GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 5 સમાંતર શ્રેણી Exercise 5.2

 

Question 1. નીચેના કોષ્ટકમાં સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ \( a \), સામાન્ય તફાવત \( d \) અને \( n \) મું પદ \( a_n \) છે. ખાલી જગ્યા પૂરો:

Answer:
(i) અહીં, પ્રથમ પદ \( a = 7 \), સામાન્ય તફાવત \( d = 3 \), પદોની સંખ્યા \( n = 8 \) છે અને \( a_n \) શોધવાનું છે.
સૂત્ર \( a_n = a + (n - 1)d \) નો ઉપયોગ કરીને:
\( a_8 = 7 + (8 - 1)3 \)
\( a_8 = 7 + (7)3 \)
\( a_8 = 7 + 21 \)
\( a_8 = 28 \)
(ii) આપણી પાસે \( a = -18 \), \( n = 10 \), \( a_n = 0 \) છે અને \( d \) શોધવાનું છે.
સૂત્ર \( a_n = a + (n - 1)d \) નો ઉપયોગ કરીને:
\( 0 = -18 + (10 - 1)d \)
\( 0 = -18 + 9d \)
\( 18 = 9d \)
\( d = \frac{18}{9} \)
\( d = 2 \)
(iii) આપણી પાસે \( d = -3 \), પદોની સંખ્યા \( n = 18 \), \( a_{18} = -5 \) છે અને પ્રથમ પદ \( a \) શોધવાનું છે.
સૂત્ર \( a_n = a + (n - 1)d \) નો ઉપયોગ કરીને:
\( -5 = a + (18 - 1)(-3) \)
\( -5 = a + (17)(-3) \)
\( -5 = a - 51 \)
\( a = -5 + 51 \)
\( a = 46 \)
(iv) આપણી પાસે \( a = -18.9 \), સામાન્ય તફાવત \( d = 2.5 \), \( a_n = 3.6 \) છે અને પદોની સંખ્યા \( n \) શોધવાની છે.
સૂત્ર \( a_n = a + (n - 1)d \) નો ઉપયોગ કરીને:
\( 3.6 = -18.9 + (n - 1)(2.5) \)
\( 3.6 + 18.9 = (n - 1)(2.5) \)
\( 22.5 = 2.5(n - 1) \)
\( n - 1 = \frac{22.5}{2.5} \)
\( n - 1 = 9 \)
\( n = 9 + 1 \)
\( n = 10 \)
(v) આપણી પાસે \( a = 3.5 \), \( d = 0 \), \( n = 105 \) છે અને \( a_n \) શોધવાનું છે.
સૂત્ર \( a_n = a + (n - 1)d \) નો ઉપયોગ કરીને:
\( a_{105} = 3.5 + (105 - 1)(0) \)
\( a_{105} = 3.5 + (104)(0) \)
\( a_{105} = 3.5 + 0 \)
\( a_{105} = 3.5 \)
In simple words: આપેલી સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ પદ, સામાન્ય તફાવત, પદોની સંખ્યા અને nમાં પદના સૂત્ર \( a_n = a + (n - 1)d \) નો ઉપયોગ કરીને કોષ્ટકમાં ખૂટતી કિંમતો શોધો.

Exam Tip: ખાલી જગ્યા પૂરા કરવા માટે હંમેશા સમાંતર શ્રેણીના \( n \) માં પદના સૂત્ર \( a_n = a + (n - 1)d \) નો ઉપયોગ કરો અને સાવચેતીપૂર્વક ગણતરી કરો.

 

Question 2. નીચેનામાંથી સાચો જવાબ શોધો અને ચકાસોઃ
(i) સમાંતર શ્રેણી 10, 7, 4, . નું 30મું પદ છે.
(A) 97
(B) 77
(C) - 77
(D) - 87
Answer: (C) - 77
In simple words: આપેલી સમાંતર શ્રેણી માટે, પ્રથમ પદ \( a = 10 \) છે. સામાન્ય તફાવત \( d = 7 - 10 = -3 \) થાય છે. આપણે 30મું પદ \( n = 30 \) શોધવાનું છે. સૂત્ર \( a_n = a + (n - 1)d \) નો ઉપયોગ કરીને, \( a_{30} = 10 + (30 - 1)(-3) = 10 + (29)(-3) = 10 - 87 = -77 \) મળે છે. તેથી, સાચો વિકલ્પ (C) -77 છે.

Exam Tip: MCQs માં સાચા જવાબ સુધી પહોંચવા માટે ગણતરી કાળજીપૂર્વક કરો, ખાસ કરીને જ્યારે સામાન્ય તફાવત ઋણ હોય.

 

Question 2. (ii) સમાંતર શ્રેણી – 3, - \( \frac{1}{2} \), 2, .. નું 11મું પદ.............. છે.
(B) 22
(C) - 38
(D) \( -48\frac{1}{2} \)
Answer: (B) 22
In simple words: આપેલી સમાંતર શ્રેણી માટે, પ્રથમ પદ \( a = -3 \) છે. સામાન્ય તફાવત \( d = - \frac{1}{2} - (-3) = - \frac{1}{2} + 3 = \frac{5}{2} \) મળે છે. આપણે 11મું પદ \( n = 11 \) શોધવાનું છે. સૂત્ર \( a_n = a + (n - 1)d \) નો ઉપયોગ કરીને, \( a_{11} = -3 + (11 - 1)(\frac{5}{2}) = -3 + 10(\frac{5}{2}) = -3 + 25 = 22 \) મળે છે. તેથી, સાચો વિકલ્પ (B) 22 છે.

Exam Tip: જ્યારે અપૂર્ણાંકમાં પદો હોય ત્યારે સામાન્ય તફાવત શોધવામાં સાવચેત રહો, ઋણ ચિન્હોનું ધ્યાન રાખો.

