GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 5 સમાંતર શ્રેણી Exercise 5.1

Question 1. નીચે આપેલ સ્થિતિમાંથી કઈ સ્થિતિમાં સંખ્યાની યાદી સમાંતર શ્રેણી બને અને કેમ?
(i) ટેક્સીનું ભાડું, પ્રથમ કિલોમીટર માટે Rs 15 અને પછીના વધારાના પ્રત્યેક કિલોમીટર માટે Rs 8 છે.
(ii) નળાકારમાં રહેલ હવાનું પ્રમાણ, હવા કાઢવાના પંપ દ્વારા દર વખતે નળાકારની બાકી રહેલ હવાનો \( \frac{1}{4} \) ભાગ બહાર કાઢે છે.
(iii) પ્રત્યેક મીટરના ખોદકામ બાદ, એક કૂવો ખોદવા માટે લાગતો ખર્ચ, પ્રથમ મીટરના Rs 150 અને પછીના પ્રત્યેક મીટરદીઠ Rs 50 પ્રમાણે વધતો જાય છે.
(iv) 8% ના વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ દરથી શરૂઆતની રકમ Rs 10000 મૂકેલ હોય તો દર વર્ષે ખાતામાં જમા રહેતી રકમ (રાશ).
Answer:
(i) અહીં, પહેલા કિલોમીટર માટેનું ભાડું \( = \) Rs 15 છે.
બીજા કિલોમીટર માટેનું ભાડું \( = \) Rs \( 15 + \) Rs \( 8 = 23 \) થાય છે.
ત્રીજા કિલોમીટર માટેનું ભાડું \( = \) Rs \( 15 + 2 \times (\)Rs \( 8) = 31 \) થાય છે.
ચોથા કિલોમીટર માટેનું ભાડું \( = \) Rs \( 15 + 3 \times (\)Rs \( 8) = 39 \) થાય છે.
આ રીતે, બનતી સંખ્યાઓની યાદી \( 15, 23, 31, 39, \dots \) છે.
અહીં, \( a_2 – a_1 = 23 – 15 = 8 \),
\( a_3 – a_2 = 31 – 23 = 8 \),
\( a_4 – a_3 = 39 – 31 = 8 \).
આમ, દરેક વખતે \( a_{k+1} – a_k \) ની કિંમત સરખી રહે છે. તેથી, આપેલી સંખ્યાઓની યાદી સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે, જ્યાં પ્રથમ પદ \( a = 15 \) અને સામાન્ય તફાવત \( d = 8 \) છે.
In simple words: ટેક્સીનું ભાડું પહેલા કિલોમીટર માટે Rs 15 અને પછી દરેક કિલોમીટર માટે Rs 8 વધે છે. તેથી, ભાડાની યાદીમાં દરેક નંબર વચ્ચેનો તફાવત હંમેશા Rs 8 રહે છે, જે દર્શાવે છે કે તે સમાંતર શ્રેણી છે.

Exam Tip: To determine if a sequence forms an AP, always calculate the difference between consecutive terms. If this difference is constant, it's an AP.

Answer:
(ii) માની લો કે, શરૂઆતમાં નળાકારમાં હવાનું પ્રમાણ \( V \) એકમ છે.
પહેલી વાર હવા કાઢ્યા પછી નળાકારમાં બાકી રહેલી હવાનું પ્રમાણ \( = V - \frac{1}{4} V = \frac{3}{4} V \) એકમ થાય છે.
ફરીથી, બીજી વાર હવા કાઢ્યા પછી નળાકારમાં બાકી રહેલી હવાનું પ્રમાણ \( = \frac{3}{4} V - \frac{1}{4} (\frac{3}{4} V) = \frac{3}{4} V (1 - \frac{1}{4}) = (\frac{3}{4})^2 V \) એકમ થાય છે.
આ રીતે, સંખ્યાઓની યાદી આ પ્રમાણે બને છે:
\( V, \frac{3}{4} V, (\frac{3}{4})^2 V, \dots \)
હવે, આપણે તફાવત તપાસીએ:
\( a_2 - a_1 = \frac{3}{4} V – V = -\frac{1}{4} V \)
\( a_3 - a_2 = (\frac{3}{4})^2 V – \frac{3}{4} V = \frac{9}{16} V - \frac{12}{16} V = -\frac{3}{16} V \)
અહીં, \( a_2 – a_1 \) અને \( a_3 - a_2 \) સરખા નથી.
તેથી, આપેલી સંખ્યાઓની આ યાદી સમાંતર શ્રેણી બનાવતી નથી.
In simple words: દર વખતે નળાકારમાંથી બાકી રહેલી હવાનો ચોથો ભાગ નીકળી જાય છે. આનો મતલબ એ છે કે હવાનું પ્રમાણ એક સરખા દરે ઘટતું નથી, કારણ કે કાઢવામાં આવતી હવાનો જથ્થો દર વખતે બદલાય છે. તેથી, આ સમાંતર શ્રેણી નથી.

