GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 6 ત્રિકોણ Exercise 6.3

Question 1. આપેલ આકૃતિમાં આપેલ ત્રિકોણો પૈકી કઈ જોડીના ત્રિકોણો સમરૂપ છે, તે જણાવો. પ્રશ્નનો જવાબ આપવા કઈ સમરૂપતાની શરતનો ઉપયોગ કર્યો તે લખો અને સમરૂપ ત્રિકોણની જોડીઓને સંકેતમાં લખો:
(i)
Answer: ત્રિકોણ ABC અને ત્રિકોણ PQR માં, ખૂણો A = ખૂણો P = \( 60° \), ખૂણો B = ખૂણો Q = \( 80° \), અને ખૂણો C = ખૂણો R = \( 40° \) છે. તેથી, ખૂખૂખૂ (AAA) સમરૂપતાના નિયમ મુજબ, ત્રિકોણ ABC એ ત્રિકોણ PQR ને સમરૂપ છે.
In simple words: જ્યારે બે ત્રિકોણના બધા ખૂણા એકસરખા માપના હોય, ત્યારે તે ત્રિકોણ સમરૂપ ગણાય છે. અહીં, ત્રિકોણ ABC અને PQR માં દરેક ખૂણાના માપ સરખા હોવાથી, તેઓ સમરૂપ છે.

Exam Tip: ખૂખૂખૂ (AAA) સમરૂપતાના નિયમમાં, જો એક ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણા બીજા ત્રિકોણના અનુરૂપ ત્રણેય ખૂણાને સમાન હોય, તો બંને ત્રિકોણ સમરૂપ થાય છે. સમરૂપતાનો સંકેત લખતી વખતે અનુરૂપ શિરોબિંદુઓનો ક્રમ સાચવવો જરૂરી છે.

(ii)
Answer: ત્રિકોણ ABC અને ત્રિકોણ PQR માં, બાજુઓનો ગુણોત્તર આ પ્રમાણે છે: \( \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{QR}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \), \( \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{RP}}=\frac{2.5}{5}=\frac{1}{2} \) અને \( \frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{PQ}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \). આથી, \( \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{QR}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{RP}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{PQ}} \) છે. તેથી, બાબાબા (SSS) સમરૂપતાના નિયમ મુજબ, ત્રિકોણ ABC એ ત્રિકોણ BRP ને સમરૂપ છે.
In simple words: જો બે ત્રિકોણની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સરખો હોય, તો તે ત્રિકોણ સમરૂપ કહેવાય છે. અહીં, ત્રિકોણ ABC અને PQR ની બધી બાજુઓના ગુણોત્તર એકસરખા હોવાથી, તેઓ સમરૂપ છે.

Exam Tip: બાબાબા (SSS) સમરૂપતાનો ઉપયોગ કરતી વખતે, દરેક ત્રિકોણની બાજુઓને યોગ્ય રીતે ગોઠવીને ગુણોત્તર શોધવો ખૂબ મહત્વનો છે. ધ્યાન રાખો કે અનુરૂપ શિરોબિંદુઓનો ક્રમ યોગ્ય રીતે લખાયેલ હોય.

(iii)
Answer: ના, આપેલ ત્રિકોણ સમરૂપ નથી, કારણ કે તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તર સરખા મળતા નથી. ભલે \( \frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{DE}}=\frac{1}{2} \) અને \( \frac{\mathrm{LP}}{\mathrm{DF}}=\frac{1}{2} \) હોય, પરંતુ \( \frac{\mathrm{LM}}{\mathrm{EF}}=\frac{2.7}{5} \) છે, જે \( \frac{1}{2} \) બરાબર નથી.
In simple words: જો ત્રિકોણ સમરૂપ હોય, તો તેમની બધી બાજુઓનો ગુણોત્તર એકસરખો હોવો જોઈએ. અહીં, અમુક બાજુઓનો ગુણોત્તર ભલે સરખો હોય, પરંતુ બધી બાજુઓનો ગુણોત્તર સરખો ન હોવાથી, આ ત્રિકોણ સમરૂપ નથી.