 

Question 3. નીચેની સમાંતર શ્રેણીમાં ખાલી ખાનાનાં પદ શોધો :
(i) 2,, 26
Answer: આપેલી સમાંતર શ્રેણીમાં, પ્રથમ પદ \( a = 2 \) અને ત્રીજું પદ \( a_3 = 26 \) છે. આપણે જાણીએ છીએ કે \( a_3 = a + 2d \). તેથી, \( 26 = 2 + 2d \implies 2d = 24 \implies d = 12 \). બીજું પદ \( a_2 = a + d = 2 + 12 = 14 \) થશે. આમ, ખાલી જગ્યામાં 14 આવશે.
In simple words: પ્રથમ પદ 2 અને ત્રીજું પદ 26 છે. ત્રીજા પદના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય તફાવત \( d \) શોધો, પછી બીજા પદ માટે \( a+d \) કરો.

Exam Tip: જ્યારે ફક્ત પ્રથમ અને અંતિમ પદો આપેલા હોય ત્યારે, મધ્યમ પદો શોધવા માટે સામાન્ય તફાવત \( d \) ની ગણતરી કરવી અનિવાર્ય છે.

 

Question 3. (ii), 13, 3
Answer: આ આપેલી સમાંતર શ્રેણીમાં, બીજું પદ \( a_2 = 13 \) અને ચોથું પદ \( a_4 = 3 \) છે. આપણે જાણીએ છીએ કે \( a_n = a + (n - 1)d \).
તેથી, \( a + d = 13 \) (સમીકરણ 1) અને \( a + 3d = 3 \) (સમીકરણ 2).
સમીકરણ 2 માંથી સમીકરણ 1 બાદ કરતાં: \( (a + 3d) - (a + d) = 3 - 13 \implies 2d = -10 \implies d = -5 \).
\( d = -5 \) ને સમીકરણ 1 માં મૂકતાં: \( a + (-5) = 13 \implies a = 18 \).
ત્રીજું પદ \( a_3 = a + 2d = 18 + 2(-5) = 18 - 10 = 8 \).
આમ, ખાલી જગ્યાઓમાં 18 અને 8 આવશે.
In simple words: બીજું અને ચોથું પદ આપેલું છે. આ પદોના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને બે સમીકરણો બનાવો, તેમને ઉકેલીને \( a \) અને \( d \) શોધો, પછી ખૂટતા પદો ગણો.

Exam Tip: અજાણ્યા \( a \) અને \( d \) ને શોધવા માટે બે પદોનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની જોડી બનાવો અને તેમને ઉકેલો.

 

Question 3. (iii) 5,, 9
Answer: આપેલી સમાંતર શ્રેણીમાં, પ્રથમ પદ \( a = 5 \) અને ચોથું પદ \( a_4 = 9 \) છે. આપણે જાણીએ છીએ કે \( a_4 = a + 3d \). તેથી, \( 9 = 5 + 3d \implies 3d = 4 \implies d = \frac{4}{3} \).
બીજું પદ \( a_2 = a + d = 5 + \frac{4}{3} = \frac{15 + 4}{3} = \frac{19}{3} \).
ત્રીજું પદ \( a_3 = a + 2d = 5 + 2(\frac{4}{3}) = 5 + \frac{8}{3} = \frac{15 + 8}{3} = \frac{23}{3} \).
આમ, ખાલી જગ્યાઓમાં \( \frac{19}{3} \) અને \( \frac{23}{3} \) આવશે.
In simple words: પ્રથમ પદ 5 અને ચોથું પદ 9 છે. ચોથા પદના સૂત્રથી \( d \) શોધો. પછી \( a+d \) અને \( a+2d \) નો ઉપયોગ કરીને બીજા અને ત્રીજા પદ શોધો.

Exam Tip: અપૂર્ણાંકમાં \( d \) મેળવવું સામાન્ય છે. અપૂર્ણાંકની ગણતરી કરતી વખતે ધ્યાન રાખો કે જેથી ભૂલો ન થાય.

 

Question 3. (iv) -4,,,,, 6
Answer: આપેલી સમાંતર શ્રેણીમાં, પ્રથમ પદ \( a = -4 \) અને છઠ્ઠું પદ \( a_6 = 6 \) છે. આપણે જાણીએ છીએ કે \( a_6 = a + 5d \). તેથી, \( 6 = -4 + 5d \implies 5d = 10 \implies d = 2 \).
હવે, આપણે ખૂટતા પદો શોધીશું:
બીજું પદ \( a_2 = a + d = -4 + 2 = -2 \).
ત્રીજું પદ \( a_3 = a + 2d = -4 + 2(2) = -4 + 4 = 0 \).
ચોથું પદ \( a_4 = a + 3d = -4 + 3(2) = -4 + 6 = 2 \).
પાંચમું પદ \( a_5 = a + 4d = -4 + 4(2) = -4 + 8 = 4 \).
આમ, ખાલી જગ્યાઓમાં -2, 0, 2, 4 આવશે.
In simple words: પ્રથમ પદ -4 અને છઠ્ઠું પદ 6 છે. છઠ્ઠા પદના સૂત્રથી \( d \) શોધો. પછી \( a+d \), \( a+2d \), \( a+3d \), અને \( a+4d \) નો ઉપયોગ કરીને બીજા, ત્રીજા, ચોથા અને પાંચમા પદ શોધો.

Exam Tip: જ્યારે ઘણા પદો ખૂટતા હોય, ત્યારે પ્રથમ \( a \) અને સામાન્ય તફાવત \( d \) ની ગણતરી કરવી એ શ્રેણીના તમામ ખૂટતા પદો શોધવાની ચાવી છે.

 

Question 3. (v), 38,,,, -22
Answer: આપેલી સમાંતર શ્રેણીમાં, બીજું પદ \( a_2 = 38 \) અને છઠ્ઠું પદ \( a_6 = -22 \) છે. આપણે જાણીએ છીએ કે \( a_n = a + (n - 1)d \).
તેથી, \( a + d = 38 \) (સમીકરણ 1) અને \( a + 5d = -22 \) (સમીકરણ 2).
સમીકરણ 2 માંથી સમીકરણ 1 બાદ કરતાં: \( (a + 5d) - (a + d) = -22 - 38 \implies 4d = -60 \implies d = -15 \).
\( d = -15 \) ને સમીકરણ 1 માં મૂકતાં: \( a + (-15) = 38 \implies a = 53 \).
હવે, આપણે ખૂટતા પદો શોધીશું:
પ્રથમ પદ \( a_1 = 53 \).
ત્રીજું પદ \( a_3 = a + 2d = 53 + 2(-15) = 53 - 30 = 23 \).
ચોથું પદ \( a_4 = a + 3d = 53 + 3(-15) = 53 - 45 = 8 \).
પાંચમું પદ \( a_5 = a + 4d = 53 + 4(-15) = 53 - 60 = -7 \).
આમ, ખાલી જગ્યાઓમાં 53, 23, 8, અને -7 આવશે.
In simple words: બીજું અને છઠ્ઠું પદ આપેલું છે. આ પદોના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને બે સમીકરણો બનાવો, તેમને ઉકેલીને \( a \) અને \( d \) શોધો, પછી ખૂટતા પદો ગણો.