Exam Tip: When a fraction of the remaining quantity is removed, the common difference is not constant, preventing it from being an AP. An AP requires a fixed amount to be added or subtracted each time.

Answer:
(iii) પહેલા મીટરના ખોદકામનો ખર્ચ \( = \) Rs 150 છે.
બીજા મીટરના ખોદકામનો ખર્ચ \( = \) Rs \( 150 + 50 = \) Rs 200 થાય છે.
ત્રીજા મીટરના ખોદકામનો ખર્ચ \( = \) Rs \( 200 + 50 = \) Rs 250 થાય છે.
ચોથા મીટરના ખોદકામનો ખર્ચ \( = \) Rs \( 250 + 50 = \) Rs 300 થાય છે.
આ રીતે, સંખ્યાઓની યાદી \( 150, 200, 250, 300, \dots \) બને છે.
અહીં, આપણે તફાવત તપાસીએ:
\( a_2 – a_1 = 200 – 150 = 50 \),
\( a_3 - a_2 = 250 – 200 = 50 \),
\( a_4 – a_3 = 300 – 250 = 50 \).
આમ, દરેક વખતે \( a_{k+1} – a_k \) ની કિંમત સરખી રહે છે. તેથી, આપેલી સંખ્યાઓની યાદી સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે, જ્યાં પ્રથમ પદ \( a = 150 \) અને સામાન્ય તફાવત \( d = 50 \) છે.
In simple words: કૂવો ખોદવાનો ખર્ચ દર મીટરે Rs 50 વધે છે. પહેલું મીટર Rs 150 અને પછીનું દરેક મીટર Rs 50 વધુ. આનો મતલબ છે કે ખર્ચ હંમેશા એક સરખા દરે વધે છે, તેથી તે સમાંતર શ્રેણી છે.

Exam Tip: If a quantity increases by a fixed amount per unit, the sequence of total quantities will form an AP. Identify the initial value and the constant increment.

Answer:
(iv) આપણે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજનું સૂત્ર જાણીએ છીએ, જે \( A = P (1+\frac{R}{100})^T \) છે.
અહીં, મુદ્દલ \( P = \) Rs 10000; વ્યાજ દર \( R = 8 \% \) અને સમય \( T = 1, 2, 3, 4, \dots \)
પ્રથમ વર્ષના અંતે કુલ રકમ \( = \) Rs \( 10000 (1.08) \).
બીજા વર્ષના અંતે કુલ રકમ \( = \) Rs \( 10000 (1.08)^2 \).
ત્રીજા વર્ષના અંતે કુલ રકમ \( = \) Rs \( 10000 (1.08)^3, \dots \)
આમ, સંખ્યાઓની યાદી આ પ્રમાણે મળે છે: \( 10000 (1.08), 10000 (1.08)^2, 10000 (1.08)^3, \dots \)
હવે, આપણે તફાવત તપાસીએ:
\( a_2 – a_1 = 10000 (1.08)^2 – 10000 (1.08) \)
\( = 10000 (1.08) (1.08 – 1) \)
\( = 10000 (1.08) (0.08) \)
અને
\( a_3 – a_2 = 10000 (1.08)^3 – 10000 (1.08)^2 \)
\( = 10000 (1.08)^2 (1.08 – 1) \)
\( = 10000 (1.08)^2 (0.08) \)
અહીં, \( a_2 – a_1 \) અને \( a_3 - a_2 \) સરખા નથી.
તેથી, આપેલી સંખ્યાઓની આ યાદી સમાંતર શ્રેણી બનાવતી નથી.
In simple words: ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજમાં, દર વર્ષે જમા થયેલી રકમ પર પણ વ્યાજ મળે છે. આનાથી દર વર્ષે વધતી રકમનો દર બદલાય છે, તે સ્થિર રહેતો નથી. તેથી, આ સમાંતર શ્રેણી નથી.

Exam Tip: Compound interest leads to exponential growth, not linear. Thus, a sequence based on compound interest will never form an AP because the difference between consecutive terms will always be increasing.

Question 2. જ્યારે પ્રથમ પદ \( a \) અને સામાન્ય તફાવત \( d \) નાં મૂલ્યો નીચે પ્રમાણે હોય ત્યારે સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ ચાર પદ શોધો:
(i) \( a = 10, d = 10 \)
(ii) \( a = -2, d = 0 \)
(iii) \( a = 4, d = -3 \)
(iv) \( a = -1, d = \frac{1}{2} \)
(v) \( a = -1.25, d = -0.25 \)
Answer:
(i) પ્રથમ પદ \( a_1 = a = 10 \).
બીજું પદ \( a_2 = a_1 + d = 10 + 10 = 20 \).
ત્રીજું પદ \( a_3 = a_2 + d = 20 + 10 = 30 \).
ચોથું પદ \( a_4 = a_3 + d = 30 + 10 = 40 \).
આમ, સમાંતર શ્રેણીના જરૂરી પહેલા ચાર પદો \( 10, 20, 30, 40 \) છે.
In simple words: શરૂઆત 10 થી થાય છે અને દરેક વખતે 10 ઉમેરવાના છે. તેથી શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ 10, 20, 30, 40 છે.

