GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 5 સમાંતર શ્રેણી Exercise 5.4

Question 1. સમાંતર શ્રેણી 121, 117, 113,... નું કયું પદ શૂન્ય કરતાં નાનું હોય તેવો સૌથી નાનો n શોધો?
Answer: સમાંતર શ્રેણી 121, 117, 113,... માટે, આપણે લઈએ કે પ્રથમ પદ \(a = 121\) અને સામાન્ય તફાવત \(d = 117 - 121 = -4\).
ધારી લો કે, શ્રેણીનું \(n\)મું પદ શૂન્ય કરતાં નાનું છે, એટલે કે \(a_n < 0\).
આપણે જાણીએ છીએ કે, \(a_n = a + (n-1)d\).
તેથી,
\(a + (n-1)d < 0\)
\(121 + (n - 1)(-4) < 0\)
\(121 - 4n + 4 < 0\)
\(125 - 4n < 0\)
\(125 < 4n\)
\(n > \frac{125}{4}\)
\(n > 31.25\)
હવે, \(n\) એ પદનો ક્રમાંક હોવાથી, તે ધન પૂર્ણાંક જ હોય છે. 31.25 કરતાં મોટો હોય તેવો નાનામાં નાનો ધન પૂર્ણાંક 32 છે.
તેથી, આપેલ સમાંતર શ્રેણીનું 32મું પદ પ્રથમ ઋણ પદ હોય છે.
In simple words: આપેલ શ્રેણીમાં પ્રથમ પદ 121 અને સામાન્ય તફાવત -4 છે. આપણે એવું પદ શોધવાનું છે જે શૂન્ય કરતાં નાનું હોય. સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે ગણતરી કરીએ તો n 31.25 કરતાં મોટો હોવો જોઈએ. સૌથી નાનો પૂર્ણાંક n 32 છે, તેથી 32મું પદ પહેલું ઋણ પદ હશે.

Exam Tip: સમાંતર શ્રેણીના \(n\)મા પદનું સૂત્ર સમજવું અને કોઈ ચોક્કસ શરતને સંતોષતા પ્રથમ પદને શોધવા માટે અસમાનતાઓ કેવી રીતે લાગુ કરવી તે જાણવું જરૂરી છે.

Question 2. કોઈ સમાંતર શ્રેણીના ત્રીજા અને સાતમા પદનો સરવાળો 6 છે અને તેનો ગુણાકાર 8 છે. આ સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ 16 પદનો સરવાળો શોધો.
Answer: ધારી લો કે, આપેલ સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ \(a\) અને સામાન્ય તફાવત \(d\) છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે, \(a_n = a + (n-1)d\).
તેથી, \(a_3 = a + 2d\) અને \(a_7 = a + 6d\).
આપેલી જાણકારી અનુસાર,
\(a_3 + a_7 = 6\)
\((a + 2d) + (a + 6d) = 6\)
\(2a + 8d = 6\)
\(a + 4d = 3\)
\(a = 3 - 4d\) ........ (1)
વળી, ત્રીજા અને સાતમા પદનો ગુણાકાર 8 છે.
\((a + 2d)(a + 6d) = 8\)
સમીકરણ (1) માંથી \(a\) ની કિંમત મૂકતાં,
\((3 - 4d + 2d)(3 - 4d + 6d) = 8\)
\((3 - 2d)(3 + 2d) = 8\)
\(9 - (2d)^2 = 8\)
\(9 - 4d^2 = 8\)
\(1 = 4d^2\)
\(d^2 = \frac{1}{4}\)
\(d = \pm \frac{1}{2}\)

હવે, બે કેસ બને છે:
(i) જો \(d = \frac{1}{2}\) હોય, તો આપણે મેળવીએ કે,
\(a = 3 - 4(\frac{1}{2}) = 3 - 2 = 1\)
\(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(S_{16} = \frac{16}{2}[2(1) + (16-1)\frac{1}{2}]\)
\(S_{16} = 8[2 + 15 \times \frac{1}{2}]\)
\(S_{16} = 8[2 + \frac{15}{2}]\)
\(S_{16} = 8[\frac{4 + 15}{2}]\)
\(S_{16} = 8 \times \frac{19}{2}\)
\(S_{16} = 4 \times 19\)
\(S_{16} = 76\)