Exam Tip: જ્યારે વચ્ચેના પદો આપેલા હોય, ત્યારે \( a \) અને \( d \) શોધવા માટે સમીકરણોની જોડી બનાવવી એ શ્રેષ્ઠ વ્યૂહરચના છે.

 

Question 4. સમાંતર શ્રેણી 3, 8, 13, 18, ...નું કેટલામું પદ 78 થાય?
Answer: આપેલી સમાંતર શ્રેણી 3, 8, 13, 18, ... માં પ્રથમ પદ \( a = 3 \) અને સામાન્ય તફાવત \( d = 8 - 3 = 5 \) છે. આપણે શોધવાનું છે કે કયું પદ 78 છે, એટલે કે \( a_n = 78 \).
સમાંતર શ્રેણીના \( n \) માં પદ માટેનું સૂત્ર \( a_n = a + (n - 1)d \) નો ઉપયોગ કરીશું:
\( 78 = 3 + (n - 1)5 \)
\( 78 - 3 = (n - 1)5 \)
\( 75 = 5(n - 1) \)
\( \frac{75}{5} = n - 1 \)
\( 15 = n - 1 \)
\( n = 15 + 1 \)
\( n = 16 \).
તેથી, આ સમાંતર શ્રેણીનું 16મું પદ 78 થાય.
In simple words: શ્રેણીનું પ્રથમ પદ અને સામાન્ય તફાવત શોધો. પછી \( a_n = 78 \) મૂકીને \( n \) માટે ઉકેલો.

Exam Tip: \( a_n = a + (n - 1)d \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, \( n \) શોધવા માટે કિંમતોને યોગ્ય રીતે બદલો અને બીજગણિતની ગણતરીમાં ભૂલ ન થાય તેની કાળજી રાખો.

 

Question 5. નીચેની સમાંતર શ્રેણીમાં પદોની સંખ્યા શોધોઃ
(i) 7, 13, 19, ..........., 205
Answer: આ આપેલી સમાંતર શ્રેણીમાં પ્રથમ પદ \( a = 7 \), સામાન્ય તફાવત \( d = 13 - 7 = 6 \) અને અંતિમ પદ \( l = 205 \) છે.
આપણે પદોની સંખ્યા \( n \) શોધવાની છે. સમાંતર શ્રેણીના \( n \) માં પદ માટેનું સૂત્ર \( a_n = a + (n - 1)d \) નો ઉપયોગ કરીશું:
\( 205 = 7 + (n - 1)6 \)
\( 205 - 7 = (n - 1)6 \)
\( 198 = 6(n - 1) \)
\( \frac{198}{6} = n - 1 \)
\( 33 = n - 1 \)
\( n = 33 + 1 \)
\( n = 34 \).
તેથી, આ સમાંતર શ્રેણીમાં કુલ 34 પદ છે.
In simple words: શ્રેણીનું પ્રથમ પદ, સામાન્ય તફાવત અને છેલ્લું પદ શોધો. પછી \( a_n \) સૂત્રમાં કિંમતો મૂકીને \( n \) શોધો.

Exam Tip: પદોની સંખ્યા \( n \) હંમેશા ધન પૂર્ણાંક હોવી જોઈએ. જો તમારી ગણતરીથી \( n \) અપૂર્ણાંક આવે, તો તમારી ગણતરી ફરીથી તપાસો.

 

Question 5. (ii) 18, \( 15\frac{1}{2} \), 13, .........., -47
Answer: આપેલી સમાંતર શ્રેણીમાં પ્રથમ પદ \( a = 18 \), સામાન્ય તફાવત \( d = 15\frac{1}{2} - 18 = \frac{31}{2} - \frac{36}{2} = -\frac{5}{2} \) છે. અંતિમ પદ \( a_n = -47 \) છે.
આપણે પદોની સંખ્યા \( n \) શોધવાની છે. સમાંતર શ્રેણીના \( n \) માં પદ માટેનું સૂત્ર \( a_n = a + (n - 1)d \) નો ઉપયોગ કરીશું:
\( -47 = 18 + (n - 1)(-\frac{5}{2}) \)
\( -47 - 18 = (n - 1)(-\frac{5}{2}) \)
\( -65 = (n - 1)(-\frac{5}{2}) \)
\( n - 1 = -65 \times (-\frac{2}{5}) \)
\( n - 1 = 13 \times 2 \)
\( n - 1 = 26 \)
\( n = 26 + 1 \)
\( n = 27 \).
તેથી, આ સમાંતર શ્રેણીમાં કુલ 27 પદ છે.
In simple words: પ્રથમ પદ, સામાન્ય તફાવત અને છેલ્લું પદ (જે ઋણ છે) શોધો. પછી \( a_n \) સૂત્રમાં કિંમતો મૂકીને \( n \) શોધો. અપૂર્ણાંક અને ઋણ સંખ્યાઓની ગણતરીમાં સાવચેત રહો.

Exam Tip: અપૂર્ણાંક અને ઋણ સંખ્યાઓ સાથે કામ કરતી વખતે હંમેશા સાવચેત રહો. સામાન્ય તફાવત શોધવામાં અને તેને સૂત્રમાં મૂકવામાં ભૂલો ટાળવા માટે ધ્યાન આપો.

