GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 5 સમાંતર શ્રેણી Exercise 5.3

 

Question 1. નીચે આપેલ સમાંતર શ્રેણી માટે માગ્યા પ્રમાણે સરવાળો શોધોઃ
(i) \( 2, 7, 12, \dots \) 10 પદ સુધી
(ii) \( -37, -33, -29, \dots \) 12 પદ સુધી
(iii) \( 0.6, 1.7, 2.8, \dots \) 100 પદ સુધી
(iv) \( \frac{1}{15}, \frac{1}{12}, \frac{1}{10}, \dots \) 11 પદ સુધી
Answer:
(i) આપેલ સમાંતર શ્રેણી \( 2, 7, 12, \dots \) માટે \( a = 2 \), \( d = 7 - 2 = 5 \), \( n = 10 \) અને \( S_n \) શોધવાનો છે.
\( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)
\( S_n = \frac{10}{2} [4 + (10-1) 5] = 5 (49) = 245 \)
આમ, આપેલ સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ 10 પદોનો સરવાળો 245 થાય.
In simple words: આપણી પાસે સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ, સામાન્ય તફાવત અને પદોની સંખ્યા છે. આ મૂલ્યોને સૂત્રમાં મૂકીએ, તો પ્રથમ 10 પદોનો કુલ સરવાળો 245 મળે છે.

Exam Tip: ખાતરી કરો કે તમે યોગ્ય સૂત્ર \( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \) નો ઉપયોગ કરો છો અને ગણતરીમાં ભૂલો ટાળો.

 

Answer:
(ii) આપેલ સમાંતર શ્રેણી \( -37, -33, -29, \dots \) માટે
\( a = -37 \), \( d = (-33) - (-37) = 4 \), \( n = 12 \) અને \( S_n \) શોધવાનો છે.
\( S_{12} = \frac{12}{2} [-74 + (12 - 1) 4] \)
\( = 6 [-74 + 11 \times 4] \)
\( = 6 [-74 + 44] \)
\( = 6(-30) = -180 \)
આમ, આપેલ સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ 12 પદોનો સરવાળો \( -180 \) થાય.
In simple words: આ સમાંતર શ્રેણીમાં, પ્રથમ પદ, સામાન્ય તફાવત અને પદોની સંખ્યા આપેલી છે. આ વિગતોને સરવાળાના સૂત્રમાં મૂકીને, પ્રથમ 12 પદોનો કુલ સરવાળો \( -180 \) મેળવી શકાય.

Exam Tip: ઋણ સંખ્યાઓની ગણતરી કરતી વખતે ચિહ્નોની ભૂલો ટાળવા માટે ખાસ કાળજી રાખો.

 

Answer:
(iii) આપેલ સમાંતર શ્રેણી \( 0.6, 1.7, 2.8, \dots \) માટે
\( a = 0.6 \), \( d = 1.7 - 0.6 = 1.1 \), \( n = 100 \) અને \( S_n \) શોધવાનો છે.
\( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1) d] \)
\( S_{100} = \frac{100}{2} [2(0.6) + (100 - 1) (1.1)] \)
\( = 50 [1.2 + 99 \times 1.1] \)
\( = 50 [1.2 + 108.9] \)
\( = 50 \times 110.1 = 5505 \)
આમ, આપેલ સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ 100 પદોનો સરવાળો 5505 થાય.
In simple words: આપેલી સમાંતર શ્રેણીમાં, પ્રથમ પદ, સામાન્ય તફાવત અને પદોની કુલ સંખ્યા જાણીતી છે. આ માહિતીનો ઉપયોગ કરીને, સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ 100 પદોનો કુલ સરવાળો 5505 મળે છે.

Exam Tip: દશાંશ સંખ્યાઓ સાથે ગણતરી કરતી વખતે ચોકસાઈ રાખો અને કૌંસનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરો.

 

Answer:
(iv) આપેલ સમાંતર શ્રેણી \( \frac{1}{15}, \frac{1}{12}, \frac{1}{10}, \dots \) માટે,
\( a = \frac{1}{15} \)
\( d = \frac{1}{12} - \frac{1}{15} = \frac{5 - 4}{60} = \frac{1}{60} \)
અને \( n = 11 \) માટે \( S_{11} \) શોધવાનો છે.
\( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1) d] \)
\( S_{11} = \frac{11}{2} [2(\frac{1}{15}) + (11 - 1) (\frac{1}{60})] \)
\( = \frac{11}{2} [\frac{2}{15} + 10 \times \frac{1}{60}] \)
\( = \frac{11}{2} [\frac{2}{15} + \frac{1}{6}] \)
\( = \frac{11}{2} [\frac{4 + 5}{30}] \)
\( = \frac{11}{2} \times \frac{9}{30} \)
\( = \frac{11 \times 3}{2 \times 10} \)
\( = \frac{33}{20} \)
આમ, આપેલ સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ 11 પદોનો સરવાળો \( \frac{33}{20} \) થાય.
In simple words: અહીં સમાંતર શ્રેણીના અપૂર્ણાંક પદો આપેલા છે. પ્રથમ પદ, સામાન્ય તફાવત અને કુલ પદોની સંખ્યા શોધીને, સરવાળાનું સૂત્ર વાપરીએ, તો પ્રથમ 11 પદોનો કુલ સરવાળો \( \frac{33}{20} \) મળે છે.

Exam Tip: અપૂર્ણાંકની ગણતરીમાં લ.સા.અ. (LCM) લેતી વખતે ધ્યાન રાખો, ખાસ કરીને સરવાળા અને બાદબાકીમાં.

 

Question 2. નીચેના સરવાળા શોધો (સમાંતર શ્રેણી આપેલ છે.)
(i) \( 7 + 10\frac{1}{2} + 14 + \dots + 84 \)
(ii) \( 34 + 32 + 30 + \dots + 10 \)
(iii) \( (-5) + (-8) + (-11) + \dots + (-230) \)
Answer:
(i) \( 7 + 10\frac{1}{2} + 14 + \dots + 84 \)
અહીં, \( a = 7 \); \( d = 10\frac{1}{2} - 7 = \frac{21}{2} - 7 = \frac{21 - 14}{2} = \frac{7}{2} \); અંતિમ પદ \( l = 84 \).
ધારો કે, અંતિમ પદ એ \( n \)મું પદ છે.
\( a_n = a + (n-1)d \)
\( 84 = 7 + (n-1)\frac{7}{2} \)
\( 77 = (n-1)\frac{7}{2} \)
\( 77 \times \frac{2}{7} = n-1 \)
\( 11 \times 2 = n-1 \)
\( 22 = n-1 \)
\( n = 23 \)
હવે,
\( S_n = \frac{n}{2} (a + l) \)
\( S_{23} = \frac{23}{2} (7 + 84) \)
\( = \frac{23}{2} \times 91 \)
\( = \frac{2093}{2} = 1046\frac{1}{2} \)
આમ, માગેલ સરવાળો \( 1046\frac{1}{2} \) થાય.
In simple words: આપેલી શ્રેણીમાં પ્રથમ પદ, સામાન્ય તફાવત અને છેલ્લું પદ શોધ્યા. પછી છેલ્લું પદ કયું છે તે જાણવા \( n \) શોધો. છેલ્લે, \( n \) અને પ્રથમ-છેલ્લા પદનો ઉપયોગ કરીને કુલ સરવાળો \( 1046\frac{1}{2} \) મેળવો.

Exam Tip: જ્યારે અંતિમ પદ આપેલું હોય, ત્યારે સરવાળા માટે \( S_n = \frac{n}{2} (a + l) \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો વધુ સરળ બને છે.

 

Answer:
(ii) \( 34 + 32 + 30 + \dots + 10 \)
અહીં, \( a = 34 \); \( d = 32 - 34 = -2 \); અંતિમ પદ \( l = 10 \).
ધારો કે, અંતિમ પદ એ \( n \)મું પદ છે.
\( a_n = a + (n-1)d \)
\( 10 = 34 + (n-1)(-2) \)
\( 10 - 34 = (n-1)(-2) \)
\( -24 = -2(n-1) \)
\( \frac{-24}{-2} = n-1 \)
\( 12 = n-1 \)
\( n = 13 \)
હવે,
\( S_n = \frac{n}{2} (a + l) \)
\( S_{13} = \frac{13}{2} (34 + 10) \)
\( = \frac{13}{2} \times 44 \)
\( = 13 \times 22 = 286 \)
આમ, માગેલ સરવાળો 286 થાય.
In simple words: આપેલી સમાંતર શ્રેણીમાં પ્રથમ પદ, સામાન્ય તફાવત અને અંતિમ પદ શોધવામાં આવે છે. પછી, અંતિમ પદના આધારે પદોની સંખ્યા \( n \) નક્કી થાય છે, અને છેલ્લે, \( n \) અને પ્રથમ-અંતિમ પદોનો ઉપયોગ કરીને કુલ સરવાળો 286 મેળવાય છે.