(ii) જો \(d = -\frac{1}{2}\) હોય, તો આપણે મેળવીએ કે,
\(a = 3 - 4(-\frac{1}{2}) = 3 + 2 = 5\)
\(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(S_{16} = \frac{16}{2}[2(5) + (16-1)(-\frac{1}{2})]\)
\(S_{16} = 8[10 + 15 \times (-\frac{1}{2})]\)
\(S_{16} = 8[10 - \frac{15}{2}]\)
\(S_{16} = 8[\frac{20 - 15}{2}]\)
\(S_{16} = 8[\frac{5}{2}]\)
\(S_{16} = 4 \times 5\)
\(S_{16} = 20\)
તેથી, આપેલ સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ 16 પદોનો સરવાળો 76 અથવા 20 થાય છે.
In simple words: પહેલા, આપણે પ્રથમ પદ \(a\) અને સામાન્ય તફાવત \(d\) શોધવા માટે આપેલી શરતોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. \(a_3+a_7=6\) માંથી \(a\) અને \(d\) વચ્ચેનો સંબંધ મળે છે. પછી, \(a_3 \times a_7=8\) નો ઉપયોગ કરીને \(d\) માટે બે કિંમતો મળે છે. દરેક \(d\) ની કિંમત માટે \(a\) શોધીને, આપણે શ્રેણીના પ્રથમ 16 પદોનો સરવાળો શોધીએ છીએ, જે 76 અથવા 20 આવે છે.

Exam Tip: યાદ રાખો કે \(d\) માટેના વર્ગ સમીકરણથી સામાન્ય તફાવતની એકથી વધુ યોગ્ય કિંમતો મળી શકે છે, જેના કારણે સમાંતર શ્રેણીના સરવાળા માટે પણ એકથી વધુ સંભવિત જવાબો આવે છે.

Question 3. એક સીડીના બે ક્રમિક પગથિયાં વચ્ચેનું અંતર 25 સેમી છે. (જુઓ આકૃતિ) સૌથી નીચેના પગથિયાની લંબાઈ 45 સેમી છે અને એકધારા ઘટાડા સાથે સૌથી ઉપરના પગથિયાની લંબાઈ 25 સેમી છે. સૌથી ઉપરના અને સૌથી નીચેના પગથિયાં વચ્ચેનું અંતર \(2\frac{1}{2}\) મીટર હોય, તો પગથિયામાં વપરાયેલ કુલ લાકડાની લંબાઈ શોધો.
Answer: ઉપરના અને નીચેના પગથિયાં વચ્ચેનું કુલ અંતર \(2\frac{1}{2}\) મીટર છે, જે 250 સેમી બરાબર થાય.
દરેક બે ક્રમિક પગથિયાં વચ્ચેનું અંતર 25 સેમી છે.
તેથી, પગથિયાંની કુલ સંખ્યા \(= \frac{250}{25} + 1 = 11\) છે, અને તેમાં સૌથી ઉપરનું તથા સૌથી નીચેનું એમ બંને પગથિયાં ભેગાં ગણવામાં આવે છે.
સૌથી નીચેના પગથિયાની લંબાઈ, એટલે કે પ્રથમ પદ \((a_1)\) = 45 સેમી.
સૌથી ઉપરના પગથિયાની લંબાઈ, એટલે કે 11મા પદ \((a_{11})\) = 25 સેમી.
પગથિયાંઓની લંબાઈ એકધારી રીતે ઘટે છે.
આને કારણે, પગથિયાંની લંબાઈ (સેમીમાં) એક સાન્ત સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે, જેમાં પ્રથમ પદ \(a = 45\) અને 11મું પદ \(a_{11} = 25\) છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે \(a_n = a + (n - 1)d\).
\(a_{11} = a + (11 - 1)d\)
\(25 = 45 + 10d\)
\(10d = 25 - 45\)
\(10d = -20\)
\(d = -2\)
તેથી, નીચેથી ઉપર તરફ જતાં પગથિયાંની લંબાઈ સતત રીતે (દરેક પગથિયાં માટે) 2 સેમી ઘટે છે.
આ શ્રેણીના બધા 11 પદોનો સરવાળો કરવાથી પગથિયાંમાં વપરાયેલ લાકડાની કુલ લંબાઈ મેળવી શકાય છે.
સમાંતર શ્રેણીના પદોના સરવાળાનું સૂત્ર છે: \(S_n = \frac{n}{2}(a + l)\), જ્યાં \(l\) અંતિમ પદ છે.
\(S_{11} = \frac{11}{2}(45 + 25)\)
\(S_{11} = \frac{11}{2} \times 70\)
\(S_{11} = 11 \times 35\)
\(S_{11} = 385\)
તેથી, પગથિયાંમાં વપરાયેલ કુલ લાકડાની લંબાઈ 385 સેમી થાય છે.
In simple words: સીડીના પગથિયાંની કુલ લંબાઈ સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે. પ્રથમ પદ 45 સેમી છે અને 11મું પદ 25 સેમી છે. આપણે 11 પગથિયાંનો સરવાળો શોધવાનો છે. પહેલા, આપણે સામાન્ય તફાવત \(d\) શોધીએ, જે -2 છે. પછી, આપણે સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કુલ લંબાઈ 385 સેમી મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે કોઈ સમસ્યામાં વિરોધાભાસી માહિતી હોય (જેમ કે પગથિયાંની સંખ્યા), ત્યારે સુસંગતતા સુનિશ્ચિત કરવા માટે હંમેશા ઉકેલની ગણતરીમાં ઉપયોગમાં લેવાતી પદ્ધતિ અને સંખ્યાઓને અનુસરો.