Exam Tip: To find terms of an AP, start with the first term \( a \), then add the common difference \( d \) repeatedly to get the subsequent terms: \( a, a+d, a+2d, a+3d, \dots \).

Answer:
(ii) પ્રથમ પદ \( a_1 = a = -2 \).
બીજું પદ \( a_2 = a_1 + d = -2 + 0 = -2 \).
ત્રીજું પદ \( a_3 = a_2 + d = -2 + 0 = -2 \).
ચોથું પદ \( a_4 = a_3 + d = -2 + 0 = -2 \).
આમ, સમાંતર શ્રેણીના જરૂરી પહેલા ચાર પદો \( -2, -2, -2, -2 \) છે.
In simple words: શરૂઆત -2 થી થાય છે અને સામાન્ય તફાવત શૂન્ય છે, એટલે કે દરેક વખતે 0 ઉમેરાય છે. તેથી શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ -2, -2, -2, -2 છે, કારણ કે કોઈ ફેરફાર થતો નથી.

Exam Tip: If the common difference \( d = 0 \), all terms of the AP will be identical to the first term \( a \).

Answer:
(iii) પ્રથમ પદ \( a_1 = a = 4 \).
બીજું પદ \( a_2 = a_1 + d = 4 + (-3) = 1 \).
ત્રીજું પદ \( a_3 = a_2 + d = 1 + (-3) = -2 \).
ચોથું પદ \( a_4 = a_3 + d = -2 + (-3) = -5 \).
આમ, સમાંતર શ્રેણીના જરૂરી પહેલા ચાર પદો \( 4, 1, -2, -5 \) છે.
In simple words: શરૂઆત 4 થી થાય છે અને દરેક વખતે 3 બાદ કરવાના છે (કારણ કે \( d = -3 \)). તેથી શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ 4, 1, -2, -5 છે.

Exam Tip: A negative common difference means the terms of the AP will decrease with each subsequent term.

Answer:
(iv) પ્રથમ પદ \( a_1 = a = -1 \).
બીજું પદ \( a_2 = a_1 + d = -1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \).
ત્રીજું પદ \( a_3 = a_2 + d = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0 \).
ચોથું પદ \( a_4 = a_3 + d = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \).
આમ, સમાંતર શ્રેણીના જરૂરી પહેલા ચાર પદો \( -1, -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2} \) છે.
In simple words: શરૂઆત -1 થી થાય છે અને દરેક વખતે \( \frac{1}{2} \) ઉમેરવાના છે. તેથી શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ -1, \( -\frac{1}{2} \), 0, \( \frac{1}{2} \) છે.

Exam Tip: Be careful with calculations involving negative numbers and fractions when finding AP terms.

Answer:
(v) પ્રથમ પદ \( a_1 = a = -1.25 \).
બીજું પદ \( a_2 = a_1 + d = -1.25 + (-0.25) = -1.50 \).
ત્રીજું પદ \( a_3 = a_2 + d = -1.50 + (-0.25) = -1.75 \).
ચોથું પદ \( a_4 = a_3 + d = -1.75 + (-0.25) = -2.00 \).
આમ, સમાંતર શ્રેણીના જરૂરી પહેલા ચાર પદો \( -1.25, -1.50, -1.75, -2.00 \) છે.
In simple words: શરૂઆત -1.25 થી થાય છે અને દરેક વખતે -0.25 ઉમેરવાના છે (એટલે કે 0.25 બાદ કરવાના છે). તેથી શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ -1.25, -1.50, -1.75, -2.00 છે.

Exam Tip: When dealing with decimal common differences, pay close attention to the decimal point and signs during addition/subtraction.

Question 3. નીચે આપેલ સમાંતર શ્રેણી માટે પ્રથમ પદ અને સામાન્ય તફાવત શોધો:
(i) \( 3, 1, – 1, – 3, \dots \)
(ii) \( -5, -1, 3, 7, \dots \)
(iii) \( \frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{9}{3}, \frac{13}{3}, \dots \)
(iv) \( 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, \dots \)
Answer:
(i) આપેલ શ્રેણી \( 3, 1, -1, -3, \dots \) છે.
પ્રથમ પદ \( a = 3 \).
સામાન્ય તફાવત \( d = a_2 - a_1 = 1 - 3 = -2 \).
ચકાસવા માટે: \( a_3 - a_2 = -1 - 1 = -2 \).
અને \( a_4 - a_3 = -3 - (-1) = -3 + 1 = -2 \).
તેથી, સામાન્ય તફાવત \( d = -2 \) છે.
In simple words: આ શ્રેણીમાં પહેલો નંબર 3 છે. બે બાજુબાજુના નંબર વચ્ચેનો તફાવત (બીજામાંથી પહેલો બાદ કરતા) \( 1 - 3 = -2 \) છે. આ તફાવત દરેક જગ્યાએ સરખો રહે છે.