Exam Tip: ઘટતી જતી સમાંતર શ્રેણીમાં \( d \) ઋણ હશે, તેનું ધ્યાન રાખવું.

 

Answer:
(iii) \( (-5) + (-8) + (-11) + \dots + (-230) \)
અહીં, \( a = -5 \); \( d = (-8) - (-5) = -3 \); અંતિમ પદ \( l = -230 \).
ધારો કે, અંતિમ પદ એ \( n \)મું પદ છે.
\( a_n = a + (n-1)d \)
\( -230 = -5 + (n-1)(-3) \)
\( -230 + 5 = (n-1)(-3) \)
\( -225 = -3(n-1) \)
\( \frac{-225}{-3} = n-1 \)
\( 75 = n-1 \)
\( n = 76 \)
હવે,
\( S_n = \frac{n}{2} (a + l) \)
\( S_{76} = \frac{76}{2} [(-5) + (-230)] \)
\( = 38 [-235] \)
\( = -8930 \)
આમ, માગેલ સરવાળો \( -8930 \) થાય.
In simple words: આપેલી સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ પદ, સામાન્ય તફાવત અને અંતિમ પદ શોધો. અંતિમ પદના આધારે પદોની સંખ્યા \( n \) ગણો, અને પછી \( n \) અને પ્રથમ-અંતિમ પદોનો ઉપયોગ કરીને કુલ સરવાળો \( -8930 \) મેળવો.

Exam Tip: બધી સંખ્યાઓ ઋણ હોય ત્યારે \( d \) પણ ઋણ હોય અને સરવાળો પણ ઋણ મળે, તે યાદ રાખો.

 

Question 3. સમાંતર શ્રેણીમાં
(i) \( a = 5, d = 3, a_n = 50 \) આપેલ હોય, તો \( n \) અને \( S_n \) શોધો.
(ii) \( a = 7, a_{13} = 35 \) આપેલ હોય, તો \( d \) અને \( S_{13} \) શોધો.
(iii) \( a_{12} = 37, d = 3 \) આપેલ હોય, તો \( a \) અને \( S_{12} \) શોધો.
(iv) \( a_3 = 15, S_{10} = 125 \) આપેલ હોય, તો \( d \) અને \( a_{10} \) શોધો.
(v) \( d = 5, S_9 = 75 \) આપેલ હોય, તો \( a \) અને \( a_9 \) શોધો.
(vi) \( a = 2, d = 8, S_n = 90 \) આપેલ હોય, તો \( n \) અને \( a_n \) શોધો.
(vii) \( a = 8, a_n = 62, S_n = 210 \) આપેલ હોય, તો \( n \) અને \( d \) શોધો.
(viii) \( a_n = 4, d = 2, S_n = -14 \) આપેલ હોય, તો \( n \) અને \( a \) શોધો.
(ix) \( a = 3, n = 8, S = 192 \) આપેલ હોય, તો \( d \) શોધો.
(x) \( l = 28, S = 144 \) હોય અને પદોની સંખ્યા 9 હોય તો \( a \) શોધો.
Answer:
(i) અહીં \( a = 5, d = 3, a_n = 50 \). આપણે \( n \) અને \( S_n \) શોધવાના છે.
\( a_n = a + (n-1)d \)
\( 50 = 5 + (n-1)3 \)
\( 45 = 3(n-1) \)
\( 15 = n-1 \)
\( n = 16 \)
હવે, \( S_n = \frac{n}{2} (a + a_n) \)
\( S_{16} = \frac{16}{2} (5 + 50) \)
\( S_{16} = 8 \times 55 \)
\( S_{16} = 440 \)
In simple words: અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ, સામાન્ય તફાવત અને \( n \)મું પદ આપેલું છે. \( n \)મા પદના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પદોની સંખ્યા \( n \) શોધો, અને પછી સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને \( S_n \) ગણો.

Exam Tip: જ્યારે \( a_n \) આપેલું હોય, ત્યારે \( S_n \) શોધવા માટે \( S_n = \frac{n}{2} (a + a_n) \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરો તે ગણતરીમાં સરળ રહે છે.

 

Answer:
(ii) અહીં \( a = 7, a_{13} = 35 \). આપણે \( d \) અને \( S_{13} \) શોધવાના છે.
\( a_n = a + (n-1)d \)
\( a_{13} = a + (13-1)d \)
\( 35 = 7 + 12d \)
\( 28 = 12d \)
\( d = \frac{28}{12} = \frac{7}{3} \)
હવે, \( S_{13} = \frac{n}{2} (a + a_{13}) \)
\( S_{13} = \frac{13}{2} (7 + 35) \)
\( S_{13} = \frac{13}{2} \times 42 \)
\( S_{13} = 13 \times 21 \)
\( S_{13} = 273 \)
In simple words: અહીં, પ્રથમ પદ અને 13મું પદ આપેલું છે. \( n \)મા પદના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય તફાવત \( d \) શોધો, અને પછી 13 પદોના સરવાળાનું સૂત્ર વાપરીને \( S_{13} \) મેળવો.

Exam Tip: જ્યારે અપૂર્ણાંકમાં \( d \) મળે, ત્યારે ગણતરીમાં સાવચેત રહો અને છેલ્લે તેને સરળ સ્વરૂપમાં રજૂ કરો.

 

Answer:
(iii) અહીં \( a_{12} = 37, d = 3 \). આપણે \( a \) અને \( S_{12} \) શોધવાના છે.
\( a_n = a + (n-1)d \)
\( a_{12} = a + 11d \)
\( 37 = a + 11(3) \)
\( 37 = a + 33 \)
\( a = 37 - 33 \)
\( a = 4 \)
હવે, \( S_{12} = \frac{n}{2} (a + a_{12}) \)
\( S_{12} = \frac{12}{2} (4 + 37) \)
\( S_{12} = 6 (41) \)
\( S_{12} = 246 \)
In simple words: અહીં, 12મું પદ અને સામાન્ય તફાવત આપેલ છે. \( n \)મા પદના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ પદ \( a \) શોધો, અને પછી 12 પદોના સરવાળાનું સૂત્ર વાપરીને \( S_{12} \) મેળવો.

Exam Tip: \( a \) અથવા \( d \) શોધવા માટે \( a_n \) ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતી વખતે, \( n-1 \) ની ગણતરી બરાબર કરો.

 

Answer:
(iv) અહીં \( a_3 = 15, S_{10} = 125 \). આપણે \( d \) અને \( a_{10} \) શોધવાના છે.
\( a_n = a + (n-1)d \)
\( a_3 = a + 2d \)
\( a + 2d = 15 \dots (1) \)
અને \( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)
\( S_{10} = \frac{10}{2} [2a + (10-1)d] \)
\( 125 = 5 [2a + 9d] \)
\( \frac{125}{5} = 2a + 9d \)
\( 25 = 2a + 9d \dots (2) \)
સમીકરણ (1) ને 2 વડે ગુણતા: \( 2a + 4d = 30 \dots (3) \)
સમીકરણ (2) માંથી (3) બાદ કરતા:
\( (2a + 9d) - (2a + 4d) = 25 - 30 \)
\( 5d = -5 \)
\( d = -1 \)
\( d = -1 \) ને સમીકરણ (1) માં મૂકતા:
\( a + 2(-1) = 15 \)
\( a - 2 = 15 \)
\( a = 17 \)
હવે \( a_{10} = a + (10-1)d \)
\( a_{10} = 17 + 9(-1) \)
\( a_{10} = 17 - 9 \)
\( a_{10} = 8 \)
In simple words: અહીં, ત્રીજું પદ અને 10 પદોનો સરવાળો આપેલા છે. \( a_n \) અને \( S_n \) ના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને બે રેખીય સમીકરણો બનાવો. તેમને ઉકેલીને \( a \) અને \( d \) શોધો. પછી \( a \) અને \( d \) નો ઉપયોગ કરીને 10મું પદ \( a_{10} \) ગણો.