 

Question 6. શું સમાંતર શ્રેણી 11, 8, 5, 2 ...નું કોઈ પદ – 150 હોઈ શકે?
Answer: આપેલી સમાંતર શ્રેણી 11, 8, 5, 2, ... માટે પ્રથમ પદ \( a = 11 \) અને સામાન્ય તફાવત \( d = 8 - 11 = -3 \) છે.
ધારો કે, આ શ્રેણીનું કોઈ પદ \( -150 \) છે. એટલે કે \( a_n = -150 \).
સમાંતર શ્રેણીના \( n \) માં પદ માટેનું સૂત્ર \( a_n = a + (n - 1)d \) નો ઉપયોગ કરીશું:
\( -150 = 11 + (n - 1)(-3) \)
\( -150 - 11 = (n - 1)(-3) \)
\( -161 = -3(n - 1) \)
\( n - 1 = \frac{-161}{-3} = \frac{161}{3} \)
\( n = 1 + \frac{161}{3} = \frac{3 + 161}{3} = \frac{164}{3} \).
કારણ કે \( n \) એ પદોની સંખ્યા હોવાથી તે હંમેશા ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ, અને \( \frac{164}{3} \) એ પૂર્ણાંક નથી. તેથી, આ સમાંતર શ્રેણીમાં કોઈ પદ \( -150 \) હોઈ શકે નહીં.
In simple words: પ્રથમ પદ અને સામાન્ય તફાવત શોધો. પછી \( a_n = -150 \) મૂકીને \( n \) શોધો. જો \( n \) પૂર્ણાંક ન હોય, તો -150 શ્રેણીનું પદ નથી.

Exam Tip: હંમેશા યાદ રાખો કે શ્રેણીમાં પદની સંખ્યા \( n \) એક સકારાત્મક પૂર્ણાંક હોવી જોઈએ. જો ગણતરીથી અપૂર્ણાંક કે ઋણ \( n \) મળે, તો તે સંખ્યા શ્રેણીનું પદ નથી.

 

Question 7. સમાંતર શ્રેણીનું 11મું પદ 38 અને 16મું પદ 73 હોય, તો તેનું 31મું પદ શોધો.
Answer: આપેલી સમાંતર શ્રેણીમાં, 11મું પદ \( a_{11} = 38 \) અને 16મું પદ \( a_{16} = 73 \) આપેલું છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે \( a_n = a + (n - 1)d \).
તેથી, \( a + 10d = 38 \) (સમીકરણ 1)
અને \( a + 15d = 73 \) (સમીકરણ 2)
સમીકરણ 2 માંથી સમીકરણ 1 બાદ કરતાં: \( (a + 15d) - (a + 10d) = 73 - 38 \implies 5d = 35 \implies d = 7 \).
\( d = 7 \) ને સમીકરણ 1 માં મૂકતાં: \( a + 10(7) = 38 \implies a + 70 = 38 \implies a = 38 - 70 \implies a = -32 \).
હવે, આપણે 31મું પદ \( a_{31} \) શોધવાનું છે:
\( a_{31} = a + 30d = -32 + 30(7) = -32 + 210 = 178 \).
તેથી, આ સમાંતર શ્રેણીનું 31મું પદ 178 છે.
In simple words: આપેલા પદોના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને બે સમીકરણો બનાવો. તેમને ઉકેલીને \( a \) અને \( d \) શોધો, પછી 31મા પદ માટે સૂત્રમાં કિંમતો મૂકો.

Exam Tip: જ્યારે બે પદો આપેલા હોય, ત્યારે \( a \) અને \( d \) શોધવા માટે સમીકરણોની જોડી બનાવો. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને શ્રેણીનું કોઈપણ પદ શોધી શકાય છે.

 

Question 8. એક સમાંતર શ્રેણીમાં 50 પદ છે. જો ત્રીજું પદ 12 અને છેલ્લે ૬ પદ 106 હોય, તો તેનું 29મું પદ શોધો.
Answer: આપેલી સમાંતર શ્રેણીમાં કુલ 50 પદ છે. ત્રીજું પદ \( a_3 = 12 \) અને છેલ્લું પદ \( a_{50} = 106 \) છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે \( a_n = a + (n - 1)d \).
તેથી, \( a + 2d = 12 \) (સમીકરણ 1)
અને \( a + 49d = 106 \) (સમીકરણ 2)
સમીકરણ 2 માંથી સમીકરણ 1 બાદ કરતાં: \( (a + 49d) - (a + 2d) = 106 - 12 \implies 47d = 94 \implies d = 2 \).
\( d = 2 \) ને સમીકરણ 1 માં મૂકતાં: \( a + 2(2) = 12 \implies a + 4 = 12 \implies a = 8 \).
હવે, આપણે 29મું પદ \( a_{29} \) શોધવાનું છે:
\( a_{29} = a + 28d = 8 + 28(2) = 8 + 56 = 64 \).
તેથી, આ સમાંતર શ્રેણીનું 29મું પદ 64 છે.
In simple words: શ્રેણીમાં કુલ પદોની સંખ્યા, ત્રીજું પદ અને છેલ્લું પદ આપેલું છે. આ માહિતીનો ઉપયોગ કરીને \( a \) અને \( d \) શોધો. પછી 29મા પદની ગણતરી કરો.

Exam Tip: છેલ્લું પદ \( a_l \) કુલ પદોની સંખ્યા \( n \) પર આધાર રાખે છે. તેથી, \( n \) પદોની શ્રેણીમાં, છેલ્લું પદ \( a_n \) ને સમાન હોય છે.

 

Question 9. જો સમાંતર શ્રેણીનું ત્રીજું અને નવમું પદ અનુક્રમે 4 અને – 8 હોય, તો તે શ્રેણીનું કયું પદ 0 થાય?
Answer: આપેલી સમાંતર શ્રેણીમાં, ત્રીજું પદ \( a_3 = 4 \) અને નવમું પદ \( a_9 = -8 \) આપેલું છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે \( a_n = a + (n - 1)d \).
તેથી, \( a + 2d = 4 \) (સમીકરણ 1)
અને \( a + 8d = -8 \) (સમીકરણ 2)
સમીકરણ 2 માંથી સમીકરણ 1 બાદ કરતાં: \( (a + 8d) - (a + 2d) = -8 - 4 \implies 6d = -12 \implies d = -2 \).
\( d = -2 \) ને સમીકરણ 1 માં મૂકતાં: \( a + 2(-2) = 4 \implies a - 4 = 4 \implies a = 8 \).
હવે, આપણે કયું પદ 0 થાય તે શોધવાનું છે, એટલે કે \( a_n = 0 \).
\( 0 = a + (n - 1)d \)
\( 0 = 8 + (n - 1)(-2) \)
\( -8 = -2(n - 1) \)
\( \frac{-8}{-2} = n - 1 \)
\( 4 = n - 1 \)
\( n = 4 + 1 \)
\( n = 5 \).
તેથી, આ સમાંતર શ્રેણીનું 5મું પદ 0 થાય.
In simple words: આપેલા પદોનો ઉપયોગ કરીને \( a \) અને \( d \) શોધો. પછી \( a_n = 0 \) મૂકીને \( n \) શોધો.

