3.9 \) સેમી, \( \mathrm{EQ} = 3 \) સેમી, \( \mathrm{PF} = 3.6 \) સેમી અને \( \mathrm{FR} = 2.4 \) સેમી.
(ii) \( \mathrm{PE} = 4 \) સેમી, \( \mathrm{QE} = 4.5 \) સેમી, \( \mathrm{PF} = 8 \) સેમી અને \( \mathrm{RF} = 9 \) સેમી.
(iii) \( \mathrm{PQ} = 1.28 \) સેમી, \( \mathrm{PR} = 2.56 \) સેમી, \( \mathrm{PE} = 0.18 \) સેમી અને \( \mathrm{PF} = 0.36 \) સેમી.

Answer:

બિંદુઓ \( \mathrm{E} \) અને \( \mathrm{F} \) એ \( \triangle \mathrm{PQR} \) ની બાજુઓ ક્રમ પ્રમાણે \( \mathrm{PQ} \) અને \( \mathrm{PR} \) પર રહેલાં છે.
(i) અહીં, \( \frac { \mathrm{PE} }{ \mathrm{EQ} } = \frac { 3.9 }{ 3 } = \frac { 1.3 }{ 1 } \)
અને \( \frac { \mathrm{PF} }{ \mathrm{FR} } = \frac { 3.6 }{ 2.4 } = \frac { 1.5 }{ 1 } \)
આથી \( \frac { \mathrm{PE} }{ \mathrm{EQ} } \neq \frac { \mathrm{PF} }{ \mathrm{FR} } \)
તેથી, પ્રમેય 6.2 પ્રમાણે, \( \mathrm{EF} \parallel \mathrm{QR} \) નથી.
(ii) અહીં, \( \frac { \mathrm{PE} }{ \mathrm{QE} } = \frac { 4 }{ 4.5 } = \frac { 8 }{ 9 } \)
અને \( \frac { \mathrm{PF} }{ \mathrm{RF} } = \frac { 8 }{ 9 } \)
આથી \( \frac { \mathrm{PE} }{ \mathrm{QE} } = \frac { \mathrm{PF} }{ \mathrm{RF} } \)
તેથી, પ્રમેય 6.2 પ્રમાણે, \( \mathrm{EF} \parallel \mathrm{QR} \).
(iii) અહીં, \( \frac { \mathrm{PE} }{ \mathrm{PQ} } = \frac { 0.18 }{ 1.28 } = \frac { 9 }{ 64 } \)
અને \( \frac { \mathrm{PF} }{ \mathrm{PR} } = \frac { 0.36 }{ 2.56 } = \frac { 9 }{ 64 } \)
તેથી \( \frac { \mathrm{PE} }{ \mathrm{PQ} } = \frac { \mathrm{PF} }{ \mathrm{PR} } \)
તેથી, પ્રમેય 6.2 પ્રમાણે, \( \mathrm{EF} \parallel \mathrm{QR} \).
In simple words: મૂળભૂત પ્રમાણસરતા પ્રમેય (BPT) ના વિપરીત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, જો રેખા ત્રિકોણની બે બાજુઓને સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે, તો તે ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે. આપણે દરેક વિકલ્પમાં ગુણોત્તર ગણીએ છીએ અને સરખાવીએ છીએ કે શું તે સમાન છે.

Exam Tip: \( \mathrm{EF} \parallel \mathrm{QR} \) સાબિત કરવા માટે, તમારે \( \frac { \mathrm{PE} }{ \mathrm{EQ} } = \frac { \mathrm{PF} }{ \mathrm{FR} } \) (BPT નો વિપરીત) અથવા \( \frac { \mathrm{PE} }{ \mathrm{PQ} } = \frac { \mathrm{PF} }{ \mathrm{PR} } \) (બાજુઓને વિભાજિત કરતા ગુણોત્તર) દર્શાવવાની જરૂર છે. પ્રશ્નમાં આપેલા ડેટાના આધારે યોગ્ય ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરો.