Exam Tip: જ્યારે બે અજ્ઞાત હોય, ત્યારે બે સમીકરણો બનાવીને તેમને લોપની રીત અથવા આદેશની રીતથી ઉકેલો.

 

Answer:
(v) અહીં \( d = 5, S_9 = 75 \). આપણે \( a \) અને \( a_9 \) શોધવાના છે.
\( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)
\( S_9 = \frac{9}{2} [2a + (9-1)5] \)
\( 75 = \frac{9}{2} [2a + 8(5)] \)
\( 75 = \frac{9}{2} [2a + 40] \)
\( 75 = 9(a + 20) \)
\( \frac{75}{9} = a + 20 \)
\( \frac{25}{3} = a + 20 \)
\( a = \frac{25}{3} - 20 \)
\( a = \frac{25 - 60}{3} \)
\( a = -\frac{35}{3} \)
હવે, \( a_9 = a + (9-1)d \)
\( a_9 = a + 8d \)
\( a_9 = -\frac{35}{3} + 8(5) \)
\( a_9 = -\frac{35}{3} + 40 \)
\( a_9 = \frac{-35 + 120}{3} \)
\( a_9 = \frac{85}{3} \)
In simple words: અહીં, સામાન્ય તફાવત અને 9 પદોનો સરવાળો આપેલ છે. સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ પદ \( a \) શોધો. પછી, \( a \) અને \( d \) નો ઉપયોગ કરીને 9મું પદ \( a_9 \) ગણો.

Exam Tip: જ્યારે \( a \) અપૂર્ણાંકમાં મળે, ત્યારે ગણતરીમાં સાવચેત રહો અને યોગ્ય રીતે લ.સા.અ. લો.

 

Answer:
(vi) અહીં \( a = 2, d = 8, S_n = 90 \). આપણે \( n \) અને \( a_n \) શોધવાના છે.
\( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)
\( 90 = \frac{n}{2} [2(2) + (n-1)8] \)
\( 90 = \frac{n}{2} [4 + 8n - 8] \)
\( 90 = \frac{n}{2} [8n - 4] \)
\( 90 = n(4n - 2) \)
\( 90 = 4n^2 - 2n \)
\( 4n^2 - 2n - 90 = 0 \)
\( 2n^2 - n - 45 = 0 \)
આ દ્વિઘાત સમીકરણને અવયવીકરણ દ્વારા ઉકેલતા:
\( 2n^2 - 10n + 9n - 45 = 0 \)
\( 2n(n-5) + 9(n-5) = 0 \)
\( (n-5)(2n+9) = 0 \)
આથી \( n-5 = 0 \) અથવા \( 2n+9 = 0 \)
\( n = 5 \) અથવા \( n = -\frac{9}{2} \)
પદોની સંખ્યા ક્યારેય ઋણ કે અપૂર્ણાંક ન હોવાથી, \( n = 5 \).
હવે, \( a_n = a + (n-1)d \)
\( a_5 = a + (5-1)d \)
\( a_5 = 2 + 4(8) \)
\( a_5 = 2 + 32 \)
\( a_5 = 34 \)
In simple words: અહીં, પ્રથમ પદ, સામાન્ય તફાવત અને સરવાળો આપેલ છે. સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને એક દ્વિઘાત સમીકરણ બનાવો. તેને ઉકેલીને પદોની સંખ્યા \( n \) શોધો, જેમાં ધન પૂર્ણાંક મૂલ્ય જ સ્વીકારી શકાય. પછી \( n \) નો ઉપયોગ કરીને \( n \)મું પદ \( a_n \) ગણો.

Exam Tip: દ્વિઘાત સમીકરણના ઉકેલમાંથી, હંમેશા પદોની સંખ્યા માટે ધન પૂર્ણાંક મૂલ્ય પસંદ કરો.

 

Answer:
(vii) અહીં \( a = 8, a_n = 62, S_n = 210 \). આપણે \( n \) અને \( d \) શોધવાના છે.
\( S_n = \frac{n}{2} (a + a_n) \)
\( 210 = \frac{n}{2} (8 + 62) \)
\( 210 = \frac{n}{2} (70) \)
\( 210 = 35n \)
\( n = \frac{210}{35} \)
\( n = 6 \)
હવે, \( a_n = a + (n-1)d \)
\( a_6 = a + (6-1)d \)
\( 62 = 8 + 5d \)
\( 54 = 5d \)
\( d = \frac{54}{5} \)
In simple words: અહીં, પ્રથમ પદ, \( n \)મું પદ અને સરવાળો આપેલા છે. સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પદોની સંખ્યા \( n \) શોધો. પછી, \( n \)મા પદના સૂત્રમાં \( n \), \( a \) અને \( a_n \) ના મૂલ્યો મૂકીને સામાન્ય તફાવત \( d \) ગણો.

Exam Tip: જ્યારે \( a \), \( a_n \), અને \( S_n \) આપેલા હોય, ત્યારે પહેલા \( n \) શોધવા માટે સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો સહેલો પડે છે.

 

Answer:
(viii) અહીં \( a_n = 4, d = 2, S_n = -14 \). આપણે \( n \) અને \( a \) શોધવાના છે.
\( a_n = a + (n-1)d \)
\( 4 = a + (n-1)2 \)
\( 4 = a + 2n - 2 \)
\( a = 6 - 2n \dots (1) \)
હવે, \( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)
\( -14 = \frac{n}{2} [2(6 - 2n) + (n-1)2] \) (સમીકરણ (1) માંથી \( a \) ની કિંમત મૂકતા)
\( -14 = \frac{n}{2} [12 - 4n + 2n - 2] \)
\( -14 = \frac{n}{2} [-2n + 10] \)
\( -14 = n(-n + 5) \)
\( -14 = -n^2 + 5n \)
\( n^2 - 5n - 14 = 0 \)
આ દ્વિઘાત સમીકરણને અવયવીકરણ દ્વારા ઉકેલતા:
\( (n-7)(n+2) = 0 \)
આથી \( n-7 = 0 \) અથવા \( n+2 = 0 \)
\( n = 7 \) અથવા \( n = -2 \)
પદોની સંખ્યા ક્યારેય ઋણ ન હોવાથી, \( n = 7 \).
હવે, \( n = 7 \) ની કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતા:
\( a = 6 - 2(7) \)
\( a = 6 - 14 \)
\( a = -8 \)
In simple words: અહીં, \( n \)મું પદ, સામાન્ય તફાવત અને સરવાળો આપેલા છે. \( a_n \) ના સૂત્રમાંથી \( a \) ને \( n \) ના સ્વરૂપમાં શોધો અને તેને \( S_n \) ના સૂત્રમાં મૂકો. આનાથી એક દ્વિઘાત સમીકરણ મળશે જેને ઉકેલીને \( n \) શોધો. પછી \( n \) નો ઉપયોગ કરીને \( a \) ગણો.

Exam Tip: જ્યારે \( a \) અને \( n \) બંને અજ્ઞાત હોય, ત્યારે હંમેશા દ્વિઘાત સમીકરણની રચના થાય છે જેને ઉકેલીને \( n \) મળે છે.

 

Answer:
(ix) અહીં \( a = 3, n = 8, S = 192 \). આપણે \( d \) શોધવાનો છે.
\( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)
\( 192 = \frac{8}{2} [2(3) + (8-1)d] \)
\( 192 = 4 [6 + 7d] \)
\( \frac{192}{4} = 6 + 7d \)
\( 48 = 6 + 7d \)
\( 42 = 7d \)
\( d = 6 \)
In simple words: અહીં, પ્રથમ પદ, પદોની સંખ્યા અને સરવાળો આપેલા છે. સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને \( d \) ના પદમાં એક સમીકરણ બનાવો અને તેને ઉકેલીને સામાન્ય તફાવત \( d \) ગણો.

Exam Tip: જો બધા મૂલ્યો આપેલા હોય અને માત્ર \( d \) શોધવાનું હોય, તો સીધા જ \( S_n \) ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકાય.