Exam Tip: બાબાબા (SSS) સમરૂપતા માટે, ત્રણેય અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તર સમાન હોવા ફરજિયાત છે. જો એક પણ જોડીનો ગુણોત્તર અલગ હોય, તો ત્રિકોણ સમરૂપ ગણાશે નહીં.

(iv)
Answer: ત્રિકોણ MNL અને QPR માં, તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર \( \frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{QP}}=\frac{2.5}{5}=\frac{1}{2} \) અને \( \frac{\mathrm{ML}}{\mathrm{QR}}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2} \) છે. વળી, તેમનો અંતર્ગત ખૂણો \( \angle M = \angle Q = 70° \) છે. તેથી, બાખૂબા (SAS) સમરૂપતાના નિયમ મુજબ, ત્રિકોણ MNL એ ત્રિકોણ QPR ને સમરૂપ છે.
In simple words: જો બે ત્રિકોણની બે બાજુઓનો ગુણોત્તર સરખો હોય અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો પણ સરખો હોય, તો તે ત્રિકોણ સમરૂપ ગણાય છે. અહીં MNL અને QPR ત્રિકોણમાં આ શરત પૂરી થાય છે.

Exam Tip: બાખૂબા (SAS) સમરૂપતામાં, ખૂણો હંમેશા બે પ્રમાણસર બાજુઓની વચ્ચેનો જ હોવો જોઈએ. જો ખૂણો બીજી જગ્યાએ હોય, તો આ શરત લાગ

Question 16. જો \( \triangle ABC \sim \triangle PQR \) તથા AD અને PM અનુક્રમે \( \triangle ABC \) અને \( \triangle PQR \) ની મધ્યગા હોય, તો સાબિત કરો કે \( \frac{AB}{PQ} = \frac{AD}{PM} \).
Answer:
ત્રિકોણ ABC એ ત્રિકોણ PQR ને સમરૂપ છે (જે આપણને આપવામાં આવેલું છે).
તેથી, તેમની સંગત બાજુઓનો ગુણોત્તર સરખો હોય છે:
\( \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} \) (1)

AD એ ત્રિકોણ ABC ની મધ્યગા છે, માટે \( BC = 2BD \).
PM એ ત્રિકોણ PQR ની મધ્યગા છે, માટે \( QR = 2QM \).

સમીકરણ (1) માં આ માપ દાખલ કરતા:
\( \frac{AB}{PQ} = \frac{2BD}{2QM} \)
\( \frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} \) (2)

ઉપરાંત, \( \triangle ABC \) અને \( \triangle PQR \) સમરૂપ હોવાથી, તેમના સંગત ખૂણાઓ પણ સરખા હોય છે:
\( \angle B = \angle Q \)
\( \angle ABD = \angle PQM \)

આગળ, \( \triangle ABD \) તથા \( \triangle PQM \) માં,
\( \frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} \) (આ સમીકરણ (2) થી મેળવી શકાય છે)
\( \angle ABD = \angle PQM \) (જે આપણે દર્શાવ્યું છે)

બાજુ-ખૂણો-બાજુ (SAS) સમરૂપતાના નિયમ પ્રમાણે, \( \triangle ABD \) એ \( \triangle PQM \) ને સમરૂપ છે.
આથી, તેમની સંગત બાજુઓનો ગુણોત્તર પણ સરખો થશે:
\( \frac{AB}{PQ} = \frac{AD}{PM} \)
આ પ્રકારે, તે સિદ્ધ થાય છે.
In simple words: જો બે ત્રિકોણ સમરૂપ હોય અને તેમની મધ્યગાઓ આપેલી હોય, તો તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ મધ્યગાઓના ગુણોત્તર સમાન હોય છે.

Exam Tip: જ્યારે મધ્યગાઓનો ઉપયોગ કરીને સમરૂપતા સાબિત કરવાની હોય, ત્યારે યાદ રાખો કે મધ્યગા વિરુદ્ધ બાજુને બે સમાન ભાગમાં વિભાજીત કરે છે. SAS અથવા AA સમરૂપતાના નિયમો શોધવાનો પ્રયાસ કરો.