Exam Tip: To find the common difference \( d \), subtract any term from its succeeding term (\( a_{n+1} - a_n \)). Verify by calculating it for at least two pairs of consecutive terms.

Answer:
(ii) આપેલ શ્રેણી \( -5, -1, 3, 7, \dots \) છે.
પ્રથમ પદ \( a = -5 \).
સામાન્ય તફાવત \( d = a_2 - a_1 = -1 - (-5) = -1 + 5 = 4 \).
ચકાસવા માટે: \( a_3 - a_2 = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4 \).
અને \( a_4 - a_3 = 7 - 3 = 4 \).
તેથી, સામાન્ય તફાવત \( d = 4 \) છે.
In simple words: આ શ્રેણીમાં પહેલો નંબર -5 છે. બે બાજુબાજુના નંબર વચ્ચેનો તફાવત \( -1 - (-5) = 4 \) છે. આ તફાવત દરેક જગ્યાએ સરખો રહે છે.

Exam Tip: Remember to correctly handle signs when subtracting negative numbers to find the common difference.

Answer:
(iii) આપેલ શ્રેણી \( \frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{9}{3}, \frac{13}{3}, \dots \) છે.
પ્રથમ પદ \( a = \frac{1}{3} \).
સામાન્ય તફાવત \( d = a_2 - a_1 = \frac{5}{3} - \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \).
ચકાસવા માટે: \( a_3 - a_2 = \frac{9}{3} - \frac{5}{3} = \frac{4}{3} \).
અને \( a_4 - a_3 = \frac{13}{3} - \frac{9}{3} = \frac{4}{3} \).
તેથી, સામાન્ય તફાવત \( d = \frac{4}{3} \) છે.
In simple words: આ શ્રેણીમાં પહેલો નંબર \( \frac{1}{3} \) છે. બે બાજુબાજુના નંબર વચ્ચેનો તફાવત \( \frac{5}{3} - \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \) છે. આ તફાવત દરેક જગ્યાએ સરખો રહે છે.

Exam Tip: When terms are fractions with a common denominator, finding the common difference is straightforward by subtracting the numerators.

Answer:
(iv) આપેલ શ્રેણી \( 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, \dots \) છે.
પ્રથમ પદ \( a = 0.6 \).
સામાન્ય તફાવત \( d = a_2 - a_1 = 1.7 - 0.6 = 1.1 \).
ચકાસવા માટે: \( a_3 - a_2 = 2.8 - 1.7 = 1.1 \).
અને \( a_4 - a_3 = 3.9 - 2.8 = 1.1 \).
તેથી, સામાન્ય તફાવત \( d = 1.1 \) છે.
In simple words: આ શ્રેણીમાં પહેલો નંબર 0.6 છે. બે બાજુબાજુના નંબર વચ્ચેનો તફાવત \( 1.7 - 0.6 = 1.1 \) છે. આ તફાવત દરેક જગ્યાએ સરખો રહે છે.

Exam Tip: Decimal numbers are handled like integers when subtracting, just remember to align the decimal points correctly.

Question 4. નીચેનામાંથી કઈ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે? જો તે સમાંતર શ્રેણી બનાવે તો સામાન્ય તફાવત \( d \) અને પછીનાં ત્રણ પદ લખો.
(i) \( 2, 4, 8, 16, \dots \)
(ii) \( 2, \frac{5}{2}, 3, \frac{7}{2}, \dots \)
(iii) \( -1.2, -3.2, -5.2, -7.2, \dots \)
(iv) \( -10, -6, -2, 2, \dots \)
(v) \( 3, 3 + \sqrt{2}, 3 + 2\sqrt{2}, 3 + 3\sqrt{2}, \dots \)
(vi) \( 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, \dots \)
(vii) \( 0, -4, -8, -12, \dots \)
(viii) \( -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \dots \)
(ix) \( 1, 3, 9, 27, \dots \)
(x) \( a, 2a, 3a, 4a, \dots \)
(xi) \( a, a^2, a^3, a^4, \dots \)
(xii) \( \sqrt{2}, \sqrt{8}, \sqrt{18}, \sqrt{32}, \dots \)
(xiii) \( \sqrt{3}, \sqrt{6}, \sqrt{9}, \sqrt{12}, \dots \)
(xiv) \( 1^2, 3^2, 5^2, 7^2, \dots \)
(xv) \( 1^2, 5^2, 7^2, 73, \dots \)
Answer:
(i) આપેલ શ્રેણી \( 2, 4, 8, 16, \dots \) છે.
પહેલા આપણે પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
\( a_2 - a_1 = 4 - 2 = 2 \).
\( a_3 - a_2 = 8 - 4 = 4 \).
\( a_4 - a_3 = 16 - 8 = 8 \).
અહીં, \( a_2 – a_1 \) એ \( a_3 - a_2 \) જેટલો નથી.
તેથી, આપેલી શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી નથી.
In simple words: આ શ્રેણીમાં બે બાજુબાજુના નંબર વચ્ચેનો તફાવત બદલાય છે. પહેલા 2, પછી 4, પછી 8. જો તફાવત એક સરખો ન હોય, તો તે સમાંતર શ્રેણી નથી.