 

Answer:
(x) અહીં \( l = 28, S = 144, n = 9 \). આપણે \( a \) શોધવાનો છે.
\( S_n = \frac{n}{2} (a + l) \)
\( 144 = \frac{9}{2} (a + 28) \)
\( \frac{144 \times 2}{9} = a + 28 \)
\( 16 \times 2 = a + 28 \)
\( 32 = a + 28 \)
\( a = 32 - 28 \)
\( a = 4 \)
In simple words: અહીં, અંતિમ પદ, સરવાળો અને પદોની સંખ્યા આપેલા છે. સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને \( a \) ના પદમાં એક સમીકરણ બનાવો અને તેને ઉકેલીને પ્રથમ પદ \( a \) ગણો.

Exam Tip: જ્યારે અંતિમ પદ આપેલું હોય, ત્યારે \( S_n = \frac{n}{2} (a + l) \) સૂત્રનો ઉપયોગ સમય બચાવે છે.

 

Question 4. સમાંતર શ્રેણી \( 9, 17, 25, \dots \) નાં કેટલાં પદોનો સરવાળો 636 થાય?
Answer:
અહીં, \( a = 9 \); \( d = 17 - 9 = 8 \); \( S_n = 636 \). આપણે \( n \) શોધવાનો છે.
\( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)
\( 636 = \frac{n}{2} [2(9) + (n-1)8] \)
\( 636 = \frac{n}{2} [18 + 8n - 8] \)
\( 636 = \frac{n}{2} [10 + 8n] \)
\( 636 = n(5 + 4n) \)
\( 636 = 5n + 4n^2 \)
\( 4n^2 + 5n - 636 = 0 \)
આ દ્વિઘાત સમીકરણને ઉકેલવા માટે, \( a = 4, b = 5, c = -636 \).
વિવેચક \( D = b^2 - 4ac = (5)^2 - 4(4)(-636) \)
\( = 25 + 10176 \)
\( = 10201 \)
\( \sqrt{D} = \sqrt{10201} = 101 \)
હવે, \( n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)
\( n = \frac{-5 \pm 101}{2(4)} \)
\( n = \frac{-5 \pm 101}{8} \)
એટલે, \( n = \frac{-5 + 101}{8} \) અથવા \( n = \frac{-5 - 101}{8} \)
\( n = \frac{96}{8} \) અથવા \( n = \frac{-106}{8} \)
\( n = 12 \) અથવા \( n = -\frac{53}{4} \)
પદોની સંખ્યા હંમેશા ધન પૂર્ણાંક હોવાથી, \( n = 12 \).
આમ, આપેલ સમાંતર શ્રેણીનાં 12 પદોનો સરવાળો 636 થાય.
In simple words: આપેલી સમાંતર શ્રેણીમાંથી પ્રથમ પદ અને સામાન્ય તફાવત શોધો. સરવાળાના સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકીને એક દ્વિઘાત સમીકરણ બનાવો. આ દ્વિઘાત સમીકરણને ઉકેલીને પદોની સંખ્યા \( n \) શોધો, અને ઋણ કે અપૂર્ણાંક મૂલ્યોને અવગણો.

Exam Tip: દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતી વખતે, \( \sqrt{D} \) ની ગણતરીમાં ભૂલ ન થાય તેની કાળજી રાખો અને અંતિમ જવાબમાં માત્ર સકારાત્મક પૂર્ણાંક \( n \) ને ધ્યાનમાં લો.

 

Question 5. સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ 5, અંતિમ પદ 45 અને સરવાળો 400 છે. શ્રેણીનાં પદોની સંખ્યા અને સામાન્ય તફાવત શોધો.
Answer:
અહીં, પ્રથમ પદ \( a = 5 \), અંતિમ પદ \( l = 45 \), \( S_n = 400 \). આપણે \( n \) અને \( d \) શોધવાના છે.
\( S_n = \frac{n}{2} (a + l) \)
\( 400 = \frac{n}{2} (5 + 45) \)
\( 400 = \frac{n}{2} (50) \)
\( 800 = 50n \)
\( n = \frac{800}{50} \)
\( n = 16 \)
હવે, \( a_n = a + (n-1)d \)
\( a_{16} = a + 15d \)
\( 45 = 5 + 15d \)
\( 40 = 15d \)
\( d = \frac{40}{15} \)
\( d = \frac{8}{3} \)
આમ, આપેલ સમાંતર શ્રેણીમાં પદોની સંખ્યા 16 છે અને સામાન્ય તફાવત \( \frac{8}{3} \) છે.
In simple words: આપેલ સમાંતર શ્રેણીમાં પ્રથમ પદ, અંતિમ પદ અને સરવાળો જાણીતા છે. સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ પદોની સંખ્યા \( n \) ગણો. પછી, \( n \)મા પદના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય તફાવત \( d \) શોધો.

Exam Tip: જ્યારે \( a \), \( l \), અને \( S_n \) આપેલા હોય, ત્યારે \( n \) શોધવા માટે સરળ સૂત્ર \( S_n = \frac{n}{2} (a + l) \) નો ઉપયોગ કરવો ફાયદાકારક છે.

 

Question 6. સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ પદ અને અંતિમ પદ અનુક્રમે 17 અને 350 છે. જો સામાન્ય તફાવત 9 હોય, તો તેમાં કેટલાં પદ હશે અને તેમનો સરવાળો કેટલો થશે?
Answer:
અહીં, \( a = 17 \), \( l = a_n = 350 \), \( d = 9 \). આપણે \( n \) અને \( S_n \) શોધવાના છે.
\( a_n = a + (n-1)d \)
\( 350 = 17 + (n-1)9 \)
\( 350 - 17 = (n-1)9 \)
\( 333 = 9(n-1) \)
\( \frac{333}{9} = n-1 \)
\( 37 = n-1 \)
\( n = 38 \)
હવે, \( S_n = \frac{n}{2} (a + l) \)
\( S_{38} = \frac{38}{2} (17 + 350) \)
\( S_{38} = 19 \times 367 \)
\( S_{38} = 6973 \)
આમ, આપેલ સમાંતર શ્રેણીમાં કુલ 38 પદ છે અને આ બધાં જ પદોનો સરવાળો 6973 થાય છે.
In simple words: આપેલી શ્રેણીમાં પ્રથમ પદ, અંતિમ પદ અને સામાન્ય તફાવત આપેલા છે. \( n \)મા પદના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પદોની સંખ્યા \( n \) શોધો. પછી, \( n \) અને પ્રથમ-અંતિમ પદનો ઉપયોગ કરીને કુલ સરવાળો \( S_n \) ગણો.

Exam Tip: જ્યારે \( a_n \) અને \( d \) બંને આપેલા હોય, ત્યારે \( n \) શોધવા માટે \( a_n = a + (n-1)d \) નો ઉપયોગ કરવો વધુ અનુકૂળ રહે છે.

 

Question 7. જે સમાંતર શ્રેણીમાં \( d = 7 \) અને 22મું પદ 149 હોય, તેનાં 22 પદોનો સરવાળો શોધો.
Answer:
અહીં, \( a_{22} = 149 \), \( d = 7 \). આપણે \( S_{22} \) શોધવાનો છે.
\( a_n = a + (n-1)d \)
\( a_{22} = a + (22-1)d \)
\( 149 = a + 21(7) \)
\( 149 = a + 147 \)
\( a = 149 - 147 \)
\( a = 2 \)
હવે, \( S_n = \frac{n}{2} (a + a_n) \)
\( S_{22} = \frac{22}{2} (2 + 149) \)
\( S_{22} = 11 \times 151 \)
\( S_{22} = 1661 \)
આમ, આપેલ સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ 22 પદોનો સરવાળો 1661 થાય છે.
In simple words: અહીં, સામાન્ય તફાવત અને 22મું પદ આપેલું છે. \( n \)મા પદના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ પદ \( a \) શોધો. પછી, \( a \), \( n \) અને \( a_n \) નો ઉપયોગ કરીને 22 પદોનો કુલ સરવાળો ગણો.

Exam Tip: જો \( n \)મું પદ અને \( d \) આપેલા હોય, તો પ્રથમ \( a \) શોધો અને પછી \( S_n \) ની ગણતરી કરો.