Question 4. એક હારમાં આવેલાં મકાનોને ક્રમશઃ 1થી 49 ક્રમાંક આપેલ છે. સાબિત કરો કે, એવી સંખ્યા x મળે કે જેથી તેની આગળના મકાનના ક્રમાંકોનો સરવાળો તે પછીનાં મકાનોના ક્રમાંકોના સરવાળા જેટલો થાય. xનું મૂલ્ય શોધો. સૂચનઃ \(S_{x-1} = S_{49} - S_x\)
Answer: આપણને ખબર છે કે, પ્રથમ \(n\) ધન પૂર્ણાંકોનો સરવાળો \(S_n = 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}\) થાય છે.
આપેલી જાણકારી પ્રમાણે, મકાન \(x\) ની આગળના મકાનોના ક્રમાંકોનો સરવાળો \((S_{x-1})\) એ મકાન \(x\) પછીના મકાનોના ક્રમાંકોના સરવાળા \((S_{49} - S_x)\) બરાબર છે.
આથી, \(S_{x-1} = S_{49} - S_x\)
\(\frac{(x-1)x}{2} = \frac{49(49+1)}{2} - \frac{x(x+1)}{2}\)
\(\frac{(x-1)x}{2} = \frac{49 \times 50}{2} - \frac{x(x+1)}{2}\)
સમીકરણના બંને પક્ષોને 2 વડે ગુણતા,
\(x(x-1) = 49 \times 50 - x(x+1)\)
\(x^2 - x = 2450 - (x^2 + x)\)
\(x^2 - x = 2450 - x^2 - x\)
\(x^2 - x + x^2 + x = 2450\)
\(2x^2 = 2450\)
\(x^2 = \frac{2450}{2}\)
\(x^2 = 1225\)
\(x = \sqrt{1225}\)
\(x = 35\)
આથી, આપેલ શરતનું પાલન કરતી \(x\) ની કિંમત 35 છે.
In simple words: આપણે કુલ 49 મકાનોમાંથી એક એવું મકાન \(x\) શોધવાનું છે, જેના આગળના મકાનોના નંબરનો સરવાળો તેના પાછળના મકાનોના નંબરના સરવાળા જેટલો થાય. સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે સમીકરણ બનાવીએ છીએ. તેને ઉકેલતા, \(x\) ની કિંમત 35 મળે છે.

Exam Tip: આ સમસ્યા સમાંતર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્રનો અસરકારક રીતે ઉપયોગ કરીને એક અજ્ઞાત મધ્યમ પદને શોધે છે, જેમાં બંને બાજુના સરવાળા સંતુલિત થાય છે. સમસ્યાના નિવેદનના આધારે સમીકરણો કાળજીપૂર્વક ગોઠવો.