Exam Tip: To check if a sequence is an AP, calculate the difference between consecutive terms. If even one pair shows a different common difference, it's not an AP.

Answer:
(ii) આપેલ શ્રેણી \( 2, \frac{5}{2}, 3, \frac{7}{2}, \dots \) છે.
પહેલા આપણે પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
\( a_2 - a_1 = \frac{5}{2} - 2 = \frac{5}{2} - \frac{4}{2} = \frac{1}{2} \).
\( a_3 - a_2 = 3 - \frac{5}{2} = \frac{6}{2} - \frac{5}{2} = \frac{1}{2} \).
\( a_4 - a_3 = \frac{7}{2} - 3 = \frac{7}{2} - \frac{6}{2} = \frac{1}{2} \).
આમ, દરેક વખતે \( a_{k+1} – a_k \) ની કિંમત સરખી રહે છે.
તેથી, આપેલી શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે, જેમાં સામાન્ય તફાવત \( d = \frac{1}{2} \) છે.
હવે, પછીના ત્રણ પદ આ પ્રમાણે મળે છે:
\( a_5 = \frac{7}{2} + \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \).
\( a_6 = 4 + \frac{1}{2} = \frac{8}{2} + \frac{1}{2} = \frac{9}{2} \).
\( a_7 = \frac{9}{2} + \frac{1}{2} = \frac{10}{2} = 5 \).
In simple words: આ શ્રેણીમાં દરેક નંબર વચ્ચેનો તફાવત હંમેશા \( \frac{1}{2} \) છે, તેથી તે સમાંતર શ્રેણી છે. પછીના ત્રણ નંબર મેળવવા માટે, છેલ્લા નંબર \( \frac{7}{2} \) માં \( \frac{1}{2} \) ઉમેરતા જાવ.

Exam Tip: To add or subtract fractions, ensure they have a common denominator. Convert whole numbers into fractions for easier calculation.

Answer:
(iii) આપેલ શ્રેણી \( -1.2, -3.2, -5.2, -7.2, \dots \) છે.
પહેલા આપણે પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
\( a_2 – a_1 = -3.2 - (-1.2) = -3.2 + 1.2 = -2 \).
\( a_3 – a_2 = -5.2 - (-3.2) = -5.2 + 3.2 = -2 \).
\( a_4 – a_3 = -7.2 - (-5.2) = -7.2 + 5.2 = -2 \).
આમ, દરેક વખતે \( a_{k+1} – a_k \) ની કિંમત સરખી રહે છે.
તેથી, આપેલી શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે, જેમાં સામાન્ય તફાવત \( d = -2 \) છે.
હવે, પછીના ત્રણ પદ આ પ્રમાણે મળે છે:
\( a_5 = -7.2 + (-2) = -9.2 \).
\( a_6 = -9.2 + (-2) = -11.2 \).
\( a_7 = -11.2 + (-2) = -13.2 \).
In simple words: આ શ્રેણીમાં દરેક નંબર વચ્ચેનો તફાવત હંમેશા -2 છે, તેથી તે સમાંતર શ્રેણી છે. પછીના ત્રણ નંબર મેળવવા માટે, છેલ્લા નંબર \( -7.2 \) માંથી 2 બાદ કરતા જાવ.

Exam Tip: When subtracting a negative number, it turns into addition. Be careful with signs, especially with decimals.

Answer:
(iv) આપેલ શ્રેણી \( -10, -6, -2, 2, \dots \) છે.
પહેલા આપણે પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
\( a_2 - a_1 = (-6) - (-10) = -6 + 10 = 4 \).
\( a_3 - a_2 = (-2) - (-6) = -2 + 6 = 4 \).
\( a_4 - a_3 = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4 \).
આમ, દરેક વખતે \( a_{k+1} – a_k \) ની કિંમત સરખી રહે છે.
તેથી, આપેલી શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે, જેમાં સામાન્ય તફાવત \( d = 4 \) છે.
હવે, પછીના ત્રણ પદ આ પ્રમાણે મળે છે:
\( a_5 = 2 + 4 = 6 \).
\( a_6 = 6 + 4 = 10 \).
\( a_7 = 10 + 4 = 14 \).
In simple words: આ શ્રેણીમાં બે બાજુબાજુના નંબર વચ્ચેનો તફાવત હંમેશા 4 છે, તેથી તે સમાંતર શ્રેણી છે. પછીના ત્રણ નંબર મેળવવા માટે, છેલ્લા નંબર 2 માં 4 ઉમેરતા જાવ.