 

Question 8. સમાંતર શ્રેણીનું બીજું અને ત્રીજું પદ અનુક્રમે 14 અને 18 હોય, તો તેનાં પ્રથમ 51 પદોનો સરવાળો શોધો.
Answer:
અહીં, \( a_2 = 14 \), \( a_3 = 18 \). આપણે \( S_{51} \) શોધવાનો છે.
\( a_n = a + (n-1)d \)
\( a_2 = a + d = 14 \dots (1) \)
\( a_3 = a + 2d = 18 \dots (2) \)
સમીકરણ (2) માંથી સમીકરણ (1) બાદ કરતા:
\( (a + 2d) - (a + d) = 18 - 14 \)
\( d = 4 \)
\( d = 4 \) ને સમીકરણ (1) માં મૂકતા:
\( a + 4 = 14 \)
\( a = 10 \)
હવે, \( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)
\( S_{51} = \frac{51}{2} [2(10) + (51-1)4] \)
\( S_{51} = \frac{51}{2} [20 + 50 \times 4] \)
\( S_{51} = \frac{51}{2} [20 + 200] \)
\( S_{51} = \frac{51}{2} [220] \)
\( S_{51} = 51 \times 110 \)
\( S_{51} = 5610 \)
આમ, આપેલ સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ 51 પદોનો સરવાળો 5610 થાય છે.
In simple words: અહીં, સમાંતર શ્રેણીના બીજા અને ત્રીજા પદ આપેલા છે. આ પદોનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય તફાવત \( d \) અને પ્રથમ પદ \( a \) શોધો. પછી, \( a \), \( d \) અને પદોની સંખ્યા 51 નો ઉપયોગ કરીને કુલ સરવાળો \( S_{51} \) ગણો.

Exam Tip: ક્રમિક પદો આપેલા હોય, ત્યારે \( d \) શોધવા માટે સરળતાથી બાદબાકીનો ઉપયોગ કરી શકાય છે.

 

Question 9. સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ 7 પદોનો સરવાળો 49 અને 17 પદોનો સરવાળો 289 હોય, તો તેનાં પ્રથમ \( n \) પદોનો સરવાળો શોધો.
Answer:
અહીં, \( S_7 = 49 \), \( S_{17} = 289 \). આપણે \( S_n \) શોધવાનો છે.
\( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)
\( S_7 = \frac{7}{2} [2a + (7-1)d] \)
\( 49 = \frac{7}{2} [2a + 6d] \)
\( 49 = 7[a + 3d] \)
\( \frac{49}{7} = a + 3d \)
\( a + 3d = 7 \dots (1) \)
અને
\( S_{17} = \frac{17}{2} [2a + (17-1)d] \)
\( 289 = \frac{17}{2} [2a + 16d] \)
\( 289 = 17[a + 8d] \)
\( \frac{289}{17} = a + 8d \)
\( a + 8d = 17 \dots (2) \)
સમીકરણ (2) માંથી સમીકરણ (1) બાદ કરતા:
\( (a + 8d) - (a + 3d) = 17 - 7 \)
\( 5d = 10 \)
\( d = 2 \)
\( d = 2 \) ને સમીકરણ (1) માં મૂકતા:
\( a + 3(2) = 7 \)
\( a + 6 = 7 \)
\( a = 1 \)
હવે, પ્રથમ \( n \) પદોનો સરવાળો \( S_n \) શોધવા માટે:
\( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)
\( S_n = \frac{n}{2} [2(1) + (n-1)2] \)
\( S_n = \frac{n}{2} [2 + 2n - 2] \)
\( S_n = \frac{n}{2} [2n] \)
\( S_n = n^2 \)
આમ, આપેલ સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ \( n \) પદોનો સરવાળો \( n^2 \) મળે છે.
In simple words: અહીં, પ્રથમ 7 પદોનો સરવાળો અને પ્રથમ 17 પદોનો સરવાળો આપેલા છે. સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બે સમીકરણો બનાવો. તેમને ઉકેલીને પ્રથમ પદ \( a \) અને સામાન્ય તફાવત \( d \) શોધો. પછી, \( a \) અને \( d \) નો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ \( n \) પદોનો સામાન્ય સરવાળો \( S_n \) ગણો.

Exam Tip: જ્યારે \( S_m \) અને \( S_n \) આપેલા હોય, ત્યારે \( a \) અને \( d \) શોધવા માટે બે સમીકરણો બનાવો અને તેમને ઉકેલો. યાદ રાખો કે \( S_n \) હંમેશા \( n^2 \) ના સ્વરૂપમાં હોય છે જો \( a \) અને \( d \) ચોક્કસ મૂલ્યો હોય.

 

Question 10. \( a_n \) નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત છેઃ
(i) \( a_n = 3 + 4n \)
(ii) \( a_n = 9 - 5n \)
સાબિત કરો કે \( a_1, a_2, \dots, a_n \) સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે. વળી, દરેકમાં પ્રથમ 15 પદોનો સરવાળો શોધો.
Answer:
(i) \( a_n = 3 + 4n \)
પદો શોધીએ:
\( a_1 = 3 + 4(1) = 7 \)
\( a_2 = 3 + 4(2) = 11 \)
\( a_3 = 3 + 4(3) = 15 \)
\( a_4 = 3 + 4(4) = 19 \)
અહીં, પદોનો તફાવત \( a_2 - a_1 = 11 - 7 = 4 \), \( a_3 - a_2 = 15 - 11 = 4 \), વગેરે.
આમ, \( a_{k+1} - a_k \) હંમેશા સમાન રહે છે, તેથી આપેલ પદો સમાંતર શ્રેણી રચે છે, જેમાં \( a = 7 \) અને \( d = 4 \).
હવે, પ્રથમ 15 પદોનો સરવાળો શોધીએ:
\( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)
\( S_{15} = \frac{15}{2} [2(7) + (15-1)4] \)
\( S_{15} = \frac{15}{2} [14 + 14 \times 4] \)
\( S_{15} = \frac{15}{2} [14 + 56] \)
\( S_{15} = \frac{15}{2} [70] \)
\( S_{15} = 15 \times 35 \)
\( S_{15} = 525 \)
આમ, \( a_n = 3 + 4n \) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થતી સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ 15 પદોનો સરવાળો 525 થાય છે.
In simple words: આપેલા \( a_n \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ થોડા પદો શોધો. જો ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન હોય, તો તે સમાંતર શ્રેણી છે. પછી, આ સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ પદ અને સામાન્ય તફાવતનો ઉપયોગ કરીને 15 પદોનો સરવાળો ગણો.

Exam Tip: \( a_n = An + B \) સ્વરૂપના કોઈપણ સમીકરણ માટે, \( d = A \) હોય છે, અને તે હંમેશા સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે.

 

Answer:
(ii) \( a_n = 9 - 5n \)
પદો શોધીએ:
\( a_1 = 9 - 5(1) = 4 \)
\( a_2 = 9 - 5(2) = 9 - 10 = -1 \)
\( a_3 = 9 - 5(3) = 9 - 15 = -6 \)
\( a_4 = 9 - 5(4) = 9 - 20 = -11 \)
અહીં, પદોનો તફાવત \( a_2 - a_1 = -1 - 4 = -5 \), \( a_3 - a_2 = -6 - (-1) = -5 \), વગેરે.
આમ, \( a_{k+1} - a_k \) હંમેશા સમાન રહે છે, તેથી આપેલ પદો સમાંતર શ્રેણી રચે છે, જેમાં \( a = 4 \) અને \( d = -5 \).
હવે, પ્રથમ 15 પદોનો સરવાળો શોધીએ:
\( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)
\( S_{15} = \frac{15}{2} [2(4) + (15-1)(-5)] \)
\( S_{15} = \frac{15}{2} [8 + 14(-5)] \)
\( S_{15} = \frac{15}{2} [8 - 70] \)
\( S_{15} = \frac{15}{2} [-62] \)
\( S_{15} = 15 \times (-31) \)
\( S_{15} = -465 \)
આમ, \( a_n = 9 - 5n \) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થતી સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ 15 પદોનો સરવાળો \( -465 \) થાય છે.
In simple words: આપેલી \( a_n \) શ્રેણીના પહેલા થોડા પદો ગણો. જો ક્રમિક પદોનો તફાવત સ્થિર રહે, તો તે સમાંતર શ્રેણી છે. પછી, આ શ્રેણીનું પ્રથમ પદ અને સામાન્ય તફાવતનો ઉપયોગ કરીને 15 પદોનો કુલ સરવાળો શોધો.