Exam Tip: જ્યારે કોઈ ચોક્કસ મૂલ્ય (જેમ કે 0) કયું પદ છે તે શોધવાનું હોય, ત્યારે \( a_n \) ને તે મૂલ્ય જેટલું સેટ કરો અને \( n \) માટે ઉકેલો.

 

Question 10. કોઈ સમાંતર શ્રેણીમાં 17મું પદ 10મા પદ કરતાં 7 વધુ છે. તેનો સામાન્ય તફાવત શોધો.
Answer: સમાંતર શ્રેણી માટે, આપણને આપેલું છે કે 17મું પદ, 10મા પદ કરતાં 7 વધુ છે. એટલે કે, \( a_{17} = a_{10} + 7 \).
આપણે જાણીએ છીએ કે \( a_n = a + (n - 1)d \).
તેથી, \( a + (17 - 1)d = a + (10 - 1)d + 7 \)
\( a + 16d = a + 9d + 7 \)
હવે, બંને બાજુથી \( a \) ને રદ કરતાં:
\( 16d = 9d + 7 \)
\( 16d - 9d = 7 \)
\( 7d = 7 \)
\( d = \frac{7}{7} \)
\( d = 1 \).
તેથી, આ સમાંતર શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત 1 છે.
In simple words: 17મા પદને 10મા પદ વત્તા 7 તરીકે લખો. બંને બાજુએથી પ્રથમ પદ રદ કરો અને સામાન્ય તફાવત \( d \) માટે ઉકેલો.

Exam Tip: જ્યારે પદો વચ્ચેના સંબંધો આપેલા હોય, ત્યારે તેમને \( a + (n-1)d \) સ્વરૂપમાં લખો અને પછી અજાણ્યા ચલો માટે ઉકેલો.

 

Question 11. સમાંતર શ્રેણી 3, 15, 27, 39, ...નું કયું પદ 54માં પદ કરતાં 132 વધુ હશે?
Answer: આપેલી સમાંતર શ્રેણી 3, 15, 27, ... માટે, પ્રથમ પદ \( a = 3 \) અને સામાન્ય તફાવત \( d = 15 - 3 = 12 \) છે.
આપણે શોધવાનું છે કે કયું પદ \( (a_n) \) 54માં પદ \( (a_{54}) \) કરતાં 132 વધુ હશે.
તેથી, \( a_n = a_{54} + 132 \).
સમાંતર શ્રેણીના \( n \) માં પદ માટેનું સૂત્ર \( a_n = a + (n - 1)d \) નો ઉપયોગ કરીશું:
\( a + (n - 1)d = (a + 53d) + 132 \)
બંને બાજુથી \( a \) ને રદ કરતાં:
\( (n - 1)d = 53d + 132 \)
\( (n - 1)12 = 53(12) + 132 \)
\( 12n - 12 = 636 + 132 \)
\( 12n - 12 = 768 \)
\( 12n = 768 + 12 \)
\( 12n = 780 \)
\( n = \frac{780}{12} \)
\( n = 65 \).
તેથી, આ સમાંતર શ્રેણીનું 65મું પદ તેના 54મા પદ કરતાં 132 વધુ હશે.
In simple words: શ્રેણીનું પ્રથમ પદ અને સામાન્ય તફાવત શોધો. પછી \( a_n = a_{54} + 132 \) સમીકરણમાં કિંમતો મૂકીને \( n \) માટે ઉકેલો.

Exam Tip: જ્યારે એક પદ બીજા પદ કરતાં અમુક રકમ વધુ હોય, ત્યારે સમીકરણ \( a_n = a_m + \text{રકમ} \) નો ઉપયોગ કરો અને પછી \( n \) માટે ઉકેલો.

 

Question 12. બે સમાંતર શ્રેણીના સામાન્ય તફાવત સમાન છે. તેમના 100માં પદનો તફાવત 100 હોય, તો 1000મા પદનો તફાવત કેટલો હશે?
Answer: ધારો કે બે સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ પદો અનુક્રમે \( a_1 \) અને \( a_2 \) છે, અને તેમનો સામાન્ય તફાવત \( d \) સમાન છે.
પ્રથમ શ્રેણીનું 100મું પદ \( = a_1 + (100 - 1)d = a_1 + 99d \).
બીજી શ્રેણીનું 100મું પદ \( = a_2 + (100 - 1)d = a_2 + 99d \).
આપણને આપેલું છે કે તેમના 100મા પદનો તફાવત 100 છે:
\( (a_1 + 99d) - (a_2 + 99d) = 100 \)
\( a_1 - a_2 = 100 \) (સમીકરણ 1)
હવે, આપણે તેમના 1000મા પદનો તફાવત શોધવાનો છે:
પ્રથમ શ્રેણીનું 1000મું પદ \( = a_1 + (1000 - 1)d = a_1 + 999d \).
બીજી શ્રેણીનું 1000મું પદ \( = a_2 + (1000 - 1)d = a_2 + 999d \).
તેમનો તફાવત \( = (a_1 + 999d) - (a_2 + 999d) \)
\( = a_1 - a_2 \).
સમીકરણ 1 પરથી, \( a_1 - a_2 = 100 \).
તેથી, 1000મા પદનો તફાવત પણ 100 હશે.
In simple words: જો બે સમાંતર શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત સમાન હોય, તો તેમના કોઈ પણ બે સમાન પદનો તફાવત હંમેશા તેમના પ્રથમ પદોના તફાવત જેટલો જ રહે છે.