 

Question 3. આપેલ આકૃતિમાં, જો \( \mathrm{LM} \parallel \mathrm{CB} \) અને \( \mathrm{LN} \parallel \mathrm{CD} \) હોય, તો સાબિત કરો કે, \( \frac { \mathrm{AM} }{ \mathrm{AB} } = \frac { \mathrm{AN} }{ \mathrm{AD} } \).

Answer:

\( \triangle \mathrm{ABC} \) માં, \( \mathrm{LM} \parallel \mathrm{CB} \) અને \( \mathrm{LM} \) જો \( \mathrm{AB} \) ને \( \mathrm{M} \) માં તથા \( \mathrm{AC} \) ને \( \mathrm{L} \) માં છેદે છે.
\( \therefore \frac { \mathrm{AM} }{ \mathrm{AB} } = \frac { \mathrm{AL} }{ \mathrm{AC} } \) (પ્રમેય 6.1 પ્રમાણે) ...(1)
\( \triangle \mathrm{ACD} \) માં, \( \mathrm{LN} \parallel \mathrm{CD} \) અને \( \mathrm{LN} \) એ \( \mathrm{AC} \) ને \( \mathrm{L} \) માં તથા \( \mathrm{AD} \) ને \( \mathrm{N} \) માં છેદે છે.
\( \therefore \frac { \mathrm{AL} }{ \mathrm{AC} } = \frac { \mathrm{AN} }{ \mathrm{AD} } \) (પ્રમેય 6.1 પ્રમાણે) ...(2)
(1) અને (2) પરથી, \( \frac { \mathrm{AM} }{ \mathrm{AB} } = \frac { \mathrm{AN} }{ \mathrm{AD} } \).
In simple words: આપણે બે ત્રિકોણ, ABC અને ACD માં મૂળભૂત પ્રમાણસરતા પ્રમેય (BPT) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. પ્રથમ, આપણે \( \triangle \mathrm{ABC} \) માંથી \( \mathrm{LM} \parallel \mathrm{CB} \) નો ઉપયોગ કરીને એક ગુણોત્તર મેળવીએ છીએ, પછી \( \triangle \mathrm{ACD} \) માંથી \( \mathrm{LN} \parallel \mathrm{CD} \) નો ઉપયોગ કરીને બીજો ગુણોત્તર મેળવીએ છીએ. બંને ગુણોત્તરોમાં સામાન્ય પદ \( \frac { \mathrm{AL} }{ \mathrm{AC} } \) હોવાથી, આપણે આપેલ પરિણામ સાબિત કરી શકીએ છીએ.

Exam Tip: આવા પુરાવાઓ માટે, સામાન્ય બાજુઓ અથવા ગુણોત્તર ઓળખો જે બે અલગ-અલગ ત્રિકોણોમાં BPT લાગુ કરવાથી સંબંધિત છે. આ સાંકળને અનુસરવાથી તમને સરળતાથી સાબિતી તરફ દોરી જશે.

 

Question 4. આપેલ આકૃતિમાં, જો \( \mathrm{DE} \parallel \mathrm{AC} \) અને \( \mathrm{DF} \parallel \mathrm{AE} \) હોય, તો સાબિત કરો કે, \( \frac { \mathrm{BF} }{ \mathrm{FE} } = \frac { \mathrm{BE} }{ \mathrm{EC} } \).

Answer:

\( \triangle \mathrm{ABE} \) માં, \( \mathrm{DF} \parallel \mathrm{AE} \) અને \( \mathrm{DF} \) એ \( \mathrm{AB} \) અને \( \mathrm{BE} \) ને ક્રમ પ્રમાણે \( \mathrm{D} \) અને \( \mathrm{F} \) માં છેદે છે.
\( \therefore \frac { \mathrm{BF} }{ \mathrm{FE} } = \frac { \mathrm{BD} }{ \mathrm{DA} } \) (પ્રમેય 6.1) ...(1)
\( \triangle \mathrm{ABC} \) માં, \( \mathrm{DE} \parallel \mathrm{AC} \) અને \( \mathrm{DE} \) એ \( \mathrm{BA} \) અને \( \mathrm{BC} \) ને ક્રમ પ્રમાણે \( \mathrm{D} \) અને \( \mathrm{E} \) માં છેદે છે.
\( \therefore \frac { \mathrm{BD} }{ \mathrm{DA} } = \frac { \mathrm{BE} }{ \mathrm{EC} } \) (પ્રમેય 6.1) ...(2)
(1) અને (2) પરથી, \( \frac { \mathrm{BF} }{ \mathrm{FE} } = \frac { \mathrm{BE} }{ \mathrm{EC} } \).
In simple words: આપણે આ દાખલામાં બે વાર મૂળભૂત પ્રમાણસરતા પ્રમેય (BPT) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. પહેલા \( \triangle \mathrm{ABE} \) માં \( \mathrm{DF} \parallel \mathrm{AE} \) લાગુ પાડીએ, અને પછી \( \triangle \mathrm{ABC} \) માં \( \mathrm{DE} \parallel \mathrm{AC} \) લાગુ પાડીએ. બંનેમાંથી મળતા ગુણોત્તરો સરખાવીને, આપણે આપેલ પરિણામ સાબિત કરી શકીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે બે સમાંતર રેખાઓ ત્રિકોણની બાજુઓને છેદે છે, ત્યારે BPT નો ઉપયોગ બે વખત કરી શકાય છે. સામાન્ય ગુણોત્તર (અહીં \( \mathrm{BD/DA} \)) ને ઓળખીને, તમે સરળતાથી જરૂરી સાબિતી પર પહોંચી શકો છો.

 

Question 5. આપેલ આકૃતિમાં, \( \mathrm{DE} \parallel \mathrm{OQ} \) અને \( \mathrm{DF} \parallel \mathrm{QR} \). સાબિત કરો કે, \( \mathrm{EF} \parallel \mathrm{QR} \).

Answer:

\( \triangle \mathrm{POQ} \) માં, \( \mathrm{DE} \parallel \mathrm{OQ} \).
\( \therefore \frac { \mathrm{PE} }{ \mathrm{EQ} } = \frac { \mathrm{PD} }{ \mathrm{DO} } \) (પ્રમેય 6.1) ...(1)
\( \triangle \mathrm{POR} \) માં, \( \mathrm{DF} \parallel \mathrm{OR} \).
\( \therefore \frac { \mathrm{PD} }{ \mathrm{DO} } = \frac { \mathrm{PF} }{ \mathrm{FR} } \) (પ્રમેય 6.1) ...(2)
(1) અને (2) પરથી, \( \frac { \mathrm{PE} }{ \mathrm{EQ} } = \frac { \mathrm{PF} }{ \mathrm{FR} } \).
હવે, રેખા \( \mathrm{EF} \) એ \( \triangle \mathrm{PQR} \) ની બાજુઓ \( \mathrm{PQ} \) અને \( \mathrm{PR} \) ને ક્રમ પ્રમાણે \( \mathrm{E} \) અને \( \mathrm{F} \) માં છેદે છે તથા \( \frac { \mathrm{PE} }{ \mathrm{EQ} } = \frac { \mathrm{PF} }{ \mathrm{FR} } \).
તેથી, પ્રમેય 6.2 પ્રમાણે, \( \mathrm{EF} \parallel \mathrm{QR} \).
In simple words: આપણે બે જુદા જુદા ત્રિકોણમાં મૂળભૂત પ્રમાણસરતા પ્રમેય (BPT) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. પહેલા \( \triangle \mathrm{POQ} \) માં, પછી \( \triangle \mathrm{POR} \) માં. બંનેમાંથી એક સામાન્ય ગુણોત્તર \( \frac { \mathrm{PD} }{ \mathrm{DO} } \) મેળવીએ છીએ. આનાથી આપણને \( \triangle \mathrm{PQR} \) માં \( \frac { \mathrm{PE} }{ \mathrm{EQ} } = \frac { \mathrm{PF} }{ \mathrm{FR} } \) મળે છે, જે BPT ના વિપરીત પ્રમેય પ્રમાણે \( \mathrm{EF} \parallel \mathrm{QR} \) સાબિત કરે છે.