Exam Tip: ઋણ \( d \) સાથે ગણતરી કરતી વખતે ચિહ્નોની ભૂલો ટાળવા માટે ખાસ કાળજી રાખવી.

 

Question 11. સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ \( n \) પદોનો સરવાળો \( 4n – n^2 \) હોય, તો તેનું પ્રથમ પદ કયું હશે (અર્થાત્ \( a_1 \))? પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો કેટલો હશે? બીજું પદ કયું હશે? આ જ રીતે ત્રીજું, 10મું અને \( n \)મું પદ શોધો.
Answer:
આપેલ સમાંતર શ્રેણી માટે, \( S_n = 4n - n^2 \).
પ્રથમ પદ \( a_1 \) એ પ્રથમ એક પદનો સરવાળો છે, તેથી \( a_1 = S_1 \).
\( S_1 = 4(1) - (1)^2 = 4 - 1 = 3 \).
આમ, પ્રથમ પદ \( a_1 = 3 \).
પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો \( S_2 = 4(2) - (2)^2 = 8 - 4 = 4 \).
બીજું પદ \( a_2 = S_2 - S_1 = 4 - 3 = 1 \).
ત્રીજા પદોનો સરવાળો \( S_3 = 4(3) - (3)^2 = 12 - 9 = 3 \).
ત્રીજું પદ \( a_3 = S_3 - S_2 = 3 - 4 = -1 \).
10 પદોનો સરવાળો \( S_{10} = 4(10) - (10)^2 = 40 - 100 = -60 \).
9 પદોનો સરવાળો \( S_9 = 4(9) - (9)^2 = 36 - 81 = -45 \).
10મું પદ \( a_{10} = S_{10} - S_9 = -60 - (-45) = -60 + 45 = -15 \).
હવે, \( n \)મું પદ \( a_n \) શોધવા માટે:
\( a_n = S_n - S_{n-1} \)
\( S_n = 4n - n^2 \)
\( S_{n-1} = 4(n-1) - (n-1)^2 \)
\( = 4n - 4 - (n^2 - 2n + 1) \)
\( = 4n - 4 - n^2 + 2n - 1 \)
\( = -n^2 + 6n - 5 \)
તેથી,
\( a_n = (4n - n^2) - (-n^2 + 6n - 5) \)
\( = 4n - n^2 + n^2 - 6n + 5 \)
\( a_n = -2n + 5 \).
In simple words: જ્યારે \( S_n \) સૂત્ર આપેલું હોય, ત્યારે \( S_1 \) એ પ્રથમ પદ છે. \( S_2 - S_1 \) એ બીજું પદ છે. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, તમે કોઈપણ પદ શોધી શકો છો, અને \( a_n = S_n - S_{n-1} \) નો ઉપયોગ કરીને \( n \)મું પદ પણ મેળવી શકો છો.

Exam Tip: યાદ રાખો કે \( a_1 = S_1 \) અને \( a_n = S_n - S_{n-1} \) આ પ્રશ્નો ઉકેલવા માટે મુખ્ય સૂત્રો છે.

 

Question 12. 6 વડે વિભાજ્ય પ્રથમ 40 ધન પૂર્ણાંકોનો સરવાળો શોધો. 6 વડે વિભાજ્ય પ્રથમ 40 ધન પૂર્ણાંકો નીચે મુજબની સાન્ત સમાંતર શ્રેણી રચે: \( 6, 12, 18, \dots, 240 \).
Answer:
અહીં, \( a = 6 \); \( d = 12 - 6 = 6 \); \( n = 40 \) અને \( l = 240 \).
\( S_n = \frac{n}{2} (a + l) \)
\( S_{40} = \frac{40}{2} (6 + 240) \)
\( S_{40} = 20 \times 246 \)
\( S_{40} = 4920 \)
આમ, માગેલ સરવાળો 4920 થાય.
વૈકલ્પિક રીતઃ
માગેલ સરવાળો \( = 6 + 10 + 18 + \dots + 240 \)
\( = 6 (1 + 2 + 3 + \dots + 40) \)
\( = 6 \times \frac{40(40+1)}{2} \) (કારણ કે \( 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2} \))
\( = 6 \times \frac{40 \times 41}{2} \)
\( = 6 \times 20 \times 41 \)
\( = 120 \times 41 \)
\( = 4920 \)
In simple words: 6 વડે વિભાજ્ય પ્રથમ 40 સંખ્યાઓ એક સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે. પ્રથમ પદ, સામાન્ય તફાવત અને અંતિમ પદ શોધીને, સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કુલ સરવાળો 4920 ગણો. વૈકલ્પિક રીતે, 6 ને સામાન્ય લઈને, પ્રથમ 40 પૂર્ણાંકોના સરવાળાનું સૂત્ર વાપરી શકાય.

Exam Tip: ગુણિતોનો સરવાળો શોધતી વખતે, પ્રથમ પદ, સામાન્ય તફાવત અને અંતિમ પદ (જો આપેલ હોય) યોગ્ય રીતે ઓળખો.

 

Question 13. 8ના પ્રથમ 15 ગુણિતોનો સરવાળો શોધો. 8ના પ્રથમ 15 ગુણિતો નીચે મુજબની સાન્ત સમાંતર શ્રેણી રચેઃ \( 8, 16, 24, \dots, 120 \).
Answer:
અહીં, \( a = 8 \); \( d = 16 - 8 = 8 \); \( n = 15 \) અને \( l = 120 \).
\( S_n = \frac{n}{2} (a + l) \)
\( S_{15} = \frac{15}{2} (8 + 120) \)
\( S_{15} = \frac{15}{2} (128) \)
\( S_{15} = 15 \times 64 \)
\( S_{15} = 960 \)
આમ, માગેલ સરવાળો 960 થાય.
વૈકલ્પિક રીતઃ
માગેલ સરવાળો \( = 8 + 16 + 24 + \dots + 120 \)
\( = 8 (1 + 2 + 3 + \dots + 15) \)
\( = 8 \times \frac{15(15+1)}{2} \) (કારણ કે \( 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2} \))
\( = 8 \times \frac{15 \times 16}{2} \)
\( = 8 \times 15 \times 8 \)
\( = 960 \)
In simple words: 8 ના પ્રથમ 15 ગુણિતો એક સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે. પ્રથમ પદ, સામાન્ય તફાવત અને અંતિમ પદ શોધીને, સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કુલ સરવાળો 960 ગણો. વૈકલ્પિક રીતે, 8 ને સામાન્ય લઈને, પ્રથમ 15 પૂર્ણાંકોના સરવાળાનું સૂત્ર વાપરી શકાય.

Exam Tip: ગુણિતોનો સરવાળો શોધતી વખતે, પ્રથમ પદ એ મૂળ સંખ્યા હોય છે અને સામાન્ય તફાવત પણ તે જ સંખ્યા હોય છે.

 

Question 14. 0 અને 50 વચ્ચેના અયુગ્મ પૂર્ણાંકોનો સરવાળો શોધો. 0 અને 50 વચ્ચેના અયુગ્મ પૂર્ણાંકો નીચે મુજબની સાન્ત સમાંતર શ્રેણી રચે: \( 1, 3, 5, \dots, 49 \).
Answer:
અહીં, \( a = 1 \); \( d = 3 - 1 = 2 \); \( l = 49 \).
ધારો કે, અંતિમ પદ એ શ્રેણીનું \( n \)મું પદ છે.
\( a_n = a + (n-1)d \)
\( 49 = 1 + (n-1)2 \)
\( 48 = (n-1)2 \)
\( 24 = n-1 \)
\( n = 25 \)
હવે, \( S_n = \frac{n}{2} (a + l) \)
\( S_{25} = \frac{25}{2} (1 + 49) \)
\( S_{25} = \frac{25}{2} (50) \)
\( S_{25} = 25 \times 25 \)
\( S_{25} = 625 \)
આમ, માગેલ સરવાળો 625 થાય.
In simple words: 0 થી 50 વચ્ચેના અયુગ્મ પૂર્ણાંકો એક સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે. પ્રથમ પદ 1 અને અંતિમ પદ 49 છે. \( n \)મા પદના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પદોની સંખ્યા \( n \) શોધો, અને પછી સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કુલ સરવાળો 625 ગણો.