Exam Tip: યાદ રાખો કે સમાન સામાન્ય તફાવત ધરાવતી બે સમાંતર શ્રેણીના કોઈપણ બે અનુરૂપ પદો વચ્ચેનો તફાવત હંમેશા સ્થિર રહે છે, અને તે પ્રથમ પદોના તફાવત જેટલો હોય છે.

 

Question 13. ત્રણ અંકની કેટલી સંખ્યા 7 વડે વિભાજ્ય હશે?
Answer: ત્રણ અંકની સૌથી નાની સંખ્યા 100 છે અને સૌથી મોટી સંખ્યા 999 છે.
ત્રણ અંકની 7 વડે વિભાજ્ય પ્રથમ સંખ્યા 105 છે (કારણ કે \( 100 = 14 \times 7 + 2 \), તેથી \( 100 + (7 - 2) = 105 \)).
ત્રણ અંકની 7 વડે વિભાજ્ય છેલ્લી સંખ્યા 994 છે (કારણ કે \( 999 = 142 \times 7 + 5 \), તેથી \( 999 - 5 = 994 \)).
આથી, 7 વડે વિભાજ્ય ત્રણ અંકની સંખ્યાઓની સમાંતર શ્રેણી 105, 112, ..., 994 બને છે.
અહીં, પ્રથમ પદ \( a = 105 \), સામાન્ય તફાવત \( d = 7 \) અને અંતિમ પદ \( a_n = 994 \) છે.
આપણે પદોની સંખ્યા \( n \) શોધવાની છે. સૂત્ર \( a_n = a + (n - 1)d \) નો ઉપયોગ કરીશું:
\( 994 = 105 + (n - 1)7 \)
\( 994 - 105 = (n - 1)7 \)
\( 889 = 7(n - 1) \)
\( n - 1 = \frac{889}{7} \)
\( n - 1 = 127 \)
\( n = 127 + 1 \)
\( n = 128 \).
તેથી, ત્રણ અંકની કુલ 128 સંખ્યાઓ 7 વડે વિભાજ્ય છે.
In simple words: ત્રણ અંકની પ્રથમ અને છેલ્લી એવી સંખ્યાઓ શોધો જે 7 વડે ભગાય. આ એક સમાંતર શ્રેણી બનશે. પછી \( a_n \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પદોની સંખ્યા \( n \) શોધો.

Exam Tip: આ પ્રકારના પ્રશ્નોમાં, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ અને અંતિમ પદ શોધવા માટે વિભાજ્યતાના નિયમોનો ઉપયોગ કરો, અને પછી પદોની સંખ્યા \( n \) શોધવા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરો.

 

Question 14. 10 અને 250 વચ્ચે 4ના કેટલા ગુણિત હશે?
Answer: 10 અને 250 વચ્ચે, 4 વડે વિભાજ્ય પ્રથમ સંખ્યા 12 છે (કારણ કે 10 પછી 4 નો પ્રથમ ગુણિત 12 છે).
10 અને 250 વચ્ચે, 4 વડે વિભાજ્ય છેલ્લી સંખ્યા 248 છે (કારણ કે \( 250 = 4 \times 62 + 2 \), તેથી \( 250 - 2 = 248 \)).
આમ, 10 અને 250 વચ્ચે 4 ના ગુણિતોની સમાંતર શ્રેણી 12, 16, 20, ..., 248 બને છે.
અહીં, પ્રથમ પદ \( a = 12 \), સામાન્ય તફાવત \( d = 4 \) અને અંતિમ પદ \( a_n = 248 \) છે.
આપણે પદોની સંખ્યા \( n \) શોધવાની છે. સૂત્ર \( a_n = a + (n - 1)d \) નો ઉપયોગ કરીશું:
\( 248 = 12 + (n - 1)4 \)
\( 248 - 12 = (n - 1)4 \)
\( 236 = 4(n - 1) \)
\( n - 1 = \frac{236}{4} \)
\( n - 1 = 59 \)
\( n = 59 + 1 \)
\( n = 60 \).
તેથી, 10 અને 250 વચ્ચે 4 ના કુલ 60 ગુણિતો છે.
In simple words: 10 અને 250 વચ્ચેની 4 વડે ભગાય તેવી પ્રથમ અને છેલ્લી સંખ્યાઓ શોધો. પછી \( a_n \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પદોની સંખ્યા \( n \) શોધો.

Exam Tip: "વચ્ચે" શબ્દનો અર્થ છે કે 10 અને 250 ને શામેલ કરશો નહીં. 4 ના ગુણિતો શોધવા માટે ભાગાકારનો ઉપયોગ કરો.

 

Question 15. nના કયા મૂલ્ય માટે બે સમાંતર શ્રેણીઓ 63, 65, 67, .... અને 3, 10, 17, ........ ના તમા પદ સમાન થાય?
Answer: આપણને બે સમાંતર શ્રેણીઓ આપેલી છે.
પ્રથમ શ્રેણી: 63, 65, 67, ...
અહીં, પ્રથમ પદ \( a_1 = 63 \) અને સામાન્ય તફાવત \( d_1 = 65 - 63 = 2 \).
તેથી, આ શ્રેણીનું \( n \) મું પદ \( a_n = a_1 + (n - 1)d_1 = 63 + (n - 1)2 \).

બીજી શ્રેણી: 3, 10, 17, ...
અહીં, પ્રથમ પદ \( a_2 = 3 \) અને સામાન્ય તફાવત \( d_2 = 10 - 3 = 7 \).
તેથી, આ શ્રેણીનું \( n \) મું પદ \( A_n = a_2 + (n - 1)d_2 = 3 + (n - 1)7 \).

આપણે એ \( n \) નું મૂલ્ય શોધવાનું છે જ્યારે બંને શ્રેણીના \( n \) માં પદો સમાન હોય, એટલે કે \( a_n = A_n \):
\( 63 + (n - 1)2 = 3 + (n - 1)7 \)
\( 63 - 3 = (n - 1)7 - (n - 1)2 \)
\( 60 = (n - 1)(7 - 2) \)
\( 60 = (n - 1)5 \)
\( \frac{60}{5} = n - 1 \)
\( 12 = n - 1 \)
\( n = 12 + 1 \)
\( n = 13 \).
તેથી, \( n = 13 \) માટે, બંને સમાંતર શ્રેણીના 13મા પદો સમાન થશે.
In simple words: દરેક શ્રેણી માટે \( a \) અને \( d \) શોધો. પછી બંને શ્રેણીના \( n \) માં પદના સૂત્રોને સમાન કરો અને \( n \) માટે ઉકેલો.