Exam Tip: Be careful when subtracting negative numbers; remember that subtracting a negative is equivalent to adding a positive.

Answer:
(v) આપેલ શ્રેણી \( 3, 3 + \sqrt{2}, 3 + 2\sqrt{2}, 3 + 3\sqrt{2}, \dots \) છે.
પહેલા આપણે પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
\( a_2 - a_1 = (3 + \sqrt{2}) - 3 = \sqrt{2} \).
\( a_3 - a_2 = (3 + 2\sqrt{2}) - (3 + \sqrt{2}) = \sqrt{2} \).
\( a_4 - a_3 = (3 + 3\sqrt{2}) - (3 + 2\sqrt{2}) = \sqrt{2} \).
આમ, દરેક વખતે \( a_{k+1} – a_k \) ની કિંમત સરખી રહે છે.
તેથી, આપેલી શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે, જેમાં સામાન્ય તફાવત \( d = \sqrt{2} \) છે.
હવે, પછીના ત્રણ પદ આ પ્રમાણે મળે છે:
\( a_5 = (3 + 3\sqrt{2}) + \sqrt{2} = 3 + 4\sqrt{2} \).
\( a_6 = (3 + 4\sqrt{2}) + \sqrt{2} = 3 + 5\sqrt{2} \).
\( a_7 = (3 + 5\sqrt{2}) + \sqrt{2} = 3 + 6\sqrt{2} \).
In simple words: આ શ્રેણીમાં દરેક નંબર વચ્ચેનો તફાવત હંમેશા \( \sqrt{2} \) છે, તેથી તે સમાંતર શ્રેણી છે. પછીના ત્રણ નંબર મેળવવા માટે, છેલ્લા નંબર \( 3 + 3\sqrt{2} \) માં \( \sqrt{2} \) ઉમેરતા જાવ.

Exam Tip: When terms involve square roots, treat them like variables. \( \sqrt{2} \) can be added or subtracted from other \( \sqrt{2} \) terms.

Answer:
(vi) આપેલ શ્રેણી \( 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, \dots \) છે.
પહેલા આપણે પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
\( a_2 – a_1 = 0.22 - 0.2 = 0.02 \).
\( a_3 – a_2 = 0.222 - 0.22 = 0.002 \).
અહીં, \( a_2 – a_1 \) એ \( a_3 - a_2 \) જેટલો નથી.
તેથી, આપેલી શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી નથી.
In simple words: આ શ્રેણીમાં બે બાજુબાજુના નંબર વચ્ચેનો તફાવત બદલાય છે. પહેલા 0.02, પછી 0.002. જો તફાવત એક સરખો ન હોય, તો તે સમાંતર શ્રેણી નથી.

Exam Tip: For decimal sequences, align decimal points carefully when calculating differences. If the number of decimal places changes, it's often not an AP.

Answer:
(vii) આપેલ શ્રેણી \( 0, -4, -8, -12, \dots \) છે.
પહેલા આપણે પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
\( a_2 - a_1 = (-4) - 0 = -4 \).
\( a_3 - a_2 = (-8) - (-4) = -8 + 4 = -4 \).
\( a_4 - a_3 = (-12) - (-8) = -12 + 8 = -4 \).
આમ, દરેક વખતે \( a_{k+1} – a_k \) ની કિંમત સરખી રહે છે.
તેથી, આપેલી શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે, જેમાં સામાન્ય તફાવત \( d = -4 \) છે.
હવે, પછીના ત્રણ પદ આ પ્રમાણે મળે છે:
\( a_5 = -12 + (-4) = -16 \).
\( a_6 = -16 + (-4) = -20 \).
\( a_7 = -20 + (-4) = -24 \).
In simple words: આ શ્રેણીમાં દરેક નંબર વચ્ચેનો તફાવત હંમેશા -4 છે, તેથી તે સમાંતર શ્રેણી છે. પછીના ત્રણ નંબર મેળવવા માટે, છેલ્લા નંબર \( -12 \) માંથી 4 બાદ કરતા જાવ.

Exam Tip: When working with negative numbers, subtracting a positive number makes the result more negative.