Exam Tip: અયુગ્મ સંખ્યાઓની શ્રેણીમાં સામાન્ય તફાવત હંમેશા 2 હોય છે.

 

Question 16. કોઈ એક શાળામાં વિદ્યાર્થીઓના સમગ્ર શૈક્ષણિક પ્રદર્શન માટે અપાતા 7 ઇનામો માટે કુલ Rs. 700ની છે. જો પ્રત્યેક ઇનામ આગળના ઇનામ કરતાં Rs. 20 ઓછું હોય, તો પ્રત્યેક ઇનામની રકમ શોધો.
Answer: શાળામાં કુલ Rs. 700 સાત ઇનામોમાં વહેંચવાના છે. પ્રત્યેક ઇનામ તેના આગળના ઇનામ કરતાં Rs. 20 ઓછું છે. ચાલો ધારીએ કે સૌથી મોટું ઇનામ, એટલે કે પ્રથમ ઇનામ Rs. \( a \) છે. આથી, બીજું ઇનામ Rs. \( a - 20 \), ત્રીજું ઇનામ Rs. \( a - 40 \), અને આ રીતે કુલ સાત ઇનામો થશે. આ રીતે, ઇનામની રકમ એક સાન્ત સમાંતર શ્રેણી (AP) બનાવે છે: \( a, a - 20, a - 40, a - 60, a - 80, a - 100, a - 120 \). અહીં, પ્રથમ પદ \( a = a \); સામાન્ય તફાવત \( d = (a - 20) - a = -20 \); પદોની સંખ્યા \( n = 7 \); અને બધા 7 પદોનો સરવાળો \( S_7 = 700 \) છે. આપણે સમાંતર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર વાપરીશું:
\( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1) d] \)
\( 700 = \frac{7}{2} [2a + (7-1) (-20)] \)
\( 700 = \frac{7}{2} [2a + 6(-20)] \)
\( 700 = \frac{7}{2} [2a - 120] \)
\( 1400 = 7 (2a - 120) \)
\( 200 = 2a - 120 \)
\( 2a = 320 \)
\( a = 160 \)
આમ, ઇનામની રકમો આ પ્રમાણે છે:
પ્રથમ ઇનામ \( = a = 160 \)
બીજું ઇનામ \( = a - 20 = 140 \)
ત્રીજું ઇનામ \( = a - 40 = 120 \)
ચોથું ઇનામ \( = a - 60 = 100 \)
પાંચમું ઇનામ \( = a - 80 = 80 \)
છઠ્ઠું ઇનામ \( = a - 100 = 60 \)
સાતમું ઇનામ \( = a - 120 = 40 \)
તેથી, ઇનામની રકમો, ઉતરતા ક્રમમાં, Rs. 160, Rs. 140, Rs. 120, Rs. 100, Rs. 80, Rs. 60, અને Rs. 40 છે.
In simple words: The school had Rs. 700 for 7 prizes. Each prize was Rs. 20 less than the one before it. We found the value of the first prize by using the sum formula. Then we found all the prize amounts.

Exam Tip: When problems involve a fixed total amount and a constant difference between items, using the sum formula for an arithmetic progression (AP) is crucial. Remember to correctly identify 'a', 'd', and 'n'.

 

Question 17. એક શાળામાં વિદ્યાર્થીઓ વાયુ-પ્રદૂષણ ઓછું કરવા માટે શાળાની અંદર અને બહાર વૃક્ષ વાવવાનું વિચારે છે. એવું નક્કી કરાયું કે પ્રત્યેક ધોરણનો પ્રત્યેક વિભાગ તે જે ધોરણમાં ભણતા હોય તેટલાં વૃક્ષ વાવશે. દાખલા તરીકે ધોરણ Iનો વિભાગ 1 વૃક્ષ, ધોરણ IIનો વિભાગ 2 વૃક્ષ અને આવું ધોરણ XII સુધી ચાલશે. દરેક ધોરણમાં ત્રણ વિભાગ છે. આ વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા કેટલાં વૃક્ષનું વાવેતર થશે?
Answer: ધોરણ Iના ત્રણ વિભાગના વિદ્યાર્થીઓ \( 1 + 1 + 1 = 3 \) વૃક્ષો વાવશે. ધોરણ IIના ત્રણ વિભાગના વિદ્યાર્થીઓ \( 2 + 2 + 2 = 6 \) વૃક્ષો વાવશે. આ જ રીતે આગળ વધતાં, ધોરણ XIIના ત્રણ વિભાગના વિદ્યાર્થીઓ \( 12 + 12 + 12 = 36 \) વૃક્ષો વાવશે. આમ, વાવેલા વૃક્ષોની સંખ્યા એક સમાંતર શ્રેણી (AP) બનાવે છે: \( 3, 6, 9, \dots, 36 \). અહીં, પ્રથમ પદ \( a = 3 \); સામાન્ય તફાવત \( d = 6 - 3 = 3 \); અને પદોની સંખ્યા \( n = 12 \) છે. \( S_{12} \)નું મૂલ્ય વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા વાવેલા કુલ વૃક્ષોની સંખ્યા આપશે. આપણે સમાંતર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર વાપરીશું:
\( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1) d] \)
\( S_{12} = \frac{12}{2} [2(3) + (12-1) 3] \)
\( S_{12} = 6 [6 + 11 \times 3] \)
\( S_{12} = 6 [6 + 33] \)
\( S_{12} = 6 \times 39 \)
\( S_{12} = 234 \)
આથી, શાળાના વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા કુલ 234 વૃક્ષો વાવવામાં આવશે.
In simple words: Students from each class and section plant trees equal to their class number. Since there are three sections per class, the number of trees forms an AP. We find the sum of this AP to get the total trees planted.

Exam Tip: Carefully determine the first term, common difference, and number of terms to apply the arithmetic progression sum formula correctly.

 

Question 18. વારાફરતી A અને Bને કેન્દ્ર લઈ ક્રમિક અર્ધવર્તુળોની મદદથી એક કુંતલ (Spiral) બનાવેલ છે. તેની શરૂઆત Aથી થાય છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ત્રિજ્યાઓ 0.5 સેમી, 1.0 સેમી, 1.5 સેમી, 2.0 સેમી, હોય, તો આવા 13 ક્રમિક અર્ધવર્તુળોથી બનતા કુંતલની લંબાઈ શોધો. (\( \pi = \frac{22}{7} \) લો.)

Answer: એક અર્ધવર્તુળની લંબાઈ \( \pi r \) દ્વારા મળે છે, જ્યાં \( r \) તેની ત્રિજ્યા છે.
A કેન્દ્રવાળા અને 0.5 સેમી ત્રિજ્યાવાળા પ્રથમ અર્ધવર્તુળ (\( l_1 \))ની લંબાઈ \( l_1 = \pi \times 0.5 \) સેમી છે.
B કેન્દ્રવાળા અને 1.0 સેમી ત્રિજ્યાવાળા બીજા અર્ધવર્તુળ (\( l_2 \))ની લંબાઈ \( l_2 = \pi \times 1.0 \) સેમી છે.
A કેન્દ્રવાળા અને 1.5 સેમી ત્રિજ્યાવાળા ત્રીજા અર્ધવર્તુળ (\( l_3 \))ની લંબાઈ \( l_3 = \pi \times 1.5 \) સેમી છે.
આ જ રીતે આગળ વધતાં, A કેન્દ્રવાળા અને 6.5 સેમી ત્રિજ્યાવાળા 13મા અર્ધવર્તુળ (\( l_{13} \))ની લંબાઈ \( l_{13} = \pi \times 6.5 \) સેમી છે.
હવે, 13 ક્રમિક અર્ધવર્તુળોથી બનતા કુંતલની કુલ લંબાઈ એ તેમની વ્યક્તિગત લંબાઈનો સરવાળો છે:
કુલ લંબાઈ \( = l_1 + l_2 + l_3 + \dots + l_{13} \)
\( = (\pi \times 0.5) + (\pi \times 1.0) + (\pi \times 1.5) + \dots + (\pi \times 6.5) \)
આપણે \( \pi \)ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લઈ શકીએ:
\( = \pi (0.5 + 1.0 + 1.5 + \dots + 6.5) \)
કૌંસની અંદરના પદો એક સમાંતર શ્રેણી (AP) બનાવે છે, જેમાં પ્રથમ પદ \( a = 0.5 \), સામાન્ય તફાવત \( d = 1.0 - 0.5 = 0.5 \), અને પદોની સંખ્યા \( n = 13 \) છે.
આપણે આ APના સરવાળાનું સૂત્ર \( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \) વાપરીશું:
\( S_{13} = \frac{13}{2} [2(0.5) + (13-1)(0.5)] \)
\( S_{13} = \frac{13}{2} [1 + (12)(0.5)] \)
\( S_{13} = \frac{13}{2} [1 + 6] \)
\( S_{13} = \frac{13}{2} \times 7 \)
હવે, આ મૂલ્યને કુલ લંબાઈની ગણતરીમાં પાછું મૂકીશું:
કુલ લંબાઈ \( = \pi \times S_{13} \)
\( = \frac{22}{7} \times \frac{13}{2} \times 7 \)
\( = \frac{22}{2} \times 13 \)
\( = 11 \times 13 \)
\( = 143 \) સેમી
આથી, 13 ક્રમિક અર્ધવર્તુળોથી બનતા કુંતલની કુલ લંબાઈ 143 સેમી છે.
In simple words: We added up the lengths of 13 semicircles. Each semicircle's length is \( \pi \) times its radius. The radii grow in an arithmetic pattern. We found the sum of these radii and then multiplied it by \( \pi \) to get the total length.