Exam Tip: આ પ્રકારના પ્રશ્નોમાં, એક કરતાં વધુ ત્રિકોણમાં BPT નો ઉપયોગ કરવો પડે છે. સાબિત કરવા માટે કે બે રેખાઓ સમાંતર છે, BPT ના વિપરીત પ્રમેયને લાગુ કરવા માટે યોગ્ય ગુણોત્તર મેળવવા પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરો.

 

Question 6. આપેલ આકૃતિમાં, \( \mathrm{AB} \parallel \mathrm{PQ} \) અને \( \mathrm{AC} \parallel \mathrm{PR} \) બને તે રીતે બિંદુઓ A, B અને C અનુક્રમે \( \mathrm{OP} \), \( \mathrm{OQ} \) અને \( \mathrm{OR} \) પર આવેલાં છે, તો સાબિત કરો કે \( \mathrm{BC} \parallel \mathrm{QR} \).

Answer:

\( \triangle \mathrm{OPQ} \) માં, \( \mathrm{AB} \parallel \mathrm{PQ} \) અને \( \mathrm{AB} \) એ \( \mathrm{OP} \) અને \( \mathrm{OQ} \) ને ક્રમ પ્રમાણે \( \mathrm{A} \) અને \( \mathrm{B} \) માં છેદે છે.
\( \therefore \frac { \mathrm{OA} }{ \mathrm{AP} } = \frac { \mathrm{OB} }{ \mathrm{BQ} } \) (પ્રમેય 6.1) ...(1)
\( \triangle \mathrm{OPR} \) માં, \( \mathrm{AC} \parallel \mathrm{PR} \) અને \( \mathrm{AC} \) એ \( \mathrm{OP} \) અને \( \mathrm{OR} \) ને ક્રમ પ્રમાણે \( \mathrm{A} \) અને \( \mathrm{C} \) માં છેદે છે.
\( \therefore \frac { \mathrm{OA} }{ \mathrm{AP} } = \frac { \mathrm{OC} }{ \mathrm{CR} } \) (પ્રમેય 6.1) ...(2)
(1) અને (2) પરથી, \( \frac { \mathrm{OB} }{ \mathrm{BQ} } = \frac { \mathrm{OC} }{ \mathrm{CR} } \).
\( \triangle \mathrm{OQR} \) માં, \( \mathrm{BC} \) એ \( \mathrm{OQ} \) અને \( \mathrm{OR} \) ને ક્રમ પ્રમાણે \( \mathrm{B} \) અને \( \mathrm{C} \) માં છેદે છે અને \( \frac { \mathrm{OB} }{ \mathrm{BQ} } = \frac { \mathrm{OC} }{ \mathrm{CR} } \).
\( \therefore \mathrm{BC} \parallel \mathrm{QR} \) (પ્રમેય 6.2)
In simple words: આપણે ત્રણ અલગ અલગ ત્રિકોણમાં મૂળભૂત પ્રમાણસરતા પ્રમેય (BPT) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. પહેલા \( \triangle \mathrm{OPQ} \) અને \( \triangle \mathrm{OPR} \) માં BPT નો ઉપયોગ કરીને, આપણે એક સામાન્ય ગુણોત્તર \( \frac { \mathrm{OA} }{ \mathrm{AP} } \) મેળવીએ છીએ. આ ગુણોત્તરોને સરખાવવાથી આપણને \( \triangle \mathrm{OQR} \) માં \( \frac { \mathrm{OB} }{ \mathrm{BQ} } = \frac { \mathrm{OC} }{ \mathrm{CR} } \) મળે છે, જે BPT ના વિપરીત પ્રમેય પ્રમાણે \( \mathrm{BC} \parallel \mathrm{QR} \) સાબિત કરે છે.

Exam Tip: આ પ્રકારના પુરાવામાં, તમારે BPT નો બે વાર ઉપયોગ કરીને એક સામાન્ય ગુણોત્તર સ્થાપિત કરવો પડશે, અને પછી ત્રીજા ત્રિકોણમાં BPT ના વિપરીત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સમાંતરતા સાબિત કરવી પડશે.