Answer:
(viii) આપેલ શ્રેણી \( -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \dots \) છે.
પહેલા આપણે પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
\( a_2 - a_1 = (-\frac{1}{2}) - (-\frac{1}{2}) = 0 \).
\( a_3 - a_2 = (-\frac{1}{2}) - (-\frac{1}{2}) = 0 \).
\( a_4 - a_3 = (-\frac{1}{2}) - (-\frac{1}{2}) = 0 \).
આમ, દરેક વખતે \( a_{k+1} – a_k \) ની કિંમત સરખી રહે છે.
તેથી, આપેલી શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે, જેમાં સામાન્ય તફાવત \( d = 0 \) છે.
હવે, પછીના ત્રણ પદ આ પ્રમાણે મળે છે:
\( a_5 = -\frac{1}{2} + 0 = -\frac{1}{2} \).
\( a_6 = -\frac{1}{2} + 0 = -\frac{1}{2} \).
\( a_7 = -\frac{1}{2} + 0 = -\frac{1}{2} \).
In simple words: આ શ્રેણીમાં દરેક નંબર સરખા છે, તેથી બે બાજુબાજુના નંબર વચ્ચેનો તફાવત હંમેશા 0 છે. આથી તે સમાંતર શ્રેણી છે અને પછીના ત્રણ નંબર પણ \( -\frac{1}{2} \) જ રહેશે.

Exam Tip: A constant sequence (where all terms are the same) is a valid AP with a common difference of 0.

Answer:
(ix) આપેલ શ્રેણી \( 1, 3, 9, 27, \dots \) છે.
પહેલા આપણે પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
\( a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2 \).
\( a_3 - a_2 = 9 - 3 = 6 \).
અહીં, \( a_2 – a_1 \) એ \( a_3 - a_2 \) જેટલો નથી.
તેથી, આપેલી શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી નથી.
In simple words: આ શ્રેણીમાં બે બાજુબાજુના નંબર વચ્ચેનો તફાવત બદલાય છે (પહેલા 2, પછી 6). જો તફાવત એક સરખો ન હોય, તો તે સમાંતર શ્રેણી નથી.

Exam Tip: A sequence where each term is multiplied by a constant factor (geometric progression) is not an AP.

Answer:
(x) આપેલ શ્રેણી \( a, 2a, 3a, 4a, \dots \) છે.
પહેલા આપણે પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
\( a_2 - a_1 = 2a - a = a \).
\( a_3 - a_2 = 3a - 2a = a \).
\( a_4 - a_3 = 4a - 3a = a \).
આમ, દરેક વખતે \( a_{k+1} – a_k \) ની કિંમત સરખી રહે છે.
તેથી, આપેલી શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે, જેમાં સામાન્ય તફાવત \( d = a \) છે.
હવે, પછીના ત્રણ પદ આ પ્રમાણે મળે છે:
\( a_5 = 4a + a = 5a \).
\( a_6 = 5a + a = 6a \).
\( a_7 = 6a + a = 7a \).
In simple words: આ શ્રેણીમાં દરેક નંબર વચ્ચેનો તફાવત હંમેશા \( a \) છે, તેથી તે સમાંતર શ્રેણી છે. પછીના ત્રણ નંબર મેળવવા માટે, છેલ્લા નંબર \( 4a \) માં \( a \) ઉમેરતા જાવ.

Exam Tip: Treat algebraic terms like \( a \) as single units. If the difference is a constant algebraic expression, it forms an AP.

Answer:
(xi) આપેલ શ્રેણી \( a, a^2, a^3, a^4, \dots \) છે.
પહેલા આપણે પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
\( a_2 - a_1 = a^2 – a = a(a - 1) \).
\( a_3 - a_2 = a^3 – a^2 = a^2(a - 1) \).
અહીં, \( a_2 – a_1 \) એ \( a_3 - a_2 \) જેટલો નથી (સિવાય કે \( a=1 \) હોય).
તેથી, આપેલી શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી નથી.
In simple words: આ શ્રેણીમાં બે બાજુબાજુના નંબર વચ્ચેનો તફાવત બદલાય છે. પહેલા \( a(a-1) \), પછી \( a^2(a-1) \). જો તફાવત એક સરખો ન હોય, તો તે સમાંતર શ્રેણી નથી.

Exam Tip: Sequences involving powers of a variable (like \( a^2, a^3 \)) are generally not APs, as the differences between terms will not be constant.