Exam Tip: Always remember that the length of a semicircle is \( \pi r \), not \( 2\pi r \). When dealing with a series of increasing radii, verify if they form an arithmetic progression to simplify summation.

 

Question 19. લાકડાની 200 ભારીઓ નીચે પ્રમાણે ગોઠવવામાં આવે છે ઃ તળિયાની હારમાં 20 ભારી, તેની ઉપરની હારમાં 19 ભારી, તેની ઉપરની હારમાં 18 ભારીઓ વગેરે (જુઓ આકૃતિ). આવી 200 ભારીઓ ગોઠવવા માટે કેટલી હાર થશે અને સૌથી ઉપરની હારમાં કેટલી ભારીઓ થશે?
Answer: સૌથી નીચેની હારમાં લોગની સંખ્યા 20 છે. નીચેથી બીજી હારમાં લોગની સંખ્યા 19 છે. નીચેથી ત્રીજી હારમાં લોગની સંખ્યા 18 છે. આ રીતે, 200 લોગ ગોઠવાય ત્યાં સુધી આ પેટર્ન ચાલુ રહે છે. આમ, દરેક હારમાં લોગની સંખ્યા એક સાન્ત સમાંતર શ્રેણી (AP) બનાવે છે: \( 20, 19, 18, \dots \), જ્યાં \( n \) પદોનો સરવાળો 200 થાય છે. અહીં, પ્રથમ પદ \( a = 20 \); સામાન્ય તફાવત \( d = 19 - 20 = -1 \); અને \( n \) પદોનો સરવાળો \( S_n = 200 \) છે. આપણે સમાંતર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર વાપરીશું:
\( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)
\( 200 = \frac{n}{2} [2(20) + (n-1)(-1)] \)
\( 400 = n [40 - n + 1] \)
\( 400 = n (41 - n) \)
\( 400 = 41n - n^2 \)
પદોને ફરીથી ગોઠવતા, આપણને દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે:
\( n^2 - 41n + 400 = 0 \)
આ દ્વિઘાત સમીકરણનું અવયવીકરણ કરીશું:
\( n^2 - 16n - 25n + 400 = 0 \)
\( n(n - 16) - 25(n - 16) = 0 \)
\( (n - 16)(n - 25) = 0 \)
આનાથી \( n \) માટે બે સંભવિત મૂલ્યો મળે છે: \( n - 16 = 0 \) અથવા \( n - 25 = 0 \).
તેથી, \( n = 16 \) અથવા \( n = 25 \).
બંને જવાબો ગાણિતિક રીતે સાચા છે. હવે આપણે દરેક કિસ્સામાં ટોચની હારમાં લોગની સંખ્યા \( a_n \)ની ગણતરી કરીને કયું મૂલ્ય વ્યવહારુ છે તે નક્કી કરીશું.
સૂત્ર \( a_n = a + (n-1)d \)નો ઉપયોગ કરીને:
\( n = 16 \) માટે:
\( a_{16} = 20 + (16-1)(-1) \)
\( a_{16} = 20 + 15(-1) \)
\( a_{16} = 20 - 15 \)
\( a_{16} = 5 \)
\( n = 25 \) માટે:
\( a_{25} = 20 + (25-1)(-1) \)
\( a_{25} = 20 + 24(-1) \)
\( a_{25} = 20 - 24 \)
\( a_{25} = -4 \)
એક હારમાં લોગની સંખ્યા ઋણ ન હોઈ શકે. તેથી, \( n = 25 \) શક્ય જવાબ નથી.
આમ, કુલ 16 હાર હશે, અને સૌથી ઉપરની હારમાં 5 લોગ હશે.
In simple words: We are stacking 200 logs, with each new row having one less log. We set up an equation to find how many rows there are. We got two possible answers for the number of rows. One answer led to a negative number of logs in the top row, which is impossible. So, we picked the other answer, which means there are 16 rows and 5 logs in the last row.

Exam Tip: When solving quadratic equations for real-world problems, always check if all mathematical solutions are practical in the given context (e.g., number of items cannot be negative).

 

Question 20. એક બટાકા ઉપાડવાની હરીફાઈમાં આરંભબિંદુ પર એક ડોલ રાખેલ છે અને ત્યારબાદ તેનાથી 5 મી દૂર પ્રથમ બટાકું મૂકેલ છે. ત્યારપછી દર ત્રણ મીટરે એક બટાકું સીધી રેખામાં ગોઠવેલ છે. આવા 10 બટાકા રેખા પર મૂકેલ છે. (જુઓ આકૃતિ) દરેક હરીફે ડોલ પાસેથી દોડી પોતાની નજીકનું બટાકું ઉપાડી, પાછા આવી ડોલમાં નાખવાનું છે. ત્યારબાદ આ જ પ્રમાણે બીજું, ત્રીજું એમ છેલ્લું બટાકું ડોલમાં મુકાય ત્યાં સુધી દોડવાનું છે. હરીફે કેટલું અંતર દોડવું પડે?

Answer: સ્પર્ધક દ્વારા પ્રથમ બટાકું ઉપાડવા અને ડોલમાં પાછું લાવવા માટે કાપવામાં આવેલ અંતર \( 2 \times 5 = 10 \) મીટર છે. બીજા બટાકા માટેનું અંતર \( 2 \times (5+3) = 2 \times 8 = 16 \) મીટર છે. ત્રીજા બટાકા માટેનું અંતર \( 2 \times (5+3+3) = 2 \times 11 = 22 \) મીટર છે. આ દર્શાવે છે કે 10 બટાકા ઉપાડવા માટે કાપવામાં આવેલ અંતર એક સમાંતર શ્રેણી (AP) બનાવે છે: \( 10, 16, 22, \dots \) 10 પદો સુધી. અહીં, પ્રથમ પદ \( a = 10 \); સામાન્ય તફાવત \( d = 16 - 10 = 6 \); અને પદોની સંખ્યા \( n = 10 \) છે. \( S_n \) સ્પર્ધક દ્વારા કાપવામાં આવેલ કુલ અંતર દર્શાવે છે. આપણે સમાંતર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર વાપરીશું:
\( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)
\( S_{10} = \frac{10}{2} [2(10) + (10-1)6] \)
\( S_{10} = 5 [20 + 9 \times 6] \)
\( S_{10} = 5 [20 + 54] \)
\( S_{10} = 5 \times 74 \)
\( S_{10} = 370 \)
આથી, સ્પર્ધકે કુલ 370 મીટર અંતર દોડવું પડશે.
In simple words: The competitor runs to each potato and back. The distance to each potato forms a pattern. We found the total distance for all 10 potatoes by adding up these distances using the arithmetic progression formula.

Exam Tip: Always double the distance to each potato because the competitor runs to pick it up and then runs back to the bucket. Ensure the distances form an arithmetic progression correctly before applying the sum formula.