 

Question 8. પ્રમેય 6.2નો ઉપયોગ કરીને, સાબિત કરો કે ત્રિકોણની બે બાજુઓનાં મધ્યબિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા ત્રિકોણની ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે. (યાદ કરો, તમે ધોરણ IXમાં આ પરિણામ સાબિત કર્યું છે.)

Answer:

પક્ષ: \( \triangle \mathrm{ABC} \) માં, \( \mathrm{P} \) અને \( \mathrm{Q} \) ક્રમ પ્રમાણે \( \mathrm{AB} \) અને \( \mathrm{AC} \) ના મધ્યબિંદુઓ છે.
સાધ્ય: \( \mathrm{PQ} \parallel \mathrm{BC} \)
સાબિતી: અહીં, \( \mathrm{P} \) એ \( \mathrm{AB} \) નું મધ્યબિંદુ છે.
\( \therefore \mathrm{AP} = \mathrm{PB} \)
\( \therefore \frac { \mathrm{AP} }{ \mathrm{PB} } = 1 \) ...(1)
અહીં, \( \mathrm{Q} \) એ \( \mathrm{AC} \) નું મધ્યબિંદુ છે.
\( \therefore \mathrm{AQ} = \mathrm{QC} \)
\( \therefore \frac { \mathrm{AQ} }{ \mathrm{QC} } = 1 \) ...(2)
આમ, (1) અને (2) પરથી,
હવે, \( \triangle \mathrm{ABC} \) માં \( \mathrm{P} \) અને \( \mathrm{Q} \) બિંદુઓ ક્રમ પ્રમાણે \( \mathrm{AB} \) અને \( \mathrm{AC} \) પર રહેલાં છે અને \( \frac { \mathrm{AP} }{ \mathrm{PB} } = \frac { \mathrm{AQ} }{ \mathrm{QC} } \).
\( \therefore \) પ્રમેય 6.2 પ્રમાણે, \( \mathrm{PQ} \parallel \mathrm{BC} \).
In simple words: જો કોઈ રેખા ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓમાંથી પસાર થાય, તો તે રેખા ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે. આપણે દર્શાવીએ છીએ કે મધ્યબિંદુઓ બાજુઓને 1:1 ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. કારણ કે આ ગુણોત્તર બંને બાજુઓ માટે સમાન છે, મૂળભૂત પ્રમાણસરતા પ્રમેય (BPT) નો વિપરીત પ્રમેય સૂચવે છે કે રેખા ત્રીજી બાજુને સમાંતર છે.

Exam Tip: મધ્યબિંદુ પ્રમેય એ BPT ના વિપરીત પ્રમેયનો સીધો ઉપયોગ છે. યાદ રાખો કે મધ્યબિંદુઓ બાજુઓને 1:1 ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે, જે ગુણોત્તરને સમાન સાબિત કરવા માટે નિર્ણાયક છે.

 

Question 9. સમલંબ ચતુષ્કોણ \( \mathrm{ABCD} \) માં \( \mathrm{AB} \parallel \mathrm{DC} \) અને તેના વિકર્ણો એકબીજાને બિંદુ \( \mathrm{O} \) માં છેદે છે, સાબિત કરો કે \( \frac { \mathrm{AO} }{ \mathrm{BO} } = \frac { \mathrm{CO} }{ \mathrm{DO} } \).

Answer:

પક્ષ: સમલંબ ચતુષ્કોણ \( \mathrm{ABCD} \) માં \( \mathrm{AB} \parallel \mathrm{DC} \) અને વિકર્ણો \( \mathrm{AC} \) અને \( \mathrm{BD} \) એકબીજાને બિંદુ \( \mathrm{O} \) માં છેદે છે.
સાધ્ય: \( \frac { \mathrm{AO} }{ \mathrm{BO} } = \frac { \mathrm{CO} }{ \mathrm{DO} } \)
રચના: \( \mathrm{O} \) માંથી પસાર થતી \( \mathrm{AB} \) ને સમાંતર રેખા દોરો, જે \( \mathrm{AD} \) ને \( \mathrm{P} \) માં છેદે છે.
સાબિતી: અહીં, \( \mathrm{OP} \parallel \mathrm{AB} \) અને \( \mathrm{AB} \parallel \mathrm{DC} \).
\( \therefore \mathrm{OP} \parallel \mathrm{DC} \)
\( \triangle \mathrm{ADC} \) માં, \( \mathrm{OP} \parallel \mathrm{DC} \) અને બિંદુઓ \( \mathrm{P} \) તથા \( \mathrm{O} \) ક્રમ પ્રમાણે \( \mathrm{AD} \) અને \( \mathrm{AC} \) પર રહેલાં છે.
\( \therefore \frac { \mathrm{AO} }{ \mathrm{OC} } = \frac { \mathrm{AP} }{ \mathrm{PD} } \) (પ્રમેય 6.1) ...(1)
\( \triangle \mathrm{DAB} \) માં, \( \mathrm{OP} \parallel \mathrm{AB} \) અને બિંદુઓ \( \mathrm{P} \) તથા \( \mathrm{O} \) ક્રમ પ્રમાણે \( \mathrm{AD} \) અને \( \mathrm{BD} \) પર રહેલાં છે.
\( \therefore \frac { \mathrm{PA} }{ \mathrm{PD} } = \frac { \mathrm{OB} }{ \mathrm{OD} } \) (પ્રમેય 6.1) ...(2)
(1) અને (2) પરથી, \( \frac { \mathrm{AO} }{ \mathrm{OC} } = \frac { \mathrm{OB} }{ \mathrm{OD} } \).
\( \therefore \frac { \mathrm{AO} }{ \mathrm{BO} } = \frac { \mathrm{CO} }{ \mathrm{DO} } \).
In simple words: આપણે એક રેખા \( \mathrm{OP} \) દોરીએ છીએ જે \( \mathrm{AB} \) ને સમાંતર હોય. પછી આપણે બે ત્રિકોણ, \( \triangle \mathrm{ADC} \) અને \( \triangle \mathrm{DAB} \) માં મૂળભૂત પ્રમાણસરતા પ્રમેય (BPT) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. આનાથી આપણને બે ગુણોત્તર મળે છે જેમાં \( \frac { \mathrm{AP} }{ \mathrm{PD} } \) સામાન્ય હોય છે. આ ગુણોત્તરોને સરખાવવાથી આપણે \( \frac { \mathrm{AO} }{ \mathrm{OC} } = \frac { \mathrm{OB} }{ \mathrm{OD} } \) મેળવી શકીએ છીએ, જેને ફરીથી ગોઠવતા \( \frac { \mathrm{AO} }{ \mathrm{BO} } = \frac { \mathrm{CO} }{ \mathrm{DO} } \) સાબિત થાય છે.

Exam Tip: સમલંબ ચતુષ્કોણમાં સમાંતર રેખાઓ અને છેદતી વિકર્ણ રેખાઓના કિસ્સામાં, BPT નો ઉપયોગ કરીને સમાન ગુણોત્તર સાબિત કરવા માટે એક સહાયક રેખા દોરવી સામાન્ય છે. સાબિતીમાં યોગ્ય ત્રિકોણ અને સમાંતર રેખાઓ ઓળખવાનું યાદ રાખો.

 

Question 10. ચતુષ્કોણ \( \mathrm{ABCD} \) ના વિકર્ણો એકબીજાને બિંદુ \( \mathrm{O} \) માં છેદે છે અને તેથી \( \frac { \mathrm{AO} }{ \mathrm{BO} } = \frac { \mathrm{CO} }{ \mathrm{DO} } \) થાય છે, તો સાબિત કરો કે \( \mathrm{ABCD} \) સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.