Question 5. ફૂટબૉલના એક મેદાનમાં 15 પગથિયાંવાળી નાની અગાસી છે. તે પ્રત્યેકની લંબાઈ 50 મી છે અને તે નક્કર કોંક્રિટના બનાવેલ છે. દરેક પગથિયાની ઊંચાઈ \(\frac{1}{4}\) મી તથા પહોળાઈ \(\frac{1}{2}\) મી છે (જુઓ આકૃતિ). આ અગાસી બનાવવા માટે કુલ કેટલા ઘનફળ કોંક્રિટની જરૂર પડશે? [સૂચનઃ પ્રથમ પગથિયું બનાવવા જરૂરી કોક્રિટનું ઘનફળ = \(\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 50\) મી³]
Answer: પ્રથમ પગથિયું બનાવવા માટે જરૂરી કોંક્રિટનું ઘનફળ (લંબાઈ \( \times \) પહોળાઈ \( \times \) ઊંચાઈ):
\(V_1 = 50 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \text{ મી}^3 = 25 \times \frac{1}{4} \text{ મી}^3 = \frac{25}{4} \text{ મી}^3\)

બીજા પગથિયા માટે જરૂરી કોંક્રિટનું ઘનફળ (ઊંચાઈ બે સ્તરોની બનેલી છે):
\(V_2 = 50 \times \frac{1}{2} \times (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) \text{ મી}^3 = 50 \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{4} \text{ મી}^3 = 25 \times \frac{2}{4} \text{ મી}^3 = \frac{50}{4} \text{ મી}^3 = \frac{25}{2} \text{ મી}^3\)

ત્રીજા પગથિયા માટે જરૂરી કોંક્રિટનું ઘનફળ (ઊંચાઈ ત્રણ સ્તરોની બનેલી છે):
\(V_3 = 50 \times \frac{1}{2} \times (\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}) \text{ મી}^3 = 50 \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \text{ મી}^3 = 25 \times \frac{3}{4} \text{ મી}^3 = \frac{75}{4} \text{ મી}^3\)

તેથી, 15 પગથિયાં બનાવવા માટે વપરાતા કોંક્રિટનું ઘનફળ (ક્યુબિક મીટરમાં) 15 પદોવાળી નીચે પ્રમાણેની સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે:
\(\frac{25}{4}, \frac{25}{2}, \frac{75}{4}, ..., \text{ 15 પદ સુધી}\)

આ શ્રેણીના બધા 15 પદોનો સરવાળો કરવાથી અગાસી બનાવવા માટે જરૂરી કોંક્રિટનું કુલ ઘનફળ (ક્યુબિક મીટરમાં) મળે છે.
આમાં, પ્રથમ પદ \(a = \frac{25}{4}\).
સામાન્ય તફાવત \(d = \frac{25}{2} - \frac{25}{4} = \frac{50 - 25}{4} = \frac{25}{4}\).
અને પદોની સંખ્યા \(n = 15\).
સમાંતર શ્રેણીના \(n\) પદોના સરવાળાનું સૂત્ર છે: \(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]\)
\(S_{15} = \frac{15}{2}\left[2\left(\frac{25}{4}\right) + (15-1)\left(\frac{25}{4}\right)\right]\)
\(S_{15} = \frac{15}{2}\left[\frac{50}{4} + 14 \times \frac{25}{4}\right]\)
\(S_{15} = \frac{15}{2}\left[\frac{50}{4} + \frac{350}{4}\right]\)
\(S_{15} = \frac{15}{2}\left[\frac{400}{4}\right]\)
\(S_{15} = \frac{15}{2}[100]\)
\(S_{15} = 15 \times 50\)
\(S_{15} = 750\)
તેથી, અગાસી બનાવવા માટે કુલ 750 મી³ કોંક્રિટની જરૂરિયાત રહેશે.
In simple words: દરેક પગથિયાનું ઘનફળ શોધીએ છીએ. દરેક પગથિયું \(\frac{1}{4}\) મીટર ઊંચું હોવાથી, બીજા પગથિયાની ઊંચાઈ \(2 \times \frac{1}{4}\) મીટર અને ત્રીજા પગથિયાની ઊંચાઈ \(3 \times \frac{1}{4}\) મીટર બને છે. આ રીતે, ઘનફળ એક સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે. પ્રથમ પદ \(\frac{25}{4}\), સામાન્ય તફાવત \(\frac{25}{4}\) અને કુલ 15 પદ છે. આ બધા પદોનો સરવાળો કરતાં કુલ 750 ક્યુબિક મીટર કોંક્રિટની જરૂર પડશે.

Exam Tip: જ્યારે કોઈ સમસ્યામાં ઘનફળ અથવા ક્ષેત્રફળનો સમાવેશ થાય છે જે સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે, ત્યારે સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પહેલા પ્રથમ પદ, સામાન્ય તફાવત અને પદોની સંખ્યાને યોગ્ય રીતે ઓળખો.