Exam Tip: જ્યારે બે સમાંતર શ્રેણીના કયા પદ સમાન છે તે શોધવાનું હોય, ત્યારે બંને શ્રેણીના \( n \) માં પદના સૂત્રોને સમાન કરો અને \( n \) માટે ઉકેલો.

 

Question 16. એવી સમાંતર શ્રેણી શોધો કે જેનું ત્રીજું પદ 16 અને 7મું પદ 5મા પદથી 12 વધુ હોય.
Answer: આપણે એવી સમાંતર શ્રેણી શોધવાની છે જેમાં ત્રીજું પદ \( a_3 = 16 \) છે, અને 7મું પદ \( a_7 \) એ 5મા પદ \( a_5 \) કરતાં 12 વધુ છે.
સમાંતર શ્રેણીના \( n \) માં પદ માટેનું સૂત્ર \( a_n = a + (n - 1)d \) નો ઉપયોગ કરીશું.
આપણને આપેલું છે કે \( a_3 = 16 \). તેથી, \( a + 2d = 16 \) (સમીકરણ 1).
વળી, \( a_7 = a_5 + 12 \).
\( a + 6d = (a + 4d) + 12 \)
બંને બાજુથી \( a \) ને રદ કરતાં:
\( 6d = 4d + 12 \)
\( 2d = 12 \)
\( d = 6 \).
હવે, \( d = 6 \) ને સમીકરણ 1 માં મૂકતાં:
\( a + 2(6) = 16 \)
\( a + 12 = 16 \)
\( a = 16 - 12 \)
\( a = 4 \).
તો, સમાંતર શ્રેણીના પદો:
પ્રથમ પદ \( a_1 = 4 \).
બીજું પદ \( a_2 = a + d = 4 + 6 = 10 \).
ત્રીજું પદ \( a_3 = a + 2d = 4 + 2(6) = 4 + 12 = 16 \).
ચોથું પદ \( a_4 = a + 3d = 4 + 3(6) = 4 + 18 = 22 \).
આમ, માગેલ સમાંતર શ્રેણી 4, 10, 16, 22, ... છે.
In simple words: આપેલા પદો અને તેમની વચ્ચેના સંબંધોનો ઉપયોગ કરીને \( a \) અને \( d \) માટે બે સમીકરણો બનાવો. તેમને ઉકેલીને શ્રેણીના પ્રથમ કેટલાક પદો શોધો.

Exam Tip: પદો વચ્ચેના સંબંધોને \( a + (n-1)d \) સ્વરૂપમાં કાળજીપૂર્વક રૂપાંતરિત કરો. આ રીતે, તમે સરળતાથી સમીકરણો બનાવી શકો છો અને \( a \) અને \( d \) શોધી શકો છો.

 

Question 17. સમાંતર શ્રેણી 3, 8, 13,, 253 હોય તો તેનું છેલ્લેથી 20મું પદ શોધો.
Answer: આપેલી સમાંતર શ્રેણી 3, 8, 13, ..., 253 માટે, પ્રથમ પદ \( a = 3 \) અને સામાન્ય તફાવત \( d = 8 - 3 = 5 \) છે. શ્રેણીનું અંતિમ પદ \( l = 253 \) છે.
પહેલા આપણે શ્રેણીમાં કુલ કેટલા પદ છે તે શોધીશું. સૂત્ર \( a_n = a + (n - 1)d \) નો ઉપયોગ કરીશું:
\( 253 = 3 + (n - 1)5 \)
\( 250 = 5(n - 1) \)
\( \frac{250}{5} = n - 1 \)
\( 50 = n - 1 \)
\( n = 51 \).
તેથી, આ શ્રેણીમાં કુલ 51 પદ છે.
હવે, છેલ્લેથી 20મું પદ શોધવા માટે, આપણે શરૂઆતથી કયું પદ છે તે શોધીશું:
શરૂઆતથી પદની સંખ્યા \( = (\text{કુલ પદોની સંખ્યા} - \text{છેલ્લેથી પદની સંખ્યા}) + 1 \)
\( = (51 - 20) + 1 = 31 + 1 = 32 \).
તો, આપણે 32મું પદ \( a_{32} \) શોધવાનું છે:
\( a_{32} = a + 31d = 3 + 31(5) = 3 + 155 = 158 \).
તેથી, આ સમાંતર શ્રેણીનું છેલ્લેથી 20મું પદ 158 છે.
In simple words: પહેલા શ્રેણીમાં કુલ કેટલા પદ છે તે શોધો. પછી "છેલ્લેથી k મું પદ" ને "શરૂઆતથી (n - k + 1) મું પદ" માં રૂપાંતરિત કરો. છેલ્લે, તે પદની કિંમત શોધો.

Exam Tip: છેલ્લેથી \( k \) મું પદ શોધવા માટે, શ્રેણીમાં કુલ પદોની સંખ્યા \( n \) શોધો. પછી તે શરૂઆતથી \( (n - k + 1) \) મું પદ હશે. આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સીધી ગણતરી કરો.

 

Question 18. એક સમાંતર શ્રેણીનાં ચોથા અને આઠમા પદનો સરવાળો 24 છે. અને છઠ્ઠા અને દસમા પદનો સરવાળો 44 છે. શ્રેણીનાં પ્રથમ ત્રણ પદ શોધો.
Answer: આપેલી સમાંતર શ્રેણીમાં, ચોથા અને આઠમા પદનો સરવાળો 24 છે, એટલે કે \( a_4 + a_8 = 24 \).
છઠ્ઠા અને દસમા પદનો સરવાળો 44 છે, એટલે કે \( a_6 + a_{10} = 44 \).
આપણે જાણીએ છીએ કે \( a_n = a + (n - 1)d \).
તેથી,
\( a_4 = a + 3d \)
\( a_8 = a + 7d \)
\( a_6 = a + 5d \)
\( a_{10} = a + 9d \)

પહેલી શરત પરથી:
\( (a + 3d) + (a + 7d) = 24 \)
\( 2a + 10d = 24 \)
\( a + 5d = 12 \) (સમીકરણ 1)

બીજી શરત પરથી:
\( (a + 5d) + (a + 9d) = 44 \)
\( 2a + 14d = 44 \)
\( a + 7d = 22 \) (સમીકરણ 2)

સમીકરણ 2 માંથી સમીકરણ 1 બાદ કરતાં:
\( (a + 7d) - (a + 5d) = 22 - 12 \)
\( 2d = 10 \)
\( d = 5 \).