Answer:
(xii) આપેલ શ્રેણી \( \sqrt{2}, \sqrt{8}, \sqrt{18}, \sqrt{32}, \dots \) છે.
પહેલા આપણે દરેક પદને સરળ સ્વરૂપમાં લખીએ:
\( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} \).
\( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \).
\( \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \).
આમ, શ્રેણી આ પ્રમાણે બને છે: \( \sqrt{2}, 2\sqrt{2}, 3\sqrt{2}, 4\sqrt{2}, \dots \)
હવે, આપણે પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
\( a_2 - a_1 = 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2} \).
\( a_3 - a_2 = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2} \).
\( a_4 - a_3 = 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = \sqrt{2} \).
આમ, દરેક વખતે \( a_{k+1} – a_k \) ની કિંમત સરખી રહે છે.
તેથી, આપેલી શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે, જેમાં સામાન્ય તફાવત \( d = \sqrt{2} \) છે.
હવે, પછીના ત્રણ પદ આ પ્રમાણે મળે છે:
\( a_5 = 4\sqrt{2} + \sqrt{2} = 5\sqrt{2} = \sqrt{50} \).
\( a_6 = 5\sqrt{2} + \sqrt{2} = 6\sqrt{2} = \sqrt{72} \).
\( a_7 = 6\sqrt{2} + \sqrt{2} = 7\sqrt{2} = \sqrt{98} \).
In simple words: આ શ્રેણીના દરેક પદને \( \sqrt{2} \) ના ગુણાકાર તરીકે લખી શકાય છે: \( \sqrt{2}, 2\sqrt{2}, 3\sqrt{2}, 4\sqrt{2} \). આ દર્શાવે છે કે દરેક નંબર વચ્ચેનો તફાવત \( \sqrt{2} \) છે, તેથી તે સમાંતર શ્રેણી છે. પછીના ત્રણ નંબર મેળવવા માટે, છેલ્લા નંબર \( 4\sqrt{2} \) માં \( \sqrt{2} \) ઉમેરતા જાવ.

Exam Tip: Simplify square roots to their simplest radical form (\( a\sqrt{b} \)) before checking for an AP. This makes it easier to spot a common difference.

Answer:
(xiii) આપેલ શ્રેણી \( \sqrt{3}, \sqrt{6}, \sqrt{9}, \sqrt{12}, \dots \) છે.
પહેલા આપણે પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
\( a_2 - a_1 = \sqrt{6} - \sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{2} - 1) \).
\( a_3 - a_2 = \sqrt{9} - \sqrt{6} = 3 - \sqrt{6} = \sqrt{3}(\sqrt{3} - \sqrt{2}) \).
અહીં, \( a_2 – a_1 \) એ \( a_3 - a_2 \) જેટલો નથી.
તેથી, આપેલી શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી નથી.
In simple words: આ શ્રેણીમાં બે બાજુબાજુના નંબર વચ્ચેનો તફાવત બદલાય છે. જો તફાવત એક સરખો ન હોય, તો તે સમાંતર શ્રેણી નથી.

Exam Tip: Even after simplifying square roots, if the differences still involve non-constant radical expressions, the sequence is not an AP.

Answer:
(xiv) આપેલ શ્રેણી \( 1^2, 3^2, 5^2, 7^2, \dots \) છે.
આ પદોને સાદા નંબર તરીકે લખીએ: \( 1, 9, 25, 49, \dots \)
પહેલા આપણે પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
\( a_2 - a_1 = 9 - 1 = 8 \).
\( a_3 - a_2 = 25 - 9 = 16 \).
અહીં, \( a_2 – a_1 \) એ \( a_3 - a_2 \) જેટલો નથી.
તેથી, આપેલી શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી નથી.
In simple words: આ શ્રેણીમાં દરેક નંબરનો વર્ગ છે. બે બાજુબાજુના નંબર વચ્ચેનો તફાવત બદલાય છે. પહેલા 8, પછી 16. જો તફાવત એક સરખો ન હોય, તો તે સમાંતર શ્રેણી નથી.

Exam Tip: Always simplify squared terms (or any powers) to their numerical values before calculating differences to determine if it's an AP.

Answer:
(xv) આપેલ શ્રેણી \( 1^2, 5^2, 7^2, 73, \dots \) છે.
આ પદોને સાદા નંબર તરીકે લખીએ: \( 1, 25, 49, 73, \dots \)
પહેલા આપણે પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
\( a_2 - a_1 = 25 - 1 = 24 \).
\( a_3 - a_2 = 49 - 25 = 24 \).
\( a_4 - a_3 = 73 - 49 = 24 \).
આમ, દરેક વખતે \( a_{k+1} – a_k \) ની કિંમત સરખી રહે છે.
તેથી, આપેલી શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે, જેમાં સામાન્ય તફાવત \( d = 24 \) છે.
હવે, પછીના ત્રણ પદ આ પ્રમાણે મળે છે:
\( a_5 = 73 + 24 = 97 \).
\( a_6 = 97 + 24 = 121 \).
\( a_7 = 121 + 24 = 145 \).
In simple words: આ શ્રેણીમાં દરેક નંબર વચ્ચેનો તફાવત હંમેશા 24 છે, તેથી તે સમાંતર શ્રેણી છે. પછીના ત્રણ નંબર મેળવવા માટે, છેલ્લા નંબર 73 માં 24 ઉમેરતા જાવ.

Exam Tip: Convert all terms to their numerical values first, especially if they involve powers, to easily identify the common difference.