Answer:

પક્ષ: ચતુષ્કોણ \( \mathrm{ABCD} \) ના વિકર્ણો એકબીજાને બિંદુ \( \mathrm{O} \) માં છેદે છે અને \( \frac { \mathrm{AO} }{ \mathrm{BO} } = \frac { \mathrm{CO} }{ \mathrm{DO} } \).
સાધ્ય: \( \mathrm{ABCD} \) સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.
રચના: બિંદુ \( \mathrm{O} \) માંથી \( \mathrm{AB} \) ને સમાંતર રેખા દોરો, જે \( \mathrm{AD} \) ને બિંદુ \( \mathrm{P} \) માં છેદે છે.
સાબિતી: અહીં, \( \triangle \mathrm{DAB} \) માં, બિંદુઓ \( \mathrm{P} \) અને \( \mathrm{O} \) ક્રમ પ્રમાણે \( \mathrm{DA} \) અને \( \mathrm{DB} \) પર રહેલાં છે અને \( \mathrm{PO} \parallel \mathrm{AB} \).
\( \therefore \frac { \mathrm{AP} }{ \mathrm{DP} } = \frac { \mathrm{BO} }{ \mathrm{DO} } \) (પ્રમેય 6.1) ...(1)
આપેલ છે, \( \frac { \mathrm{AO} }{ \mathrm{BO} } = \frac { \mathrm{CO} }{ \mathrm{DO} } \).
\( \therefore \frac { \mathrm{AO} }{ \mathrm{CO} } = \frac { \mathrm{BO} }{ \mathrm{DO} } \) ...(2)
(1) અને (2) પરથી, \( \frac { \mathrm{AP} }{ \mathrm{DP} } = \frac { \mathrm{AO} }{ \mathrm{CO} } \).
હવે, \( \triangle \mathrm{ADC} \) માં, બિંદુઓ \( \mathrm{P} \) અને \( \mathrm{O} \) ક્રમ પ્રમાણે \( \mathrm{AD} \) અને \( \mathrm{AC} \) પર રહેલાં છે અને \( \frac { \mathrm{AP} }{ \mathrm{DP} } = \frac { \mathrm{AO} }{ \mathrm{CO} } \).
પ્રમેય 6.2 પ્રમાણે, \( \mathrm{PO} \parallel \mathrm{DC} \).
હવે, રચના પ્રમાણે \( \mathrm{PO} \parallel \mathrm{AB} \) અને ઉપર સાબિત કર્યા પ્રમાણે \( \mathrm{PO} \parallel \mathrm{DC} \).
\( \therefore \mathrm{AB} \parallel \mathrm{DC} \). આમ, ચતુષ્કોણ \( \mathrm{ABCD} \) માં, \( \mathrm{AB} \parallel \mathrm{DC} \).
આથી \( \mathrm{ABCD} \) સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.
In simple words: આપેલ ગુણોત્તર અને મૂળભૂત પ્રમાણસરતા પ્રમેય (BPT) ના વિપરીત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે સાબિત કરી શકીએ છીએ કે \( \mathrm{AB} \parallel \mathrm{DC} \). પ્રથમ, \( \mathrm{O} \) માંથી \( \mathrm{AB} \) ને સમાંતર એક રેખા \( \mathrm{PO} \) દોરો. પછી \( \triangle \mathrm{DAB} \) માં BPT નો ઉપયોગ કરો. આપેલ ગુણોત્તરને ફરીથી ગોઠવીને અને \( \triangle \mathrm{ADC} \) માં BPT ના વિપરીત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે દર્શાવીએ છીએ કે \( \mathrm{PO} \parallel \mathrm{DC} \). કારણ કે \( \mathrm{PO} \) બંને \( \mathrm{AB} \) અને \( \mathrm{DC} \) ને સમાંતર છે, તેનો અર્થ છે કે \( \mathrm{AB} \parallel \mathrm{DC} \), જે ચતુષ્કોણ \( \mathrm{ABCD} \) ને સમલંબ ચતુષ્કોણ બનાવે છે.

Exam Tip: આ એક વિપરીત પ્રકારનો પ્રમેય છે. તમારે એક સહાયક રેખા દોરવાની જરૂર પડશે અને પછી બે અલગ અલગ ત્રિકોણમાં BPT ના વિપરીત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, સમાંતર બાજુઓની જોડી (એટલે કે સમલંબ ચતુષ્કોણની વ્યાખ્યા) સાબિત કરવી પડશે.