\( d = 5 \) ને સમીકરણ 1 માં મૂકતાં:
\( a + 5(5) = 12 \)
\( a + 25 = 12 \)
\( a = 12 - 25 \)
\( a = -13 \).

હવે, શ્રેણીના પ્રથમ ત્રણ પદ શોધીશું:
પ્રથમ પદ \( a_1 = a = -13 \).
બીજું પદ \( a_2 = a + d = -13 + 5 = -8 \).
ત્રીજું પદ \( a_3 = a + 2d = -13 + 2(5) = -13 + 10 = -3 \).
તેથી, સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ત્રણ પદ -13, -8, અને -3 છે.
In simple words: આપેલા પદોના સરવાળાના સમીકરણો બનાવો. તેમને ઉકેલીને \( a \) અને \( d \) શોધો. પછી પ્રથમ ત્રણ પદ \( a, a+d, a+2d \) ગણો.

Exam Tip: જ્યારે બે જુદા જુદા પદોના સરવાળા આપેલા હોય, ત્યારે તે દરેકમાંથી બે રેખીય સમીકરણોની જોડી બનાવો અને તેને ઉકેલીને \( a \) અને \( d \) શોધો.

 

Question 19. સુબ્બા રાવે 1995માં \( Rs 5000 \)ના વાર્ષિક વેતનથી કામ શરૂ કર્યું અને તેમને દર વર્ષે \( Rs 200 \)ની વેતન વૃદ્ધિ મળે છે. કયા વર્ષે તેમનું વેતન \( Rs 7000 \) થશે?
Answer: સુબ્બા રાવનું પ્રથમ વર્ષનું વેતન \( Rs 5000 \) છે. તેમને દર વર્ષે \( Rs 200 \)ની વેતન વૃદ્ધિ મળે છે. આ વેતન એક સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે.
પ્રથમ પદ \( a = 5000 \).
સામાન્ય તફાવત \( d = 200 \).
આપણે શોધવાનું છે કે કયા વર્ષે તેમનું વેતન \( Rs 7000 \) થશે, એટલે કે \( a_n = 7000 \).
સૂત્ર \( a_n = a + (n - 1)d \) નો ઉપયોગ કરીશું:
\( 7000 = 5000 + (n - 1)200 \)
\( 7000 - 5000 = (n - 1)200 \)
\( 2000 = 200(n - 1) \)
\( \frac{2000}{200} = n - 1 \)
\( 10 = n - 1 \)
\( n = 10 + 1 \)
\( n = 11 \).
તેથી, 11મા વર્ષે તેમનું વેતન \( Rs 7000 \) થશે. (1995 + 10 વર્ષ = 2005).
In simple words: પ્રથમ વેતન \( a \) અને વાર્ષિક વૃદ્ધિ \( d \) તરીકે લો. અંતિમ વેતન \( a_n \) ને 7000 જેટલું સેટ કરો અને \( n \) માટે ઉકેલો. પછી \( 1995 \) માં \( (n-1) \) વર્ષ ઉમેરો.

Exam Tip: આવા વ્યવહારિક પ્રશ્નોમાં, પ્રથમ પદ \( a \) પ્રારંભિક મૂલ્ય છે, અને સામાન્ય તફાવત \( d \) એ વાર્ષિક વધારો છે. વર્ષ શોધવા માટે \( n \) ને શોધો અને પછી પ્રારંભિક વર્ષમાં \( (n-1) \) ઉમેરો.

 

Question 20. રામકલી વર્ષના પ્રથમ અઠવાડિયે \( Rs 5 \) ની બચત કરે છે. અને પછી તેની અઠવાડિક બચતમાં \( Rs 1.75 \) નો વધારો કરે છે. જો \( n \) માં અઠવાડિયે તેની બચત \( Rs 20.75 \) હોય, તો \( n \) નું મૂલ્ય શોધો.
Answer: રામકલી પ્રથમ અઠવાડિયે \( Rs 5 \) ની બચત કરે છે, અને દર અઠવાડિયે તેમાં \( Rs 1.75 \) નો વધારો થાય છે. આ એક સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે.
પ્રથમ પદ \( a = 5 \).
સામાન્ય તફાવત \( d = 1.75 \).
આપણે શોધવાનું છે કે કયા અઠવાડિયે તેની બચત \( Rs 20.75 \) થશે, એટલે કે \( a_n = 20.75 \).
સૂત્ર \( a_n = a + (n - 1)d \) નો ઉપયોગ કરીશું:
\( 20.75 = 5 + (n - 1)1.75 \)
\( 20.75 - 5 = (n - 1)1.75 \)
\( 15.75 = (n - 1)1.75 \)
\( n - 1 = \frac{15.75}{1.75} \)
\( n - 1 = 9 \)
\( n = 9 + 1 \)
\( n = 10 \).
તેથી, 10મા અઠવાડિયે રામકલીની બચત \( Rs 20.75 \) થશે.
In simple words: પ્રથમ અઠવાડિયાની બચત \( a \) અને અઠવાડિક વધારો \( d \) તરીકે લો. જ્યારે બચત \( a_n = 20.75 \) હોય ત્યારે \( n \) શોધો.

Exam Tip: દશાંશ સંખ્યાઓ સાથે ગણતરી કરતી વખતે ભૂલો ટાળવા માટે ધ્યાન રાખો, ખાસ કરીને જ્યારે ભાગાકાર કરતા હો. સાચી ગણતરી માટે અપૂર્ણાંકોમાં રૂપાંતરિત કરવું મદદરૂપ થઈ શકે છે.